Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)

Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)

CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT I)Cơng thức cộng xác suất 1)Công thức cộng 1: Nếu A1, A2, …An xung khắc đơi P(A1 +A2 +…+An) = P(A1 )+P(A2 )+…+P(An) 2)Cơng thức cộng xác suất • Nếu A, B biến cố P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) • Nếu A, B,C biến cố P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) • -P(AC)-P(BC)+P(ABC) VD1 Trong bình có 10 cầu gồm cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ bình cầu Tính xác suất để có cầu đỏ cầu lấy Giải : A1:biến cố lấy cầu đỏ(và cầu màu đỏ) A2:biến cố lấy cầu đỏ(và cầu màu đỏ)  A1.A2= A2 +A2 biến cố lấy cầu đỏ  P(A1+A2 ) = P(A1) + P(A2)= ½+ 3/10=0,8 ? VD2 Một chuồng gà co 10 có gà trống Chọn ngẫu nhiên gà chuồng Tính xác suất để gà có nhiều gà trống Giải: Gọi Ai biến cố có i gà trống (i= 0,1,2) A biến cố gà co nhiều gà trống  A = A0+A1+A2 A0, A1, A2 đôi xung khắc, nên:  P(A) = P(A0)+ P(A1)+ P(A2) 2 C C C C C 15 29 6 C6 =       C10 C10 C10 30 30 30 30 Ví dụ Có người vào quầy hàng, tính xác suất quầy khơng có người vào quầy khơng có người vào Giải Gọi A1,A2 biến cố quầy 1, quầy khơng có người vào • A1 +A2 biến cố quầy khơng có người quầy khơng có người vào • A1 A2 biến cố quầy khơng có người quầy khơng có người vào; P(A1 A2 )= • Vì A1 ,A2 khơng xung khắc nên • P(A1 +A2)=P(A1 )+ P(A2 )-P(A1 A2 )= 3 + 3 - • Vd Xếp người vào bàn dài có chỗ ngồi, tính xác suất chỗ khơng có người ngồi hay chỗ khơng có người ngồi Giải • Gọi A1, A2 biến cố chỗ 1, chỗ khơng có người vào • Vì A1 ,A2 xung khắc nên A33 A33 • P(A1+A2)=P(A1 )+P(A2 )= A3  A3 = 6/24 +6/24=1/2 4 • Một hộp gồ bóng xanh đánh số từ đến bóng đỏ đánh số từ đến 3.Lấy ngẫu nhiên từ hộp • Tính xác suất bóng xanh đánh số chẵn • Giải • Gọi A biến cố bóng xanh • Gọi B biến cố bóng đánh số chẵn • A.B biến cố xanh đánh số chẵn • Vì A, B khơng xung khắc nên • P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) = 5/8 +3/8 -2/8 • Ví dụ: Một lớp học co 100 học sinh, đó: co 40 em giỏi tốn, 50 em giỏi ngoại ngữ 30 em giỏi mơn tốn ngoại ngữ Giả sử giỏi mơn thưởng Gọi tên ngẫu nhiên em, tính xác suất để em thưởng Giải : Gọi A biến cố em gọi tên học sinh giỏi toán Gọi B biến cố em gọi tên học sinh giỏi ngoại ngữ A.B biến cố em gọi tên học sinh giỏi toán ngoại ngữ A + B biến cố em gọi tên thưởng •  P(A + B ) = P(A) + P(B)  P(A.B)=? II) Công thức nhân xác suất 1)Xác suất có điều kiện Xác suất biến cố A tính trường hợp biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A với điều kiện B xảy Ký hiệu P(A|B) Ví dụ • Tung xúc xắc • A) tính xác suất nút • B) Tính xác suất nút 1, biết nút chẵn • C) Tính xác suất nút chia hếtcho biết nút chẵn • D.)Tính xác suất nút chẵn biết nút chia hết cho • Gọi A biến cố sản phẩm lấy từ lơ tốt P(A) =4/10=0,1 • Gọi B biến cố sản phẩm lấy từ lô tốt P(B)=3/10=0,3 • Gọi C biến cố sản phẩm lấy từ lô tốt P ( C )=2/10=0,2 • A) Gọi D biến cố sản phẩm tốt • P(D)=P(A).P(B).P(C) = 0,1.0,3.0,2=0,006 • B) Gọi E biến cố sản phẩm tốt    P ( E )  P ( A).P(B).P(C )  P( A).P( B).P(C)  P( A).P( B) P(C ) • C) Gọi D biến cố F sản phẩm tốt Cơng thức nhân xác suất • Nếu A, B P(A.B)=P(A).P(B|A)=P(B)P(A|B) • Nếu A1 , A2 ,… ,An biến cố • P(A1 A2 ……An )=P(A1 ).P(A2 |A1 ).P(A3 |A1 A2 )….P(An |A1 A2 ….An-1) • Trong kỳ thi, bạn phải thi mơn Giả sử bạn có hy vọng 70% đạt môn thứ Nếu đạt môn thứ hy vọng 60% bạn đạt mơn thứ hai Nếu khơng đạt mơn thứ hy vọng bạn đạt mơn thứ hai cịn 40% Hãy tính xác suất để bạn: • Đạt u cầu hai mơn thi • Khơng đạt u cầu hai mơn thi • Trong kỳ thi, bạn phải thi mơn Giả