Lý thuyết các dạng toán về mệnh đề tập hợp

Chương MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 I Tóm tắt lí thuyết Mệnh đề MỆNH ĐỀ Định nghĩa Mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định hoặc sai • Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai • Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai ! Những điểm cần lưu ý • Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh mệnh đề • Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3” • Một câu mà chưa thể nói hay sai chắn sai, khơng thể vừa vừa sai mệnh đề Ví dụ: “Có sống ngồi Trái Đất” mệnh đề • Trong thực tế, có mệnh đề mà tính sai ln gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thời gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai Ví dụ: Sáng bạn An học Mệnh đề chứa biến Định nghĩa Những câu khẳng định mà tính đúng-sai chúng tùy thuộc vào giá trị biến gọi mệnh đề chứa biến Å ã mệnh đề Ví dụ: Cho P(x) : x > x với x số thực Khi P(2) mệnh đề sai, P Mệnh đề phủ định Định nghĩa Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P 11 12 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP • Mệnh đề P mệnh đề phủ định P hai câu khẳng định trái ngược Nếu P P sai, P sai P • Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “2 số chẵn” Khi đó, mệnh đề phủ định P phát biểu P: “2 số chẵn” “2 số lẻ” Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo Định nghĩa Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo • Kí hiệu P ⇒ Q • Mệnh đề kéo theo sai P Q sai • P ⇒ Q cịn phát biểu “ P kéo theo Q”, “P suy Q” hay “Vì P nên Q” ! Chú ý • Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng: P ⇒ Q Khi ta nói P giả thiết, Q kết luận định lí, P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần để có P • Trong logic tốn học, xét giá trị chân lí mệnh đề P ⇒ Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề P, Q Không phân biệt trường hợp P có phải nguyên nhân để có Q hay khơng mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất Việt Nam nằm châu Âu” mệnh đề Vì hai mệnh đề P: “Mặt trời quay xung quanh trái đất” Q: “Việt Nam nằm châu Âu” mệnh đề sai Định nghĩa Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết mệnh đề Mệnh đề tương đương ! Định nghĩa Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề có dạng “P Q” gọi mệnh đề tương đương • Kí hiệu P ⇔ Q • Mệnh đề P ⇔ Q hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P sai (Hay P ⇔ Q hai mệnh đề P Q sai) • P ⇔ Q phát biểu “P Q”, “P tương đương với Q”, hay “P điều kiện cần đủ để có Q” Hai mệnh đề P, Q tương đương với hoàn toàn khơng có nghĩa nội dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lí (cùng sai) Ví dụ: “Hình vng có góc tù 100 số nguyên tố” mệnh đề ! Các kí hiệu ∀ ∃ • Kí hiệu ∀ (với mọi): “∀x ∈ X, P(x)” “∀x ∈ X : P(x)” • Kí hiệu ∃ (tồn tại): “∃x ∈ X, P(x)” “∃x ∈ X : P(x)” ! Chú ý • Phủ định mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” • Phủ định mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” MỆNH ĐỀ II 13 Các dạng toán Dạng Mệnh đề có nội dung đại số số học Ví dụ Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau: √ a) A : “ số hữu tỉ” b) B : “n chia hết cho n chia hết cho 15” c) C : “∀x ∈ N : x2 + x + > 0” d) D : “∃x ∈ N, ∃y ∈ R : x y + = 2” y x Lời giải √ a) A : “ không số hữu tỉ” b) B : “n không chia hết cho n khơng chia hết cho không chia hết cho 15 ” c) C : “∃x ∈ N : x2 + x + ≤ 0” x y d) D : “∀x ∈ N, ∀y ∈ R : + 6= 2” y x Ví dụ Xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định nó: a) ∀x ∈ R : x2 + > b) ∃x ∈ R : x2 + x + = c) ∃x ∈ R : x > x2 Lời giải a) Mệnh đề Phủ định A : ∃x ∈ R : x2 + ≤ b) Mệnh đề sai phương trình x2 + x + = vô nghiệm R Phủ định B : “∀x ∈ R : x2 + x+ 6= c) Mệnh đề đúng, ví dụ x = Phủ định ∀x ∈ R : x ≤ x2 Ví dụ Điều chỉnh mệnh đề sau để mệnh đề đúng: a) ∀x ∈ R : 3x − = b) ∀x ∈ R : x2 − 4x = c) ∃x ∈ R : x2 + < d) ∀x ∈ R : x > x Lời giải 14 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) ∃x ∈ R : 3x − = b) ∃x ∈ R : x2 − 4x = c) ∃x ∈ R : x2 + > ∀x ∈ R : x2 + > d) ∃x ∈ R : x > x Ví dụ Chứng minh “Nếu n2 số chẵn n số chẵn.” Lời giải Giả sử n số lẻ ⇒ n = 2k + 1, k ∈ N
⇒ n2 = 4k2 + 4k + = 2k2 + 2k + ⇒ n2 số lẻ (trái giả thiết) Vậy n số chẵn Ví dụ Chứng minh rằng: a) Với số nguyên n n3 − n chia hết cho b) Với số nguyên n n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho Lời giải a) Ta có: n3 − n = n(n2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1) Do n − 1, n, n + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Khi (n − 1)n(n + 1) chia hết cho hay n3 − n chia hết cho b) Ta có n − 1, n số nguyên liên tiếp nên tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho Xét số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + 1, số có số chia hết cho • Nếu số n − 1, n cho hết cho tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho • Nếu n + chia hết cho 2n − = 2(n + 1) − chia hết cho Suy tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho Vậy tích n(n − 1)(2n − 1) vừa chia hết cho vừa chia hết chia hết cho BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Hãy xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định chúng: a) A : “∀x ∈ R : x2 > 1” b) B : “∃x ∈ Z : 6x2 − 13x + = 0” c) C : “∀x ∈ N, ∃y ∈ N : y = x + 2” d) D : “∀x ∈ R, ∀y ∈ R : x y + ≥ 0” y x Lời giải a) Mệnh đề sai, ví dụ x = Phủ định A : “∃x ∈ R : x2 ≤ 1” MỆNH ĐỀ 15  x=  , hai nghiệm không thuộc Z b) Mệnh đề sai 6x2 − 13x + = ⇔  x= Phủ định B : “∀x ∈ Z : 6x2 − 13x + 6= 0” c) Mệnh đề Phủ định C : “∃x ∈ N, ∀y ∈ N : y 6= x + 2” d) Mệnh đề sai, ví dụ x = 1, y = −2 x y Phủ định D : “∃x ∈ R, ∃y ∈ R : + < 0” y x Bài Xét tính - sai mệnh đề sau Nếu mệnh đề sai sửa lại cho đúng: a) ∀x ∈ R : x > ⇒ x > 16 b) ∀x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > ® ax + bx + c = c) có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = a 6= ® d) ∀a, b, c ∈ R : e) ∀a, b ∈ Z : a>b ⇔ a > c b>c  a  b.2 ⇔ ab Lời giải a) Mệnh đề b) Mệnh đề sai, ví dụ x = −7 Sửa lại ∀x ∈ R : x > ⇒ x2 > 36 ∃x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > c) Mệnh đề ® a>b d) Mệnh đề ⇒ a > c b>c ® a>b Mệnh đề a > c ⇒ sai, dụ a = 3, c = 1, b = b>c ® ax + bx + c = Như mệnh đề