Luận văn thạc sỹ biểu diễn fibonacci và biểu diễn lucas của các số nguyên dương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ NGHĨA BIỂU DIỄN FIBONACCI VÀ BIỂU DIỄN LUCAS CỦA CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2022 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 1.2 Dãy số Fibonacci dãy số Lucas 1.3 Sàn, trần số thực số tính chất 3 Chương Biểu diễn Fibonacci biểu diễn Lucas số nguyên dương 2.1 Biểu diễn Fibonacci số nguyên dương 2.2 Biểu diễn Lucas số nguyên dương 18 2.3 Biểu diễn lũy thừa thành tổng hai số Fibonacci 31 2.4 Biểu diễn lũy thừa thành tổng hai số Lucas 41 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 i Mở đầu Bài toán biểu diễn số nguyên dương toán số học nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, vấn đề biểu diễn số nguyên dương thành tổng số Fibonacci tổng số Lucas quan tâm nghiên cứu từ lâu Từ năm 1939, nhà toán học người Bỉ Zeckendorf [15] có kết việc biểu diễn số nguyên dương thành tổng số Fibonacci số Lucas (tên nhà toán học sử dụng để gọi cho biểu diễn này), đến năm 1972 báo vấn đề ông công bố Cũng năm 1972, nhà toán học người Mỹ Carlitz [7] cộng công bố thêm số kết phát triển từ kết Zeckendorf Năm 2014, Jhon J Bravo Florian Luca đưa thảo vấn đề biểu diễn lũy thừa thành tổng hai số Fibonacci (được công bố năm 2016, [4]), đồng thời công bố số kết biểu diễn lũy thừa thành tổng hai số Lucas [3] Dựa kết đạt trước đó, nhất, vào năm 2020 nhà toán học người Mỹ Kimberling [9] trình bày việc biểu diễn số nguyên dương thành tổng số Lucas dựa vào lý thuyết mảng Wythoff xây dựng Morrison [14] Mục tiêu Luận văn nghiên cứu trình bày lại số kết nêu vấn đề biểu diễn số nguyên dương thành tổng số Fibonacci số Lucas Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung Luận văn trình bày thành chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, định nghĩa dãy số Fibonacci dãy số Lucas; đồng thời trình bày khái niệm sàn, trần số thực số tính chất sàn để phục vụ cho chương sau Ở Chương 2, chúng tơi trình bày lại số kết báo nêu trên, cụ thể: 2.1 Biểu diễn Fibonacci số nguyên dương [7] 2.2 Biểu diễn Lucas số nguyên dương [9] 2.3 Biểu diễn lũy thừa thành tổng hai số Fibonacci [4] 2.4 Biểu diễn lũy thừa thành tổng hai số Lucas [3] Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngô Văn Định, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngơ Văn Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu, chỉnh sửa sai sót tơi để tơi hồn thành Luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Tin thầy, giảng viên tận tình giảng dạy, đồng thời tạo điều kiện tốt cho thời gian học tập Thái Nguyên, tháng năm 2022 Tác giả Nông Thị Nghĩa Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày dãy số Fibonacci dãy số Lucas Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày khái niệm sàn, trần số thực số tính chất nhằm phục vụ cho chương sau 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Trước hết, chúng tơi nhắc lại khái niệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, đặc biệt cơng thức nghiệm phương trình trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Định nghĩa 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình có dạng un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, , (1.1) A, B số Để tìm