Luận văn thạc sỹ một số mở rộng của định lý wilson và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THỊ THANH HẢI MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ WILSON VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN NGUYÊN AN TS NGUYỄN TUẤN LONG THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thặng dư 1.2 Nhóm nhóm hữu hạn Chương Định lý Wilson số mở rộng 16 2.1 Định lý Wilson áp dụng 16 2.2 Định lý Sylow ứng dụng chứng minh Định lý Wilson 27 2.3 Định lý Wilson cho nhóm hữu hạn 36 2.4 Định lý Wilson cho vành cho vành đa thức 40 KẾT LUẬN 45 Tài liệu tham khảo 45 ii MỞ ĐẦU Định lý Wilson đặt theo tên nhà toán học người Anh John Wilson (1741-1793) Wilson đoán kết sinh viên Đại học Cambridge Leibniz đốn kết vào kỷ thứ 17, ông không công bố đốn Trên thực tế, đốn xuất tác phẩm Ibn al-Haytham người Ả rập vào khoảng năm 1000 Nó Lagrange chứng minh vào năm 1771 Đến có nhiều cách chứng minh Định lý Wilson sử dụng tính chất thặng dư, sử dụng thặng dư đa thức, sử dụng công thức khai triển Euler, sử dụng Định lý Sylow, Định lý Wilson có nhiều ứng dụng số học kiểm tra số nguyên tố, thặng dư bậc hai, nghiên cứu công thức số nguyên tố, tìm phần dư, ứng dụng Giải tích p-adic, Nhiều mở rộng Định lý Wilson nghiên cứu Mở rộng Gauss [G, Art.78] Rồi sau mở rộng cho nhóm hữu hạn, cho vành, vành đa thức, vành hữu hạn, Mục đích thứ luận văn tìm hiểu số cách chứng minh Định lý Wilson dạng cổ điển, số áp dụng định lý Nghiên cứu số mở rộng định lý cho nhóm hữu hạn, vành, vành đa thức mục đính thứ hai luận văn Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị thặng dư, nhóm, nhóm hữu hạn Chương chương luận văn, trình bày số chứng minh Định lý Wilson trình bày số mở rộng định lý Wilson cho nhóm hữu hạn, vành, vành đa thức Trong suốt trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình PGS.TS Trần Nguyên An TS Nguyễn Tuấn Long Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học toán Khoá 14 truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2022 PHẠM THỊ THANH HẢI Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thặng dư Lý thuyết thặng dư Gauss phát triển từ đầu kỷ 19 Định nghĩa 1.1.1 Cho m số nguyên dương, a, b ∈ Z Ta nói a đồng dư với b modulo m m | (a − b), tức a − b = mk với k số nguyên Nếu a đồng dư với b, ta viết a ≡ b (mod m) Nếu m ∤ (a − b), ta viết a ̸≡ b (mod m) nói a b khơng đồng dư modulo m Số nguyên m gọi modulus đồng dư Ví dụ 1.1.2 (i) 31 ≡ (mod 7); 31 ≡ −4 (mod 7); 31 ̸≡ (mod 7) Với số nguyên a b ta có a ≡ b (mod 1) (ii) 2k + ≡ (mod 2) với số nguyên k , tức số nguyên lẻ đồng dư với modulo (iii) a ≡ b (mod 2) | (a − b) (iv) a ≡ (mod m) m | a (v) Nếu a ≡ b (mod m) a ± km ≡ b (mod m) Bổ đề 1.1.3 Cho a, b ∈ Z m số nguyên dương Khi điều sau tương đương (i) a ≡ b (mod m); (ii) a = b + km với k số nguyên; (iii) a b có số dư chia cho m Nhận xét 1.1.4 Lấy m = Vì (i) ⇔ (ii) Bổ đề 1.1.3, nên ta có Tập số nguyên đồng dư với modulo {0 + 3k | k ∈ Z} = { , −6, −3, 0, 3, 6, 9, } Tập