Một số dạng biểu diễn số nguyên dương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ ANH MỘT SỐ DẠNG BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN DƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ ANH MỘT SỐ DẠNG BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN DƢƠNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2018 Lời cảm ơn Để hồn thành luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Hà Huy Khối , người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu giảng viên giảng dạy lớp cao học K10 chuyên ngành Phương pháp Tốn sơ cấp nói riêng, thầy, giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln quan tâm, động viên tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Anh Mục lục Mở đầu Một số kết kinh điển toán biểu diễn số nguyên dương 1.1 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng hai bình phương 1.2 Một số tập minh họa 1.2.1 Bài tập 1.2.2 Bài tập 1.2.3 Bài tập 1.3 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng nhiều hai bình phương 10 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số hạng cấp số cộng 15 2.1 Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số lẻ liên tiếp tổng số chẵn liên tiếp 15 2.2 Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số nguyên dương liên tiếp 26 Kết luận 36 Mở Đầu Vấn đề biểu diễn số nguyên dương vấn đề quan trọng số học, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhận quan tâm của nhà toán học Nhiều nhà toán học tiếng bỏ nhiều cơng sức để nghiên cứu nó, ví dụ Fermat, Lagrange, Wilson, Euler Albert Girard người đưa nhận xét "Mỗi số nguyên tố lẻ mà đồng dư với theo modulo biểu diễn dạng tổng số phương" vào năm 1632 Fermat người chứng minh đưa thông báo thư gửi cho Marin Mersenne năm 1640 Cũng Fermat, Lagrange nhà lý thuyết số kiệt xuất Trong cơng trình ông, kể đến: chứng minh cho định lý Wilson n số nguyên tố (n − 1)! ≡ −1 (mod n); kiểm tra điều kiện để ±2 ±5 thặng dư phi thặng dư bình phương số nguyên tố lẻ (trường hợp −1 ±3 đề cập Euler); tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − ay = lời giải số toán đặt Fermat, dẫn tới kết khẳng định số nguyên tố p ≡ (mod 8) có dạng p = a2 + 2b2 , Mục tiêu luận văn trình bày số kết liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu kể trên, cụ thể toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng bình phương, toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số hạng cấp số cộng Chương Một số kết kinh điển toán biểu diễn số nguyên dương 1.1 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng hai bình phương Về mặt lịch sử vấn đề "biểu diễn số nguyên dạng tổng bình phương" tốn thu hút nhiều quan tâm ý Phần dành để trình bày số kết hướng nghiên cứu nhằm trả lời câu hỏi "Giá trị n nhỏ để số nguyên dương biểu diễn dạng tổng khơng q n bình phương?" Khi thử với vài số