Luận văn thạc sỹ đường tròn droz farny và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ MAI ĐƯỜNG TRÒN DROZ-FARNY VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2022 i Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 AP1 = AQ1 = BP2 = BQ2 = CP3 = CQ3 H cách sáu điểm Dựng đường tròn Droz-Farny thứ Trường hợp tam giác Đường tròn Droz-Farny thứ hai Hai đường tròn Droz-Farny thứ thứ hai Mệnh đề 1.2.2 sáu điểm đồng viên Trục đẳng phương đường tròn Droz-Farny Bài số 1, IMO 2008 Madrid, Tây Ban Nha Trục đẳng phương đường tròn Droz-Farny 10 11 14 15 17 18 20 21 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 Hình bình hành Varignon Q Bốn đường cao Q đồng quy M1 H3 H1 M3 M2 H4 H2 M4 tứ giác nội tiếp Đường tròn tám điểm Q Hai đường tròn đồng tâm O′ Hai đường trịn có bán kính Ci = pi ∪ pi+1 Tính chất thứ đường tròn Droz - Farny thứ Hai đường tròn đồng tâm O Các đường tròn (H1 V1 H3 V3 ), (H2 V2 H4 V4 ) có tâm G′ Y4 , Y4′ bốn đường tròn tâm O1 , O2 , O3 , O4 Tứ giác Q có hai đường chéo vng góc Dựng đường tròn Droz - Farny thứ hai Các điểm Zi , Zi′ thuộc Ellipse ε 24 26 27 28 29 31 33 34 35 37 38 39 40 43 ii 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Đường thẳng Droz-Farny Chứng minh A3 , B3 , C3 thẳng hàng A2 C QB1 = QC1 A2 B Hyperbol Jerabek Hyperbol Kiepert Hyperbol Steiner 46 47 49 52 53 54 Mục lục Đường tròn Droz-Farny tam giác 1.1 Đường tròn Droz-Farny thứ 1.2 Đường tròn Droz-Farny thứ hai 5 12 Đường tròn Droz-Farny tứ giác 2.1 Đường tròn tám điểm 2.2 Đường tròn Dzor-Farny thứ 2.3 Xây dựng đường tròn Droz-Farny thứ hai 2.3.1 Trường hợp tầm thường 2.3.2 Đường tròn Droz-Farny thứ hai 23 23 28 35 35 36 45 45 46 48 51 Một số vấn đề liên quan 3.1 Đường thẳng Droz-Farny 3.1.1 Định lý đường thẳng Dzor-Farny 3.1.2 Trường hợp tổng quát 3.2 Đặc trưng cặp đường thẳng Droz-Farny Tài liệu tham khảo 56 Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Trong suốt thời gian qua, nhiều đề tài đường trịn tìm hiểu nghiên cứu, chẳng hạn: Hai kiểu đường tròn Apollonius, đường tròn Lucas, đường tròn Tucker, đường tròn Lemoine thứ nhất, thứ hai, thứ ba, Liên quan đến Định lý đường tròn sáu điểm tam giác đường tròn mang tên vợ chồng nhà toán học Arnold Droz-Lina Farny (người Đức): Đường tròn Droz-Farny thứ thứ hai tam giác, Droz-Farny thứ thứ hai tứ giác Nghiên cứu sâu tính chất đường trịn đó, mối liên hệ chúng với đường trịn sáu điểm tam giác, đường trịn chín điểm tứ giác vấn đề khác nội dung đề tài Đó lý mà tơi nghiên cứu, trình bày đề tài "Đường tròn Droz-Farny số vấn đề liên quan" Mục đích đề tài là: - Giới thiệu đường trịn Droz-Farny tam giác, xác định vị trí tâm độ dài bán kính, tính chất liên quan đến đường tròn Mối quan hệ đường trịn sáu điểm đường trịn chín điểm tam giác - Trình bày đường trịn Droz-Farny tứ giác liên quan đến tứ giác trực tâm