sử bạn có hy vọng 70% đạt mơn thứ Nếu đạt mơn thứ hy vọng 60% bạn đạt môn thứ hai Nếu không đạt môn thứ hy vọng bạn đạt mơn thứ hai cịn 40% Hãy tính xác suất để bạn: a)Đạt yêu cầu hai môn thi b) đạt yêu cầu môn thi c)Đạt yêu cầu môn thi thứ • Giải Gọi Ai biến cố đạt môn thi thứ i (i=1, 2) theo đề bài: • Gọi Ai biến cố đạt môn thi thứ i (i=1, 2) theo đề bài: • P(A1 )=0,7;P(A2|A1 )=0,6 • • a) A1A2 biến cố bạn đạt yêu cầu hai môn thi • P(A1A2 )=P(A1 ).P(A2|A1 )=0,7.0,6=0,42 • b)Gọi A biến cố bạn Đạt mơn mơn thi • P ( A)  P ( A A )  P ( A A ) 2  P ( A1 ) P ( A2 A1 )  P ( A1 ) P ( A2 A1 ) • C) P ( A2 )  P ( A1 A2 )  P ( A1 A2 )  P ( A1 ) P ( A2 A1 )  P ( A1 ) P ( A2 A1 ) • VD Một xạ thủ bắn phát • Xác suất trúng phát thứ 0,2 Nếu trúng phát thứ xác suất trúng phát thứ 0,7; khơng trúng phát thứ khả trúng phát thứ 0,6 • A)Tính xác suất trúng phát • B)Tính xs trúng phát • C)Tính xs trúng phát III)Cơng thức xác suất tồn phần, Cơng thức Bayes • 1)Nhóm biến cố đầy đủ • Nhóm biến cố A1,A2,…An gọi đầy đủ  A1  A2  An     Ai Aj   1  i  j  n • • (Xung khắc đôi, P(A1)+P(A2)+….+P(An)= • 2)Cơng thức xác suất tồn phần • Cho A1,A2,…An nhóm bc đầy đủ A biến cố phụ thuộc vào nhóm đầy đủ Khi • • 1 2 n n P( A)  P( A ).P( A A )  P( A ).P( A A )   P( A ).P( A A ) 3)Cơng thức Bayes • Cho A1 , A2 , ….,An nhóm biến cố đầy đủ A biến cố phụ thuộc vào nhóm đầy đủ • Giả sử A xảy Khi : P( Aj A)  P( Aj ).P( A Aj ) P( A) ; j  1, 2, , n • VD1Hộp có chai thuốc có chai tốt, chai phẩm chất • Hộp có chai thuốc có chai tốt, chai phẩm chất • Chọn ngẫu nhiên hộp lấy chai • A)Tính xác suất chai thuốc tốt • B)Biết chai tốt, tính xác suất hộp chọn • A)Gọi A1 bc hộp chọn P(A1 )=1/2 • -A2 - P(A2 )=1/2 • A bc chai tốt; P(A|A1 )=4/7; P(A|A2 )=5/7 • P(A)=P(A1).P(A|A1)+P(A2)P(A|A2)=1/2X4/7+1/2 5/7 =9/14 • B) 14 P( A1 ).P( A | A1 ) P( A1 | A)     44, 44% 9 P( A) 14 • VD2 Có lơ hàng • Lơ có 10 sản phẩm, có tốt, xấu • Lơ có 10 sản phẩm có tốt, xấu • Lơ có 10 sản phẩm có tốt, xấu • Chọn ngẫu nhiên lơ hàng, từ lơ hàng lấy sản phẩm • A) Tính xác suất sản phẩm tốt • B)Tính xác suất sản phẩm tốt, sản phẩm xấu • C)Tính xác suất sản phẩm tốt, sản phẩm xấu • D)Tính xác suất sản phẩm xấu • VD3 Một lơ hạt giống có loại : loại I chiếm 2/3 số hạt lơ, loại II chiếm 1/4, cịn lại loại III Loại I có tỉ lệ nẩy mầm 80% , loại II 60% , loại III 40% Lấy ngẫu nhiên từ lơ hạt giống,tính xác suất để hạt nẩy mầm • A1 : biến cố hạt giống lấy loại I ; P(A1) = 2/3 • A2 : biến cố hạt giống lấy loại II ; P(A2) = 1/4 • A3 : biến cố hạt giống lấy loại III ; •  P(A3) = 2/3 1/4 = 1/12 • A : biến cố hạt giống lấy nẩy mầm • P(A)=P(A1)P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3 )P(A/A3 ) • = 2/3 x 0,8 + 1/4 x 0,6 + 1/12 x 0,4 = 0,7166 • VD4 Một sách gồm 500 trang có 450 trang đánh số trang, trang cịn lại khơng đánh số trang(đánh sót) Tỷ lệ bị lỗi trang có đánh số trang 4%, tỷ lệ bị lỗi trang không đánh số trang 10%.Chọn ngẫu nhiên trang sách từ sách a) Tính xác suất gặp trang bị lỗi b) Biết gặp trang sách bị lỗi, tính xác suất trang sách khơng đánh số trang • VD Một trung tâm Tai – Mũi – Họng có tỉ lệ bệnh nhân Tai – Mũi – Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bệnh nhân nặng cần phải mổ bệnh nhân Tai- Mũi- Họng tương ứng 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên bệnh nhân từ trung tâm bệnh nhân nặng cần phải mổ, xác suất để bệnh nhân bị bệnh Họng là: • A 0, 021 B.0,381 C 0,1190 D.0,5 • VD6 Sản phẩm xn máy sản xuất số sản phẩm máy gấp số sản phẩm máy Tỷ lệ phế phẩm máy 5% 8%.Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ xí nghiệp thấy sản phẩm tốt, tính xác suất sản phẩm máy sản xuất