nguyên dương ta thấy: = 12 = + 12 = + 12 + 12 = 22 = 2 + 12 = 2 + 12 + 12 = 2 + 12 + 12 + 12 Do tổng bốn bình phương cần thiết biểu diễn số 7, ta suy số cần tìm phải thoả mãn n ≥ Vẫn cịn khả xảy số nguyên biểu diễn dạng tổng nhiều bốn bình phương Tuy nhiên, định lý tiếng Lagrange chứng minh vào năm 1770, khẳng định n = 4 đủ, nghĩa là: Mọi số nguyên dương biểu diễn thành tổng bốn bình phương (trong = 02 ) Ta trường hợp đơn giản Trước tiên ta tìm điều kiện cần đủ để số nguyên dương biểu diễn thành tổng hai bình phương Vấn đề quy xem xét số nguyên tố bổ đề Bổ đề 1.1.1 Nếu m n tổng hai bình phương tích m.n Chứng minh m = a2 + b2 Giả sử với a, b, c, d nguyên n = c2 + d2 Ta có : m.n = (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 Bổ đề chứng minh Ví dụ 1.1 = 2 + 12 = 22 + 5.13 = 65 = 42 + 72 25 = 32 + 42 61 = 52 + 62 25.61 = 1525 = 252 + 302 Tuy nhiên số nguyên hay số nguyên tố viết dạng tổng hai bình phương Ví dụ 1.2 Khơng tồn a, b ngun dương thỏa mãn = a2 + b2 Và trước chứng minh định lý Fermat ta chứng minh Bổ Đề sau: Bổ đề 1.1.2 Với p số nguyên tố gcd(a, p) = phương trình đồng dư ax ≡ y(modp) có nghiệm x0 , y0 thoả mãn < |x0 | < < |y0 | < √ √ p p Chứng minh √ Đặt k = [ p] + tập số nguyên: S = {ax − y|0 ≤ x ≤ k − 1; ≤ y ≤ k − 1} Từ ax − y nhận k > p giá trị, theo nguyên lý chuồng bồ câu Dirichlet tồn hai phần tử tập S đồng dư theo modulo p Giả sử hai phần tử ax1 − y1 ax2 − y2 với x1 = x2 y1 = y2 Ta viết: a(x1 − x2 ) ≡ (y1 − y2 )(modp) Đặt x0 = x1 − x2 y0 = y1 − y2 Ta có x0 , y0 thỏa mãn phương trình đồng dư ax ≡ y(modp) Nếu nghiệm x0 = y0 = gcd(a, p) = suy nghiệm cịn lại không, mâu thuẫn với giả thiết Do đó: √ < |x0 | ≤ (k − 1) < p √ < |y0 | ≤ (k − 1) < p Bây ta chứng minh định lý Fermat Định lý 1.1.1 (Định lý Fermat) Một số nguyên tố lẻ p biểu diễn dạng tổng hai bình phương p ≡ 1(mod4) Chứng minh: Giả sử p = a2 +b2 Vì p số nguyên tố nên p | a, p | b (Nếu p | a p | b2 nên p | b dẫn đến mâu thuẫn p2 | p) Vì theo thuyết đồng dư tuyến tính tồn số c để bc ≡ (mod p) Theo modulo p quan hệ (ac)2 + (bc)2 = pc2 trở thành: (ac)2 ≡ −1(modp) Như vậy, (−1) thặng dư bình phương p, theo kết −1 biết, ( ) = p ≡ 1(mod4) p Điều ngược lại, giả sử p ≡ 1(mod4) Vì (−1) thặng dư bình phương p nên tồn số nguyên a cho a2 ≡ −1(modp) (p − 1) Một giá trị a thoả mãn : a = ! Do (a, p) = phương trình đồng dư ax ≡ y(modp) nhận nghiệm x0 , y0 ta có −x20 ≡ a2 x20 ≡ (ax0 )2 ≡ y02 (modp) x20 + y02 ≡ 0(modp) Suy x20 + y02 = kp với số nguyên k ≥ Mặt khác theo bổ đề ta có √ < |x0 | < p √ < |y0 | < p suy < x20 + y02 < 2p suy k = x20 + y02 = p Vậy định lí chứng minh Để ý (−a)2 = a2 , ta có hệ sau Hệ 1.1.1 Số nguyên tố p có dạng 4k + biểu diễn (không kể thứ tự số hạng) thành tổng hai bình phương Ví dụ 1.3 Xét số ngun tố p = 13 Số nguyên a tương ứng (p − 1) ! = 6! = 720 chứng minh định lý lấy a = Một