tứ giác lồi Đặc biệt đường tròn Droz-Farny tứ giác liên quan đến Ellipse tám điểm thiết lập nhờ phương pháp tọa độ Ngoài đề tài làm rõ ý nghĩa Định lý đường tròn sáu điểm - Bồi dưỡng lực dạy chuyên đề khó trường THCS THPT góp phần đào tạo học sinh học giỏi mơn Hình học Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Đề tài trình bày nội dung chính: đường tròn Droz-Farny tam giác, đường tròn Droz-Farny tứ giác số vấn đề liên quan Có thể nói nội dung đề tài phong phú, đa số tính chất chứng minh hình học túy, kết hợp với đại số Phần thứ hai (các đường trịn Droz-Farny tứ giác) tài liệu hình học đề cập đến, coi nội dung đề tài, tham khảo báo [5] Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Đường tròn Droz-Farny tam giác Chương giới thiệu đường tròn Droz-Farny tam giác, có cách dựng tính chất đường trịn Droz-Farny thứ thứ hai Bán kính đường trịn tính thơng qua cạnh a, b, c tam giác bán kính R đường trịn ngoại tiếp Nội dung tham khảo tổng hợp từ tài liệu [6], bao gồm mục sau: 1.1 Đường tròn Droz-Farny thứ 1.2 Đường tròn Droz-Farny thứ hai Chương Đường tròn Droz-Farny tứ giác Mở rộng nội dung chương 1, chương tiếp tục giới thiệu hai đường tròn Droz-Farny tứ giác lồi Đặc biệt việc xây dựng đường trịn Droz-Farny thứ hai cơng việc phức tạp khó Các khái niệm liên quan đến Ellipse chứa tám điểm, xây dựng phương pháp tọa độ Nội dung tham khảo báo [3], [5] Nhiệm vụ làm rõ phép chứng minh Chương bao gồm mục sau: 2.1 Đường tròn tám điểm tứ giác 2.2 Đường tròn Droz-Farny thứ thứ hai tứ giác Chương Một số vấn đề liên quan Chương dành cho việc trình bày vấn đề liên quan: Định lý đường thẳng Droz-Farny, đường tròn sáu điểm tam giác; điều kiện để đường tròn sáu điểm trở thành đường tròn chín điểm, Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [3], [6], [4], bao gồm: 3.1 Đường thẳng Droz-Farny 3.2 Định lý đường tròn sáu điểm tam giác Chương Đường tròn Droz-Farny tam giác Trong suốt thời gian qua, nhiều đề tài đường tròn nghiên cứu thu kết chẳng hạn: Hai kiểu đường tròn Apollonius, đường tròn Lucas, đường tròn Tucker, đường tròn Lemoine thứ nhất, thứ hai, thứ ba, Liên quan đến "đường tròn sáu điểm tam giác" đường tròn mang tên vợ chồng nhà toán học Arnold Droz-Lina Farny (người Đức): Đường tròn Droz-Farny thứ thứ hai tam giác, Droz-Farny thứ thứ hai tứ giác.Arnold Droz học toán bang Neufchaatel sau tiếp tục học Munich, nơi ơng tham dự giảng phân tích Klein Vào thời điểm này, ơng phát triển niềm u thích mạnh mẽ hình học Anh kết với Lina Farny, người đến từ La Chauxde-Fonds Sau kết hôn, hai đổi tên thành Droz-Farny Sau hc Mă unchen, ụng c b nhim lm giáo viên "trong viện quan trọng Đức - nói tiếng Thụy Sĩ" Các cơng trình tốn học ông liên quan đến đường tròn Droz-Farny, đường thẳng Droz-Farny, Phần trình bày đường trịn Droz-Farny thứ thứ hai tam giác tham khảo [6] 1.1 