Đề cương giữa kì 1 (101 trang)

ĐỀ CƯƠNG GIỮA KÌ I TỐN A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT DẠNG 1: TẬP HỢP Tập hợp phần tử tập hợp - Một tập hợp (gọi tắt tập) bao gồm đối tượng định Các đối tượng gọi phần tử tập hợp x phần tử tập A , kí hiệu x  A (đọc x thuộc A ) y không phần tử tập A , kí hiệu y  A (đọc y không thuộc A ) - Mỗi phần tử tập hợp cách dấu “ ; ” - Chú ý: Khi x thuộc A , ta nói “ x nằm A ”, hay “ A chứa x ” Cách mô tả tập hợp - Mô tả tập hợp cách xác định phần tử tập hợp - Thường có cách sau: + Cách 1: Liệt kê phần tử tập hợp (tức viết phần tử tập hợp dấu {} theo thứ tự tùy ý phần tử viết lần) + Cách 2: Chỉ tính chất đặc trưng cho tất phần tử tập hợp Tập hợp số tự nhiên - Tập hợp số tự nhiên kí hiệu   0; 1; 2; 3; 4;  - Tập hợp số tự nhiên khác kí hiệu * *   1; 2; 3; 4;  Số phần tử tập hợp Tập hợp rỗng - Một tập hợp có phần tử, có nhiều phần tử, có vơ số phần tử, khơng có phần tử - Tập hợp khơng có phần tử tập hợp rỗng, kí hiệu  DẠNG II: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH I Các phép toán tập số tự nhiên Phép cộng: a (số hạng) + b (số hạng) = c (Tổng) * Tính chất: a) Giao hốn: a  b  b  a b) Kết hợp:  a  b   c  a   b  c  Phép trừ: = b a c (Số bị trừ) (số trừ) (Hiệu) * Chú ý: Điều kiện để thực phép trừ tập hợp số tự nhiên a  b Phép nhân: a = b c (Thừa số) (Thừa số) (Tích) * Tính chất: a) Giao hoán: a.b  b.a b) Kết hợp: (a.b).c  a.(b.c) c) Phân phối phép nhân phép cộng: a(b  c)  ab  ac Phép chia: : = b c a (Số bị chia) (số chia) (Thương) Khi ta có: a  bc  r   r  b  Nếu r  ta có phép chia hết Nếu r  ta có phép chia có dư Phép nâng lên lũy thừa với số mũ tự nhiên: a.a.a a  an (n  ) n thõa sè a Trong đó: a số, n số mũ, a lũy thừa bậc n a hay cịn đọc “ a mũ n” * Tính chất: a) Nhân hai lũy thừa số: a m a n  a m  n b) Chia hai lũy thừa số: a m : a n  a m-n ( Với a, m, n  ; m  n; a  ) c) Quy ước: a1  a ; a0  ( với a  ) II Thứ tự thực phép tính Đối với biểu thức khơng có dấu ngoặc: - Nếu phép tính có cộng, trừ có nhân, chia, ta thực phép tính theo thứ tự từ trái sang phải - Nếu phép tính có cộng , trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực phép nâng lên lũy thừa trước, đến nhân chia, cuối đến cộng trừ Lũy thừa  nhân, chia  cộng, trừ Đối với biểu thức có dấu ngoặc - Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc trịn   , ngoặc vng   , ngoặc nhọn   , ta thực n phép tính theo thứ tự:         DẠNG III: TÌM SỐ TỰ NHIÊN X I Tìm x thành phần phép tốn Phép cộng: ab  c (Số hạng + số hạng = tổng) * Số hạng chưa biết = Tổng - Số hạng biết a  c  b; b  c  a Phép trừ: * Số bị trừ = Hiệu + Số trừ * Số trừ = Số bị trừ - Hiệu a  b c ( Số bị trừ - Số trừ = Hiệu) a bc b  a c Phép nhân: a.b  c ( Thừa số Thừa số = Tích) * Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số biết a  c : b; b  c : a Phép chia: a:b  c (Số bị chia: Số chia = Thương) * Số bị chia = Thương Số chia a  b.c * Số chia = Số bị chia: Thương b  a:c Phép nâng lên lũy thừa với số mũ tự nhiên: a.a.a a  a n (n  ) n thõa sè a Trong đó: a số, n số mũ, a lũy thừa bậc n a hay đọc “ a mũ n ” * Tính chất: a) Nhân hai lũy thừa số: a m a n  a m n b) Chia hai lũy thừa số: a m : a n  a mn ( Với a, m, n  ; m  n; a  ) n c) Quy ước: a1 = a ; a = (với a  ) *Chú ý + Khi tìm x số thường ta đưa lũy thừa có số mũ ; cho số để tìm x + Khi tìm x số mũ thường ta đưa lũy thừa có số ; cho số mũ để tìm x + Các lũy thừa đặc biệt x  0;1x  1; với x; x  y ;1x  1y với số tự nhiên x, y II Tìm x sở thứ tự thực phép tính Đối với biểu thức khơng có dấu ngoặc: - Nếu phép tính có cộng, trừ có nhân, chia, ta thực phép tính theo thứ tự từ trái sang phải - Nếu phép tính có cộng , trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực phép nâng lên lũy thừa trước, đến nhân chia, cuối đến cộng trừ Lũy thừa  nhân, chia  cộng, trừ Đối với biểu thức có dấu ngoặc - Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc trịn ( ), ngoặc vng [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực phép tính theo thứ tự: ( )  [ ]  { } DẠNG 4: QUAN HỆ CHIA HẾT I Tính chia hết số tự nhiên 1.Tính chất Nêu tất số hạng tổng chia hết cho số tổng chia hết cho