có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = sai a 6= ® a>b Sửa lại mệnh đề ∀a, b, c ∈ R : ⇒ a > c b>c e) Mệnh đề  a  b.2 ⇒ ab Mệnh đề ab ⇒  a  b.2 sai, ví dụ a = 6, b = 16 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Như mệnh đề ∀a, b ∈ Z :  a ⇔ ab sai  b.2  a Sửa lại mệnh đề ∀a, b ∈ Z : ⇒ ab  b.2 Bài Xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định chúng: a) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 + > b2 + c) ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a + b > d) ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 < b e) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 = b + f) ∀a, b, c ∈ R mà a + b + c = − a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Lời giải a) Mệnh đề sai (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 Phủ định ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : (a + b)2 6= a2 − 2ab + b2 b) Mệnh đề sai, ví dụ a = 0, b = Phủ định ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 + ≤ b2 + c) Mệnh đề Phủ định ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a + b ≤ d) Mệnh đề sai, ví dụ a = 3, b = Phủ định ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 ≥ b e) Mệnh đề đúng, số b xác định b = a2 − 1, ∀a ∈ R Phủ định ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 6= b + f) Mệnh đề a + b + c = ⇔ (a + b + c)2 = ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ⇔− a2 + b2 + c2 Phủ định ∃a, b, c ∈ R mà a + b + c 6= − 6= ab + bc + ca a b Bài Chứng minh ∀a, b > : + ≥ b a Lời giải a b Giả sử: + < ⇒ a2 + b2 < 2ab ⇒ (a − b)2 < (vô lý) b a a b Vậy ∀a, b > : + ≥ b a Bài a) Nếu a + b < hai số a b nhỏ b) Nếu x 6= −1 y 6= −1 x + y + xy 6= −1 c) Nếu tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn d) Nếu x2 + y2 = x = y = Lời giải MỆNH ĐỀ 17 a) Giả sử a ≥ b ≥ 1, suy a + b ≥ (trái giả thiết) Vậy a + b < hai số a b nhỏ ñ x = −1 (trái giả thiết) b) Giả sử: x + y + xy = ⇒ x + + y + xy = ⇒ (x + 1)(y + 1) = ⇒ y = −1 Vậy x 6= −1 y 6= −1 x + y + xy 6= −1 c) Giả sử tổng a + b số lẻ hai số a, b có số số lẻ số lại số chẵn nên tích a.b số chẵn (trái giả thiết) Vậy tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn d) Giả sử x 6= y 6= • Nếu x 6= ⇒ x2 > ⇒ x2 + y2 > (trái giả thiết) • Nếu y 6= ⇒ y2 > ⇒ x2 + y2 > (trái giả thiết) Vậy x2 + y2 = x = y = ® |x| < ⇒ |x + y| < |1 + xy| Bài Chứng minh |y| < Lời giải Giả sử |x + y| ≥ |1 + xy| ⇒ (|x + y|)2 ≥ (|1 + xy|)2 ⇒ x2 + y2 + 2xy ≥ + x2 y2 + 2xy
⇒ − x2 (1 − y2 ) ≤ ® ® − x2 ≤ |x| ≥    1−y ≥  ®|y| ≤ ⇒ ⇒⇒ (trái giả thiết)  ®   |x| ≤  1−x ≥ − y2 ≤ |y| ≥ ® |x| < ⇒ |x + y| < |1 + xy| |y| < √ √ √ Bài Chứng minh a + a + < a + 1, ∀a > Lời giải √ √ √ Giả sử a + a + ≥ a + 1, ∀a > √ √
2