Đường tròn Droz-Farny thứ Trong phần ta định nghĩa đường tròn Droz-Farny thứ phát biểu số tính chất đường trịn Khi ký hiệu A1 , B1 , C1 trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC ∆A1 B1 C1 gọi tam giác trung điểm ∆ABC Để dẫn tới định nghĩa đường tròn Droz-Farny ta phát biểu số Mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.1 Cho tam giác ABC với trực tâm H , ∆A1 B1 C1 tam giác trung điểm Nếu đường tròn tâm H cắt đường thẳng cạnh (B1 C1 ), (C1 A1 ), (A1 B1 ) P1 , Q1 ; P2 , Q2 ; P3 , Q3 ta có AP1 = AQ1 = BP2 = BQ2 = CP3 = CQ3 Hình 1.1: AP1 = AQ1 = BP2 = BQ2 = CP3 = CQ3 Chứng minh Trường hợp tam giác ABC nhọn, Hình 1.1 Từ giả thiết ta có: HP1 = HQ1 , B1 C1 k BC, AH ⊥ BC tức AH ⊥ B1 C1 Do AH trung trực đoạn P1 Q1 Tương tự, BH CH trung trực đoạn P2 Q2 P3 Q3 Ta suy ra: AP1 = AQ1 , BP2 = BQ2 , CP3 = CQ3 Gọi T1 = AH ∩B1 C1 , ta có Q1 A2 −Q1 H = T1 A2 −T1 H Ký hiệu R1 = HP1 ta có Q1 A2 = R12 + (T1 A + T1 H)(T1 A − T1 H) = R12 + AH(T1 A − T1 H) Tuy nhiên, T1 A = T1 H1 với H1 hình chiếu vng góc A lên BC , ta thu Q1 A2 = R12 + AH.HH1 Ta biết đối xứng trực tâm H qua BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ký hiệu hình chiếu H1′ ta có AH.HH1′ = R2 − OH (phương tích H (ABC )) Đến nhận AH.HH1 = (R − OH ) đó, AQ21 = R12 + (R2 − OH ) Tương tự, BQ22 = CQ23 = R12 + (R2 − OH ) Vậy AQ1 = BQ2 = CQ3 Ta suy điều phải chứng minh Trường hợp tam giác ABC tù, ta chứng minh tương tự Mệnh đề 1.1.1 phát biểu theo cách khác sau: Mệnh đề 1.1.2 Nếu ta vẽ đường trịn có tâm A, B, C sáu giao điểm đường tròn với đường thẳng cạnh tam giác trung điểm nằm đường trịn có tâm trực tâm H Chứng minh Ta chứng minh Mệnh đề 1.1.1 mệnh đề 1.1.2 tương đương: • Giả sử Mệnh đề 1.1.1 đường tròn tâm A, B, C cắt đường thẳng (B1 C1 ), (C1 A1 ), (A1 B1 ) P1 , Q1 ; P2 , Q2 ; P3 , Q3 trung trực P1 Q1 đường cao AH Tương tự, trung trực P2 Q2 đường cao BH , trung trực P3 Q3 đường cao CH Nghĩa trực tâm H cách sáu điểm P1 , Q1 , P2 , Q2 , P3 , Q3 ta có kết luận Mệnh đề 1.1.2 • Ngược lại có Mệnh đề 1.1.2 đường tròn tâm H cắt đường thẳng (B1 C1 ), (C1 A1 ), (A1 B1 ) P1 , Q1 ; P2 , Q2 ; P3 , Q3 Gọi R1 bán kính đường trịn tâm H , qua sáu điểm P1 , Q1 , P2 , Q2 , P3 , Q3 lặp lại phần chứng minh Mệnh đề 1.1.1, ta có: AQ21 = R12 + (R2 − OH ) = BQ22 = CQ23 Ta suy điều phải chứng minh, Hình 1.2 42 Ta xét số ứng dụng mở rộng kết Giả sử Q = A1 A2 A3 A4 tứ giác lồi tùy ý K giao đường chéo Q Xét hình bình hành Varignon M1 M2 M3 M4 Q Lấy cố định đoạn thẳng có độ dài r > d(Ai , Mi−1 Mi ) với i = 1, 2, 3, Gọi Zi Zi′ giao điểm đường tròn (Ai , r) với đường thẳng Mi−1 Mi Ký hiệu pi đường vng góc hạ từ Ai xuống đường thẳng Mi−1 Mi Ci = pi ∪ pi+1 , Hình 2.14 Vì pi pi+1 trung trực ′ ′ đoạn thẳng Zi Zi′ Zi+1 Zi+1 nên ta có "Các điểm Zi , Zi′ , Zi+1 , Zi+1 nằm đường tròn tâm Ci với i = 1, 2, 3, 4." Kết luận khẳng