số nguyên đồng dư với modulo {1 + 3k | k ∈ Z} = { , −5, −2, 1, 4, 7, 10, } Tập số nguyên đồng dư với modulo {2 + 3k | k ∈ Z} = { , −4, −1, 2, 5, 8, 11, } Sau số tính chất khác đồng dư Mệnh đề 1.1.5 Cho a, b, c, d m số nguyên thỏa mãn m > Khi (i) (Tính chất phản xạ) a ≡ a (mod m) (ii) (Tính chất đối xứng) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m) (iii) (Tính bắc cầu) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) (iv) Nếu a ≡ b (mod m) a ± c ≡ b ± c (mod m) Đặc biệt a + c ≡ b (mod m) a ≡ b − c (mod m) (v) Nếu a ≡ b (mod m) ac ≡ bc (mod m) (vi) Nếu a ≡ b (mod m) ac ≡ bc (mod mc) với c > Dặc biệt a ≡ b (mod m), < δ ∈ Z, δ|a, δ|b, δ|m b m a ≡ (mod ) δ δ δ (vii) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) a ± c ≡ (b ± d) (mod m) (viii) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m) (ix) Nếu a ≡ b (mod m) an ≡ bn (mod m), với < n ∈ Z (x) Cho f (x) ∈ Z[x] Nếu α ≡ β f (α) ≡ f (β) Mệnh đề 1.1.6 Cho a, b, c m số nguyên thỏa mãn m > Nếu gcd(m, c) = ac ≡ bc (mod m) a ≡ b (mod m) Định lý 1.1.7 Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), , a ≡ b (mod mt ), a, b số nguyên m1 , m2 , , mt số nguyên dương a≡b (mod [m1 , m2 , , mt ]) Hệ 1.1.8 Nếu a ≡ b (mod mi ) với i = 1, 2, , t a, b số nguyên m1 , m2 , , mt số ngun ngun tố với đơi a≡b (mod t Y mi ) i=1 Thặng dư có nhiều ứng dụng lý thuyết số, chẳng hạn ứng dụng chứng minh chia hết hay tìm số dư Chú ý a = bq + r, ≤ r < |b| r ≡ a (mod b) Để tìm r, ta tìm a (mod b) Khi r = ta có a chia hết cho b Ví dụ 1.1.9 (i) Tìm phần dư chia 29455 − cho (ii) Chứng minh 22225555 + 55552222 chia hết cho Giải (i) Ta có 2945 = 9.327+2 ≡ (mod 9) Khi 29455 −3 ≡ 25 −2 (mod 9) Vì 25 − = 29 ≡ (mod 9), 29455 − ≡ (mod 9) Vì phần dư (ii) Ta có 2222 ≡ (mod 7), 32 ≡ (mod 7), 33 ≡ −1 (mod 7) Khi 22225555 ≡ 33.1851+2 ≡ −2 (mod 7) Lại có 5555 ≡ (mod 7), 43 ≡ (mod 7), 42 ≡ (mod 7) Kéo theo 55552222 ≡ 43.740+2 ≡ (mod 7) Vì vậy, 22225555 +55552222 ≡ (mod 7) or | (22225555 +55552222 ) Phần dư chia a cho 10 chữ số hàng đơn vị a 1516 Ví dụ 1.1.10 Tìm chữ số hàng đơn vị 1314 Giải Ta có 15 ≡ (mod 2) Kéo theo 1516 ≡ (mod 2) Do 1516 = 2p + 1, với p số tự nhiên Vì 142 ≡ (mod 4) nên 142p+1 ≡ (mod 4) Do 1415 16 = 4q , với q số tự nhiên Ta kiểm tra 134 ≡ (mod 10) (Ta vận dụng Định lý Euler phía sau) Khi 134q ≡ (mod 10) Do phần dư chia 1314 Vì chữ số hàng đơn vị 1314 1516 1516 cho 10 là Định nghĩa 1.1.11 Cho m số nguyên dương Ta định nghĩa quan hệ hai R Z sau aRb a ≡ b (mod m), a, b ∈ Z Theo (i), (ii) (iii) Mệnh đề 1.1.5, R quan hệ tương đương Do quan hệ đồng dư modulo m quan hệ tương đương Z Các lớp theo quan hệ tương đương gọi lớp thặng dư Với mối số a, lớp thặng dư module m a tập a = {b ∈ Z | b ≡ a (mod m)} = {a + km | k ∈ Z} Lớp thặng dư a ký hiệu [a]m [a] Tập lớp thặng dư modulo m ký hiệu Zm Ví dụ 1.1.12 Cho m = Khi = { , −6, −3, 0, 3, 6, 9, } = = · · · , = { , −5, −2, 1, 4, 7, 10, }, = { , −4, −1, 2, 5, 7, 12, } Nhận xét 1.1.13 Ta có tính chất sau (i) a = b a ≡ b (mod m) (ii) Tập thặng dư dư a lập thành phân hoạch Z (iii) Cho số nguyên a, theo Định lý chia với dư a = bm + r với b, r số nguyên thỏa mãn ≤ r < m Từ ta có a ≡ r (mod m) Ta gọi r thặng dư không âm nhỏ a modulo m Từ ta có số nguyên đồng dư với số 0, 1, 2, , m − modulo m Như có m thặng dư dư 0, 1, · · · m − Ta có với a ∈ Z, a ∈ i với i thỏa mãn ≤ i ≤ m − Zm = {0, 1, · · · , m − 1} Định nghĩa 1.1.14 Một hệ thặng dư đầy đủ modulo m tập số nguyên thỏa mãn, số nguyên đồng dư modulo m với số nguyên tập Nhận xét 1.1.15 Chọn số nguyên từ thặng dư dư modulo m Tập thu số a1 , a2 , , am lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo m Đặc biệt hệ thặng dư đầy đủ modulo m có m phần tử {b1 , b2 , , bm } ⊆ Z hệ thặng dư đầy đủ modulo m Zm = {b1 , b2 , , bm } Ví dụ 1.1.16 (i) Theo Nhận xét 1.1.13 (iii), tập số nguyên {0, 1, 2, , m− 1} lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo m Tập gọi hệ thặng dư không âm nhỏ modulo m (ii) Cho m số nguyên lẻ Tập số nguyên  − m − m − m−1 m−3 ,− , , −1, 0, 1, , , 2 2 hệ thặng dư đầy đủ modulo m mà gọi hệ thặng dư có trị tuyệt đối nhỏ modulo m (iii) Cho m số nguyên chẵn Tập số nguyên  − m m m m + 1, − + 2, , −1, 0, 1, , − 1, , 2 2  − m m m , − + 1, , −1, 0, 1, , − 2 hệ thặng dư đầy đủ modulo m gọi hệ thặng dư có trị tuyệt đối nhỏ modulo m Bổ đề 1.1.17 Một tập gồm k số nguyên a1 , a2 , , ak hệ thặng dư đẩy đủ modulo m điều kiện sau thỏa mãn (i) k = m, (ii) ̸≡ aj (mod m), i ̸= j Định lý 1.1.18 Nếu a1 , a2 , , am hệ thặng dư đầy đủ modulo m k số nguyên dương thỏa mãn gcd(k, m) = ka1 + b, ka2 + b, , kam + b hệ thặng dư đầy đủ modulo m khác với số nguyên b Định nghĩa 1.1.19 Cho m số nguyên dương Tập S hệ thặng dư đầy đủ modulo m gọi hệ thặng dư thu gọn modulo m với a ∈ Z thỏa mãn gcd(a, m) = tồn r ∈ S thỏa mãn a ≡ r (mod m) Nhận xét 1.1.20 Một hệ thặng dư thu gọn modulo m xây dựng cách xóa phần tử hệ thặng dư đầy đủ mà không nguyên tố với m Tức {a1 , a2 , , am } hệ thặng dư đầy đủ modulo m S = {ai | i ∈ {1, 2, , m} gcd(ai , m) = 1} hệ thặng dư thu gọn modulo m Ví dụ 1.1.21 (i) Tập {1, 3, 5, 7} hệ thặng dư thu gọn modulo (ii) {1, 2, , p − 1} hệ thặng dư thu gọn modulo số nguyên tố p (iii) {r ∈ Z | ≤ r < m gcd(r, m) = 1} hệ thặng dư thu gọn modulo m định nghĩa k, tồn phần tử a ∈ G cho cấp a bội p Gọi cấp a r, với r = ps Đặt b = as Ta có bp = aps = e Nếu bi = e ais = e is bội ps Suy i bội p Vì b có cấp p Do ⟨b⟩ = ⟨as ⟩ nhóm cấp p G Định lý 2.2.15 Cho G nhóm có cấp n p ước ngun tố n Khi G chứa p-nhóm Sylow Chứng minh Ta chứng minh định lí quy nạp theo n Khi n = p G p-nhóm Sylow G Cho n > p, n bội p, giả sử định lí cho nhóm có cấp bội p nhỏ n Xét trường hợp G chứa nhóm H ̸= G cho số H nguyên tố với p Khi cấp H nhỏ n bội p Theo theo giả thiết quy nạp, H chứa p-nhóm Sylow p-nhóm Sylow G Xét trường hợp tất nhóm thực G có số bội p Xét tác động G lên G phép liên hợp Kí hiệu C(G) tâm G Cho a ∈ C(G) Khi nhóm đẳng hướng Ga a có số Vì thế, áp dụng cơng thức lớp ta có X n = |C(G)| + (G : Ga ), a∈L\C(G) L tập G cho (Ga)a∈L họ quỹ đạo đôi rời Cho a ∈ L \ C(G) Vì a ∈ / C(G) nên tồn x ∈ G cho xa ̸= ax, tức xax−1 ̸= a Do x ∈ / Ga , tức (G : Ga ) > Theo giả thiết, (G : Ga ) bội p Từ đẳng thức ta suy cấp C(G) bội p Do C(G) nhóm giao hốn nên theo Bổ đề 2.2.14, C(G) chứa nhóm H cấp p Suy H nhóm chuẩn tắc G nhóm thương G/H có cấp n/p Vì n > p nên H nhóm thực G Do số H bội p, tức n/p chia hết cho p Vì thế, áp dụng giả thiết quy nạp, tồn p-nhóm Sylow K G/H Giả sử n/p = pt m, m khơng bội p Khi 33 cấp K pt Chú ý n = pt+1 m Do nhóm G có cấp pt+1 p-nhóm Sylow Đặt K ′ = f −1 (K), f : G −→ G/H tồn cấu tắc Khi K ′ nhóm G chứa H Vì f tồn cấu nên K ′ /H = f (K ′ ) = f (f −1 (K)) = K, K ′ /H = {Hx : x ∈ K ′ } Do |K ′ | = |K||H| Vì cấp K ′ pt+1 Suy K ′ p-nhóm Sylow G Hệ 2.2.16 Cho G nhóm có cấp n p ước nguyên tố n Khi G p-nhóm nhóm thực G có số bội p Chứng minh Nếu G p-nhóm hiển nhiên nhóm thực G có số bội p Ngược lại, giả sử nhóm thực G có số bội p Theo Định lí 2.2.15, G chứa p-nhóm Sylow K Nếu K ̸= G số K bội p K khơng thể p-nhóm Sylow Do K = G, G p-nhóm Bổ đề 2.2.17 Cho G nhóm hữu hạn A nhóm G Đặt N (A) = {x ∈ G : xA = Ax} Giả sử H nhóm G cho H ⊆ N (A) Khi HA nhóm G chứa A nhận A làm nhóm chuẩn tắc Hơn nữa, N (A) nhóm lớn G nhận A làm nhóm chuẩn tắc Định lý 2.2.18 (Định lý Sylow) Cho G nhóm hữu hạn cấp n p ước nguyên tố n Các phát biểu sau (i) Mỗi p-nhóm G chứa p-nhóm Sylow (ii) Các p-nhóm Sylow liên hợp với (iii) Số p-nhóm Sylow đồng dư với theo mơđun p Chứng minh Theo Định lí 2.2.15, tồn p-nhóm Sylow P G Gọi S tập nhóm liên hợp với P Xét tác động từ G lên S 34 phép liên hợp: x • Q = xQx−1 với x ∈ G, Q ∈ S Tác động có quỹ đạo Gọi GP = {x ∈ G | xP x−1 = P } nhóm đẳng hướng P Chú ý GP ⊇ P Vì P p-nhóm Sylow G nên (G : P ) khơng bội p Vì (G : GP ) khơng bội p Vì tác động có quỹ đạo nên theo Cơng thức lớp, Card(S) số nhóm đẳng hướng GP , Card(S) khơng bội p Bây ta chứng minh định lí (i) Cho H p-nhóm G Xét tác động H lên S phép X (H : HQ ), liên hợp Theo cơng thức lớp, Card(S) = Q∈S ′ S ′ ⊆ S họ đại diện quỹ đạo rời Với Q ∈ S ′ , H p-nhóm nên HQ ̸= H (H : HQ ) bội p Vì Card(S) nguyên tố với p nên theo Công thức lớp, tồn Q ∈ S ′ cho HQ = H Kí hiệu N (Q) nhóm chuẩn hố Q G Do HQ = H nên H ⊆ N (Q) Theo Bổ đề 2.2.17, HQ nhóm G nhận Q làm nhóm chuẩn tắc Vì ta có nhóm thương HQ/Q Chú ý HQ/Q ∼ = H/(H ∩ Q) H p-nhóm Do HQ/Q p-nhóm Do Q p-nhóm nên HQ p-nhóm chứa Q Vì Q liên hợp với P nên Q p-nhóm Sylow G Suy HQ = Q Vì H ⊆ Q (ii) Giả sử H p-nhóm Sylow G Theo chứng minh (i), tồn Q ∈ S cho H ⊆ Q Do cấp H Q nên H = Q Do H liên hợp với P (iii) Xét tác động P lên S phép liên hợp Quỹ đạo P {xP x−1 | x ∈ P } = {P }, gồm phần tử Cho Q ∈ S Nếu quỹ đạo Q gồm phần tử (P : PQ ) = (trong PQ nhóm đẳng hướng) PQ = P Trong trường hợp này, theo chứng minh (i) ta có P ⊆ Q, P, Q có cấp nên Q = P Vì thế, Q ̸= P quỹ đạo Q gồm nhiều phần tử (P : PQ ) bội p (do P p-nhóm) Theo (ii), số p-nhóm Sylow Card(S), kết suy từ Công thức lớp 35 Định