2 √ ⇒ a+ a+2 ≥ a+1 p ⇒ ap+ a(a + 2) + a + ≥ 4(a + 1) ⇒ a(a + 2) ≥ a + 1, với a + > ⇒ a2 + 2a ≥ a2 + 2a + ⇒ >√1 (vơ√lí) √ Vậy ∀a > : a + a + < a + Vậy Bài Chứng minh ac > 2(b + d) hai phương trình sau có nghiệm x2 + ax + b = (1) x2 + cx + d = (2) Lời giải Giả sử hai phương trình vơ nghiệm, ta có ® ∆1 = a2 − 4b < ⇒ a2 + c2 < 4(b + d) ∆2 = c2 − 4d < ⇒ a2 + c2 < 2ac (do 2(b + d) ≤ ac) ⇒ (a − c)2 < (vơ lí) Vậy phương trình cho có nghiệm 18 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Bài Chứng minh ta nhốt n + gà vào n lồng có lồng chứa gà Lời giải Giả sử khơng có lồng chứa nhiều gà Khi số gà khơng nhiều số lồng Vậy có nhiều n gà Điều mâu thuẫn với giải thiết có n + gà Vậy ta nhốt n + gà vào n lồng có lồng chứa gà Bài 10 Chứng minh với số tự nhiên n: a) n2 + n + không chia hết cho b) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Lời giải a) Giả sử n2 + n + chia hết cho 9, n2 + n + = 9k, với k số nguyên Như phương trình n2 + n + − 9k = (1) có nghiệm nguyên Xét ∆ = − 4(1 − 9k) = 36k − = 3(12k − 1) Ta thấy ∆ chia hết cho 3, 12k − không chia hết ∆ khơng chia hết cho 9, ∆ khơng số phương nên phương trình (1) khơng có nghiệm ngun (mâu thuẫn giả thiết) Vậy n2 + n + không chia hết cho b) Giả sử n2 + 11n + 39 chia hết cho 49, n2 + 11n + 39 = 49k, với k số nguyên Như phương trình n2 + 11n + 39 − 49k = (1) có nghiệm nguyên Xét ∆ = 112 − 4(39 − 49k) = 196k − 35 = 7(28k − 5) Ta thấy ∆ chia hết cho 7, 28k − không chia hết ∆ không chia hết cho 49, ∆ khơng số phương nên phương trình (1) khơng có nghiệm ngun (mâu thuẫn giả thiết) Vậy n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Dạng Mệnh đề có nội dung hình học Ví dụ Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) P : “Hai véc-tơ có độ dài nhau” b) Q : “Hai véc-tơ chúng có độ dài nhau” Lời giải a) Mệnh đề P mệnh đề theo định nghĩa hai véc-tơ b) Mệnh đề Q mệnh đề sai Hai véc-tơ chúng hướng có độ dài Như cịn thiếu điều kiện hướng hai véc-tơ Ví dụ Cho tam giác ABC Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Nếu AB2 + AC2 = BC2 tam giác ABC vng B b b) Nếu AB > AC Cb > B b = 600 c) Tam giác ABC thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC A Lời giải a) Mệnh đề sai Mệnh đề là: “Nếu AB2 + AC2 = BC2 tam giác ABC vng A” b) Mệnh đề theo mối liên hệ góc cạnh đối diện tam giác MỆNH ĐỀ 19 c) Mệnh đề theo dấu hiệu nhận biết tam giác Ví dụ Cho tứ giác lồi ABCD Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD hình chữ nhật thỏa mãn AC = BD b) Tứ giác ABCD hình chữ nhật có ba góc vng Lời giải a) Mệnh đề sai Mệnh đề có cấu trúc P ⇔ Q mệnh đề P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD hình chữ nhật AC = BD” mệnh đề mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề sai b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11 Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: → − → − − − − a) Hai véc-tơ → a b hướng với véc-tơ → c → a , b hướng → − b) Trong ba véc-tơ khác véc-tơ phương có hai véc-tơ hướng Lời giải a) Mệnh đề theo cách hiểu hướng véc-tơ → − − → − − b) Mệnh đề Thật vậy: Xét ba véc-tơ → a , b ,→ c khác véc-tơ phương Khi có trường hợp: → − − Trường hợp Hai véc-tơ → a , b hướng Trường hợp phù hợp kết luận → − − Trường hợp Hai véc-tơ → a , b ngược hướng → − − − − Khi véc-tơ → c ngược hướng với véc-tơ → a → c b hướng Bài 12 Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Một tam giác tam giác có góc 60◦ hai đường trung tuyến Lời giải a) Mệnh đề sai hai tam giác có diện tích ngược lại, hai tam giác có diện tích khơng Ví dụ tam giác vng có cạnh góc vng 8, tam giác vng thứ hai có cạnh góc vng có diện tích hai tam giác không b) Mệnh đề Thật vậy, xét tam giác ABC tùy ý +) Nếu tam giác ABC ba góc 60◦ cặp trung tuyến +) Ngược lại, giả sử có hai trung tuyến BM CN Khi hình thang BCMN có hai đường chéo nên hình thang cân Do tam giác ABC có Bb = Cb góc góc 60◦ nên tam giác ABC Bài 13 Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: 20 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) Một tứ giác hình bình hành có cặp cạnh đối song song b) Một tứ giác hình bình hành có hai đường chéo Lời giải a) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành b) Mệnh đề sai Chẳng hạn hình thang cân có hai đường chéo khơng thiết phải hình bình hành Bài 14 Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD hình vng” Q: “Tứ giác ABCD hình thoi có hai đường chéo nhau” Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q hai cách cho biết mệnh đề hay sai Lời giải Phát biểu mệnh đề: Cách “Tứ giác ABCD hình vng hình thoi có hai đường chéo nhau” Cách “Tứ giác ABCD hình vng điều kiện cần đủ để hình thoi có hai đường chéo nhau” Mệnh đề theo tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng Bài 15 Xét tập hợp: X: tập hợp tứ giác A: Tập hợp hình vng B: Tập hợp hình chữ nhật D: Tập hợp hình thoi E: Tập hợp tứ giác có trục đối xứng Phát biểu thành lời nội dung mệnh đề sau xét tính sai chúng a) ∀x ∈ X, x ∈ B ⇒ x ∈ A b) ∀x ∈ X, x ∈ A ⇒ x ∈ D c) ∀x ∈ X, x ∈ E ⇒ x ∈ B d) ∀x ∈ X, x ∈ D ⇒ x ∈ E e) ∃x ∈ E : x ∈ / B Lời giải a) Phát biểu: “Mọi hình chữ nhật hình vng” Mệnh đề sai hai cạnh hình chữ nhật khơng phải lúc b) Phát biểu: “Mọi hình vng hình thoi” Mệnh đề hình vng tứ giác có bốn cạnh c) Phát biểu: “Mọi tứ giác có trục đối xứng hình chữ nhật” Mệnh đề sai, ví dụ hình thang cân có trục đối xứng hình thang cân có góc có số đo không thiết phải 90◦ d) Phát biểu: “Mọi hình thoi có trục đối xứng” Mệnh đề hình thoi có hai trục đối xứng hai đường chéo CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 43 Bài 21 Một lớp có 40 học sinh, học sinh đăng ký chơi mơn thể thao bóng đá cầu lơng Có 30 học sinh có đăng ký mơn bóng đá, 25 học sinh có đăng ký mơn cầu lơng Hỏi có em đăng ký môn Lời giải Số học sinh đăng ký hai môn 30 + 25 − 40 = 15 (học sinh) Bài 22 Ở xứ sở thần Thoại ngồi vị thần cịn có sinh vật gồm 27 người, 311 yêu quái mắt, 205 yêu quái tóc rắn yêu qi vừa mắt vừa tóc rắn Tìm số u quái vừa mắt vừa tóc rắn biết có tổng số sinh vật 500 Lời giải • Số sinh vật người 500 − 27 = 473 (con) • Gọi A, B tập hợp yêu quái mắt yêu quái tóc rắn Khi |A| = 311, |B| = 205, |A ∪ B| = 473 • Vậy số yêu quái vừa mắt vừa tóc rắn |A ∩ B| = 311 + 205 − 473 = 43 (con) Bài 23 Trong 45 học sinh lớp 10A có 20 bạn xếp học lực giỏi, 15 bạn đạt hạnh kiểm tốt, có bạn vừa đạt hạnh kiểm tốt vừa có học lực giỏi Hỏi a) Lớp 10A có bạn khen thưởng, biết muốn khen thưởng học sinh giỏi có hạnh kiểm tốt b) Lớp 10A có bạn chưa xét học lực giỏi hạnh kiểm tốt Bài 24 Một lớp có 25 học sinh mơn tự nhiên, 24 học sinh môn xã hội, 10 học sinh học sinh không mơn Hỏi: a) Lớp có học