Thuật toán chiếu xuay vòng giải bài toán chấp nhận tách với đa tập đầu ra trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ THU THUẬT TOÁN CHIẾU XUAY VỊNG GIẢI BÀI TỐN CHẤP NHẬN TÁCH VỚI ĐA TẬP ĐẦU RA TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUN - 2022 ✐✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ữợ sỹ ữợ rữỡ P ỗ rữớ ổ tọ ỏ t ỡ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❚❙✳ ❚r÷ì♥❣ ▼✐♥❤ ❚✉②➯♥ ✈➔ P ỗ rữớ t t t ữợ ❞➝♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ tæ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✕❚✐♥ ❝ị♥❣ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝ỉ ❣✐→♦ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❧ỵ♣ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✹❆✶✸✱ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tèt ♥❤➜t ✈➔ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ự t rữớ ử ởt số ỵ ✈➔ ✈✐➳t t➢t ✐✈ ▼ð ✤➛✉ ✶ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✸ ✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ r ởt số ợ ỗ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥ ✶✳✷✳✷ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✸ ▼ët sè ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ ❇r❡❣♠❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ①↕ ❇r❡❣♠❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ▼ët sè t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ ①♦❛② ✈á♥❣ ✷✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t➟♣ ✤➛✉ r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t➟♣ ✤➛✉ r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ❝❤♦ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ❝❤♦ ❧ỵ♣ t♦→♥ tû ❇r❡❣♠❛♥ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥❣÷đ❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✸✳✹ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✹ ❱➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✽ ✸✻ ✹✵ ✹✵ ✹✶ ✹✸ ✹✹ ✹✺ ❑➳t ❧✉➟♥ ✹✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✽ ởt số ỵ t tt X ổ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X∗ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ X R t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ R+ t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ∩ ♣❤➨♣ ❣✐❛♦ int M ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t ủ M inf M ữợ ú t ❤đ♣ sè M sup M ❝➟♥ tr➯♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤đ♣ sè M max M sè ❧ỵ♥ ♥❤➜t tr♦♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ sè M M sè ♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ sè M ❛r❣♠✐♥x∈X F (x) t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ F tr➯♥ X ∅ t➟♣ ré♥❣ dom(A) ♠✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ t♦→♥ tû ✭❤➔♠ sè✮ A R(A) ♠✐➲♥ ↔♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû A A−1 t♦→♥ tû ♥❣÷đ❝ t tỷ A I t tỷ ỗ t lim sup xn ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❞➣② sè {xn } lim inf xn ợ ữợ số {xn } xn → x0 ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ x0 n→∞ n→∞ x n ⇀ x0 ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ x0 ✈ F (T ) t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T Fb(T ) t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T f ữợ ỗ f f rt ❝õ❛ ❤➔♠ f M ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ M projfC ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥ ❧➯♥ C Df (x, y) ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥ tø x ✤➳♥ y NC (x) ♥â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ C t↕✐ x A: X⇒Y ❚♦→♥ tû ✤❛ trà A tø X ✈➔♦ Y ✶ ▼ð ✤➛✉ ❈❤♦ C Q t ỗ õ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H1 ✈➔ H2 ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❈❤♦ T : H1 −→ H2 ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✭❙❋P✮ ❝â ❞↕♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû x† ∈ C s❛♦ ❝❤♦ T x† ∈ Q ✭✵✳✶✮ ❉↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✵✳✶✮ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✵✳✷✮✱ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤♦ Ci ✱ i = 1, 2, , N ✈➔ Qj ✱ j = 1, 2, , M ❧➔ ❝→❝ t ỗ õ H1 H2 tữỡ ù♥❣✳ −1 ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû x† ∈ S = ∩N (∩M i=1 Ci ∩ T j=1 Qj ) ̸= ∅ ✭✵✳✷✮ ▼æ ❤➻♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❙❋P✮ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ữủ ợ t ự sr ❚✳ ❊❧❢✈✐♥❣ ❬✶✸❪ ❝❤♦ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷đ❝✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ✐ ♣❤ư❝ ❤➻♥❤ ↔♥❤ tr♦♥❣ ❨ ❤å❝✱ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝÷í♥❣ ✤ë ①↕ trà tr♦♥❣ ✤✐➲✉ trà ❜➺♥❤ ✉♥❣ t❤÷✱ ❦❤ỉ✐ ♣❤ư❝ t➼♥ ❤✐➺✉ ✭①❡♠ ❬✽❪✱ ❬✾❪✮ ❤❛② ❝â t❤➸ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t ỵ tt trỏ ỡ t r C = F (PC )✕t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø H1 ❧➯♥ C ✳ ❉♦ ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✭✵✳✶✮ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t→❝❤✳ ❉↕♥❣ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤♦ SiH1 : H1 −→ H1 ✱ i = 1, 2, , N ✈➔ SjH2 : H2 −→ H2 ✱ j = 1, 2, , M ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ tr➯♥ H1 ✈➔ H2 ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳
H2 H1 M −1 ∩ F (S ) ̸ ∅ = ) ∩ T ❚➻♠ ♣❤➛♥ tû x∗ ∈ S = ∩N F (S j=1 i=1 i i ✭✵✳✸✮ ◆➠♠ ✷✵✷✵✱ ❘❡✐❝❤ ✈➔ ❚✉②❡♥ ❬✷✽❪ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠æ ❤➻♥❤ s❛✉✿ ❈❤♦ X, X1 , X2 , , XN ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❤❛② ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❝❤♦ Ti : X −→ Xi ✱ i = 1, 2, , N ✱ ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tø X ✈➔♦ Xi ✳ ●✐↔ sû (P )✱ (Pi )✱ ❧➔ ❝→❝ ❜➔✐ t trữợ tr X Xi tữỡ ù♥❣ ✈ỵ✐ i = 1, 2, , N ✳ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû x∗ ∈ X s❛♦ ❝❤♦ x∗ ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❇➔✐ t♦→♥ (P ) ✈➔ Ti (x∗ ) ❧➔ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❇➔✐ t♦→♥ (Pi ) ✈ỵ✐ i = 1, 2, , N ✳ ❍å ❣å✐ ♠æ ❤➻♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ t→❝❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t➟♣ ✤➛✉ r❛✳ ❑❤✐ (P )✱ (Pi ) ❧➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ t❤➻ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t➟♣ ✤➛✉ r❛✳ ❈❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t➟♣ ✤➛✉ r❛ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ❧➔ ❝❤õ ✤➲ t❤✉ ❤ót ♥❤✐➲✉ ♥❣÷í✐ ❧➔♠ t♦→♥ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ữợ q t ự õ ởt sè t→❝ ❣✐↔ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➻♠ ữỡ ợ t ởt ❇➔✐ t♦→♥ ✭✵✳✶✮ ❤❛② ✭✵✳✸✮ ✈➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ✭❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳✳✳✮✳ ▼ö❝ 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xn+1 = projfCn+1 (x0 ), n ≥ ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {xn} ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ x† = projfΩ SF P M OS (x0 ) ❦❤✐ n → ∞✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥ ✭①❡♠ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✽✮✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❘❡✐❝❤ ✈➔ ❚✉②❡♥ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ①♦❛② ✈á♥❣ ❦❤→❝ ✤➸ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✹✮✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ t❤ù ♥❤➜t ữ s t t trữợ x0 E ✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➣② {xn} ♥❤÷ s❛✉✿ ✣➦t K0 = K ✱ T0 = I E ✱ f0 = f ✈➔ f yn = projKi(n) (Ti(n) xn ), i(n) Cn = {z ∈ E : ⟨▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn ), Ti(n) z − yn ⟩ ≤ 0}, Qn = {z ∈ E : ⟨▽f (x0 ) − ▽f (xn ), z − xn ⟩ ≤ 0}, xn+1 = projfCn Qn (x0 ), n ỵ ✷✳✷✳✹✳ ❇➜t ❦ý ❞➣② {xn} ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✸ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ x† = projfΩSF P M OS (x0 ) ❦❤✐ n → ∞✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ r Cn Qn t ỗ ✈➔ ✤â♥❣ ❝õ❛ E ✳ ✣➸ t❤➜② ✤✐➲✉ ♥➔②✱ t❛ ✈✐➳t ❧↕✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ Cn ✈➔ Qn ð ❝→❝ ❞↕♥❣ s❛✉ Cn = {z ∈ E : ⟨▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn ), Ti(n) z⟩ ≤ ⟨▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn ), yn ⟩}, ∗ (▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn )), z⟩ ≤ ⟨▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn ), yn ⟩}, = {z ∈ E : ⟨Ti(n) Qn = {z ∈ E : ⟨▽f (x0 ) − ▽f (xn ), z⟩ ≤ ⟨▽f (x0 ) − ▽f (xn ), xn ⟩}, ✈➔ ❞➵ t❤➜② r➡♥❣ Cn ✈➔ Qn ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ỗ õ E ú t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ΩSF P M OS ⊂ Cn ∩ Qn ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 0✳ ✣➸ t❤➜② ✤✐➲✉ ♥➔②✱ ❧➜② ❜➜t ❦ý p ∈ ΩSF P M OS ✱ tù❝ ❧➔✱ Tip ∈ Ki ❤❛② Tip = projfK (Tip) i i ✸✽ ✈ỵ✐ ♠é✐ i = 0, 1, , N ✳ ❚ø yn = projKf ✶✳✷✳✷✽ s✉② r❛ r➡♥❣ i(n) i(n) (Ti(n) xn )✱ Ti(n) p ∈ Ki(n) ✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ⟨▽fi(n) (Ti(n) xn ) − ▽fi(n) (yn ), Ti(n) z − yn ⟩ ≤ 0, ✤✐➲✉ ♥➔② ❝ô♥❣ s✉② r❛ p ∈ Cn ✈➔ ❞♦ ✤â ΩSF P M OS ⊂ Cn ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 0✳ ❇➡♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü sû ❞ư♥❣ tr ự ỵ t ụ ữủ SF P M OS Qn ợ n ≥ 0✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣ ΩSF P M OS ⊂ Cn ∩ Qn ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 0✱ ♥❤÷ ✤➣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❜➡♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ t ữủ ữợ lim ∥xn+1 − xn ∥ = 0, n→∞ ✭✷✳✶✺✮ lim Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , Ti(n) xn ) = n→∞ ❚ø xn+1 = projfC ∩Q n n (x0 ) ∈ Cn ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ Cn✱ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ ⟨▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn ), Ti(n) xn+1 yn t ủ ợ ỗ t t❤ù❝ ❜❛ ✤✐➸♠✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ≤ Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , yn ) + Dfi(n) (yn , Ti(n) xn ) = Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , Ti(n) xn ) + ⟨▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn ), Ti(n) xn+1 − yn ⟩ ≤ Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , Ti(n) xn ) ❚ø ✭✷✳✶✺✮ s✉② r❛ Df i(n) (Ti(n) xn+1 , yn ) + Dfi(n) (yn , Ti(n) xn ) → ✈➔ ✈➻ ✈➟② Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , yn ) → P❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ t❤ü❝ ữ tr ự ỵ ỵ ữủ ự ố ũ t tú ♥➔②✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❘❡✐❝❤ ✈➔ ❚✉②❡♥ ✤➣ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ①♦❛② ✈á♥❣ ❦❤→❝ ❝❤♦ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✹✮✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ợ ụ ữủ tt ỹ tr ữỡ t t t trữợ x0 ∈ E ✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➣② {xn} ♥❤÷ s❛✉✿ ✣➦t K0 = K ✱ T0 = I E ✱ C0 = E ✱ f0 = f ✈➔ f yn = projKi(n) (Ti(n) xn ), i(n) Cn+1 = {z ∈ Cn : ⟨▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn ), Ti(n) z − yn ⟩ ≤ 0}, xn+1 = projfCn+1 (x0 ), n ≥ ❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❚❤✉➟t t ữủ ỵ ữợ ỵ ý {xn} t t♦→♥ ✷✳✷✳✺ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ (x0 ) ❦❤✐ n → ∞✳ x† = projfΩ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝❤ù♥❣ ỵ t t r Cn ởt t ỗ õ E ✈➔ ΩSF P M OS ⊂ Cn ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 0✳ ✣✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ r➡♥❣ ❞➣② {xn} ❧➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❞➣② {xn} ❜à ❝❤➦♥✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ p ∈ ΩSF P M OS ✱ tø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✽ t❛ ❝â SF P M OS Df (xn , x0 ) = Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (p, x0 ) − Df (p, projfCn (x0 )) ≤ Df (p, x0 ), ✤✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ r➡♥❣ ❞➣② {Df (xn, x0)} ❜à ❝❤➦♥✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✶ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❞➣② {xn}✳ ❱➻ Cn+1 ⊂ Cn✱ ♥➯♥ tø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✽ ✐✐✐✮ s✉② r❛ ✈➔ ❞♦ ✤â Df (xn+1 , projfCn (x0 )) + Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ) Df (xn+1 , xn ) + Df (xn , x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ) ✭✷✳✶✻✮ ❉♦ ✈➟②✱ ❞➣② {Df (xn, x0)} ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣✳ ❑➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❞➣② {Df (xn , x0 )} s r tỗ t ợ ỳ limn→∞ Df (xn , x0 )✳ ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ t➟♣ Cn✱ t❛ ❝â Cm ⊂ Cn ✈ỵ✐ ♠å✐ m ≥ n✳ ❉♦ ✤â✱ xm ∈ Cn✳ ❱➻ xn = projfC (x0)✱ ♥➯♥ tø ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✽ ✐✐✐✮ t❛ ❝â n Df (xm , xn ) ≤ Df (xm , x0 ) − Df (xn , x0 ) → 0, ✹✵ ✤✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ Df (xm, xn) → ❦❤✐ m, n → ∞✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✹✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ∥xm − xn∥ → ❦❤✐ m, n → ∞✳ ❉♦ ✤â {xn} ❧➔ ♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤②✳ ❱➻ ✈➟② ❞➣② {xn} ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ♠ët ♣❤➛♥ tû q ∈ E ✳ ❚ø ✭✷✳✶✻✮ s✉② r❛ r➡♥❣ lim Df (xn+1 , xn ) = n→∞ ✭✷✳✶✼✮ õ sỷ xn+1 Cn+1 ỗ t t❤ù❝ ❜❛ ✤✐➸♠✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ≤ Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , yn ) + Dfi(n) (yn , Ti(n) xn ) = Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , Ti(n) xn ) + ⟨▽f (Ti(n) xn ) − ▽f (yn ), Ti(n) xn+1 − yn ⟩ ≤ Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , Ti(n) xn ) t ủ ợ t ữủ ✈➔ ✈➻ ✈➟② Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , yn ) + Dfi(n) (yn , Ti(n) xn ) → Dfi(n) (Ti(n) xn+1 , yn ) → ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ❜➡♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ỵ t t ữủ q = x = projf (x0 ) ỵ ữủ ự SF P M OS ✷✳✸ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ sû E ✈➔ Ei✱ i = 1, 2, , N, ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ ♣❤↔♥ ①↕✱ ✈➔ f : E −→ R ✈➔ fi : Ei −→ R✱ i = 1, 2, , N, ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ▲❡❣❡♥❞r❡✱ ❜à rt ỗ t tr ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ E ✈➔ Ei✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ✷✳✸✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ❝❤♦ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ▼ët t♦→♥ tû ✤❛ trà A : E ⇒ E ∗ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ dom(A) ✈➔ ♠å✐ u ∈ A(x)✱ v ∈ A(y)✱ t❛ ✤➲✉ ❝â ⟨u − v, x − y⟩ ≥ 0, ✹✶ tr♦♥❣ ✤â dom(A) = {x ∈ E : A(x) ̸= ∅}✳ ▼ët t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ A ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ì♥ ỹ ỗ t G(A) õ ổ t tỹ sỹ ỗ t t ❦ý t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➔♦ ❦❤→❝ tr♦♥❣ E ✱ ð ✤➙② G(A) = {(x, u) ∈ E × E ∗ : x ∈ dom(A), u ∈ A(x)} ❈❤♦ A : E ⇒ E ∗ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû x ∈ E s❛♦ ❝❤♦ ∈ Ax ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ tè✐ ÷✉ ❤â❛ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❦❤→❝✳ ◆❤➢❝ ❧↕✐ r➡♥❣ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ❝õ❛ A ữủ ỵ ResfA : E E ✈➔ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✺❪✮✿ ResfA (x) = (▽f + A)−1 ◦ ▽ f (x) ❇❛✉s❝❤❦❡ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ❬✺❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ❧➔ ✤ì♥ trà ✈➔ ❧➔ t♦→♥ tû ❇❋◆❊✳ ◆➳✉ t❤➯♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤➔♠ ▲❡❣❡♥❞r❡ f ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✤➲✉ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ E ✱ t❤➻ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ResfA t❤ä❛ ♠➣♥ F (ResfA) = Fb(ResfA) ✭①❡♠ ❬✷✺✱ ❇ê ✤➲ ✶✺✳✻❪✮✳ ❇➙② ❣✐í✱ ❝❤♦ A : E ⇒ E ∗✱ ✈➔ Bi : Ei ⇒ Ei∗✱ i = 1, 2, , N ✱ ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ −1 −1 Ω❙❈◆PP := A−1 (0) ∩ (∩N i=1 Θi (Bi (0))) ̸= ∅ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ s❛✉✿ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ Ω❙❈◆PP ứ F (ResfA) = A10 ỵ ỵ t õ t q ữợ t ỵ ợ ộ x0 ∈ E ✱ ❝❤♦ {xn} ❧➔ ❞➣② ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✶✳✷ ❤♦➦❝ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✶✳✹ ✈ỵ✐ S = ResfA ✈➔ Si = ResfBii ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, 2, , N ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❑❤✐ ✤â xn → projfΩ❙❈◆PP (x0 ) ❦❤✐ n → ∞✳ ✷✳✸✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ C ởt t ỗ õ ré♥❣ ❝õ❛ E ✳ ❈❤♦ Ξ ❧➔ ♠ët s♦♥❣ ❤➔♠ tø C × C ✈➔♦ R✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉ ✿ ❚➻♠ x ∈ C s❛♦ ❝❤♦ Ξ(x, y) ≥ ∀y ∈ C ✭✷✳✶✾✮ ỵ EP () t ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✾✮✳ ✣➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✶✾✮✱ ♥❣÷í✐ t❛ t❤÷í♥❣ ❣✐↔ sû r➡♥❣ s♦♥❣ ❤➔♠ Ξ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✻❪✮✿ ❈✶✮ Ξ(x, x) = ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ❀ ❈✷✮ Ξ ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ tù❝ ❧➔✱ Ξ(x, y) + Ξ(y, x) ≤ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ C ❀ ❈✸✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y, z ∈ C ✱ t❛ ❝â lim sup Ξ(tz + (1 − t)x, y) ≤ Ξ(x, y); t↓0 ❈✹✮ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C ✱ ❤➔♠ Ξ(x, ) ỗ ỷ tử ữợ s♦♥❣ ❤➔♠ Ξ : C × C −→ R ✭①❡♠ ❬✶✻❪✮ ❧➔ t♦→♥ tû ResfΞ : ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ E ⇒C ✈➔ ResfΞ (x) := {z ∈ C : Ξ(z, y) + ⟨▽f (z) − ▽f (x), y − z⟩ ≥ ∀y ∈ C} ❈❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ❝→❝ ❜ê ✤➲ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✷✺❪✮✿ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✷✳ ❈❤♦ f : E −→ (−∞, ∞] ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❜ù❝ ✈➔ t C ởt t ỗ ✈➔ ✤â♥❣ ❝õ❛ E ✳ ◆➳✉ s♦♥❣ ❤➔♠ Ξ : C × C −→ R t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ C1)✲C4)✱ t❤➻ dom(ResfΞ ) = E ✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✸✳ ❈❤♦ f : E −→ (−∞, ∞] ❧➔ ♠ët ❤➔♠ r C ởt t ỗ õ ❝õ❛ E ✳ ◆➳✉ s♦♥❣ ❤➔♠ Ξ : C × C −→ R t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ C1)✲C4)✱ t❤➻ ✐✮ ResfΞ ❧➔ t♦→♥ tû ✤ì♥ trà❀ ✐✐✮ ResfΞ ❧➔ t♦→♥ tû ❇❋◆❊❀ ✐✐✐✮ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ResfΞ ❧➔ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ tù❝ ❧➔✱ F (ResfΞ ) = EP (Ξ)❀ ✐✈✮ EP () ởt t ỗ õ C ❀ ✈✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ E ✈➔ u ∈ F (ResfΞ )✱ t❛ ❝â Df (u, ResfΞ (x)) + Df (ResfΞ (x), x) ≤ Df (u, x) ✹✸ ❈❤♦ C ✱ ✈➔ Di ✱ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ỗ õ rộ E Ei ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ i = 1, 2, , N ✳ ❈❤♦ Ξ : C × C −→ R✱ ✈➔ Ψi : Di × Di −→ R✱ i = 1, 2, , N ✱ ❧➔ ❝→❝ s♦♥❣ ❤➔♠ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ C1)✲C4) s❛♦ ❝❤♦ −1 Ω❙❊P := EP (Ξ) ∩ (∩N i=1 Θi (EP (Ψi ))) ̸= ∅ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t→❝❤ s❛✉✿ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ Ω❙❊P ✭✷✳✷✵✮ ❚ø ❝→❝ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✷ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✸✱ ♥➳✉ t❛ ❧➜② S = ResfΞ ✈➔ Si = ResfΨii ✱ t❤➻ S ✈➔ Si ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ❇❋◆❊ ✈ỵ✐ F (S) = Fb(Ti ) ✈➔ F (Si ) = Fb(Si ) ✭①❡♠ ❬✷✺✱ ❇ê ✤➲ ✶✺✳✻❪✮✱ ✈➔ S ✱ Si ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ E ✈➔ Ei ✱ t÷ì♥❣ ự õ t õ t q ữợ t ỵ ợ ộ x0 E ✱ ❝❤♦ {xn} ❧➔ ❞➣② ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✶✳✷ ❤♦➦❝ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✶✳✹ ✈ỵ✐ S = ResfΞ ✈➔ Si = ResfΨii ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, 2, , N ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❑❤✐ ✤â xn → projfΩ❙❊P (x0 ) ❦❤✐ n → ∞✳ ✷✳✸✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ❝❤♦ ❧ỵ♣ t♦→♥ tỷ r ỡ ữủ ợ t tỷ r ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥❣÷đ❝ ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❜ð✐ ❇✉t♥❛r✐✉ ✈➔ ❑❛ss❛② tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✷❪✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❤➔♠ ▲❡❣❡♥❞r❡ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ r❛♥ (▽f − A) ⊂ r❛♥ (▽f ) ✭✷✳✷✶✮ ▼ët t♦→♥ tû A : E ⇒ E ∗ ✤÷đ❝ ❣♦✐ ❧➔ ❇r❡❣♠❛♥ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ữủ ỵ (A) (t f ) ̸= ∅ ✈➔ ♠å✐ x, y ∈ ✐♥t ❞♦♠f ✱ ξ ∈ Ax ✈➔ η ∈ Ay ✱ t❛ ❝â ⟨ξ − η, ▽f ∗ (▽f (x) − ξ) − ▽f ∗ (▽f (y) − η)⟩ ≥ P❤↔♥ ❣✐↔✐ ❝õ❛ t♦→♥ tû A ❧➔ t♦→♥ tû Af : E ⇒ E ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ Af = ▽f ∗ ◦ (▽f − A) ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ t♦→♥ tû A ❧➔ ❇■❙▼✱ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♣❤↔♥ ❣✐↔✐ Af ❝õ❛ ♥â ❧➔ t♦→♥ tû ✭✤ì♥ trà✮ ❇❋◆❊ ✭①❡♠ ❬✶✷❪✱ ❇ê ✤➲ ✸✳✺✮✳ ❘❡✐❝❤ ✈➔ ❙❛❜❛❝❤ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ♥➳✉ ✹✹ f : E −→ (−∞, +∞] ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ▲❡❣❡♥❞r❡ ✈➔ A : E ⇒ E ∗ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ❇■❙▼ s❛♦ ❝❤♦ A−1 (0) ̸= ∅✱ t❤➻ A−1 (0) = F (Af ) ✭①❡♠ ❬✷✹❪✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✼✮✳ ◆➳✉ ❤➔♠ ▲❡❣❡♥❞r❡ f ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✤➲✉ ỗ t tr ộ t ❝õ❛ E ✱ t❤➻ ♣❤↔♥ ❣✐↔✐ Af ❧➔ t♦→♥ tû ❇❋◆❊ ✤ì♥ trà ✈ỵ✐ F (Af ) = Fb(Af ) ✭①❡♠ ❬✷✺✱ ❇ê ✤➲ ✶✺✳✻❪✮✳ ❇➙② ❣✐í✱ ❝❤♦ C ✈➔ Di t ỗ õ ré♥❣ ❝õ❛ E ✈➔ Ei ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ i = 1, 2, , N ✳ ❈❤♦ A : E ⇒ E ∗ ✱ ✈➔ Bi : Ei ⇒ Ei∗ ✱ i = 1, 2, , N ✱ ❧➔ t♦→♥ tû ❇■❙▼ s❛♦ ❝❤♦ C ⊂ dom A ✈➔ Di ⊂ dom Bi ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, 2, , N ✳ ●✐↔ sû Λ❙❈◆PP := A−1 (0) ∩ (∩N Θ−1 (B −1 (0))) ̸= ∅ i=1 i i ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➸♠ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ❝❤♦ ❧ỵ♣ t♦→♥ tû ❇r❡❣♠❛♥ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥❣÷đ❝ s❛✉✿ ❚➻♠ ♠ët tỷ tr PP õ ỵ s q t ỵ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ▲❡❣❡♥❞r❡ f ✈➔ fi t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ r❛♥ (▽f −A) ⊂ r❛♥ (▽f ) ✈➔ r❛♥ (▽fi −Bi ) ⊂ r❛♥ (▽fi ) ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, 2, , N ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x0 ∈ C ✱ ❜➜t ❦ý ❞➣② {xn } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✶✳✷ ❤♦➦❝ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✶✳✹ ✈ỵ✐ S = Af ✈➔ Si = Bifi ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, 2, , N ✱ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ projfΛ❙❈◆PP (x0 ) ❦❤✐ n → ∞✳ ✷✳✸✳✹ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t rữợ t t t t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✿ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tû x† ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ⟨Ax† , y − x† ⟩ ≥ ∀y ∈ C, ✭✷✳✷✸✮ tr♦♥❣ ✤â A : E −→ E ∗ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû ❇■❙▼ ✈➔ C ❧➔ ởt t ỗ õ rộ dom A ỵ V I(C, A) t ❝õ❛ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✳✷✸✮✳ ❚ø ❬✷✹✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✽❪✱ ♥➳✉ f : E −→ (−∞, ∞] ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ▲❡❣❡♥❞r❡ ỗ t ỗ tớ tọ ✭✷✳✷✶✮✱ A : E −→ E ∗ ❧➔ ♠ët t♦→♥ tỷ C ởt t ỗ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ dom A ∩ int dom f ✱ t❤➻ V I(A, C) = F (projfC ◦ Af )✳ ✹✺ ❈❤♦ C ✱ ✈➔ Di ✱ ❧➔ t ỗ õ rộ E ✈➔ Ei ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✱ i = 1, 2, , N ✳ ❈❤♦ A : E −→ E ∗ ✱ ✈➔ Bi : Ei −→ Ei∗ ✱ i = 1, 2, , N ✱ ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû ❇■❙▼✳ ●✐↔ sû −1 Ω❙❱■P := V I(A, C) ∩ (∩N i=1 Θi (V I(Bi , Di ))) ̸= ∅ ✈➔ ①➨t ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ t→❝❤ s❛✉✿ ❚➻♠ ♠ët ♣❤➛♥ tỷ tr P õ ỵ s t ỵ sỷ ❝→❝ ❤➔♠ ▲❡❣❡♥❞r❡ f ✈➔ fi t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ r❛♥ (▽f −A) ⊂ r❛♥ (▽f ) ✈➔ r❛♥ (▽fi −Bi ) ⊂ r❛♥ (▽fi ) ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, 2, , N ✳ ●✐↔ sû t❤➯♠ r➡♥❣ C ⊂ dom A ∩ int dom f ✈➔ Di ⊂ dom Bi ∩ int dom fi ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ {1, 2, , N }✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x0 ∈ C ✱ ❜➜t ❦ý ❞➣② {xn } ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✶✳✷ ❤♦➦❝ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✶✳✹ ✈ỵ✐ S = projfC ◦Af ✈➔ Si = projfDii ◦Bifi ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, 2, , N ✱ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ projfΩ❙❱■P (x0 ) ❦❤✐ n → ∞✳ ✷✳✹ ❱➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ❚❛ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t➟♣ ✤➛✉ r❛ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ợ tổ tữớ Li ✱ i = 0, 1, 2, 3✱ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ỗ õ R100 R200 R300 R400 ✱ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ❝→❝ t➟♣ Li ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ Li = {x ∈ R100(i+1) : ⟨ai , x⟩ ≤ bi }, tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ tå❛ ✤ë ❝õ❛ ✈➨❝tì ✈➔ sè t❤ü❝ bi ✤÷đ❝ ❝❤å♥ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ✤♦↕♥ [10, 50] ✈➔ [0, 0.5]✱ tữỡ ự ợ i = 0, 1, 2, ❈❤♦ Ti : R100 → R100(i+1) ✱ i = 1, 2, 3✱ ❧➔ ❝→❝ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ợ tỷ tr ữủ ❧➜② ♥❣➝② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ✤♦↕♥ [−5, 5]✳ ❉➵ t❤➜② ΩSF P = L0 ∩ (∩3i=1 Ti−1 (Li )) ̸= ∅ ✈➻ ∈ ΩSF P ✳ ✹✻ ❱ỵ✐ ♣❤➛♥ tû ❜❛♥ ✤➛✉ x0✱ ❝â ❝→❝ tå❛ ✤ë ✤÷đ❝ s✐♥❤ ♥❣➝✉ ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ ✤♦↕♥ [−50, 50] ✈➔ sû ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ❞ø♥❣ Σn < ε ✤➸ ❦➳t t❤ó❝ q✉→ tr➻♥❤ ❧➦♣✱ tr♦♥❣ ✤â Σn = (∥xn − PL0 xn ∥2 + ∥T1 xn − PL1 T1 xn ∥2 + ∥T2 xn − PL2 T2 xn ∥2 + ∥T3 xn − PL3 T3 xn ∥2 ) ✈ỵ✐ ε ❧➔ ♠ët s số trữợ t ữủ t q số ữợ ỵ t t ỵ t t t t ✷✳✷✳✸ ✈➔ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✺✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❆ ❚❤✉➟t t♦→♥ ❇ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✸ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳✷✳✺ ε = 10−3 Σn 8.7928 × 10−4 6.4284 × 10−4 0 n 36 32 4 ❇↔♥❣ ✷✳✶✿ ❇↔♥❣ ❦➳t q✉↔ sè ε = 10−4 Σn 5.4955 × 10−5 4.0178 × 10−5 0 n 44 40 4 ✹✼ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët ❝→❝❤ ❦❤→ ❝❤✐ t✐➳t ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ❼ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥✱ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥✱ ỗ t tỷ r ổ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤❀ ❼ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❘❡✐❝❤ ❙✳ ✈➔ ❚✉②❡♥ ❚✳▼✳ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷✾❪ ✈➲ ♠ët sè t❤✉➟t t♦→♥ ❧➦♣ ①♦❛② ✈á♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ t→❝❤ ✈ỵ✐ ✤❛ t➟♣ ✤➛✉ r❛ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳ ✹✽ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❆❣❛r✇❛❧ ❘✳ P✳✱ ❖✬❘❡❣❛♥ ❉✳✱ ❙❛❤✉ ❉✳ ❘✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ❋✐①❡❞ P♦✐♥t ❚❤❡♦r② ❢♦r ▲✐♣s❝❤✐t③✐❛♥✲t②♣❡ ▼❛♣♣✐♥❣s ✇✐t❤ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❬✷❪ ❆♠❜r♦s❡tt✐ ❆✳✱ Pr♦❞✐ ●✳ ✭✶✾✾✸✮✱ ❆ Pr✐♠❡r ♦❢ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧②s✐s✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ❈❛♠❜r✐❞❣❡✳ ❬✸❪ ❆❧❜❡r ❨✳■✳ ✭✶✾✾✻✮✱ ✏▼❡tr✐❝ ❛♥❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✿ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ■♥✿ ❑❛rts❛t♦s✱ ❆✳●✳ ✭❡❞✳✮ ❚❤❡♦r② ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❖♣❡r❛t♦r ♦❢ ❆❝❝r❡t✐✈❡ ❛♥❞ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❚②♣❡✑✱ ▼❛r✲ ❝❡❧ ❉❡❦❦❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ♣♣✳ ✶✺✕✺✵✳ ❬✹❪ ❇❛✉s❝❤❦❡ ❍✳❍✳✱ ❇♦r✇❡✐♥ ❏✳▼✳✱ ❈♦♠❜❡tt❡s P✳▲✳ ✭✷✵✵✶✮✱ ✏❊ss❡♥t✐❛❧ s♠♦♦t❤✲ ♥❡ss✱ ❡ss❡♥t✐❛❧ str✐❝t ❝♦♥✈❡①✐t②✱ ❛♥❞ ▲❡❣❡♥❞r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✑✱ ❈♦♠♠✉♥✳ ❈♦♥t❡♠♣✳ ▼❛t❤✳✱ ✸✱ ♣♣✳ ✻✶✺✕✻✹✼✳ ❬✺❪ 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