lý Sylow có nhiều ứng dụng Phần cuối mục ta trình bày ứng dụng Định lý Sylow để chứng minh Định lý Wilson Định lý 2.2.19 (Định lý Wilson) Nếu p số nguyên tố p chia hết (p − 1)! + Chứng minh Xét nhóm đối xứng Sp Các phần tử Sp có cấp p chu trình độ dài p dạng (1a2 a3 ap ), a2 , a3 , , ap hoán vị 2, 3, , p Do có (p − 1)! phần tử cấp p Sp Bây ta đếm số nhóm p-Sylow Sp Ta có |Sp | = p! Vì gcd(i, p) = với i = 1, 2, , p − nên p-Sylow Sp nhóm Sp cấp p Do p số nguyên tố nên nhóm nhóm xyclic sinh phần tử cấp p Có (p − 1)! phần tử cấp p, ty nhiên nhóm xylic cấp p có ϕ(p) = p − phần tử sinh Do có (p − 1)!/(p − 1) = (p − 2)! nhóm xyclic cấp p hay có (p − 2)! nhóm p-Sylow Sp Theo Định lý Sylow 2.2.18 (iii), (p − 2)! ≡ (mod p) Nhân hai vế với p − 1, ta có (p − 1)! ≡ p − ≡ −1 (mod p) hay p chia hết (p − 1)! + 2.3 Định lý Wilson cho nhóm hữu hạn Trước trình bày Định lý Wilson mở rộng, luận văn trình bày chứng minh Định lý Wilson theo cách nhìn lý thuyết nhóm Cho (G, ·) nhóm giao hốn hữu hạn với phần tử đơn vị e Đặt Y S := x, x∈G tích phần tử G Ví dụ 2.3.1 Giả sử G ∼ = (Z/nZ, +) nhóm xyclic cấp n Khi n(n + 1) (modn) S ≡ + ··· + n ≡ 2
n+1 ❼ Nếu n lẻ n+1 ≡ 0(modn) Vì S = ∈ Z S ≡ n ❼ Nếu n chẵn n(n+1) khơng chia hết cho n Kéo theo S ̸= Nhưng 2S = n(n + 1) = 0, suy S có cấp Phần tử G có cấp n2 Vì S = n2 36 Ví dụ 2.3.2 Cho p số nguyên tố lẻ, gọi G = U (p) nhóm nhân phần tử khác không trường Z/pZ Trong trường x2 = = x2 − = (x + 1)(x − 1) Vì x = ±1 Với phần tử x ∈ U (p) với x2 ̸= 1, ta có x x−1 phần tử phân biệt G Ghép phần tử tích, ta có S = · (−1) = −1 Trường hợp đặc biệt, nhóm U (2) = U (Z/2Z) có phần tử = −1 Ví dụ chứng minh Định lý Wilson Hệ 2.3.3 (Định lý Wilson) Với số nguyên tố p, ta có (p−1)! ≡ −1(modp) Bây ta phát biểu trường hợp tổng quát-một kết Miller [12] Định lý 2.3.4 (Định lý Wilson cho nhóm giao hốn hữu hạn) Cho G Q nhóm hữu hạn đặt S := x∈G x a) Nếu G phần tử cấp S = e b) Nếu G có phần tử t có cấp S = t c) Nếu G có hai phần tử cấp S = e Nhận xét 2.3.5 Các phần tử G có cấp lớn xuất theo cặp x ̸= x−1 Vì tích tất phần tử e Kéo theo Q S = x∈G[2] x, G[2] tập phần tử có cấp không vượt Chú ý x = x−1 , y = y −1 , kéo theo (xy)−1 = y −1 x−1 = yx = xy Do G[2] nhóm G Bổ đề 2.3.6 Cho G nhóm mà phần tử khác đơn vị có cấp Khi G nhóm giao hốn Chứng minh Lấy x, y ∈ G Vì x2 = y = e, ta có x−1 = x y −1 = y Nhân hai vế e = (xy)2 = xyxy vào bên trái với x−1 vào bên phải với y −1 , ta có xy = x−1 y −1 = yx 37 Như ta quy Định lý 2.3.4 trường hợp G = G[2] Ta trình bày hai cách chứng minh định lý Để trình bày chứng minh thứ Định lý 2.3.4, ta cần số chuẩn bị sau Bổ đề 2.3.7 Cho G nhóm mà phần tử khác đơn vị có cấp Cho H nhóm G, cho y ∈ G\H Khi tập {h ∈ H} ∪ {hy | h ∈ H} nhóm G có cấp hai lần cấp H Chứng minh Dễ thấy tập nhóm G Hơn {h ∈ H} → {hy | h ∈ H} biến h thành hy song ánh nên cấp hai lần cấp H Bổ đề 2.3.8 Cho G nhóm hữu hạn mà phần tử khác đơn vị có cấp Khi (i) Cấp G 2k với k ≥ (ii) Nếu G có cấp lớn G có nhóm H cấp 2k−1 Chứng minh