nghiệm phương trình (1.1), ta xét phương trình bậc hai λ2 − Aλ − B = (1.2) Phương trình gọi phương trình đặc trưng phương trình (1.1) Định lý sau Koshy chứng minh [10] cho cơng thức nghiệm phương trình sai phân (1.1) trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt Định lý 1.1 Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α β Khi phương trình sai phân (1.1) có nghiệm un = C1 αn + C2 β n , n = 0, 1, 2, , (1.3) C1 C2 số Chú ý rằng, biết điều kiện ban đầu u0 u1 số C1 C2 hồn tồn xác định Ví dụ 1.1 Tìm nghiệm phương trình sai phân un+1 = un + un−1 (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = Giải Phương trình đặc trưng phương trình (1.4) λ2 − λ − = √ 1+ Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt √ 1− Do đó, nghiệm tổng qt phương trình (1.4) √ !n √ !n 1+ 1− un = C + C2 , n = 0, 1, 2 Từ điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = ta có hệ phương trình   C1 + C2 = 0, √ √ 5 − +   C1 + C2 = 2 1 Giải hệ phương trình ta C1 = √ , C2 = − √ Vậy nghiệm 5 phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 0, u1 = " √ !n √ !n # 1+ 1− un = √ , n = 0, 1, − 2 5 Liệt kê số hạng dãy trên, ta được: (un ) : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, Trong phương trình (1.4) ta thay điều kiện ban đầu thành u0 = 2, u1 = nghiệm tổng quát phương trình √ !n √ !n 1+ 1− + , n = 0, 1, 2, un = 2 Khi đó, liệt kê số hạng dãy ta được: (un ) : 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, Một cách tổng quát, phương trình sai phân (1.1) với điều kiện ban đầu u0 , u1 xác định dãy số {un }∞ n=0 , kí hiệu u(A, B, u0 , u1 ), với aαn − bβ n un = (1.5) α−β α, β hai nghiệm phương trình đặc trưng (1.2) a = u1 − u0 β, b = u1 − u0 α 1.2 Dãy số Fibonacci dãy số Lucas Định nghĩa 1.2 Dãy số Fibonacci, ký hiệu {Fn }, định nghĩa hệ thức truy hồi sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, với giá trị ban đầu F0 = 0, F1 = Theo định nghĩa, ta có dãy số Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Định nghĩa 1.3 Dãy số Lucas, ký hiệu {Ln }, định nghĩa hệ thức truy hồi sau: Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2, với giá trị ban đầu L0 = 2, L1 = Theo định nghĩa, ta có dãy số Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, Từ kết Ví dụ 1.4, số hạng tổng quát dãy số Fibonacci dãy số Lucas xác định công thức Binet Mệnh đề √ 1+ Mệnh đề 1.1 (Công thức Binet) Với n ∈ Z, α = √ 1− , ta có β= αn − β n Fn = Ln = αn + β n (1.6) α−β 1.3 Sàn, trần số thực số tính chất Định nghĩa 1.4 Cho số thực x ∈ R Số nguyên lớn không vượt x gọi phần nguyên hay sàn x Ta thường kí hiệu phần nguyên x [x] Nhiều tài liệu gọi phần nguyên x sàn kí hiệu phần ngun x ⌊x⌋, sàn có liên quan mật thiết với khái niệm trần ⌈x⌉ x Hai khái niệm trần sàn thường dùng tin học Trong Luận văn này, sử dụng kí hiệu sàn ⌊x⌋ Định nghĩa 1.5 Cho số thực x ∈ R Số nguyên bé không nhỏ x gọi trần x kí hiệu ⌈x⌉ Định nghĩa 1.4 1.5 tương đương với ( ( z ≤ x < z + 1; ≤ x − z < 1; ⌊x⌋ = z ⇔ ⇔ z ∈ Z z ∈ Z Hơn nữa, ⌈x⌉ = ⌊x⌋ x ∈ Z ⌈x⌉ = ⌊x⌋ + với x ∈ / Z Định nghĩa 1.6 Phần lẻ (phần thập phân, phần dư) số thực x, kí hiệu {x} định nghĩa {x} = x − ⌊x⌋ Sau đây, số tính chất sàn Tính chất 1.1 Với x ∈ R ta có ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + hay x − < ⌊x⌋ ≤ x Dấu xảy x số nguyên