ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề PHỊNG GDĐT HỒNG MAI TRƯỜNG THCS QUỲNH THIỆN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) a) Tính A = 3√8 + 2√25 − 2√18 b) Chứng minh đẳng thức: � √x+2 + √ √x � : x−4 = với x > x ≠ x−2 c) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hai hàm số y = (m + 4)x + 11 y = x + m2 + cắt điểm trục tung Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2𝑥𝑥 − 11𝑥𝑥 + 15 = b) Cho phương trình 𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥 + = có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức P = x21 −13x1 +1 √x2 + x22 −13x2 +1 √x1 Câu (2,0 điểm) a) Thực kế hoạch Liên đội, hai bạn An Bình đặt tiêu thu gom 50 vỏ lon bia để làm kế hoạch nhỏ Do bạn An vượt tiêu 20% bạn Bình vượt tiêu 15% nên hai bạn thu gom 59 vỏ lon bia Hỏi bạn đặt tiêu thu gom lon bia? b) Một lọ nước hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cột nước lọ 14 cm Nguời ta nhấn chìm viên bi hình cầu vào bình ngập hồn tồn nước làm nước lọ dâng lên, chiều cao cột nước 16cm Tính bán kính viên bi (Lấy π ≈ 3,14 kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Câu (3,0 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn khơng cân nội tiếp đường tròn (O)(AB < AC) Kẻ đường cao AH ∆ABC (H ∈ BC) Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ H đến đường thẳng AB, AC a) Chứng minh tứ giác APHQ nội tiếp b) Hai đường thẳng PQ BC cắt M, đường thẳng AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K (K khác A) Chứng minh MK MA = MP MQ c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng Câu (0,5 điểm) 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦(√𝑥𝑥 − + 1) + √𝑥𝑥 − = Giải hệ phương trình: � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − √7𝑥𝑥 − = ……………Hết…………… Họ tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh…………………… PHỊNG GDĐT HỒNG MAI TRƯỜNG THCS QUỲNH THIỆN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1.a (1,0đ) 1.b (1,0đ) 1.c (0,5đ) 2.a (1,0đ) 2.b (1,0đ) ĐÁP ÁN Điểm Ta có: A = 3.2√2 + 2.5 − 2.3√2 = 6√2 + 10 − 6√2 0,75 0,25 A 10 Ta có � Vậy � √x+2 √x+2 + + �: √x−2 �: √x−2 √x x−4 √x x−4 = √x−2+√x+2 x−4 x−4 √x = 2√x x−4 x−4 = với x > x ≠ √x 0,75 =2 0,25 Để đồ thị hai hàm số y = (m + 4)x + 11 y = x + m2 + cắt điểm 𝑚𝑚 ≠ −3 𝑚𝑚 + ≠ ↔� ↔ 𝑚𝑚 = trục tung � 𝑚𝑚 = ±3 11 = 𝑚𝑚 + Ta có ∆= (−11)2 − 4.2.15 = > Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: 𝑥𝑥1 = 𝑣𝑣à 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2 = 14 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = Lại có 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 hai nghiệm phương trình 𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥 + = nên 𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥1 + = 𝑥𝑥 − 13𝑥𝑥1 + = 𝑥𝑥1 � 12 ⇔ � 12 𝑥𝑥2 − 14𝑥𝑥2 + = 𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥2 + = 𝑥𝑥2 Khi đó: Theo định lí Vi-et, ta có: � P= x1 √x2 + x2 √x1 = x1 √x1 +x2 √x2 √𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = �x13 + �x13 = (√x1 + √x2 )(x1 + x2 − √x1 x2 ) Mặt khác (√x1 + √x2 )2 = x1 + x2 + 2√x1 x2 = 14 + = 16 → √x1 + √x2 = Vậy P = (14 − 1) = 52 Gọi x, y số lon bia bạn An bạn Bình đặt tiêu thu gom (x, y nguyên dương x, y < 50) Vì hai bạn An Bình đặt tiêu thu gom 50 vỏ lon bia nên ta có phương trình: 3.a (1,5đ) 3.b x + y = 50 (1) Do bạn An vượt tiêu 20% bạn Bình vượt tiêu 15% nên hai bạn thu gom 59 vỏ lon bia nên ta có phương trình: 1,2x + 1,15y = 59 (2) x + y = 50 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: � 1,2x + 1,15y = 59 x = 30 Giải hệ ta � (𝑇𝑇𝑇𝑇) y = 20 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy số lon bia bạn An bạn Bình đặt tiêu thu gom 30 20 0,25 Thể tích viên bi thể tích nước dâng lên lọ Thể tích viên bi là: π 42.