định bốn đường trịn, đường tròn qua Zi , Zi′ , thuộc đường thẳng chứa hai cạnh liên tiếp hình bình hành Varignon M1 M2 M3 M4 Q Với r tùy ý Ta xét toán dạng tọa độ sau: Ví dụ 2.3.1 Nếu Q tứ giác lồi tám điểm Zi , Zi′ , i = 1, 2, 3, xác định nằm hoàn toàn Ellipse mà trục Ellipse phân giác góc tạo đường chéo Q Chứng minh Ta trang bị hệ tọa độ Cartesian với trục phân giác góc tạo đường chéo Q Phương trình đường chéo có dạng y = mx y = −mx với m > Các đỉnh Q có tọa độ A1 (a1 , ma1 ); A2 (a2 , −ma2 ); A3 (a3 , −ma3 ); A4 (a4 , −ma4 ) với a1 , a2 > a3 , a4 < Sau tính tốn dựa vào tính chất Zi Zi′ ta có tọa độ chúng Zi = (ξi , ηi ); Zi′ = (ξi′ , ηi′ ) với p p (m2 + 1)r2 − m2 a2i m3 − (m2 + 1)r2 − m2 a2i ξi = ηi = p m2 + p m2 + m + (m2 + 1)r2 − m2 a2i − (m2 + 1)r2 − m2 ′ ′ ηi = ξi = m2 + m2 + Bằng biến đổi đại số kiểm tra đẳng thức + m4 ξi2 + ηi2 = m2 r2 Tương tự với Zi′ = (ξi′ , ηi′ ) nên tọa độ Zi , Zi′ thỏa mãn phương trình y2 x2 = (2.3) m4 x2 + y = m r ⇔ r 2 + (mr)2 (m ) 43 Nghĩa tám điểm Zi , Zi′ thuộc Ellipse ε có phương trình (2.3) Hình 2.14: Các điểm Zi , Zi′ thuộc Ellipse ε Ví dụ 2.3.2 Diện tích Ellipse diện tích hình trịn có bán kính r (2.3) phương trình đường trịn Q có hai đường chéo vng góc r Chứng minh Ellipse có phương trình (2.3) nên bán trục có độ dài m r rm Từ suy Ellipse có diện tích π .rm = πr2 Đây diện m tích hình trịn có bán kính r Ellipse trở thành đường trịn m = 1, phương trình tắc x2 + y = r2 Nhưng trục Ellipse đường thẳng vng góc (hệ số góc -1), điều tương đương với Q tứ giác có hai đường chéo vng góc Kết chứng minh Tóm lại, đường tròn Droz-Farny tứ giác Q định nghĩa Q tứ giác có đường chéo vng góc: 44 (i) Nếu thêm Q tứ giác nội tiếp ta có đường trịn Droz-Farny thứ xác định định nghĩa đường tròn Droz-Farny thứ hai đường trịn ngoại tiếp Q (ii) Nếu Q khơng tứ giác nội tiếp ta có đường trịn Droz-Farny thứ hai cách dựng nêu Trong trường hợp, đường tròn Droz-Farny tứ giác Q gọi đường tròn tám điểm Q 45 Chương Một số vấn đề liên quan Ta xét vấn đề liên quan: đường thẳng Droz-Farny số trường hợp tổng quát; hai đặc trưng cặp đường thẳng DZ số ứng dụng 3.1 Đường thẳng Droz-Farny Năm 1899, Arnold Dzor công bố Định lý tiếng ơng lại khơng đưa phép chứng minh Nội dung định lý đơn giản sau: Nếu đường thẳng vng góc cắt trực tâm tam giác chắn cạnh tam giác đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng thẳng hàng "Định lý đáng ý" này, đặt tên Honsberger, chủ đề nhiều thảo luận gần Darij Grinberg đảm nhận ý tưởng Floor van Lamoen trình bày phép chứng minh lượng giác toán Grinberg đưa phép chứng minh lượng giác thứ hai, bắt nguồn từ tổng quát hóa định lý Dzor-Farny, đơn giản hóa phương pháp Nicolaos Dergiades đưa phép chứng minh dựa Định lý sin Milorad Stevanoni’c trình bày phép chứng minh véc tơ Gần đây, Grinberg lại chọn phép chứng minh cách sử dụng