SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2023 – 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN (chung) – Đề: Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên xã hội Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức P = 2024 + 2023 − 2025 + 2024 2) Tìm tọa độ điểm M giao điểm đường thẳng y = x + với trục Ox 3) Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác vng có cạnh huyền 2 cm 4) Tính thể tích hình nón có chiều cao cm bán kính đáy cm Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức P = x + x + x −9 (với x x ) + x +2 x −3 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm x để P = Câu (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x − ( 2m + 1) x + 4m − (1) (với m tham số) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 13 2) Giải phương trình x + + − x = 2x + Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC ) nội tiếp đường tròn tâm O, AD đường cao Gọi E, F hình chiếu D AB, AC Gọi AP đường kính đường trịn ( O ) 1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp AE.AB = AF.AC 2) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AFE AP vng góc với EF 3) Gọi H trực tâm tam giác ABC Đường trịn đường kính AH cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai T Gọi K trực tâm tam giác BTC Chứng minh tứ giác AHKT hình bình hành Câu (1,0 điểm) x + + x = y + + y 1) Giải hệ phương trình x + + − x = + y + − x 2) Xét hai số thực dương x, y thỏa mãn 42 + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + + + x x y x y - THCS.TOANMATH.com Thí sinh khơng sử dụng tài liệu làm Giám thị coi thi khơng giải thích thêm./ Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1(2 điểm) 1) P 2024 2023 2025 2024 2023 2023 2024 2024 ( 2023 1)2 ( 2024 1)2 2023 2024 2023 2024 2023 2024 2) Tung độ giao điểm đồ thị hàm số y = x+1 với trục Oy là: y Vậy M(0; 1) 3) Đường trịn ngoại tiếp tam giác vng có tâm trung điểm cạnh huyền, bán kính đường trịn R 2 : (cm) Diện tích hình trịn là: S R ( 2) 2 2.3,14 6, 28 (cm ) 4) Thể tích hình nón là: 1 V R h 3,14.62.8 301, 44 (cm3 ) 3 Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức P x 4 x 4 x 9 (x 0; x 9) x 2 x 3 a) Rút gọn biểu thức P P x 4 x 4 x 9 x 3 x 2 ( x 2) ( x 3)( x 3) P x 2 x 3 P x 2 x 3 P x 2 x 3 P2 x 5 b) Tìm x để P = Ta có P = x x x x 0(TM) Vậy x = P = Câu (2,5 điểm) CLB Toán THCS Trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 1) x 2m 1 x m (1) a) m phương trình trở thành x x x x x x2 x x 1 x x x 1 x 1 Vậy với m phương trình (1) có hai nghiệm x 2; x 1 b) x 2m 1 x m (1) 2 Δ 2m 1 4m 2m 3 0m Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Δ 2m m x x 2m Định lý Vi – ét x1 x2 4m 2 Ta có x12 x22 13 x1 x2 x1 x2 13 2m 1 4m 13 4m2 4m 13 m 1 (TMĐK) m 4m m m m2 Vậy m 1; 2 phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 x22 13 2) x x x (1) (ĐK: 1 x ) x 1 x 2 x 1 x x x 1 x x x 1 x x (*) Vì x 1 nên x 1 (*) x 1 x x x TM x 3x x x x 3x x L 2 2 Vậy phương trình có nghiệm x Câu (3,0 điểm) CLB Tốn THCS Trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 y A x T F H K O E B D C M Q P 1) Chứng minh tứ giác AEDF nội tiếp AE AB AF AC Xét tứ giác AEDF có AED 90 ( E hình chiếu D AB ) AFD 90 ( F hình chiếu D AC ) AFD 90 90 180 AED Tứ giác AEDF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180 ) Xét ADB vng D có DE đường cao AD AE AB (hệ thức cạnh đường cao) Xét ADC vng D có DF đường cao AD AF AC (hệ thức cạnh đường cao) AE AB AF AC 2) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AFE AP vng góc với EF chung Xét AFE ABC có: BAC AE AF (do AE AB AF AC ) AC AB AFE ∽ ABC (c.g c ) ABC AFE Kẻ xy tiếp tuyến O A CLB Toán THCS Trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 CAy ABC (góc tạo tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn AC ) mà hai góc hai góc so le AFE CAy xy / / EF mà AP xy (vì xy tiếp tuyến O ) AP EF 3) Chứng minh tứ giác AHKT hình bình hành Vì H trực tâm ABC nên BH đường cao ABC BH AC Mà ACP 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) PC AC BH / / PC Chứng minh tương tự ta có CH / / PB Tứ giác BHCP có BH / / PC , CH / / PB nên hình bình hành Gọi M trung điểm BC M trung điểm PH Tam giác PAH có M , O thứ tự trung điểm PH , PA Nên MO đường trung bình PAH MO AH hay AH 2MO (1) Kẻ đường kính TQ O Chứng minh tương tự ta có tứ giác BKCQ hình bình hành M trung điểm KQ MO đường trung bình QTK MO TK hay TK 2MO (2) Từ (1) (2) suy AH TK Vì H trực tâm ABC nên AH đường cao ABC AH BC Vì K trực tâm BTC nên TK đường cao BTC TK BC AH / / TK Tứ giác AHKT có AH / / TK , AH TK nên hình bình hành Câu (1 điểm) 4x 2x y y 1) Giải hệ phương trình: x x y x CLB Toán THCS (1) (2) Trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 Điều kiện: x 5 5 ;y Ta có: 1 4x y y 2x 4x y 2x y 4x y 2x y 1 4x y y 2x 1(ktm) 4x y Thay y 2x vào (2) ta có: x x 2x x a x Đặt với a 0; b b x ta có: ab x x x 2x a b ab (3) Khi ta có hệ phương trình sau: 2 a b Ta có: 3 a b 2ab 4ab a 2b2 2ab 4ab a 2b ab a 2b 2ab ab(ab 2) ab 2(loai ) a x 1 y 2 Nếu ab b x y Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1; 2 , 3;6 2) Xét hai số dương x,y thoả mãn P 4x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y 42 x y Ta có: P 4x y 42 36 2x 2x y x x y x y x y Áp dụng bất đăng thức cô si: 2x 2x y 2 3 2x.2x 2x 2x x x x 36 36 36 y y 12 y y y CLB Toán THCS Trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 – NĂM 2023-2024 Do đó: P 4x y 36 42 2x 2x y 12 2 x x y x y x y P 20 2x x x x (do x 0; y ) Dấu = xảy khi: y 36 y y 36 y Vậy giá trị nhỏ P 20 x; y 1;6 CLB Toán THCS Trang