số a m, b m   a  b  m Tính chất  Nếu có số hạng tổng khơng chia hết cho số cịn số hạng khác chia hết cho số tổng khơng chia hết cho số a  m, b m   a  b   m Chú ý Các tính chất với hiệu, với a  b a m, b m   a  b  m a  m, b m   a  b   m a m, b  m   a  b   m II Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, Dấu hiệu chia hết cho Các số có chữ số tận chữ số chẵn chia hết cho số chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho Các số có chữ số tận chia hết cho số chia hết cho 1.Dấu hiệu chia hết cho Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho số chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho số chia hết cho Chú ý - Một số chia hết cho chia hết cho - Một Số chia hết cho không chia hết cho * Phương pháp giải:  Xét tính chia hết tổng (hiệu) Để xét tính chia hết tổng (hiệu), ta thường làm sau: Bước Xét xem số hạng tổng (hiệu) có chia hết cho số hay khơng; Bước2 Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) để xét Lưu ý: Trường hợp tổng (hiệu) có nhiều số hạng không chia hết cho m ta xét tổng (hiệu) số hạng có chia hết cho m hay khơng  Tìm điều kiện số hạng để tổng (hiệu) chia hết cho số Để tìm điều kiện số hạng cho tổng (hiệu) chia hết cho số ta làm sau: Bước Xét xem số hạng biết (hoặc tổng, hiệu số hạng biết) có chia hết cho số hay khơng; Bước2 Vận dụng tính chất chia hết tổng, hiệu để tìm điều kiện số hạng chưa biết  Xét tính chia hết tích Để xét tích có chia hết cho số hay không, ta làm sau: Cách Xét xem có thừa số tích chia hết cho số hay khơng Nếu tồn thì tích cho chia hết cho số Cách Tính tích thừa số xét tích có chia hết cho số cho hay khơng  Xét tính chia hết tổng lũy thừa số Để xét tổng lũy thừa số có chia hết cho số hay khơng, ta làm sau: Cách Xét số hạng tổng có chia hết cho số hay khơng Nếu tất các số hạng chia hết cho số tổng chia hết cho số Cách Sử dụng phương pháp tách ghép, ta làm theo bước: - Bước Tách ghép số hạng tổng cho nhóm tồn thừa số chia hết cho số - Bước Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) để xét  Nhận biết số chia hết cho , cho Để nhận biết số có chia hết cho 2, cho 5, ta sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5: - Các số chia hết cho số có chữ số tận 0;2;4;6;8 - Các số chia hết cho số có chữ số tận  Xét tính chia hết cho , cho tổng (hiệu) Để xét tổng (hiệu) có chia hết cho 2, cho hay không, ta thường làm sau: Cách Xét sốhạng tổng (hiệu) có chia hết cho 2, cho hay khơng Cách Xét tổng (hiệu) số hạng có chia hết cho 2, cho hay không  Lập số chia hết cho , cho từ chữ số cho trước Để lập số chia hết cho 2, cho 5, ta thường làm sau: Bước Lập chữ số cuối số cần tìm từ chữ số cho; - Nếu số cần tìm chia hết cho chữ số cuối phải số 0; 2; 4;6;8 - Nếu số cần tìm chia hết cho chữ số cuối phải - Nếu số cần tìm chia hết cho chữ số tận phải Bước2 Lập nốt chữ số lại cho thỏa mãn điều kiện đề bài; Bước Liệt kê số thỏa mãn tốn  Tìm chỗ số số thỏa mãn điều kiện chia hết cho , cho Để tìm chữ số số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 2, cho 5, ta thường sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, cho để xét chữ số tận  Nhận biết số chia hết cho , cho Để nhận biết số có chia hết cho (cho 9) hay không, talàm sau: Bước Tính tổng chữ số sốđã cho; Bước2 Kiểm tra xem tổng có chia hết cho (cho 9) hay khơng Lưu ý: Nếu số chia hết cho số chia hết cho  Xét tính chia hết cho , cho tổng (hiệu) Để xét tổng (hiệu) có chia hết cho 3, cho hay không, ta thường làm sau: Cách Xét số hạng tổng (hiệu) có chia hết cho 3, cho hay khơng Cách Xét tổng (hiệu) số hạng có chia hết cho 3, cho hay không Lưu ý: Ta nên xét tổng (hiệu) chia hết cho trước Từ suy chia hết cho  Lập số chia hết cho , cho từ chữ số cho trước Để lập sốchia hết cho (cho 9) ta thường làm sau: Bước1 Chọn nhóm chữ số có tổng chia hết cho (cho 9); Bước Từ nhóm liệt kê số thỏa mãn điều kiện đề  Viết số chia hết cho , cho từ số chữ sốcho trước Để tìm chữ số số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 3, cho 9, ta thường làm sau: Bước Tính tổng chữ số biết; Bước Tìm chữ số chưa biết thỏa mãn chữ số cộng với tổng chia hết cho 3, cho Lưu ý: - Đối với điền dấu * để số chia hết cho 2;3;5;9 xét điều kiện chia hết cho trước, sau xét điều kiện chia hết cho 3; - Đối với chia hết cho số khác 2;3;5;9 (chẳng hạn chia hết cho 45, cho 18, ) ta tách số để đưa Số 2;3;5;9 DẠNG 5: SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ Số nguyên tố Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước Số ngun tố nhỏ 2, số nguyên tố chẵn Hợp số Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều ước Chú ý: Số số số nguyên tố, khơng phải hợp số Phân tích số tự nhiên thừa số nguyên tố Mọi hợp số phân tích thành tích thừa số nguyên tố +) Phương pháp phân tích theo sơ đồ hình +) Phương pháp phân tích theo sơ đồ cột DẠNG 6: ƯỚC CHUNG, BỘI CHUNG Ước chung ước chung lớn *)Ước chung hai hay nhiều số ước tất số ƯC (a, b) tập hợp ước chung a b x  ÖC (a, b)  a x vµ b x *)Ước chung lớn (ƯCLN) hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số ƯCLN (a, b) ước chung lớn a b *) Trong số cho, số nhỏ ước số lại ƯCLN số cho số nh nht y Nếu a b ƯCLN a, b   b Số có ước Do với số tự nhiên a b , ta có: ƯCLN (a,1)  1; ƯCLN (a, b,1)  *) Các bước tìm ƯCLN hai hay nhiều số lớn 1: +) Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố +) Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung +) Bước 3: Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm *) Tìm ước chung từ ước chung lớn nhất: +) Bước 1: Tìm ƯCLN số +) Bước 2: Tìm ước ƯCLN *) Phân số tối giản a Phân số gọi phân số tối giản a b khơng có ước chung khác 1, nghĩa b ¦CLN  a, b   Bội chung bội chung nhỏ *) Bội chung hai hay nhiều số bội tất số x  BC (a, b)  x a va x b Bội chung nhỏ (BCNN) hai hay nhiều số số nhỏ khác tập hợp bội chung số BCNN (a, b) bội chung nhỏ a b *)Trong số cho, số lớn bội số cịn lại BCNN số cho số lớn NÕu a b th× BCNN  a, b   a Mọi số tự nhiên đểu bội Do với số tự nhiên a b (khác 0), ta có: BCNN (a,1)  a; BCNN (a, b,1)  BCNN (a, b) *) Các bước tìm BCLN hai hay nhiều số lớn 1: +) Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố +) Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung riêng +) Bước 3: Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN cần tìm *) Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất: +) Bước 1: Tìm BCNN số +) Bước 2: Tìm bội BCNN *) Quy đồng mẫu phân số: a c Để quy đồng mẫu phân số , ta phải tìm mẫu chung hai phân số d b Thơng thường ta chọn mẫu chung bội chung nhỏ hai mẫu DẠNG 7: HÌNH HỌC TRỰC QUAN Tam giác 1.1 Nhận biết tam giác Tam giác tam giác có ba cạnh ba góc Lưu ý: Trong hình học, cạnh (hay góc nhau) thường rõ kí hiệu Ví dụ: Trong hình bên, tam giác ABC có: Ba cạnh AB  AC  BC ; Ba góc ba đỉnh A, B, C 1.2 Vẽ tam giác Để vẽ tam tam giác ABC giác ABC có độ dài cạnh 5cm thước compa, ta làm theo bước: Bước Dùng thước vẽ đoạn thẳng AB  5cm Bước Lấy A làm tâm, dùng compa vẽ phần đường trịn có bán kính AB Bước Lấy B làm tâm, dùng compa vẽ phần đường trịn có bán kính BA ; gọi C giao điểm hai phần đường tròn vừa vẽ Bước Dùng thước vẽ đoạn thẳng AC BC Ta tam giác ABC Hình vng 2.1 Nhận biết hình vng Hình vng ABCD hình bên có: Bốn cạnh nhau: AB  BC  CD  DA ; Hai cạnh đối AB CD ; AD BC song song với nhau; Hai đường chéo nhau: AC  BD ; Bốn góc đỉnh A, B, C, D góc vng 2.2 Vẽ hình vng Ví dụ: Vẽ hình vng ABCD biết độ dài cạnh cm Bước Vẽ theo cạnh góc vng ê ke đoạn thẳng AB có độ dài 9cm Bước Đặt đỉnh góc vng ê ke trùng với điểm A cạnh ê ke nằm AB , vẽ theo cạnh ê ke đoạn thẳng AD có độ dài 9cm Bước Xoay ê ke thực tương tự Bước để cạnh BC có độ dài 9cm Bước Vẽ đoạn thẳng CD 2.3 Chu vi diện tích hình vng Cách tính chu vi diện tích hình vng có độ dài cạnh a : Chu vi hình vng: C  4a ; Diện tích hình vng: S  a.a  a Lục giác Hình ABCDEG bên lục giác đều, có đặc điểm sau: Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEG, OGA tam giác nên cạnh AB, BC, CD, DE, EG, GA có độ dài Các đường chéo AD, BE , CG cắt điếm O Các đường chéo AD, BE , CG có độ dài gấp đôi độ dài cạnh tam giác nên chúng bẳng Mỗi góc đinh A, B, C , D, E, G lục giác ABCDEG gấp đơi góc tam giác nên chúng bẳng Nhận xét: Lục giác ABCDEG có: Sáu cạnh nhau: AB  BC  CD  DE  EG  GA Ba đường chéo cắt điếm O ; Ba đường chéo