phép nghịch đảo phép chứng minh sử dụng biến đổi góc Ở đây, chúng tơi trình bày phép chứng minh hình học túy dựa báo [4] 46 3.1.1 Định lý đường thẳng Dzor-Farny Định lý 3.1 (Droz-Farny) Nếu đường thẳng vuông góc cắt trực tâm tam giác chắn cạnh tam giác đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng thẳng hàng Người ta gọi đường thẳng chứa trung điểm đường thẳng DzorFarny, Hình 3.1 Phép chứng minh Định lý 3.1 dựa vào tốn phụ sau: Hình 3.1: Đường thẳng Droz-Farny Bài tốn phụ 1: Tam giác ABC có H trực tâm, H1 , H2 , H3 chân đường cao Các đường cao cắt đường tròn ngoại tiếp tương ứng Ha , Hb , Hc Bài toán phụ 2: Cho đường thẳng l qua trực tâm H tam giác ABC Các đường thẳng đối xứng l qua cạnh tam giác, đồng quy điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài toán phụ 3: (Miquel) Lấy điểm K ∈ AB, I ∈ BC, J ∈ AC tam giác ABC Khi đường trịn (AKJ), (BKI), (CIJ) qua điểm M Chứng minh Định lý 3.1 Chứng minh Ta chứng minh trường hợp ∆ABC khơng vng ∆ABC vng, kết tầm thường Ký hiệu đường thẳng cắt vng góc 47 Hình 3.2: Chứng minh A3 , B3 , C3 thẳng hàng H l1 , l2 Với i = 1, giả sử li cắt đường thẳng BC, CA, AB tương ứng Ai , Bi , Ci Gọi A3 , B3 , C3 trung điểm BC, CA, AB Ta cần chứng minh A3 , B3 , C3 thẳng hàng, Hình 3.2 Nếu gọi Ha , Hb , Hc đối xứng H qua BC, CA, AB tương ứng điểm thuộc C = (ABC) Ta ký hiệu Ca = (HA1 A2 ), Cb = (HB1 B2 ), Cc = (HC1 C2 ) Đoạn thẳng A1 A2 đường kính đường trịn Ca , áp dụng toán phụ 2, Ha ∈ Ca Hệ Ha giao C Ca , cịn đường thẳng qua Ha , vng góc với BC qua H Cũng với lý vậy, Hb giao C Cb , cịn đường thẳng qua Hb , vng góc với CA qua H Xét điểm Hc đối xứng H qua AB Theo toán phụ 1, Hc thuộc đường tròn C Áp dụng toán phụ vào đường thẳng A1 B1 C1 qua H , ta kết luận đường thẳng Ha A1 , Hb B1 , Hc C1 cắt điểm N ∈ C Theo toán phụ áp dụng vào tam giác A1 N B1 với Ha ∈ A1 N, Hb ∈ N B1 H ∈ A1 B1 ta kết luận đường tròn C, Ca Cb qua M Như đường tròn Ca , Cb , Cc qua H M nên đồng trục, tâm A3 , B3 , C3 đường tròn thẳng hàng Định lý chứng minh hoàn toàn 48 3.1.2 Trường hợp tổng quát Định lý đường thẳng Droz-Farny tổng quát hóa theo nhiều quan điểm khác nhau, cách tổng quát hóa ta thu cách chứng minh Định lý, Sau trình bày mở rộng Định lý Droz-Farny, phép chứng minh có sử dụng tỷ số tứ giác Giả sử P điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi Pa , Pb , Pc đối xứng P qua BC, CA, AB Ta thu điểm thẳng hàng, đường thẳng Pa Pb Pc có tên gọi đường thẳng Steiner điểm P tam giác ABC Định lý 3.2 (4) , Cho tam giác ABC điểm P đường tròn ngoại tiếp tam giác Giả sử lSt đường thẳng Steiner P tam giác ABC Q điểm lSt Ký hiệu l1 l2 phân giác góc tạo lSt P Q Lại ký hiệu A1 , B1 , C1 A2 , B2 , C2 giao điểm l1 l2 với cạnh tam giác ABC Khi đó, trung điểm đoạn thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 thẳng hàng Khi Q ≡ H ta có