(16 - 14) = 32 π (cm3) 0,25 (0,5đ) Với bán kính viên bi R, ta có : π R3 = 32 π ⇒ R ≈ 2,88 (cm) 0,25 0,5 4.a (1,5đ) (Hình vẽ đến câu a cho 0,25 điểm; đến câu b cho 0,5 điểm) � = 900 Do HP ⏊ AB ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0,25 � + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 1800 ⇒ APHQ tứ giác nội tiếp Từ suy 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0,5 � = 900 Do HQ ⏊ AC ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 4.b � = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 � mà 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 � = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 � (cùng phụ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 �) Tứ giác APHQ nội tiếp ⇒ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 � = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 � ⇒ Tứ giác BPQC nội tiếp Do 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (0,5đ) 0,25 ∆MPB ∆MCQ (g.g) ⇒ MP MB = ⇒ MP MQ = MB.MC MC MQ (1) 0,25 ∆MBK ∆MAC (g.g) ⇒ MK MB = ⇒ MK MA = MB.MC MC MA (2 ) 0,25 (1,0đ) 4.c 0,25 Từ (1) (2) suy MK MA = MP MQ(đpcm) 0,25 � = 900 Vẽ đường kính AD đường tròn (O) ⇒𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 � + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 900 ⇒ AD ⊥ PQ Ta có 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 Lại có MK.MA = MP.MQ nên tứ giác AKPQ nội tiếp mà tứ giác APHQ nội tiếp đường trịn đường kính AH ⇒ điểm A, K, P, H, Q thuộc đường trịn đường kính AH � = 900 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 HK ⏊ AM (1) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Gọi J trung điểm AH Ta có J tâm đường trịn qua điểm A, K, P, H, Q Có (I) (J) cắt P,Q ⇒ IJ ⊥ PQ (tính chất đường nối tâm ) mà AD ⊥ PQ ⇒ AD //IJ Ta có AO //IJ AJ //OI ⇒ Tứ giác AJOI hình bình hành ⇒ AJ = JH = OI mà AH //OI ⇒ Tứ giác JOIH hình bình hành ⇒ IH //OJ mà OJ ⊥ AK ( tính chất đường nối tâm ) ⇒ IH ⏊ AM (2) Từ (1) (2) ⇒ I , H , K thẳng hàng 0,5 Điều kiện: x ≥ 1, y ∈ R Từ phương trình thứ ta có 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦(√𝑥𝑥 − + 1) + √𝑥𝑥 − = ⇔ 𝑦𝑦(𝑦𝑦 − 1) − √𝑥𝑥 − 1(𝑦𝑦 − 1) = 𝑦𝑦 = ⇔(y − 1)(y − √x − 1) = ⇔� 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − 0,25 +) Với y = thay vào phương trình thứ hai ta được: (0,5đ) 𝑥𝑥 + − √7𝑥𝑥 − = ⇔ √7𝑥𝑥 − = 𝑥𝑥 + ⇔ 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + = 7𝑥𝑥 − x=1 x ≥ ⇔ 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + = ⇔ �𝑥𝑥 = ⇔ � x=2 𝑥𝑥 = Với 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − thay vào phương trình thứ hai ta được: 𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 − − √7𝑥𝑥 − = ⇔(𝑥𝑥 − 4) + (√𝑥𝑥 − − 1) − (√7𝑥𝑥 − − 5) = ⇔ (x − 2)(x + 2) + √𝑥𝑥−1+1 ⇔ (x − 2) �(x + 2) + Ta có (x + 2) + x−2 − √𝑥𝑥−1+1 √𝑥𝑥−1+1 7(x−2)(x+2) √7𝑥𝑥 −3+5 7(x+2) − √7𝑥𝑥2 7(x+2) − √7𝑥𝑥2 −3+5 =0 �=0 −3+5 = (x + 2)(1 − √7𝑥𝑥2 √7𝑥𝑥 −3−2 = (x + 2) √7𝑥𝑥2 )+ −3+5 −3+5 + √𝑥𝑥−1+1 √7𝑥𝑥 −3−2 với x ≥ ta có √7𝑥𝑥 − − ≥ √7 − − ≥ ⇒(x + 2) √7𝑥𝑥2 ⇒ x − = ⇔ x = ⇒ y = 1 0,25 √𝑥𝑥−1+1 −3+5 + √𝑥𝑥−1+1 Vậy hệ có nghiệm (1;1) (2;1) ……………Hết…………… Ghi chú: Thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa >0