Phat trien 16 dang toan trong tam de tham khao tn thpt 2023 mon toan compressed 271 545

Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 y = f ( x) Câu 19: Hàm số có đạo hàm liên tục Về đích đặc biệt 9+ thỏa mãn f ( x ) + x f  ( x ) + f  ( x ) = x3 − x − x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = f  ( x ) A S = D S = 4 C S = 8 Lời giải B S = Chọn A Ta có f ( x ) + x f  ( x ) + f  ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = ( x + 1) f ( x )  f ( x ) + x f  ( x ) + f  ( x ) = x3 − x − x +  x3 − x − x + = ( x + 1) f ( x )  Nên  ( x + 1) f ( x ) = x − x3 − x + x + C (1) Thay x = −1 vào (1) ta C − =  C = Suy ( x + 1) f ( x ) = x − x3 − x + x +  f ( x ) = x3 − 3x + x + Khi f  ( x ) = 3x − x + x = Xét phương trình x − 3x + x + = x − x +  x − x + x =   x =   x = 2 S= Câu 20: Cho 0 x − x + x dx = hàm số y = f ( x) có f ( x ) = x3 + 3x − xf ' ( x ) , x  đạo hàm liên tục B 7,32 C 7,33 Lời giải Chọn C Ta có f ( x ) = x3 + 3x − xf ' ( x )  f ( x ) + xf ' ( x ) = x3 + 3x   x f ( x )  = x3 + 3x  x f ( x ) = x + x3 + C ' Cho x = ta C =  f ( x ) = x3 + x f ' ( x ) = 3x + x Xét phương trình: f ( x ) = f ' ( x ) x =   x3 + x = 3x + x  x3 − x − x =   x = − x = 1+  1+ Diện tích hình phẳng là: S =  1− 20| Biên soạn: Phan Nhật Linh mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ' ( x ) có kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai A 7,31 thỏa x3 − x − x dx  7,33 ( đvdt) D 7,34 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục Phan Nhật Linh thỏa mãn f (1) = ;  0;1  f ' ( x )  + xf ( x ) = x − x, x   0;1 Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x )   trục Ox , Oy Khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox tích A  B 2 C 3 D 4 Lời giải Chọn B Ta có 0 xf ( x ) dx =   x2  x2 x f ( x ) d   = f ( x ) − f ' ( x ) dx 0    1 1 ' ' = f (1) − x f ( x ) dx = − x f ( x ) dx 20 20    f ' ( x )  + xf ( x ) = x − x, x   0;1    1 −4   f ( x )  dx − x f ( x ) dx =  0   ( f '  ' ' 0 0 0  f ' ( x )  ( x ) − x ) dx =  f ' ( x ) = x  f ( x ) = Do f (1) = nên C =  f ' ( x )  dx + xf ( x ) dx =   0 0 ( x ) − x dx 0 d x − x f ( x ) dx + x = ' x +C −2 2  f ( x ) = x3 − 3 Xét phương trình: f ( x ) =  x − =  x = 3 2 2 2 Thể tích khối tròn xoay là: V =   x3 −  dx = ( đvtt) 3 3  Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có f ( x) + xf ( x) = x + x + 3, x  đạo hàm liên tục thỏa mãn Giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f  ( x) thuộc khoảng A ( 27;28 ) B ( 26;27 ) C ( 28;29 ) D ( 29;30 ) Lời giải Chọn C Ta có: f ( x) + x f ( x) = x + x +  ( x)  f ( x) + x f ( x) = x + x +  [ x f ( x)] = x + x +  x f ( x) = x5 + 3x + 3x + C  f ( x) = Vì f ( x ) liên tục x5 + 3x + 3x + C x nên C = Suy f ( x) = x + 3x +  f ( x) = x3 + Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f ( x) , ta có: ( ) x + 3x + = x3 +  x x3 − x + = x = x =    x ( x − 1) x − 3x − =   x = + 21   − 21 x =  ( ) Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x) là: + 21  S= f ( x) − f ( x) dx  28,87 3− 21 Câu 23: Cho hàm y = f ( x) số có đạo hàm cos xf ( x) − sin xf ( x) = 2cos x + 2sin x, x  y = f ( x ) , y = f  ( x) , x = x = A −   liên tục thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường B +  C −  Lời giải D +  Chọn C Ta có: cos xf ( x) − sin xf ( x) = 2cos x + 2sin