sinh tự nhiên b) Lớp có học sinh xã hội c) Lớp có họăc tự nhiên xã hội d) Lớp có em học sinh Bài 25 Lớp 10A có 35 bạn học sinh làm kiểm tra tốn Đề gồm tốn Sau kiểm tra, giáo tổng hợp kết sau: có 20 em giải toán thứ nhất; 14 em giải đuợc toán 2; 10 em giải toán 3; em giải đuợc toán toán 3; em giải đuợc toán toán 2; em giải toán tốn 3, có học sinh đạt điểm 10 giải Hỏi lớp có học sinh khơng giải Lời giải Đáp số: bạn BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 26 Cho tập hợp F = {n ∈ N | − < n < 3} tập hợp Z số nguyên Xác định tập hợp F ∩ Z Lời giải F ∩ Z = {0; 1; 2} Bài 27 Cho X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} biết tập A ⊂ X, A ∩ {2; 4; 6} = {2} A ∪ {2; 4; 6} = {2; 3; 4; 5; 6} Tìm tập A Lời giải Ta thấy ∈ A {3; 5} ⊂ A số ∈ / A; ∈ / A; ∈ / A Vậy tập A = {2; 3; 5} Bài 28 Cho hai tập hợp A = {−3; −2; 0; 1; 2; 5; 9}, B = {−2; 0; 3; 8; 15} Hãy xác định tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A\B, B\A Lời giải Ta có: A ∪ B = {−3; −2; 0; 1; 2; 3; 5; 8; 9; 15} , A ∩ B = {−2; 0} A\B = {−3; 1; 2; 5; 9} , B\A = {3; 8; 15} 44 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Bài 29 Kí hiệu H tập hợp học sinh lớp 10A; T tập hợp học sinh nam G tập hợp học sinh nữ lớp 10A Hãy xác định tập hợp sau: a) T ∪ G; b) T ∩ G; c) H\T ; d) G\T ; e) CH G Lời giải a) T ∪ G tập hợp học sinh lớp 10A, T ∪ G = H b) T ∩ G = ∅ c) H\T = G d) G\T = G e) CH G = H\G = T x2 ∈ Z} Tìm A ∪ B Bài 30 Cho tập hợp A = {x ∈ Z |x + 2| < 3}, B = {x ∈ Z x+2 Lời giải Ta có |x + 2| < ⇔ −5 < x < nên A = {−4; −3; −2; −1; 0} x2 x2 Lại có = x−2+ nên ∈Z⇔ ∈ Z x+2 x+2 x+2 x+2 Từ suy x + ∈ {−4; −2; −1; 1; 2; 4} nên B = {−6; −4; −3; −1; 0; 2} Vì A ∪ B = {−6; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2} Bài 31 Cho A tập hợp số tự nhiên chẵn không lớn 10, B = {n ∈ N|n ≤ 6} C = {n ∈ N|4 ≤ n ≤ 10} Hãy tìm a) A ∩ (B ∪C); b) (A\B) ∪ (A\C) ∪ (B\C) Lời giải A = {0; 2; 4; 6; 8; 10}, B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} a) B ∪C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} ⇒ A ∩ (B ∪C) = {0; 2; 4; 6; 8; 10} b) Ta có: A\B = {8; 10}, A\C = {0; 2}, B\C = {0; 1; 2; 3} Vậy: (A\B) ∪ (A\C) ∪ (B\C) = {0; 1; 2; 3; 8; 10} Bài 32 Cho A, B,C ba tập hợp rời đôi X tập hợp cho tập X ∩ A, X ∩ B, X ∩ C có phần tử Hỏi tập X có phần tử? Lời giải Giả sử X ∩ A = {a} , X ∩ B = {b} , X ∩C = {c} Khi a, b, c ∈ X Do A, B, C rời đôi nên a, b, c phải khác đơi Vậy tập X có phần tử Bài 33 Cho A = {1; 2; 3} , B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} a) Xác định tập hợp B\A b) Tìm tất tập hợp X cho A ⊂ X X ⊂ B Lời giải a) Ta có B\A = {4; 5; 6} b) Vì A ⊂ X nên 1, 2, thuộc X, đó, để X ⊂ B tập hợp X thỏa mãn đầu là: X = {1; 2; 3} , X = {1; 2; 3; 4} , X = {1; 2; 3; 5} , X = {1; 2; 3; 6} , X = {1; 2; 3; 4; 5} , X = {1; 2; 3; 4; 6} , X = {1; 2; 3; 5; 6} , X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 45 Bài 34 Cho tập hợp A thỏa mãn đồng thời điều kiện sau đây: A ∪ {1; 2; 3} = {1; 2; 3; 4} , A ∩ {1; 2; 3} = {1; 2} (1) (2) Hãy xác định tập hợp A Lời giải Từ (1) suy A ⊂ {1; 2; 3; 4} Từ (2) suy {1; 2} ⊂ A ∈ / A Điều kiện (1) cho ta ∈ A Vậy ta có: A = {1; 2; 4} Bài 35 Hãy xác định tập hợp X biết rằng: {1; 3; 5; 7} ⊂ X, {3; 5; 9} ⊂ X, X ⊂ {1; 3; 5; 7; 9} Lời giải Từ giả thiết {1; 3; 5; 7} ⊂ X, {3; 5; 9} ⊂ X, ta có: {1; 3; 5; 7} ∪ {3; 5; 9} ⊂ X ⇒ {1; 3; 5; 7; 9} ⊂ X Mặt khác, theo giả thiết ta có: X ⊂ {1; 3; 5; 7; 9} Từ (1) (2) suy ra: X = {1; 3; 5; 7; 9} (1) (2) Bài 36 Cho tập hợp X = {a; b; c; d; e; g} a) Hãy xác định tập hợp Y cho Y ⊂ X X\Y = {b; c; e} b) Hãy xác định hai tập hợp A B cho: A ∪ B = X, B\A = {d; e} A\B = {a; b; c} Lời giải a) X\Y = {b; c; e} nên b, c, e không thuộc tập Y Hơn Y ⊂ X nên Y = {a; d; g} b) Từ A\B = {a; b; c} ta suy A chứa a, b, c B không chứa a, b, c Từ B\A = {d; e} ta suy B chứa d, e A khơng chứa d, e Lại có A ∪ B = X nên phần tử g thuộc A thuộc B Ngoài g ∈ / A\B g∈ / B\A nên g ∈ A g ∈ B Do đó: A = {a; b; c; g} , B = {d; e; g} ™ ß 2x − ∈ Z , B = {4; 6; 8; 10} Tìm A ∩ B A ∪ B Bài 37 Cho hai tập hợp A = x ∈ Z| x+3 2x − 2x − Giải Ta có = 2− Do với x ∈ Z x 6= −3 ∈ Z x + ước 7, x+3 x+3 x+3 tức   x+3 = x = −2  x + = −1  x = −4  ⇔  x+3 =  x=4 x + = −7 x = −10 Vậy A = {−2; −4; 4; −10}, suy ra: A ∪ B = {−2; −4; −10; 4, 6, 8, 10} , A ∩ B = {4} Bài 38 Cho tập hợp S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} a) Tìm tập hợp A, B S cho: A ∪ B = {1; 2; 3; 4} , A ∩ B = {1; 2} b) Tìm tập C cho: C ∪ (A ∩ B) = A ∪ B Lời giải 46 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) Từ A ∩ B = {1; 2} ta có A B phải có chung hai phần tử Từ A ∪ B = {1; 2; 3; 4} suy hai phần tử phải thuộc hai tập A B Do có bốn kết sau đây: ß ß ß ß A = {1; 2; 3} A = {1; 2; 4} A = {1; 2; 3; 4} A = {1; 2} B = {1; 2; 4} , B = {1; 2; 3} , B = {1; 2} , B = {1; 2; 3; 4} b) Vì C ∪ (A ∩ B) = A ∪ B mà A ∪ B = {1; 2; 3; 4} , A ∩ B = {1; 2} nên 3, ∈ C Do tập C thỏa mãn yêu cầu toán là: {3; 4} , {1; 3; 4} , { 2; 3; 4} , {1; 2; 3; 4} Bài 39 Xét X Y hai tập hợp tập hợp {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} thỏa mãn ba điều kiện: (1) X ∩Y = {4; 6; 9} (2) X ∪ {3; 4; 5} = {1; 3; 4; 5; 6; 8; 9} (3) Y ∪ {4; 8} = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} a) Hãy từ điều kiện (1) (2) ta suy ∈ X ∈ / Y , ∈ X ∈ / Y, ∈ / X b) Xác định tập hợp X Y mà thỏa mãn điều kiện (1), (2) (3) Lời giải a) Vì ∈ X ∪ {3; 4; 5} nên ∈ X ∈ / X ∩Y nên ∈ / Y Tương tự ta có ∈ X ∈ / Y Từ (3) suy ∈ Y , ∈ / X ∈ X mâu thuẫn với (1) b) Ta có: • ∈ X ∈ / Y; • 2∈ / X (do (2)) ∈ Y (do (3)); • ∈ Y (do (3)) ∈ / X (do (1)); • ∈ X ∈ Y (do (1)); • ∈ Y (do (3)) ∈ / X (do (1)); • ∈ X ∈ Y (do (1)); • ∈ Y (do (3)) ∈ / X (do (1)); • ∈ X ∈ / Y (do câu a)); • ∈ X ∈ Y (do (1)) Từ điều kiện trên, ta tới: X = {1; 4; 6; 8; 9}, Y = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 9}   Bài 40 Cho tập hợp A = x ∈ R x2 + x − m = , B = x ∈ R x2 − mx + = (m tham số thực) Tìm tất giá trị m để A ∩ B 6= ∅ Lời giải Vì A ∩ B 6= ∅ nên tồn a ∈ A ∩ B Khi ® ï a2 + a − m = m = −1 ⇒ (1 + m)a − (1 + m) = ⇒ a=1 a − ma + = • Nếu m = −1 thử lại thấy B = ∅ nên không thỏa • Nếu a = thay vào tập A tìm m = Thử lại m = thấy A ∩ B = {1} Vậy m = CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 