nhau: AD  BE  CG ; Sáu góc đỉnh A, B, C , D, E, G Hình chữ nhật 4.1 Nhận biết hình chữ nhật Hình chữ nhật MNPQ có đặc điểm: Hai cạnh đối nhau: MN  PQ; MQ  NP; Hai cạnh đối MN PQ ; MQ NP song song với nhau; Hai đường chéo nhau: MP  NQ ; Bốn góc đỉnh M , N , P, Q góc vng 4.2 Vẽ hình chữ nhật Ví dụ: Dùng ê ke để vẽ hình chữ nhật ABCD , biết AB  8cm, AD  10cm Để vẽ hình chữ nhật ABCD , ta làm sau: Bước Vẽ theo cạnh góc vng ê ke đoạn thẳng AB có độ dài cm Bước Đặt đỉnh góc vng ê ke trùng với điểm A cạnh ê ke nằm AB , vẽ theo cạnh ê ke đoạn thẳng AD có độ dài 10cm Bước Xoay ê ke thực tương tự Bước để cạnh BC có độ dài 10cm Bước Vẽ đoạn thẳng CD 4.3 Chu vi diện tích hình chữ nhật Hình chữ nhật có độ dài hai cạnh a b : Chu vi hình chữ nhật C  2.(a  b) Diện tích hình chữ nhật S  a.b Hình thoi 5.1 Nhận biết hình thoi Hình thoi ABCD có đặc điểm: Bốn cạnh nhau: AB  BC  CD  DA ; Hai cạnh đối AB CD ; AD BC song song với nhau; Hai đường chéo AC BD vng góc với 5.2 Vẽ hình thoi Để vẽ hình thoi ABCD có AB  6cm, AC  9cm thước compa ta làm theo bước sau: Bước Dùng AC  9cm thước vẽ đoạn thẳng Bước Dùng compa vẽ phần đường trịn tâm A bán kính cm Bước Dùng compa vẽ phần đường tròn tâm C bán kính cm ; phần đường trịn cắt phần đường tròn tâm A vẽ Bước điểm B D Bước Dùng thước vẽ đoạn thẳng AB, BC, CD, DA 5.3 Chu vi diện tích hình thoi Hình thoi có độ dài cạnh a độ dài hai đường chéo m n Khi đó, ta có: Chu vi hình thoi: C  4a mn Diện tích hình thoi: S  Hình bình hành 6.1 Nhận biết hình bình hành Hình bình hành ABCD hình có đặc điểm sau: Hai cạnh đối AB CD, BC AD song song với nhau; Hai cạnh đối nhau: AB  CD; BC  AD; Hai góc đỉnh A C nhau; hai góc đỉnh B D 6.2 Vẽ hình bình hành Lời giải Với p  p   17 số nguyên tố; Với p  mà p số nguyên tố nên p số lẻ , suy p số lẻ  p  số chẵn (loại) Vậy p  Bài Hãy viết tất ước a, b, c biết rằng: b) a  7.13 b ) b  34 c) c  23.7 Lời giải a) a  7.13  Ö (a)  1; 7;13;91 b) b  34  Ö (b)  1;3;9;27;81 c) c  23.7  Ö (c)  1;2; 4; 7;8;14;28;56 Bài 5.Cho hai số 98; 350 a) Phân tích số thừa số nguyên tố b) Cho biết số có ước số c) Liệt kê tất ước số Lời giải a) 98  2.72 ; 350  2.52.7 b) Số 98 có số ước là: 1  1   1  (số) Số 350 có số ước là: 1  1   1 1  1  12 (số) c) 98  2.72  Ö (98)  1;2; 7;14;28;98 350  2.52.7  Ö (350)  1;2;5; 7;10;14;25;35;50; 70;175;350 IV MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Bài 1.Tổng ba số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố Lời giải Vì tổng ba số ngun tố 1012 số chẵn nên ba số có số chẵn Mà số nguyên tố chẵn Vậy số nguyên tố ba số nguyên tố Bài 2.Tìm số nguyên tố p , cho p  2; p  số nguyên tố Lời giải Số p có ba dạng sau: 3k;3k  1;3k  với k  N * + Với p  3k p  ( p số nguyên tố), p   5;p   số nguyên tố + Với p  3k  p  3k  chia hết cho lớn nên p  hợp số, trái với đề + Với p  3k  p   3k  chia hết cho lớn nên p  hợp số, trái với đề Vậy p  giá trị phải tìm Bài 3.Cho p số nguyên tố lớn Biết p  số nguyên tố Chứng minh p  chia hết cho Lời giải p số nguyên tố lớn nên p lẻ, p  (1) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  3k  + Với p  3k  p   3k    3k  ( loại) + Với p  3k  p   3k    3k  3 (2) Từ (1) (2) cho ta p  (đpcm) Bài 4.Chứng tỏ p số nguyên tố lớn p  số nguyên tố p  hợp số Lời giải  Vì p số nguyên tố lớn , nên p  3k  p  3k  k  *  Nếu p  3k  p    3k  1   6k  3 6k   nên p  hợp số (loại) Vậy p  3k  Khi p    3k     12k  12k   nên hợp số Bài 5.Tìm chữ số a cho số aaa tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến số n Lời giải Số số hạng dãy số tự nhiên liên tiếp từ đến n là:  n  1 n (số) Tổng dãy là:  n  1 n  aaa  n n   2.aaa  a.2.3.37  n n   a.6.37     Vì n  n  1 hai số tự nhiên liên tiếp  a.6 36  n  36 a  DẠNG 6: ƯỚC CHUNG, BỘI CHUNG I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Bài 1.Cho số sau: 0;1;3;14;7;10;12;5; 20;30;36 Tìm số: a) Là ước 10 ; b) Là ước ; c) Là bội 10 ; Lời giải: a) Các số ước 10 là: 1;10;5 10 1; 10 10; 10 b) Các số ước là: 1;3 1; c) Các số bội 10 là: 0;10; 20;30 10; 10 10; 20 10; 30 10 d) Các số bội là: 0;12;30;36 6; 12 6; 30 6; 36 d) Là bội ; Bài 2.Cho số sau: 3;8;14; 20;6; 25;32;35;51;77 Tìm số: a) Là ước 12 b) Là