nghiệm phương trình đồng dư 720x ≡ y(mod13) hay 5x ≡ y(mod13) tìm cách xét tập hợp S = {5x − y|0 ≤ x, y < 4} Các phần tử tập S số nguyên: −1 −2 −3 10 15 14 13 12 Theo modulo 13 trở thành 10 12 11 10 12 Trong số khả khác ta có 5.1 − ≡ ≡ 5.3 − 0(mod13) 5(1 − 3) ≡ 3(mod13) Vì ta lấy x0 = −2 y0 =3 để 13 = x20 + y02 = 22 + 32 Chú ý: 13 = 22 + 32 = 22 + (−3)2 = (−2)2 + 32 = (−2)2 + (−3)2 = 32 + 22 = 32 + (−2)2 = (−3)2 + 22 = (−3)2 + (−2)2 Tám cách viết không kể đến thứ tự Nên biểu diễn 13 = 22 + 32 Ta số nguyên tố có dạng p = 4k + biểu diễn thành tổng hai bình phương, câu hỏi đặt là: Số ngun tố tích có chứa thừa số 4k + có tính chất khơng? Để trả lời câu hỏi ta xét định lý sau Định lý 1.1.2 Cho số nguyên dương n có dạng n = N m, m số squarefree (số khơng có ước phương khác 1) Khi n biểu diễn dạng tổng hai bình phương m khơng chứa thừa số nguyên tố dạng 4k + Chứng minh • Nếu m = n = N + 02 : ln • Giả sử m > 1 Điều kiện đủ: m > 1, ta phân tích m thành tích thừa số nguyên tố m = p1 p2 p3 pr Mỗi số nguyên tố pr = có dạng 4k + 1, viết dạng tổng hai bình phương Khi đồng thức (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2 , 23 Vì ước tất số có dạng 2(2m + 1), nên ta có mệnh đề: Mệnh đề 2.1.6 Mọi số có dạng 2(2m + 1), với m số nguyên dương, viết thành tổng hai số dương chẵn liên tiếp Hiển nhiên, tổng 2m + 2(m + 1) Nếu m số nguyên tố biểu diễn Mệnh đề 2.1.6’ Mọi số có dạng 2p p số nguyên tố lẻ, biểu diễn thành tổng không hai số dương chẵn liên tiếp Các số tự nhiên mà Định lý 2.1.3 Định lý 2.1.4 không áp dụng số chẵn dạng 2(n+1) (2m + 1), m, n số nguyên dương.Những số bao gồm ước số mà hợp cặp bù nhau, chúng tạo hai loại tổng: thành tổng số dương lẻ liên tiếp tổng số dương chẵn liên tiếp "Thành phần hỗn hợp" viết sau: Định lý 2.1.5 Được biểu diễn thành tổng số dương lẻ liên tiếp tổng số dương chẵn liên tiếp tất số chẵn có dạng: 2(n+1) (2m + 1) m, n số nguyên dương Thật vậy, lớp có ước bù d = 2k , d = 2(n−k+1) k số nguyên dương cho 2k < n + Khi k chuỗi kết bao gồm số dương lẻ liên tiếp Một lớp khác ước bù d = 2(n+1) < d = 2m + d = 2m + < d = 2(n+1) Trong hai trường hợp, chuỗi kết bao gồm số dương chẵn liên tiếp Ví dụ 2.6 Ta có: 60 = 29 + 31 (2 số hạng) = + + + + 15 (2.3 số hạng) = 18 + 20 + 22 (3 số hạng) = 12 + 14 + 16 + 18 (22 số hạng) = 18 + 20 + 22 (3 số hạng) = + 10 + 12 + 14 + 16 (5 số hạng) 24 Theo Mệnh đề 2.1.5.a Mệnh đề 2.1.5.b tổng 4k − 4k + số dương chẵn mang số chẵn dạng mô tả Định lý 2.1.5 Vì khơng có lũy thừa biểu diễn dạng tổng số dương chẵn liên tiếp (Mệnh đề 2.1.3.a) suy tổng 4k hay 4k − số dương chẵn phải sinh số chẵn có dạng mơ tả Định lý 2.1.5 Do có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.7 (a) Các số có dạng 22 k(4k − 1), k số nguyên dương viết dạng tổng 4k − số dương chẵn Đối với k = 1, 2, 3, 4, 5, có bảng k Số Tổng Số số hạng 3·4 