Định lý đường thẳng Droz-Farny Để chứng minh Định lý ta xét Bổ đề sau: Bổ đề 3.1.1 Các phân giác l1 l2 cắt BC, CA, AB A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 tương ứng Khi đó, A2 C QB1 = (3.1) QC1 A2 B CB2 BC2 = (3.2) BC1 CB1 Chứng minh Thật vậy, khơng tính chất tổng quát ta coi P thuộc cung BC không chứa A, điểm A1 , A2 nằm B C Q nằm B1 QB1 A2 C C1 Hình 3.3: Ta cần chứng minh: = QC1 A2 B Giả sử lSt cắt AB, AC K, L P C1 cắt QA2 X Trong tam giác P QK, QC1 phân giác KC1 phân giác ngoài, suy P C1 phân giác Trong tam giác P QK, P X = P C1 phân giác QX phân giác ngoài, điều kéo theo KX phân giác Do đó, KX cắt QC1 S S tâm đường trịn nội tiếp tam giác P QK Do 49 Hình 3.3: QB1 A2 C = QC1 A2 B đó, P S phân giác qua C2 , giao phân giác ngồi tam giác P QK Từ suy S trực tâm tam giác XC2 C1 Giả sử P B1 ∩ QA2 = Y Trong tam giác P QL có QB2 phân giác trong, LB1 , QB1 hai phân giác ngoài, nghĩa QB1 phân giác Do đó, LY phân giác tam giác P QL, kéo theo LY ⊥ AC Trong tam giác P QL có QB2 phân giác trong, LB2 phân giác ngoài, kéo theo P B2 phân giác Hơn P B2 ⊥ P Y Hệ tứ giác Y QB1 L P QC2 C1 tứ giác nội tiếp ta có đẳng thức \ P\ B1 C = Y[ QL = Y QP = P\ C1 B Ngoài ra, P nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , suy P\ B1 C = P\ C1 B Ta nhận ∆P BC1 ∼ ∆P CB1 ; ∆P BC ∼ ∆P C1 B1 Tương tự, từ đồng dạng ∆P BC ∼ ∆P C2 B2 suy P\ CA2 = P\ B2 A2 Từ suy tứ giác P A2 CB2 nội tiếp thu đẳng thức \ \1 = P\ P\ A2 B = P\ B2 C = LY B1 = LQB QC1 Bây ta khẳng định ∆P A2 B ∼ ∆P QC1 suy đẳng thức tỷ QB1 A2 C số = (3.1) chứng minh QC1 A2 B Tiếp theo ta chứng minh (3.2) Từ chứng minh ta có P\ B2 C = \ \1 = P\ BC1 Suy tam giác LY B1 = LQB QC1 = P\ C2 B P\ CB2 P\ 50 đồng dạng: ∆P CB2 ∼ ∆P BC2 Lại từ P\ B2 C = P\ C2 B kéo theo hai tam giác vuông đồng dạng: ∆P C2 C1 ∼ ∆P B2 B1 Cuối thu đẳng thức CB2 BC2 = (3.2): BC1 CB1 Trong trường hợp tổng quát, tiện ta sử dụng độ dài đại số Bổ đề 3.1.2 Hai ba điểm thẳng hàng A1 , B1 , C1 A2 , B2 , C2 thỏa mãn B A1 B A2 = Giả sử A0 , B0 , C0 điểm chia đoạn thẳng B C1 B C2 A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 theo tỷ số Khi điểm A0 , B0 , C0 thẳng hàng Chứng minh Chứng minh hiển nhiên Chứng minh Định lý 3.2 Chứng minh Theo Bổ đề 3.1.1 ta có dãy đẳng thức với độ dài đại số sau: QB1 C2 A −1 −1 A1 B QB1 − QA1 QA1 C2 B = = = A1 C1 QC1 − QA1 QC1 B2 A −1 −1 QA1 B2 C C2 A − C2 B B C AB CB2 = = B A − B C C2 B AC BC2 A2 B AB CB1 Hoàn toàn tương tự ta thu = , mà từ ta có theo A2 C2 AC BC1 Bổ đề 3.1.2 trung điểm A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 thẳng hàng Định lý 3.2 chứng minh hồn tồn Chú ý Thơng thường, ta chứng minh trung điểm A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 thuộc trung trực P Q cách dễ Thật vậy, theo Bổ đề 3.1.1, điểm P, Q nằm đường trịn đường kính C1 C2 , nghĩa trung điểm C1 C2 nằm trung