bội Lời giải: a) Các số ước 12 là: 1;3;6 12 1; 12 3; 12 b) Các số bội là: 14;35;77 14 7; 35 7; 77 Bài 3.Cho số sau: 13;19; 20;36;121;125; 201; 205; 206 Chỉ số thuộc tập hợp sau: b) B   a) B  3 Lời giải: b) B    20;125; 205 a) B  3  36; 201 Bài 4.a)Số 12 có ước chung 24 40 khơng? Vì sao? b)Số 124 có bội chung 4;62 31 khơng? Vì sao? Lời giải: a) Số 12 khơng ước chung 24 40 24 12 mà 40 không chia hết cho 12 b) Số 124 bội chung 4;62 31 124 4; 124 6; 124 31 Bài 5.a) Số 13 có ước chung 65;117 130 khơng? Vì sao? b) Số 88 có bội chung 22 40 khơng? Vì sao? Lời giải: a) Số 13 ước chung 65;117 130 65 13; 117 13; 130 13 b) Số 88 không bội chung 22 40 88 22 88 khơng chia hết cho 40 II MỨC ĐỘ THƠNG HIỂU Bài 1.Tìm ƯCLN : a) ¦CLN  300; 280  c) ¦CLN  24; 34; 180  b) ¦CLN 16; 80; 176 d) ¦CLN  26; 39; 91 Lời giải a)Ta có: 300 = 22.3.52 ; 280 = 23.5.7 => ¦CLN  300; 280  = 22.5 = 20 b)Ta có: 16 = 24 ; 80 = 24.5 ; 176 = 24.11 => ¦CLN 16; 80; 176  = 24 = 16 Bài 2.Tìm ƯC thơng qua ƯCLN số sau: c)Ta có: 24 = 23.3 ; 34 = 2.17 ; 180 = 22.32.5 => ¦CLN  24; 34; 180  = d)Ta có: 26 = 2.13 ; 39 = 3.13 ; 91 = 7.13 => ¦CLN  26; 39; 91 = 13 a) ¦C 16 ; 60  c) ¦C 150; 84; 30  b) ¦C  24 ; 84 d) ¦C 16; 32; 112 Lời giải a) Ta có: 16 = 24 ; 60 = 22.3.5 => ¦CLN 16 ; 60  = 22 = => ¦C 16 ; 60  = ¦   = 1; 2;  b)Ta có: 150 = 2.3.52 ; 84 = 22.3.7; 30 = 2.3.5 => ¦CLN 150 ; 84 ; 30  = = => ¦C 150 ; 84 ; 30  =¦   = 1; 2; 3; 6 Bài 3.Tìm BCNN của: c)Ta có: 24 = 23.3 ; 84 = 22.3.7 => ¦CLN  24 ; 84  = 22.3 = 12 => ¦C  24 ; 84  =¦ 12  =  1; 2; 3; 4; 6; 12 d)Ta có: 16 = 24 ; 32 = 25 ; 112 = 24 => ¦CLN 16 ; 32 ; 112  = 24 = 16 => ¦C 16 ; 32 ; 112  =¦ 16  = 1; 2; 4; 8; 16 a) BCNN  8; 10; 20  c) BCNN  56; 70; 126  b) BCNN 16; 24  d) BCNN  28; 20; 30  Lời giải a)Ta có: = 23 ; 10 = 2.5; 20 = 22 c)Ta có: 16 = 24 ; 24 = 23.3 ; =>BCNN 8 ; 10 ; 20  = 23.5 = 40 => BCNN 16 ; 24  = 24.3 = 48 b)Ta có: 56 = 23.7; 70 = 2.5.7 ; 126 = 32 d)Ta có: 28 = 22.7 ; 20 = 22.5 ; 30 = 2.3.5 => BCNN  56 ; 70 ; 126  = 23.32.5.7 = 2520 => BCNN  28 ; 20 ; 30  = 22.3.5.7 = 420 Bài 4.Tìm bội chung thông qua BCNN số sau: a) BC 13; 15 c) BC  30; 105  b) BC 10; 12; 15 d) BC  84; 108 Lời giải a)Ta có: 13 = 13 ; 15 = 3.5 c)Ta có: 30 = 2.3.5 ; 105 = 3.5.7 => BCNNN 13 ; 15  = 3.5.13 = 195 => BCNNN  30 ; 105 = 2.3.5.7 = 210 => BC 13 ; 15 = B 195  = 0; 195; 390; 585;  b)Ta có: 10 = 2.5 ; 12 = 22.3; 15 = 3.5 =>BCNNN 10 ; 12 ; 15 = 22 = 60 => BC  30 ; 105 = B  210  = 0; 210; 420; … d)Ta có: 84 = 22.3.7; 108 = 22.33 => BCNNN 84 ; 108  = 22.33.7 = 756 => BC 10 ; 12 ; 15 = B  60  = 0; 60; 120; 180;  => BC 84 ; 108 = B  756  = 0; 756; 1512;… Bài 5.Học sinh lớp 6A xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng hàng vừa đủ Biết số học sinh lớp 6A từ 38 đến 60 em Tính số học sinh lớp 6A Lời giải Gọi số học sinh lớp 6A x (học sinh) (điều kiện x  ; 38  x  60 ) Theo ta có: x ; x ; x x  x  BC(2;3; 4;8) Lại có: = ; = 3; = 22 ; = 23  BCNN(2;3; 4;8) = 23.3 = 24  BC(2;3; 4;8) = B(24) = 0; 24; 48;72;   x  0; 24; 48;72;  Mà x  38  x  60  x = 48 Vậy lớp 6A có 48 học sinh III MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Bài Tính số học sinh khối trường biết xếp hàng 3,4,5 thiếu học sinh Nếu xếp hàng vừa đủ Tính số học sinh khối biết số học sinh 350 Lời giải Gọi số học sinh cần tìm a (học sinh), a  * , a  350 Vì xếp hàng 3, 4,5 thiếu học sinh nên a  bội chung 3, 4,5 Do a  1 BC  3, 4,5 Ta có:  3;  22 ;5  ;  BCNN  3, 4,5  22.3.5  60 a  1 BC  3, 4,5  B  60   0;60;120;180; 240;300;360;   a  59;119;179; 239; 299;359;  Mà a  350 nên a  59;119;179; 239 Mặt khác xếp hàng em vừa đủ nên a Ta tìm a  119 Vậy học sinh khối trường có 119 học sinh Bài Người ta muốn chia 136 vở, 170 thước kẻ 255 nhãn thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng, phần thưởng có vở, thước kẻ, nhãn ? Lời giải Gọi số phần thưởng chia là: x (phần thưởng), x  * Theo ta có: 136 x; 170 x; 255 x x lớn Suy x ƯCLN 136,170, 255  136  23.17; 170  2.5.17; 255  3.5.17 ƯCLN 136,170, 255   17  x  17 Vậy chia nhiều 17 phần thưởng Mỗi phần thưởng có số là: 136 :17  (quyển vở) Mỗi phần thưởng có số thước kẻ là: 170 :17  10 (thước kẻ) Mỗi phần thưởng