Tính chất 1.2 Với số thực x ta có x = ⌊x⌋ + {x}; ≤ {x} < 1; x = {x} ⇔ ≤ x < Tính chất 1.3 Với số thực x số nguyên z ta có ⌊x + z⌋ = ⌊x⌋ + z, {x + z} = {x} Tính chất 1.4 Với số thực x ta có ⌊⌊x⌋⌋ = ⌊x⌋ ⌊{x}⌋ = Tính chất 1.5 Các quy tắc hoán vị, kết hợp phép cộng phép nhân; quy tắc phân phối phép nhân phép cộng cho ⌊x⌋, với số thực x Tính chất 1.6 Với x, y ∈ R ta có ( ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ {x} + {y} < 1; ⌊x + y⌋ = ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + ≤ {x} + {y} < Tính chất 1.7 Với x, y ∈ R ta có ( ⌊x⌋ − ⌊y⌋ {y} ≤ {x}; ⌊x − y⌋ = ⌊x⌋ − ⌊y⌋ − {x} ≤ {y} Tính chất 1.8 Với số thực x số nguyên với số ngun n ta ln có ⌊x⌋ + ⌊n − x⌋ = n − Chương Biểu diễn Fibonacci biểu diễn Lucas số ngun dương Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kết vấn đề biểu diễn Fibonacci biểu diễn Lucas số nguyên dương 2.1 Biểu diễn Fibonacci số nguyên dương Định lý Zeckendorf đặt theo tên nhà toán học người Bỉ Edouard Zeckendorf, định lý tiếng biểu diễn số nguyên dạng tổng số Fibonacci Trước nhắc lại Định lý Zeckendorf, ta có Bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử dãy số (ci )i=0,1, ,j dãy tăng, thỏa mãn ci ≥ ci+1 > ci + với i = 0, 1, Khi ta có j X Fci < Fcj +1 i=0 Chứng minh Chú ý rằng, F3 số hạng lớn tổng lớn số Fibonacci khơng liên tiếp F3 + F1 = + = < = F4 Giả sử tổng số Fibonacci không liên tiếp đến Fk−1 nhỏ Fk Khi đó, tổng số Fibonacci không liên tiếp đến Fk không chứa , ln a0 + d i=1 33 gọi độ cao logarit η Đặc biệt, η = p/q số hữu tỉ với (p, q) = q > 0, h(η) = ln max {|p| , q} Các tính chất sau độ cao logarit sử dụng phần tiếp theo: ❼ h(η ± γ) ≤ h(η) + h(γ) + ln ❼ h(ηγ ±1 ) ≤ h(η) + h(γ) ❼ h(η s ) ≤ |s| h(η) Với kí hiệu trên, Matveev [13] chứng minh Định lý sau Định lý 2.18 Giả sử γ1 , , γt số thực dương trường đại số K có bậc D, b1 , , bt số hữu tỉ, Λ = γ1b1 γtbt − 1, khác khơng Khi |Λ| > exp −1.4 × 30t+3 × t4.5 × D2 × (1 + ln D) (1 + ln B) A1 At
B ≥ max {|b1 | , , |bt |} , Ai ≥ max {Dh (γi ) , |ln γi |, 0.16} với i = 1, , t Bổ đề sau công cụ quan trọng để giảm chặn biến phương trình (2.38) Việc chứng minh Bổ đề trình bày [2] Bổ đề 2.12 Cho M số nguyên dương, p/q giản phân liên phân số γ cho q > 6M , cho A, B, µ số thực với A > 0, B > Cho ǫ = kµqk − M kγqk, k · k biểu thị khoảng cách đến số nguyên gần Nếu ǫ > khơng tồn nghiệm bất phương trình < |uγ − v + µ| < AB −w , 34 với u, v, w số nguyên dương u ≤ M, w ≥ ln(Aq/ǫ) ln B Giả sử (2.38) Trước hết, ta thấy n = m phương trình ban đầu (2.38) trở thành Fn = 2a−1 Theo Định lý 2.16, tất nghiệm phương trình (n, a) ∈ {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (6, 4)} Như vậy, từ bây giờ, ta giả sử n > m Thực tế, Fn +Fn−1 = Fn+1 nên ta giả sử n > m + cụ thể n − m > Theo [4], n ≤ 200 việc tìm kiếm phạm vi ≤ m < n ≤ 200 cho ta nghiệm (n, m, a) ∈ {(2, 1, 1), (4, 1, 1), (4, 2, 2), (5, 4, 3), (7, 4, 4)} Do đó, từ ta giả sử n > 200 Bây ta tìm mối liên hệ n a Kết hợp (2.38) với vế phải bất đẳng thức (2.39), ta 2a ≤ αn−1 + αm−1 ≤ αn−1 + αn−2 = αn < 2n , dẫn đến a ≤ n Mặt khác, ta viết lại phương trình (2.38) dạng βn αn a √ − = √ − Fm 5 Lấy giá trị tuyệt đối đẳng thức để thu n n α | √ − 2a ≤ |β √ + αm , + F < m 5 ta sử dụng vế phải (2.39) Chia hai vế biểu √ thức cho αn / xét đến n > m, ta 35 √