2+4+6 7·8 + + + + 14 11 · 12 + + + + 22 11 15 · 16 + + + + 30 15 19 · 20 + + + + 38 19 Bảng Mệnh đề 2.1.7 (b) Các số có dạng 22 k(4k + 1), k số nguyên dương viết dạng tổng 4k số dương chẵn với k = 1, 2, 3, 4, 5, có bảng k Số Tổng Số số hạng 4·5 2+4+6+8 8·9 + + + + 16 12 · 13 + + + + 24 12 16 · 17 + + + + 32 16 20 · 210 + + + + 40 20 Bảng Các Mệnh đề 2.1.7(a) Mệnh đề 2.1.7(b) suy luận cách cho 2(n+1) (2m + 1) = d(d + 1) Do số chia hết cho chúng phải có d = 4k, d = 4k − d = 4k, d = 4k − k số nguyên dương Do Mệnh đề 2.1.2 cho ta 4k(4k + 1) = + + + + 8k (4k − 1)4k = + + + + 8k − 25 Đối với cặp ước d = 2, d = 2n (2m + 1) ta có số nguyên N = 2(n+1) (2m + 1) viết thành tổng hai số dương lẻ liên tiếp N N −1 + + nêu thành dạng mệnh đề 2 Mệnh đề 2.1.8 Mọi số chẵn có dạng: N = 2(n+1) (2m + 1), m, n số nguyên dương viết thành tổng hai số dương lẻ liên tiếp Đặc biệt 2m + số nguyên tố lẻ biểu diễn N thành tổng số lẻ liên tiếp Và ta có: Mệnh đề 2.1.8’ Mọi số chẵn có dạng: 22 p p số nguyên tố lẻ, biểu diễn dạng tổng khơng hai số dương lẻ liên tiếp Những số có dạng 2(n+1) (2m + 1) có ước số bù cho cặp: d = 22 , d = 2(n−1) (2m+1) Đối với biểu diễn chuỗi tương ứng, có ba trường hợp sau: • m = n = số 22 = + + 6, tổng ba số chẵn liên tiếp • n = 1, m > số 22 (2m + 1) viết dạng tổng bốn số dương chẵn liên tiếp 22 (2m + 1) = 2(m − 1) + 2m + 2(m + 1) + 2(m + 2) • n > 1, m > số N = 2(n+1) (2m + 1) viết tổng bốn số dương lẻ liên tiếp N= N −3 + N −1 + N +1 + N +3 Mệnh đề 2.1.9 Mọi số chẵn có dạng 2(n+1) (2m + 1), m, n số nguyên dương m > viết dạng tổng bốn số dương chẵn liên tiếp tổng bốn số dương lẻ liên tiếp Mệnh đề 2.1.9’ Mọi số chẵn có dạng 22 p p số nguyên tố p > 3, biểu diễn thành tổng bốn số dương chẵn liên tiếp 22 p = (p − 3) + (p − 1) + (p + 1) + (p + 3) Ví dụ 2.7 p = ta có 22 = + + 26 2.2 Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số nguyên dương liên tiếp Cho a, a + 1, a + 2, , b chuỗi r số nguyên dương liên tiếp Khi đó, số nguyên dương N biểu diễn thành chuỗi a + (a + 1) + (a + 2) + + b N = r.(r + 2a − 1) Mặt khác, N ln viết thành N = d.d , d, d ước N Do có: 2d · d = r(r + 2a − 1) Vì a > nên r(2a + 1) > r Hơn r r + 2a − có tính chẵn lẻ khác nhau, nên có ước d, d phải lẻ Với d = 1, r = d = 2a + phải lẻ Vì ta có định lý sau Định lý 2.2.1 Khơng có số dạng 2(n−1) , với n nguyên dương mà biểu diễn thành tổng hai số nguyên dương liên tiếp Với d = d = 2a + 1, ta có a = d −1 d +1 ,b = 2 Mệnh đề 2.2.1 (a) Mọi số dương lẻ viết thành tổng hai số nguyên dương liên tiếp Mệnh đề 2.2.1 (b) Các số nguyên tố lẻ biểu diễn độc lập thành tổng hai số nguyên dương liên tiếp p−1 p+1 + Đối với số nguyên tố lẻ p p = 2 cặp ước bù cho trước d d số tự nhiên N d số lẻ d > xảy d < 2d d > 2d Nếu d < 2d r = d r + 2a − = 2d từ suy   a = d − d − d−1  b = d + Nếu d > 2d r = 2d r + 2a − = d từ suy   a = −d + d + d+1  b = d + Từ ta có định lý sau: 27 Định lý 2.2.2 Mỗi số tự nhiên N có ước lẻ d > biểu diễn thành tổng số nguyên liên tiếp Như ước lẻ d > N = d.d , N viết sau: • TH1: Nếu d < 2d , ta có: N = d− d−1 d−1 d−1 + d − + + + d + (2.7) 2 • TH2: Nếu d > 2d , ta có: N= d+1 d+1 d−1 −d + − d + + + + d (2.8) 2 Với N = p[d = p, d = 1], Định lý 2.2.2 quy Mệnh đề 2.2.1 chuỗi (2.7), (2.8) tương ứng bao gồm d 2d số nguyên dương d±1 d±1 Với d = ,N = d Và số hạng biểu diễn 2 chuổi N Và có phát biểu sau: Hệ 2.2.1 Mỗi số tự nhiên có dạng n(n + 1) , biểu diễn thành tổng n số nguyên dương n(n + 1) = + + + + n (2.9) Bảng biểu thị số n Số Tổng 1+2 1+2+3 10 1+2+3+4 15 1+2+3+4+5 21 1+2+3+4+5+6 28 1+2+3+4+5+6+7 36 1+2+3+4+5+6+7+8 45 1+2+3+4+5+6+7+8+9 Bảng Theo Định lý 2.2.2, số tự nhiên khơng có dạng 2(n−1) biểu diễn thành tổng số nguyên dương liên tiếp Trong thực tế Định lý 2.2.1 đưa điều kiện để có tất biểu diễn cho số tự nhiên 28 Với số tự nhiên cho biểu diễn tổng số lẻ chẵn số nguyên dương liên tiếp.Và chi tiết tách Định lý 2.2.2 thành ba phần riêng biệt Định lý 2.2.2 (a) Biểu diễn độc lập thành tổng số lẻ số nguyên dương liên tiếp tất số chẵn có dạng 2n (2m + 1) mà 2m + < 2(n+1) , với m, n nguyên dương Một số tự nhiên N biểu diễn tổng số lẻ số nguyên dương liên tiếp d < 2d với cặp ước bù d, d d lẻ d > Điều với N chẵn tích tất thừa số nguyên tố lẻ nhỏ hai lần tích tất thừa số nguyên tố chẵn Như phân tích N thành thừa số ngun tố dạng 2n = p1 p2 pl , n số nguyên dương p1 p2 pl < 2.2n , rõ ràng tích số nguyên tố nhỏ 2(n+1) , tất biểu diễn chuỗi N suy từ (2.7) Với ước lẻ d > cho d < 2d Một minh họa liệt kê bảng m n≥ N = 2n (2m + 1) Tổng Số số hạng 1 6=2·3 1+2+3 2 20 = 22 · 1+2+3+4+5+6 28 = 22 · 1+2+3+4+5+6+7 72 = 23 · 32 23 + 24 + 25 3 + + + + 13 11 + + + + 14 13 39 + 40 + 41 22 + 23 + 24 + 25 + 26 5 10 + + + + 12 3 88 = 23 · 11 3 4 104 = · 13 120 = · · + + + = 15 3·5 + + 10 + + 24 17 + + + + 25 19 111 + 112 + 113 45 + 46 + 47 + + 51 + + + + 26 3·7 272 = · 17 304 = · 19 336 = · · Bảng Biểu diễn chuỗi số chẵn thấp có thứ tự (nhỏ n) cho m = 1, 2, 3, , 10 Tất biểu diễn chuỗi số N = 2n (2m + 1), số hạng số nguyên dương liên tiếp phụ thuộc vào số ước nhân tử 2m + Đặc biệt mlà số nguyên tố biểu diễn N 29 Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.2 (a) Số chẵn có dạng 2n p, n số nguyên dương, p số nguyên tố lẻ p < 2(n + 1), biểu diễn độc lập thành tổng p số nguyên dương liên tiếp p−1 p−1 p−1 2n p = (2n − ) + 2n − + + 2n + (2.10) 2 với p = 2(n+1) − Và (2.9) trở thành tổng p số nguyên dương Do có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.2 (b) Những số N = 2n p, n số nguyên dương, p số nguyên tố lẻ bất kỳ, mà p + = 2(n+1) viết dạng tổng p số nguyên dương Trong bảng 10 liệt kê số số biểu diễn chúng n N = 2(n+1) − N = 2n p Tổng 1+2+3 28 + + + + 31 496 + + + + 31 127 8128 + + + + 127 12 8191 33550336 + + + + 8191 Bảng 10 Dễ dàng thấy số N = 2n p Mệnh đề 2.2.2.a đúng, tức chúng tổng ước số riêng Thật tổng là: (1 + + 22 + + 2n )(p + 1) − N = (2(n+1) − 1)2(n+1) − N = 2N − N = N Mặt khác số N = 2n p Mệnh đề 2.2.2.a với p < 2(n+1) − thừa tức chúng nhỏ tổng số ước số riêng chúng Trong thực tế tổng cuối trở thành N + (2(n+1) − p − 1) > N Thừa số 2n (2m + 1), (2m + 1) khơng số nguyên tố Biểu diễn chuỗi số 2n (2m + 1) với 2m + < 2n bất kỳ, với số lượng lớn cặp ước bù d = 2m + 1, d = 2n , ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.3 (a) Mọi số hạng 2n (2m + 1), với 2m + < 2(n+1) m, n số nguyên dương viết thành tổng 2m + số nguyên dương liên tiếp sau: 2n (2m + 1) = (2n − m) + (2n − m + 1) + + (2n + m) (2.11) 30 Rõ ràng Mệnh đề 2.2.3(a) quy Mệnh đề 2.2.2(a) 2m + số nguyên tố, số hạng (2.10) với m = 2n − ta có: Mệnh đề 2.2.3(b) Mọi số có dạng 2n (2n+1 −1), n số nguyên dương viết thành tổng 2n+1 − số nguyên dương Nếu 2n+1 −1 số nguyên tố Mệnh đề 2.2.3(b) trở Mệnh đề 2.2.2(b) Trong bảng 11 liệt kê số dạng 2n (2n+1 − 1), 2n+1 − hợp số Cũng biểu diễn chúng thành tổng số nguyên dương liên tiếp n N = 2n (2(n+1) − 1) Số hạng Số hạng cuối Số số hạng 120 39 41 22 26 15 3·5 671 673 285 291 220 228 32 86 106 3·7 63 32 · 10879 10881 6526 6530 2169 2183 3·5 1912 1928 17 615 665 · 17 342 426 · 17 255 · · 17 18685 18691 1756 1828 73 511 · 73 174591 174593 47611 47621 11 16881 16911 31 15872 15888 · 11 5586 5678 · 31 1536 1706 11 · 31 1023 · 11 · 31 2016 32640 130816 523776 Bảng 11 Định lý 2.2.2 (b) Biểu diễn số chẵn số nguyên dương liên tiếp số chẵn có dạng 2(n−1) p, n số nguyên dương, p > 2n số nguyên tố lẻ Chuỗi biểu diễn 31 là: 2(n−1) p = ( p+1 p+1 p−1 − 2(n−1) ) + ( − 2(n−1) + 1) + + ( + 2(n−1) ) 2 Trong tổng gồm 2n số hạng Khơng số khác biểu diễn tổng số chẵn số nguyên dương liên tiếp Một số tự nhiên N biểu diễn thành tổng số chẵn số dương liên tiếp d > 2d , với cặp ước bù d, d , d > lẻ Phân tích N thành thừa số nguyên tố theo dạng 2m p1 p2 pl , với m, l số nguyên dương p1 , p2 , , pl số ngun tố lẻ khơng thiết khác Khi d > 2d với cặp ươc d, d , số nguyên l = 1, tức N chứa thừa số nguyên tố lẻ Chúng ta giả sử số nguyên l = trường hợp N = 2m p1 p2 , có hai cặp ước bổ sung d = p1 , d = 2m p2 d = p2 , d = 2m p1 thỏa mãn đồng thời điều kiện: p1 > 2(m + 1)p2 p2 > 2(m + 1)p1 Điều khơng thể, N = 2m p với p > 2m+1 Hơn nữa, số nguyên tố lẻ biểu diễn thành tổng hai số nguyên dương liên tiếp (Mệnh đề 2.2.1(b)) số ngun m khơng Tất số biểu diễn độc lập thành tổng số chẵn số nguyên dương liên tiếp phải có dạng 2n−1 p, với p > 2n Vì số có ước lẻ, nên có biểu diễn tỏng chẵn Một minh họa Định lý 2.2.2(b), có bảng 12 số thứ tự thấp (tương ứng với số nguyên tố nhỏ vượt 2n ) n p ≥ 2n + 2(n−1) Số hạng Số hạng cuối Số số hạng 3 21 2·5 22 11 22 · 11 23 17 23 · 17 