có số nhãn là: 255 :17  15 (nhãn vở) Bài Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài180m, chiều rộng 150 m Người ta muốn trồng xung quanh vườn cho góc vườn có khoảng cách hai liên tiếp Tính khoảng cách lớn liên tiếp, tổng số trồng bao nhiêu? (khoảng cách hai số tự nhiên đơn vị tính m) Lời giải Gọi khoảng cách hai liên tiếp x (m), x  * Theo ta có: 180 x,150 x x lớn Suy x ƯCLN (180,50) 180  22.32.5 , 150  2.3.52 ƯCLN 180,150   2.3.5  30  x  30 Vậy khoảng cách lớn liên tiếp 30 (m) Khi tổng số trồng : 180  150  : 30  22 (cây) Bài 4.Học sinh khối có 195 nam 117 nữ tham gia lao động Thầy phụ trách muốn chia thành tổ cho số nam nữ tổ Hỏi chia nhiều tổ? Mỗi tổcó nam, nữ ? Lời giải Gọi số tổ chia là: x (tổ), x  * Theo ta có: 195 x; 117 x x lớn Suy x ƯCLN 195,117  195  3.5.13; 117  32.13 ƯCLN 195,117   3.13  39  x  39 Vậy chia nhiều 39 tổ Mỗi tổ có số bạn nam là: 195: 39  (bạn) Mỗi tổ có số bạn nữ là: 117 : 39  (bạn) Bài Số học sinh trường tổ chức để thăm quan xếp hàng 18, 24, 30 thừa học sinh Tính số học sinh trường đó, biết số học sinh nằm khoảng từ 1000 đến 1200 học sinh Lời giải Gọi số học sinh trường x (học sinh), x  * , 1000  x  1200 Vì xếp hàng 18, 24, 30 thừa học sinh nên x  chia hết cho 18, 24 30 Suy x   BC (18, 24,30) Ta có: 18  2.32 ; 24  23.3 ; 30  2.3.5  BCNN (18, 24,30)  23.32.5  360  BC (18, 24,30)  B  360   0;360;720;1080;1440;  Vì số học sinh nằm khoảng từ 1000 đến 1200 học sinh nên 994  x   1194  x   1080  x  1080   1086 Vậy trường có 1086 học sinh IV MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Bài Chứng minh cặp sau nguyên tố nhau, với số tự nhiên n : 1) n  n  2) 2n  3n  Lời giải 1) Gọi d ước chung n  n   n  d n  d   n     n  6 d 1 d  d  Vậy n  n  hai số nguyên tố 2) 2n  3n  Gọi d ước chung 2n  3n   2n  d 3n  d   2n   d  3n   d   2n     3n   d  6n  15  6n  14 d 1 d  d  Vậy 2n  3n  hai số nguyên tố Bài Chứng minh số  20212  22021  số 2021 hai số nguyên tố Lời giải Gọi d ước chung lớn hai số 20212  22021 số 2021 Suy 2021 chia hết cho d  20212  22021  chia hết cho d Mà 20212 chia hết cho d suy 22021 chia hết cho d Mà 2021 nguyên tố nên d  Vậy số  20212  22021  số 2021 hai số nguyên tố Bài Tìm tất số a, b  N (a  b) biết a  b  16 Ư CLN (a, b)  Lời giải Vì ƯCLN  a, b   nên a  4k , b  4m k , m  Theo ta có a  b  16  4k  4m  16  k  m  * ƯCLN  k , m   Vì a  b nên k  m k , m  *  k  3, m   a  12 b  Vậy a  12, b  Bài 4.Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho dư , a chia cho dư , a chia cho dư ,a chia cho dư Lời giải Vì a chia cho dư nên a  chia hết cho hay a  11 chia hết cho a chia cho dư nên a  chia hết cho hay a    a  11 chia hết cho a chia cho dư nên a  chia hết cho hay a   10  a  11 chia hết cho a chia cho dư nên a  chia hết cho hay a   11  a  11 chia hết cho Suy a  11 chia hết cho 2;3;5;7 a số nhỏ nên a  11 số nhỏ Do đó, a  11  BCNN  2;3;5;7  Mà 2;3;5;7 đôi nguyên tố Do a  11  2.3.5.7  210 Vậy a  199 Bài Tìm chữ số a; b  * biết a.b  2400 BCNN( a;b)  120 Lời giải a.b  2400 BCNN( a; b) 120 Do BCNN( a; b) 120 nên a 120 : x b 120 : y Mặt khác có: a.b  2400 nên 120 : x 120 : y 2400 120.120 2400 xy Do đó: x y Suy a 120 60 20 40 120 20 60 40 b 120; 20 ; 60; 40 ;(40; 60); 20;120 Vậy cặp số cần tìm a; b Bài Tìm chữ số a; b  * biết 1) a.b  96 ¦CLN  a, b   2) ¦CLN  a, b   15 BCNN(a; b)  1260 Lời giải 1) a.b  96 ¦CLN  a, b   ¦CLN  a, b   nên a 2m; b 2n m; n Ta có: a.b  96  2m.2n  96  m.n  24 Do đó: m n 24 12 Suy a 24 12 48 16 b 12 24 12 16 24 48 2) ¦CLN  a, b   15 BCNN(a; b)  1260 ¦CLN  a, b  BCNN(a, b) nên a.b Do ¦CLN  a, b   15 nên a Mặt khác a.b 18900 15.1260 15m; b 15m.15n 18900 15n m; n 18900 84 m.n Do đó: m n 84 42 28 21 14 12 Suy a 15 1260 b 30 630 45 420 60 315 90 210 105 180 12 180 105 28 42 21 84 630 30 315 60 1260 15 420 45 DẠNG 7: HÌNH HỌC TRỰC QUAN I – MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Bài Trong hình sau, hình hình bình hành? Lời giải Quan sát hình cho ta thấy hình a hình d có hai cặp cạnh đối diện song song nên hình hình bình hành Bài Cho hình MNPQ Hãy đo cách xác hình cho cho biết hình MNPQ loại hình em học Hình MNPQ hình bình hành MN  PQ MN song song PQ Bài 3: Cho hình sau đây: (1) Đoạn thẳng AB (2) Tam giác ABC (3) Hình trịn tâm O (4) Hình thang cân ABCD (có đáy lớn CD ) (5) Hình thoi ABCD Trong hình nói trên: a) Hình có trục đối xứng? Chỉ trục đối xứng hình b) Hình có tâm đối xứng? Chỉ tâm đối xứng hình Lời giải a) Trong hình trên, hình có trục đối xứng là: - (1) Đoạn thẳng AB : Trục đối xứng đường thẳng qua vng góc với trung điểm - (2) Tam giác ABC : Trục đối xứng đường thẳng qua trọng tâm - (3) Hình tròn tâm O : Trục đối xứng đường thẳng qua tâm O - (4) Hình thang cân ABCD (có đáy lớn CD ): Trục đối xứng đường thẳng qua vng góc với trung điếm hai cạnh đáy b) Hình có tâm đối xứng là: - (1) Đoạn thắng AB : Tâm đối xứng trung điểm đoạn thẳng - (2) Tam giác ABC : Tâm đối xứng trọng tâm tam giác - (3) Hình trịn tâm O : Tâm đối xứng điểm O - (5) Hình thoi ABCD : Tâm đối xứng giao điếm hai đường chéo Bài 4: a) Câu nói “Hình chữ nhật hình bình hành đặc biệt có góc vng” hay sai ? b) Câu nói “Hình thoi hình bình hành đặc biệt có cạnh ” hay sai? Lời giải a) Hình chữ nhật có hai chiều dài song song với nhau, hai chiều rộng song song với (và có góc vng) nên câu a b) Hình thoi có hai cặp cạnh đối song song có cạnh nên câu b Bài 5: Cho tứ giác ABCD , dùng thước để đo cạnh, dùng êke đo góc để xác định xem câu sau câu : a) Tứ giác ABCD hình vng b) Tứ giác ABCD hình thoi c) Tứ giác ABCD vừa hình vng vừa hình thoi Lời giải a) Câu a hình ABCD có cạnh có góc vng b) Câu b hình ABCD có cạnh lại có hai đường chéo vng góc với cắt trung điểm đường c) Từ câu a câu b, suy câu c Bài 6: Tính diện tích hình bình hành có độ dài đáy 25dm chiều cao 18dm Lời giải Diện tích hình bình hành là: 25 18  450  dm  Đáp số: 450dm2 Bài 7: Tính diện tích hình thang có đáy lớn m , đáy bé 75dm , chiều cao 32dm Lời giải Đổi m  80dm Diện tích hình thang là: (80  75)  32 :  2480  dm  Đáp số: 2480dm2 Bài 8: Tính diện tích hình thoi có độ dài hai đường chéo lẩn lượt cm,10 cm Lời giải Diện tích hình thoi S  d1.d 2 Trong d1 d độ dài hai đường chéo Khi đó, diện tích hình thoi S  8.10 = 40(cm) Bài 9: Tính chu vi diện tích hình chữ nhật có chiều dài cm , chiều rộng cm Lời giải Chu vi hình chữ nhật là: C  2.(8  6)  28( cm) Diện tích hình chữ nhật là: S  8.6  48(m2 ) Bài 10: Một hình bình hành có diện tích 1855 cm2 độ dài cạnh đáy 53dm Tính chiều cao tương ứng với cạnh đáy Lời giải Chiều cao hình bình hành là: 1855 : 53  35(dm) Đáp số: 35dm II – MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Bài 1: Chu vi hình chữ nhật 56 m , chiều dài 18 m Tính diện tích hình chữ nhật Lời giải Nửa chu vi hình chữ nhật : 56 :  28  m  Chiều rộng hình chữ nhật : 28 –18  10  m²  Diện tích hình chữ nhật : 18.10  180  m²  Bài 2: Cho hình vẽ: Hãy so sánh diện tích tứ giác ABCD, BEGC ABGC với Lời giải Các hình ABCD, BEGC, ABGC hình bình hành cặp cạnh đối AB, DC, CG, BE song song với 10 ô  có chiều cao nên diện tích chúng : 10.5  50 (ô vuông) Vậy S ABCD  S BEGC  S ABGC  50 ô vuông Bài 3: Để ốp thêm mảng tường, người ta dùng viên gạch men hình vng, viên gạch hình vng cạnh 1dm Hỏi diện tích mảng tường ốp thêm xăng ti mét vuông? Lời giải Đổi 1dm  10 cm Diện tích viên gạch men hình vuông là: 10 10  100  cm  Diện tích mảng tường ốp thêm là:  100   800 cm  Đáp số: 800 cm2 Bài 4: Tuấn tính chu vi hình vng có số đo cạnh số tự nhiên chu vi 114cm Hỏi Tuấn tính hay sai ? Lời giải Cạnh hình vng chu vi chia cho Mà 114 :  28 dư (không phải số tự nhiên) Vậy Tuấn tính sai Bài 5: Mai có mười mẩu que dài :1cm, cm,3 cm, cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm,9 cm, 10cm Mai muốn dùng mười mẩu que để xếp thành hình thoi mà khơng bỏ cắt bớt mẩu que Hỏi Mai có thực khơng? Tại sao? Lời giải Tổng số đo 10 mẩu que :          10  55( cm) Vậy xếp chu vi hình thoi 55 cm Hình thoi có bốn cạnh nên cạnh hình thoi : 55:  13 dư Vậy cạnh hình thoi khơng phải số tự nhiên nên khơng thể xếp Trả lời: Không thể xếp III – MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Bài 1: Có mảnh đất hình bình hành cạnh đáy 25m Nếu người ta mở rộng cạnh đáy mảnh đất thêm 3m diện tích mảnh đất tăng thêm 51m2 Tính diện tích mảnh đất Lời giải Chiều cao hình bình hành