trực P Q Tương tự trung điểm A1 A2 , B1 B2 Với kết ta thu Định lý 3.2 nhanh Tuy nhiên dùng Bổ đề 3.1.2 ta có kết tổng quát 51 3.2 Đặc trưng cặp đường thẳng Droz-Farny Ở ta đưa đặc trưng đơn giản cặp đường thẳng Droz-Farny qua điểm mặt phẳng Tài liệu tham khảo [8] Trong [2], J.P.Ehrmann and F.van Lamoen chứng minh tổng quát hóa xạ ảnh Định lý đường thẳng Droz-Farny Họ định nghĩa Định nghĩa 3.1 Ta gọi cặp DF -đường thẳng qua điểm P ứng với tam giác ABC cặp đường thẳng (l, l′ ) cắt đường thẳng BC (X, X ′ ), đường thẳng CA (Y, Y ′ ), đường thẳng AB (Z, Z ′ ) cho trung điểm đoạn XX ′ , Y Y ′ , ZZ ′ thẳng hàng Sau họ chứng minh (l, l′ ) cặp DF -đường thẳng l, l′ đường tiếp tuyến conic nội tiếp tam giác ABC Như vậy, cặp DF - đường thẳng qua P hai đường thẳng liên hợp phép đối hợp I xác định đường thẳng qua P tiếp xúc với conic thuộc chùm conic nội tiếp tam giác ABC Đi qua điểm P chung, có cặp DF -đường thẳng qua P ứng với tam giác ABC , cặp gọi cặp ODF -đường thẳng qua P ứng với tam giác ABC Xét đường thẳng qua P , tiếp xúc với ba conic nội tiếp suy biến tam giác ABC , ta có: cặp (P A, pA ) với pA đường thẳng qua P song song với BC , cặp (P B, pB ) với pB đường thẳng qua P song song với CA cặp (P C, pC ) với pC đường thẳng qua P song song với AB ba cặp liên hợp đường thẳng phép đối hợp I Nhắc lại tam giác trung điểm A′ B ′ C ′ ABC tam giác có đỉnh trung điểm BC, CA AB tam giác đối liên hợp A′′ B ′′ C ′′ ABC tam giác nhận ABC làm tam giác trung điểm Định lý 3.3 (8) Cặp (l, l′ ) cặp DF -đường thẳng qua P ứng với tam giác ABC (l, l′ ) cặp đường kính liên hợp conic Cp với tâm P tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A′′ B ′′ C ′′ Đặc biệt, cặp ODF -đường thẳng qua P trục conic Chứng minh Vì A trung điểm B ′′ C ′′ B ′′′ C ′′′ k BC nên suy đường thẳng P A đường thẳng pA (qua P , song song với BC ) cặp đường kính liên hợp conic CP Theo cách tương tự, cặp (P B, pB ) 52 cặp đường kính liên hợp CP Vì hai cặp đường thẳng tương ứng xác định phép đối hợp nến ta suy điều phải chứng minh Nhận xét trực tâm H tam giác ABC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đối liên hợp A′′ B ′′ C ′′ Vì hai đường kính trực giao đường trịn cặp đường kính liên hợp nên ta tìm thấy trường hợp đặc biệt định lý đường thẳng Droz-Farny biết: Các đường vng góc qua H cặp DF -đường thẳng ứng với tam giác ABC Như hệ Định lý 3.3, ta mơ tả trục Ellipse Hyperbol nội tiếp tam giác ABC cặp ODF -đường thẳng qua tâm liên quan đến tam giác trung điểm A′ B ′ C ′ tam giác ABC Cuối cùng, cách tương tự, ta dựng trục Ellipse Hyperbol tam giác liên kết với tam giác ABC Ta minh họa Định lý 3.3 conic cụ thể Hình 3.4: Hyperbol Jerabek Ví dụ 3.2.1 Hyperbol Jerabek tam giác ABC (liên hợp đẳng giác đường thẳng Euler ∆ABC ) hyerbol chữ nhật qua điểm A, B, C, H, O, K (điểm Lemoine) tâm Hyperbol điểm