16 24 37 24 34 25 67 25 · 67 65 26 131 26 · 131 129 27 257 27 · 257 256 28 521 28 · 521 516 29 1027 21 10 1031 · 1031 Bảng 12 32 Với p = 2n + (2.11) trở thành tổng p − số nguyên dương đầu tiên, chúng tơi phát biểu mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.4 Mọi số có dạng 2(n−1) p n số nguyên dương p số nguyên tố lẻ mà p − = 2n , biểu diễn thành tổng 2n số nguyên dương Từ bảng 12 thấy số nguyên tố có dạng p = 2n + 1, với n = 1, 2, 4, Đã có đốn tất số có dạng 22v−1 với v số nguyên dương Tuy nhiên đoán sai với n = 16 số tạo 4294967297 hợp số, 6416700417 Lưu ý số Định lý 2.2.1(b2) thiếu, tức tổng ước riêng chúng nhỏ so với số Thật tổng ước riêng cho số là: (1 + + 22 + + 2n−1 )(p + 1) − 2n−1 p = 2n−1 p − (p + − 2n ) Thiếu số hạng có dạng 2n−1 + + 22 + + 2n−2 = 2n−1 − < 2n−1 Định lý 2.2.2 (c) Biểu diễn thành tổng số lẻ số nguyên dương liên tiếp tất số có dạng 2(n−1) (2m + 1) với m, n số nguyên dương cho 2m + > 2n hợp số Cho 2m + > 2n số nguyên tố hoăc hợp số Theo Định lý 2.2.2(b) số có dạng 2(n−1) (2m + 1) với m, n số nguyên dương, viết thành tổng 2n số nguyên dương liên tiếp với cặp ước bù d = 2m + 1, d = 2n−1 Do đó, số 2m + > 2n biểu diễn thành có dạng tổng số chẵn số nguyên dương liên tiếp Mặt khác, cho 2m + hợp số Khi 2m + = p(2M + 1), p > số nguyên tố lẻ, M số nguyên dương cho p ≤ (2M + 1) Do với 2m + > 2n ta có p < 2n (2M + 1) với cặp ước bù d = p, d = 2(n−1) (2M + 1) Suy số 2(n−1) (2m + 1) viết thành tổng p số nguyên dương liên tiếp Minh hoạ cho Định lý 2.2.2(c) ta có bảng 13 Rõ ràng biểu diễn số nhiều ước lẻ lớn chúng với số 2(n−1) (2m + 1), 2m + > 2n hợp số, số có hai ước lẻ có dạng 2(n−1) p2 , p 33 số nguyên tố lẻ cho p2 > 2n , số có hai biểu diễn thành tổng số nguyên liên tiếp Với số chẵn số hạng với số lẻ số hạng Do có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.5 Biểu diễn tổng số lẻ số nguyên dương liên tiếp tổng số chẵn số nguyên dương liên tiếp, số có dạng 2(n−1) p2 , n số nguyên dương p số nguyên tố lẻ cho p2 > 22 Hai tổng là: 2(n−1) p2 = (2(n−1) p− p−1 p−1 p−1 )+(2(n−1) p− +1)+ +(2(n−1) p+ ) 2 (2.12) p2 + (n−1) p2 − (n−1) p2 + (n−1) −2 )+( −2 +1)+ +( +2 ) 2 (2.13) n Tương ứng bao gồm p số nguyên dương liên tiếp 2(n−1) p2 = ( Minh họa Mệnh đề 2.2.5 bảng 14 (với 10 số nguyên tố lẻ p đầu tiên), hai biểu diễn chuỗi số 2(n−1) p2 với n lớn cho 2n < p2 Chúng kết luận điều nghiên cứu Bài toán 2.2 cách ghi kết quan trọng Tất số khơng có thừa số ngun tố lẻ khơng thể biểu diễn thành tổng số nguyên dương liên tiếp [Định lý 2.2.1(a)] Biểu diễn thành tổng số lẻ số nguyên dương liên tiếp số chẵn mà có phần lẻ hai lần phần chẵn [Định lý 2.2.2(a)] Tất số nguyên tố lẻ số chẵn có phần lẻ số nguyên tố nhiều gấp đôi phần chẵn, biểu diễn thành tổng số chẵn số nguyên dương liên tiếp [Định lý 2.2.2(b)] Các hợp số lẻ số chẵn mà có phần lẻ nhiều gấp đơi