47 Bài 41 Cho tập hợp: A = {x|x = 3n − 2, n ∈ N∗ } B = {x|x = 1003 − 2m, m ∈ N∗ } C = {x|x = 6p + 1, p ∈ Z, ≤ p ≤ 166} Chứng minh A ∩ B = C Giải Cần chứng minh A ∩ B ⊂ C C ⊂ A ∩ B • Giả sử x ∈ A ∩ B, cần x ∈ C Thực vậy, x ∈ A ∩ B x ∈ A x ∈ B, tức tồn số nguyên dương m, n cho: x = 3n − = 1003 − 2m 1005 − 3n n−1 Khi đó: m = ⇔ m = 502 − n − Vì m, n số nguyên dương nên suy 2 n−1 = p ∈ Z Từ n = 2p + m = 502 − (2p + 1) − p = 501 − 3p Vì m, n số nguyên dương nên ß 2p + ≥ ⇒ 501 − 3p ≥ ( p≥0 500 ⇒ ≤ p ≤ 166 p≤ Nhưng x = 3n − = 3(2p + 1) − = 6p + 1, suy x ∈ C ⇒ A ∩ B ⊂ C (1) • Chứng minh C ⊂ A ∩ B Giả sử x ∈ C, cần chứng minh x ∈ A ∩ B Thực vậy, x ∈ C tồn p ∈ Z, ≤ p ≤ 166, cho x = 6p + Ta x viết dạng x = 3n − 2, n ∈ N∗ Ta có x = 6p + = (6p + 3) − = 3(2p + 1) − = 3n − 2, với n = 2p + ∈ N∗ , suy x ∈ A Ta phải chứng minh x ∈ B x = 6p + = 1003 − (1002 − 6p) = 1003 − 2(501 − 3p) = 1003 − 2m, với m = 501 − 3p Ta có: ≤ p ≤ 166 ⇒ ≤ 3p ≤ 498 ⇒ 501 − 3p ≥ ⇒ m = 501 − 3p ∈ N∗ Như x ∈ B Từ x ∈ A x ∈ B suy x ∈ A ∩ B ⇐ C ⊂ A ∩ B Từ (1) (2) suy A ∩ B = C, điều phải chứng minh (2) 48 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §4 I Tóm tắt lí thuyết Các tập hợp số học CÁC TẬP HỢP SỐ Định nghĩa Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, } N∗ = {1, 2, } Định nghĩa Tập hợp số nguyên Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, } Định nghĩa Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Q, số viết dạng phân số a với a, b ∈ Z, b 6= b Định nghĩa Tập hợp số thực kí hiệu R, gồm số thập phân hữu hạn, vơ hạn tuần hồn vơ hạn khơng tuần hồn Các số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi số vơ tỉ Các tập thường dùng R Trong toán học ta thường gặp tập hợp sau tập hợp số thực R a Khoảng
(a; b) = {x ∈ R|a < x < b} a (a; +∞) = {x ∈ R|a < x} a b
(−∞; b) = {x ∈ R|x < b} b b Đoạn [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}   a b c Nửa khoảng [a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b} (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} [a; +∞) = {x ∈ R|a ≤ x} 
a b  a  b a  (−∞; b) = {x ∈ R|x ≤ b} b Kí hiệu +∞ đọc dương vơ cực (hoặc dương vơ cùng), kí hiệu −∞ đọc âm vô cực (hoặc âm vô cùng) ! CÁC TẬP HỢP SỐ II 49 Các dạng toán Dạng Xác định giao - hợp hai tập hợp a) Xác định giao hai tập hợp ta làm sau • Biểu diễn tập hợp lên trục số • Dùng định nghĩa giao để xác định phần tử tập hợp b) Cho hai tập tập số thực A B Tìm A ∪ B ta làm sau • Biểu diễn tập A trục số, gạch chéo phần không thuộc A • Làm tương tự tập B • Phần khơng gạch chéo hình A ∪ B ñ x∈A c) Đối với hai tập A B khác để tìm A ∪ B ta nhớ x ∈ A ∪ B ⇔ x∈B Ví dụ Xác định tập hợp (0; 3) ∪ (−3; 2) biểu diễn trục số Lời giải • Biểu diễn tập hợp A trục số
• Biểu diễn tập B trục số
−3 • Kết hợp hai trục số ta tập A ∪ B = (−3; 3)
−3 Ví dụ Cho m > Xác định tập hợp [−2; m) ∪ [0; 4) Lời giải Vì m > nên m > ⇒ [0; 4) ⊂ [−2; m) ⇒ [−2; m) ∪ [0; 4) = [−2; m) Ví dụ Cho hai tập hợp A = {x ∈ R| − ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ R| − < x < 2} Tìm A ∩ B −1 h 3i A Lời giải −2  ⇒ A ∩ B = [−1; 2)  B