ứng với canh đáy dài 25m là: 51:  17  m  Diện tích mảnh đất hình bình hành: 25 17  425  m  Đáp số: 425 m2 Bài 2: Cho hình vẽ sau: Biết hình bình hành ABCD có AB  35 cm BC  30 cm , đường cao AH  42 cm Tính độ dài đường cao AK tương ứng với cạnh BC Lời giải Vì ABCD hình bình hành nên AB  CD  35 cm Diện tích hình bình hành là: 35  42  1470  cm  Độ dài đường cao AK là: 1470 : 30  49( cm) Đáp số: 49 cm Bài 3: Có miếng đất hình thoi cạnh 28 m , người ta rào xung quanh miếng đất đường dây chì gai Hỏi phải dùng tất mét dây chì gai? Lời giải Chu vi miếng đất hình thoi: 28   112( m) Số mét dây chì gai phải sử dụng đế rào miếng đất là: 112   448( m) Đáp số: 448 m Bài 4: Bác Ba có hai miếng đất, miếng đất thứ hình thoi có độ dài hai đường chéo 18 m 42 m , miếng đất thứ hai hình chữ nhật có chiều rộng 18 m chiều dài 42 m Hãy tìm tỉ số diện tích miếng đất hình chữ nhật diện tích miếng đất hình thoi Lời giải Diện tích miếng đất hình thoi bằng: 18  42  378  m  Diện tích miếng đất hình chữ nhật bằng: 18  42  756  m  Tỉ số diện tích miếng đất hình chữ nhật diện tích miếng đất hình thoi là: 756 756 : 378 756 : 378    2 378 378 : 378 Vậy diện tích miếng đất hình chữ nhật gấp đơi diện tích miếng đất hình thoi Bài 5: Một ruộng hình thang có diện tích 361,8 m2 Đáy lớn đáy nhỏ 13,5 m Hãy tính độ dài đáy, biết tăng đáy lớn thêm 5, m diện tích ruộng tăng thêm 3, m Lời giải Chiều cao hình thang là: 33, 6.2 : 5,  12  m  Tổng hai đáy hình thang là: 361,8.2  60,3  m  12 Đáy nhỏ hình thang là:  60,3  13,5 :  23,  m  Đáy lớn hình thang là: 23,  13,5  36,9  m  Đáp số: đáy lớn 36,9m ; đáy nhỏ 23, 4m IV MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Bài 1: Cho hình Hãy chứng tỏ : Diện tích tứ giác MBND (tính theo vng) tổng diện tích hai phần hình đậm Lời giải Tổng diện tích hai phần kẻ chéo bẳng diện tích hình thoi ABCD trừ diện tích hình thoi MBND Diện tích hình thoi ABCD là: 12 :  48 (ô vuông) Diện tích hình thoi MBND là:  :  24 (ơ vng) Tổng diện tích hai phần kẻ chéo 48  24  24 (ô vuông) Vậy, tổng diện tích hai phần kẻ chéo diện tích hình thoi MBND Bài 2: Hai vườn hình vng có chu vi gấp ba lần trồng thứ nông sản, mức thu hoạch diện tích mét vng Thửa lớn thu hoạch nhiều nhỏ 320kg nông sản Hỏi vườn thu hoạch kilôgam nông sản ? Lời giải Hai vườn hình vng có chu vi gấp ba lần số đo cạnh chúng gấp ba lần Do đó, diện tích chúng gấp số lần :  (lần) 320 kg số lần thu hoạch vườn bé –1  (lần) Thửa vườn bé thu hoạch : 320 :8  40 (kg) Thửa vườn lớn thu hoạch : 320  40  360 (kg) Đáp số : 40kg ;360 kg Bài 3: Trên đất hình vng người ta đào ao hình vuông Cạnh ao song song với cạnh đất cách cạnh đất Phần đất lại làm bờ ao có diện tích 176m2 Chu vi đất chu vi ao 16m Tính diện tích ao Lời giải Ta giả sử ao đào vào góc đất Ta cắt hình ghép với hình thành hình chữ nhật ghép có chiều rộng hiệu cạnh đất cạnh ao, chiều dài hình ghép tổng cạnh đất với cạnh ao Cạnh ao cạnh đất là: 16 :   m  Tổng chiều dài cạnh ao cạnh đất là: 176 :  44  m  Cạnh ao là:  44 –  :  20  m  Diện tích ao là: 20.20  400  m2  Đáp số: 400 m2 Bài 4: Trên đất hình chữ nhật có chiều rộng 10m , dài 17 m dùng để ươm giống Người ta chia làm luống dài, rộng Xung quanh luống có lối rộng 1m Tính diện tích lôi xung quanh luông Biết chiều rộng có luống, chiều dài có luống Lời giải Theo đề bài, ta có hình a Giả thử ta “khiêng” luông đặt vào góc đất hình 32 b chiều dài diện tích ươm : 17  1  14( m) Chiều rộng đất ươm : 1  6( m) Diện tích đất ươm : 14   84  m  Diện tích đất : 10 17  170  m  Diện tích lối : 170  84  86  m  Bài 5: Một đất hình chữ nhật có chu vi 240m Người ta giảm chiều dài 4m , tăng chiều rộng 4m để đất thành hình vng a) So sánh chu vi với ban đầu b) So sánh diện tích với ban đầu Lời giải Khi giảm chiều dài 4m , tăng chiều rộng 4m nửa chu vi không thay đổi chu vi không thay đổi nên 240m Vậy, chu vi chu vi ban đầu Cạnh hình vuông : 240 :  60  m  Diện tích hình vng : 60  3600 (m2 ) Chiều dài ban đầu : 60   64  m  Chiều rộng ban đầu : 60 – = 56 (m) Diện tích ban đầu : 64.56  3584 (m2 ) Diện tích diện tích ban đầu : 3600 – 3584  16(m2 ) Đáp số: a) Chu vi b) Diện tích diện tích ban đầu 16m2