Ta chứng minh đồng thời (i) (ii) quy nạp Đặt H0 = {e} Nếu G = H0 , ta có điều phải chứng minh Trái lại tồn x1 ∈ G\H0 , theo Bổ đề 2.3.7, H1 = {e, x1 } nhóm cấp Nếu G = H1 ta có điều phải chứng minh Trái lại tồn i x2 ∈ G\H1 , theo Bổ đề 2.3.7 ta có H2 = {h ∈ H1 } ∪ {x2 h | h ∈ H1 } có cấp Tiếp tục vậy, giả sử Hn nhóm thực G có cấp 2n Khi tiếp tục thực chứng minh chọn xn+1 ∈ G\Hn đặt Hn+1 = {h ∈ Hn } ∪ {xn+1 h | h ∈ Hn } Ta có Hn+1 nhóm cấp 2n+1 Vì G nhóm hữu hạn phải tồn n cho Hn = G Từ ta có điều phải chứng minh Chứng minh thứ Định lý 2.3.4 Nhắc lại ta giả sử G = G[2] nhóm giao hốn, hữu hạn mà phần tử khác đơn vị có cấp Q Đặt S := x∈G x Khi 38 (i) Nếu G khơng có phần tử cấp G nhóm tầm thường S = e (ii) Nếu G có phần tử t có cấp G = {e, t} S = et = t (iii) Giả sử G có hai phần tử cấp Theo Bổ đề 2.3.7 Bổ đề 2.3.8, nhóm G có cấp 2k với k ≥ 2, G có nhóm H cấp 2k−1 phần tử y ∈ G\H thỏa mãn G hợp rời {h ∈ H} {yh | h ∈ H} Do Y Y Y Y Y
2k−2 k−2 k−1 = e2 = e x= h yh = yh = y = y2 = y2 x∈G h∈H h∈H h∈H h∈H Để trình bày chứng minh thứ hai Định lý 2.3.4 ta cần số chuẩn bị sau Chứng minh tổng hợp từ [14] [13] Bổ đề 2.3.9 Cho G nhóm hữu hạn mà phần tử khác đơn vị có cấp 2.Cho a phần tử khác phần tử đơn vị G Khi ánh xạ ιa : G → G, x 7→ ax−1 thỏa mãn với x ∈ G, ta có ιa (x) ̸= x ιa (ιa (x)) = x Chứng minh Nếu x ∈ G ta có ιa (ιa (x)) = a ax−1
−1 = e Giả sử x ∈ G x = ιa (x) = ax−1 Khi e = x2 = a Đây điều vơ lý Do ιa (x) ̸= x Chứng minh thứ hai Định lý 2.3.4 Giả sử G nhóm giao hốn hữu hạn Nhắc lại ta giả sử G có cấp n > phần tử khác đơn vị G có cấp Gọi a phần tử khác đơn vị G Theo Bổ đề 2.3.9, ta có n = 2m số chẵn ta xếp phần tử G thành x1 , , x2m thỏa mãn với ≤ i ≤ m, ta có x2i−1 x2i = a 39 Khi S= Y x2i−1 x2i = am 1≤i≤m Trường hợp (i): Giả sử m = Khi a phần tử cấp Khi S = a1 = a Trường hợp (ii): Giả sử m = 2M số chẵn Khi S = a2M = a2
M = e Trường hợp (iii): Giả sử m = 2M + với M ≥ Khi S =
M a2M +1 = a2 a = a Mặt khác m ≥ 2, tồn b ∈ G\{1, a} lập luận tương tự ta có S = b2M +1 = b Như a = b Điều vô lý chứng tỏ trường hợp không xảy Nhận xét 2.3.10 Cho G nhóm giao hoán, hữu hạn cho t ∈ G Q phần tử cấp Theo Định lý 2.3.4 tích S = x∈G x e t Để chứng minh S = e ta cần tìm phần tử khác có cấp Để chứng minh S = t ta cần khơng có phần tử khác có cấp Đặc biệt cho n ∈ Z+ cho G = U (n) nhóm phần tử khả Q nghịch Z/nZ Nếu n ≤ U (n) = {1} Vì x∈U (n) x = Nếu n ≥ −1 phần tử cấp hai U (n) Vì ta có Q x∈U (n) x = {±1} Khi n nguyên tố phương trình x2 = có nghiệm ±1 Tuy nhiên phương trình x2 = có nhiều hai nghiệm Z/nZ Q n hợp số Ví dụ n = x∈U (8) x = · · · = 105 = Z/8Z 12 = 32 = 52 = 72 = Z/8Z Vì U (8) có ba phần tử có cấp Với n, Gauss chứng minh trình bày mục sau Q x∈U (n) x = ±1 Kết 2.4 Định lý Wilson cho vành cho vành đa thức Cho m, n ∈ Z+ Tồn đồng cấu vành Φ : Z → Z/mZ × Z/nZ, x 7→ (x (modm), x (modn)) 40 Hạt nhân Φ tập số nguyên x thỏa mãn x ≡ 0(modm) x ≡ 0(modn), tức tập số nguyên chia hết cho bội chung nhỏ lcm(m, n) Do ta có đơn cấu Z/ lcm(m, n)Z → Z/mZ × Z/nZ Vì Z/mZ × Z/nZ có mn phần tử nên ta có đẳng cấu lcm(m, n) = mn tức gcd(m, n) = Bằng quy nạp ta có kết sau Mệnh đề 2.4.1 (Định lý thặng dư Trung Hoa) Cho m1 , , mr ∈ Z+ thỏa mãn gcdi (mj , mj ) = với ≤ i < j < r Khi ta có đẳng cấu vành Z/m1 · · · mr Z → r Y Z/mi Z, x 7→ (x (modm1 ) , , x (modmr )) i=1 Nhận xét 2.4.2 Cho vành R1 , , Rr Ký hiệu Qr i=1 Ri tích R1 ×R2 × .