phần chẵn, biểu diễn thành tổng số lẻ số nguyên dương liên tiếp thành tổng số chẵn số nguyên dương liên tiếp [Định lý 2.2.2(c)] 34 n m ≥ 2(n−1) 2 2 22 2∗5 24 25 26 ∗ 43 28 2(n−1) (2m + 1) 2·3 2 · 32 23 · · 24 · · 11 25 · · 13 26 · · 43 27 · · 37 28 · 33 · 19 Số hạng Số hạng cuối Số số hạng 2 3 22 11 13 23 55 57 21 27 18 24 175 177 43 53 11 32 25 414 418 154 166 13 64 26 2751 2753 171 213 43 128 27 4733 4739 878 914 37 257 28 43775 43777 14588 14596 32 6903 6921 19 4851 4877 33 2276 2332 · 19 683 853 32 · 19 512 29 Bảng 13 35 p 2(n−1) · p2 Tổng lẻ số hạng Tổng chẵn số hạng ·3 11 + 12 + 13 (3) + + (23 ) 23 · 52 38 + + 42 (5) + + 20 (24 ) 24 · 72 109 + + 115 (7) + + 40 (25 ) 11 25 · 112 347 + + 357 (11) 29 + + 92 (26 ) 13 26 · 132 826 + + 838 (13) 21 + + 148 (27 ) 17 27 · 172 2168 + + 2184 (17) 17 + + 272 (28 ) 19 27 · 192 2423 + + 2441 (19) 53 + + 308 (28 ) 23 28 · 232 5877 + + 5889 (23) + + 520 (29 ) 29 28 · 292 7410 + + 7438 (29) 165 + + 676 (29 ) 31 28 · 312 7921 + + 7951 (31) 225 + + 736 (29 ) Bảng 14 36 Kết luận Nội dung luận văn nhằm giới thiệu số kết với chứng minh chi tiết toán biểu diễn số nguyên qua tổng số phương tổng số hạng cấp số cộng sau đây: Định lý Fermat biểu diễn số nguyên tố lẻ dạng tổng hai bình phương Định lý Fermat suy rộng biểu diễn hợp số n dạng tổng hai bình phương Số nguyên dương n biểu diễn dạng tổng ba bình phương n khơng có dạng 4m (8k + 7), với m, k số nguyên không âm Định lý Lagrange: Mỗi số nguyên dương biểu diễn tổng bốn số bình phương Định lý số nguyên dương biểu diễn qua tổng số dương lẻ liên tiếp số dương chẵn liên tiếp Định lý hợp số nguyên dương có dạng 2(n+1) biểu diễn qua tổng số dương lẻ liên tiếp Định lý số nguyên dương chẵn có dạng 2(2m+1) biểu diễn thành tổng số dương chẵn liên tiếp Định lý số nguyên dương chẵn có dạng 2(n+1) (2m + 1) biểu diễn qua tổng số dương lẻ liên tiếp chẵn liên tiếp Định lý số nguyên tố biểu diễn qua tổng số dương lẻ liên tiếp chẵn liên tiếp 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] D M Burton (1980),Elementary Number Theory, Allyn and Bacon [2] D Sardelis On positive integers represented as arithmetic series, Preprint https://arxiv.org/pdf/0806.4471 ... toán biểu diễn số nguyên dương dạng tổng bình phương, tốn biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số hạng cấp số cộng 3 Chương Một số kết kinh điển toán biểu diễn số nguyên dương 1.1 Biểu diễn số nguyên. .. Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng nhiều hai bình phương 10 Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số hạng cấp số cộng 15 2.1 Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số. .. dương biểu diễn tổng bốn số bình phương Định lý số nguyên dương biểu diễn qua tổng số dương lẻ liên tiếp số dương chẵn liên tiếp Định lý hợp số nguyên dương có dạng 2(n+1) biểu diễn qua tổng số dương