có số Kimberling X(125), tọa độ barycenteric X(125)   2 sin 2A sin (B − C) : sin 2B sin (C − A) : sin 2C sin (A − B) 53 X(125) thuộc đường trịn chín điểm tam giác ABC (tâm Hyperbol chữ nhật ngoại tiếp tam giác ABC nằm đường trịn chín điểm tam giác) Nó điểm đồng quy đường thẳng Euler tam giác AB ′ C ′ , BC ′ A′ , CA′ B ′ Các trục Hyperbol đường ODF -đi qua điểm X(125), tam giác trung điểm A′ B ′ C ′ ABC Hình 3.5: Hyperbol Kiepert Ví dụ 3.2.2 Hyperbol Kiepert tam giác ABC Hyperbol chữ nhật qua điểm A, B, C, H, G, Sp (tâm nội tiếp tam giác trung điểm A′ B ′ C ′ Tâm Hyperbol điểm có số Kimberling X(115) với tọa độ barycenteric)   (b2 − c2 )2 : (c2 − a2 )2 : (a2 − b2 )2 nằm đường trịn chín điểm Các trục cặp ODF -đường thẳng, qua điểm X(115) ứng với tam giác trung điểm A′ B ′ C ′ Ví dụ 3.2.3 Ellipse Steiner tam giác ABC hình Ellipse ngoại tiếp với tâm trọng tâm G Nó vị tự (và có trục) với Ellipse Steiner tam giác trung điểm A′ B ′ C ′ tam giác đối liên hợp A′′ B ′′ C ′′ Các trục Ellipse cặp ODF -đường thẳng, qua G ứng với tam giác ABC (và ứng với tam giác A′ B ′ C ′ , A′′ B ′′ C ′′ ), Hình 3.6 54 Hình 3.6: Hyperbol Steiner 55 Kết luận luận văn Luận văn trình bày kết sau: Đường tròn Droz-Farny tam giác, bao gồm cách dựng, tính chất đường trịn Droz-Farny thứ thứ hai Từ nêu số ứng dụng đường tròn giải tốn Bằng cách tương tự đường trịn Droz-Farny tam giác, nội dung thứ trình bày đường tròn Droz-Farny tứ giác Để đảm bảo tương tự mở rộng ta phải xuất phát từ tứ giác Q = A1 A2 A3 A4 tứ giác nội tiếp, đường tròn Droz-Farny thứ hai Q phải tứ giác có hai đường chéo vng góc Liên quan đến nội dung khái niệm Định lý đường thẳng Droz-Farny Ngoài phép chứng minh Định lý đường thẳng Droz-Farny số mở rộng, luận văn đề cập đến số ứng dụng hiệu Định lý việc xây dựng conic Euler Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi hạn chế, khiếm khuyết Tác giả mong góp ý, bổ sung thầy giáo đồng nghiệp nhằm làm cho kết nghiên cứu hồn chỉnh có ích Xin chân thành cảm ơn! 56 Tài liệu tham khảo [1] Dechen, X.J., (Bản dịch tiếng Việt Đồn Như Kim), (1963), Hình học tam giác, NXB Giáo dục, chương 1, chương [2] Ferrarello, D., Mammana, M F., Pennisi, M., (2013), Some Concyclicity Properties of Convex Quadrilatarals, Journal for Geometry and Graphics Volume 17, N0 1, 7-19 [3] Josefsson,M., (2019), Characterizations of Cyclic Quadrilatarals, International Journal of Geometry, Vol 8, N0 1, 5-21 [4] Cyril Letro, (2016), On a new generalization of the Droz-Farny line Forum Geometricorum, Volume 16 (2016), pp 367–369 [5] Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi, (2011), The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral, Forum Geometricorum, Volume 11, 109–119 [6] Ion Patrascu and Florentin Smarandache, (2016) Complements to Classic of Circles Geometry, Pons Editions Brussels