×Rr Tích vành với phép cộng nhân tương ứng Q Q tọa độ Cho (x1 , , xr ) ∈ ri=1 Ri , ta có (x1 , , xr ) ∈ U ( ri=1 Ri ) xi ∈ U (Ri ) với ≤ i ≤ r Điều kéo theo ! r r Y Y U (Ri ) , U Ri = i=1 i=1 vế phải tích trực tiếp nhóm giao hốn Định lý sau mở rộng Định lý Wilson đưa Gauss Định lý 2.4.3 (Gauss) Cho n ∈ Z+ đặt Gn := Q x∈U (n) x (i) Nếu n = có dạng pa 2pa với p số nguyên tố lẻ Gn = −1; (ii) Các trường hợp khác Gn = Chứng minh Nhắc lại x ∈ Z, x(modn) khả nghịch Z/nZ gcd(x, n) = 41 Giả sử n = 2a1 pa22 · · · par r với a1 ≥ 0, a2 , , ar ≥ Theo Định lý thặng dư Trung Hoa Nhận xét 2.4.2 U (n) ∼ = U (2 ) × a1 r Y U (pai i ) i=2 (trường hợp r = có nghĩa n = 2a1 ) Bước 1: Như chứng minh phía trước, ta giả sử n > Vì Q −1 ∈ U (n)[2] theo Định lý 2.3.4 x∈U (n) x = −1 U (n)[2] = Q {±1} x∈U (n) x = U (n)[2] ⊋ {±1} Hơn a1 = U (n) ∼ = U (2)× U (n/2) ∼ = U (n/2) Do kết cho trường hợp n giống cho n/2 Vì ta giả sử n lẻ chia hết cho Bước 2: Giả sử n = pa với p > số nguyên tố a ∈ Z+ Cho x ∈ U (pa ) [2] Nếu Z/pa Z x + x − bội p, (x + 1) − (x − 1) = bội p Điều vô lý với giả thiết p > Vì ta có hai trường hợp Trường hợp 1: x + không bội p Khi x + khả nghịch Vì (x + 1)(x − 1) = nên x − = kéo theo x = Trường hợp 2: x − không bội p Tương tự, ta có x + = x = −1 Bước 3: Giả sử a1 ≥ Khi + 2a1 −1 ∈ U (2a1 ) \{±1} Vì U (2a1 ) có nhiều phần tử cấp Vì U (2a1 ) đẳng cấu với nhóm U (n) nên U (n) có nhiều phần tử cấp Bước 4: Giả sử a1 = Nếu r = tức n = U (n) = {±1} ta có điều phải chứng minh Trái lại tồn x ∈ U (n) thỏa mãn x ≡ 1(mod4) x ≡ −1 (modpai i ) với i ≥ Điều chứng tỏ có phần tử cấp khác ±1 Bước năm 5: Giả sử r ≥ tồn x ∈ U (n) thỏa mãn x ≡ (modpa22 ) , x ≡ −1 (modpai i ) Điều chứng tỏ có phần tử cấp khác ±1 Mối liên hệ Z vành đa thức Z/pZ[t] chủ đề quan trọng 42 thú vị Đại số Lý thuyết số Phần cuối mục trình bày kết tương tự Định lý 2.4.3 Z/pZ[t] với p > Cho n(t) ∈ Z/pZ[t] đa thức bậc dương đặt U (n(t)) := U (Z/pZ[t]/(n(t))) Ta tính Y Gn(t) := x x∈U (n(t)) Vành Z/pZ[t]/(n(t)) có đặc số p > nên −1 ̸= Theo Định lý 2.3.4, Gn(t) ∈ {±1} Trong vành Z/pZ[t], ta có thuật tốn chia Euclid, đa thức phân tích thành tích đa thức bất khả quy Do n(t) = p1 (t)a1 · · · pr (t)ar , p1 (t), , pr (t) đa thức bất khả quy phân biệt Một cách tương tự ta có Định lý thặng dư Trung Hoa cho trường hợp Thật vậy, hai đa thức m(t), n(t) ngun tố chúng khơng có ước chung bậc dương bội chung nhỏ tích chúng m(t)n(t) Vì hạt nhân đồng cấu Z/pZ[t] → Z/pZ[t]/(m(t)) × Z/pZ[t]/(n(t)) m(t)n(t) ta có đơn cấu Z/pZ[t]/(m(t)n(t)) → Z/pZ[t]/(m(t)) × Z/pZ[t]/(n(t)) Nếu f (t) có bậc d Z/pZ[t]/(f (t)) có cấp pd Nếu m(t) có bậc dm n(t) có bậc dn m(t)n(t) có bậc dm +dn Vì Z/pZ[t]/(m(t)n(t)) Z/pZ[t]/(m(t)) × Z/pZ[t]/(n(t)) có cấp pdm +dn Do đơn cấu đẳng cấu Bằng quy nạp ta có ∼ Z/pZ[t]/(n(t)) → r Y i=1 43 Z/pZ[t]/ (pi (t)ai ) Do U (n(t)) ∼ = r Y U (pi (t)ai ) i=1 Định lý sau trình bày [11] trường hữu hạn Chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 2.4.3 Định lý 2.4.4 Cho p > số nguyên tố cho n(t) ∈ Z/pZ[t] đa thức monic bậc dương Nếu n(t) lũy thừa đa thức bất khả quy Gn(t) = −1 Trái lại Gn(t) = Ví dụ 2.4.5 Cho n ∈ Z+ xét vành Rn := Z/2Z[t]/ (tn ), vành đặc số cấp 2n Các đa thức khả nghịch đa thức bậc nhỏ n có hệ số tự (khác ) Do U (Rn ) có cấp 2n−1 (i) Với (n = 1), ta có R1 = Z/2Z Vì U (R1 ) nhóm tầm thường (ii) Với (n = 2), ta có c)Với (n = 3), ta có Y x∈U (R3 ) x = 1(t+1) t2 +
Q x∈U (R2 ) x = · (t + 1) = t +
t2 + t + = t5 +2t4 +3t3 +3t2 +2t+1 = t2 +1 44 KẾT LUẬN Luận văn "Một số mở rộng định lý Wilson áp dụng" hoàn thành với kết đạt được: - Hệ thống kiến thức chuẩn bị nhóm nhóm hữu hạn, quan hệ đồng dư ứng dụng - Trình bày định lý Wilson dạng số mở rộng, áp dụng - Trình bày Định lý Sylow ứng dụng chứng minh Định lý Wilson - Trình bày mở rộng Định lý Wilson cho nhóm hữu hạn - Trình bày Định lý Wilson cho vành cho vành đa thức Hướng phát triển luận văn: tiếp tục tìm hiểu ứng dụng Định lý Wilson, đặc biệt giải toán sơ cấp Nghiên cứu mở rộng khác Định lý Wilson, đặc biệt tổ hợp (xem [9]) Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] N T Cường (2003), Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Việt Nam [2] N.H.V Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, Việt Nam [3] Ngô Đắc Tân (2003), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Một số đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế, Olympic 30.4, Olympic sinh viên Tiếng Anh [5] T N An, N V Hoang and S Kumashiro (2021), Modern algebra 2, Thai Nguyen University Publishing House [6] T Nguyen An and N V Hoang (2022), Number theory, Thai Nguyen University Publishing House [7] M Aschbacher (2000), Finite group theory, (Second Edition), Cambridge University Press [8] P L Clark, "Wilson’s theorem: An algebraic approach", http://alpha.math.uga.edu/pete/wilsoneasy.pdf [9] T.J Evans (2006), "On some generalizations of Fermat’s, Lucas’s and Wilson’s theorems", Ars Combin., 79 , 189–194 [10] R Friedman, The Sylow http://math.columbia.edu/rf/sylowthms.pdf 46 theorem, [11] X Li and M Sha (2017), "Gauss factorials of polynomials over finite fields", Int J Number Theory, 13, 2039-2054 [12] G.A Miller (1903), "A new proof of the generalized Wilson’s theorem", Ann of Math (2)4, 188-190 [13] C Saucier (2018), "A combinatorial approach to Wilson’s theorem for finite Abelian groups", Math Mag., 91, 97-102 [14] H.S Vandiver and M.W Weaver, "Introduction to arithmetic factorization and congruences from the standpoint of abstract algebra", Amer Math Monthly, 8, part II, 53 pp [15] Wikipedia, https://www.wikipedia.org/ 47