x, x   cos x  f ( x) + ( cos x ) f ( x) = 2cos x + 2sin x  [cos x f ( x)] = 2cos x + 2sin x  cos x f ( x) = sin x − 2cos x + C sin x − 2cos x + C 2sin x.cos x − 2cos x + C = cos x cos x Vì f ( x ) liên tục nên C = Do f ( x) = 2cos x −  f ( x) = −2sin x  f ( x) = Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = f  ( x) , x = x = S=   2  f ( x) − f ( x) dx =  là:  2cos x + 2sin x − dx = = ( 2sin x − 2cos x − x )   ( 2cos x + 2sin x − ) dx  = − Câu 24: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục thoả mãn f (1) = f ( x ) = xf  ( x ) − x3 − 3x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) y = f  ( x ) A Chọn C 22| Biên soạn: Phan Nhật Linh B C 18 Lời giải D 27 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh f ( x ) = xf  ( x ) − x3 − 3x  xf  ( x ) − f ( x ) = x3 + 3x  xf  ( x ) − f ( x ) x2 = x + 3; x   f ( x )   f ( x )   = x +     dx =  x   x    f ( x)  ( x + 3) dx = x + 3x + C = x + 3x + C x Vì f (1) = nên  = 12 + 3.1 + C  C = Do f ( x ) = x3 + 3x ; x  nên f ( x ) liên tục x =  f ( ) =  f ( x ) = x3 + 3x ; x  Vì f ( x ) liên tục  f  ( x ) = 3x + x Phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x ) ; y = f  ( x )  x=0  x3 + 3x = 3x + x  x x − =   x = −  x=  ( ) S hp =  x3 − x dx = 18 − Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( 0;+ ) thoả mãn f  ( x ) + f ( x) = x + 3x x f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) phương trình tiếp tuyến điểm y = f ( x ) có hồnh độ x = A 2400 12 B 2401 12 C 333 D 335 Lời giải Chọn B f ( x) + f ( x) x = x + 3x  xf  ( x ) + xf ( x ) = x3 + 3x   x f ( x )  = x3 + 3x   x f ( x ) dx =   ( 4x ) + 3x dx  xf ( x ) = x + x + C Vì f (1) = nên f (1) = + + C  C = Do f ( x ) = x3 + x Lại có f  ( x ) = 3x + x f  ( ) = 16, f ( ) = 12 Do phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = y = 16 x − 20 Phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = x3 + x y = 16 x − 20  x = −5 x3 + x = 16 x − 20    x=2 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Shp = −5 x + x − 16 x + 20 dx = Câu 26: Cho hàm số 2401 12 y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( 0;+ ) thoả mãn f (1) = x ( − f  ( x ) ) = f ( x ) − với x  Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) trục Ox , trục Oy x = A B C Lời giải D Chọn A x ( − f  ( x ) ) = f ( x ) −  xf  ( x ) + f ( x ) = x +   xf ( x )  = x +    x f ( x )  dx =   ( x + 1) dx x f ( x ) = 2x + x+C Vì f (1) = nên C = Do f ( x ) = x + 1 S hp = 0 x + 1dx = f  ( x ) = −2 x  f ( x )  , x  Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) , x = x = Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn f ( x )  0, x  ; f ( ) = A  B  2 C D 3 Lời giải Chọn B f  ( x ) = −2 x  f ( x )   Vì f ( ) = − f ( x)  f ( x )  = 2x  − f ( x )   f ( x ) dx =  xdx    = x2 + C f ( x) nên C = Do f ( x ) = suy S hp = x +1 1  0 x + dx = Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn − xf  ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x ) , x  (1; +  ) , f ( x )  , x  (1; +  ) f ( e ) = x = e A Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = xf ( x ) , y = , x = e , e2 B C Lời giải Chọn C 24| Biên soạn: Phan Nhật Linh D Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Ta có: − xf  ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x )  − x f ( x) f Phan Nhật Linh ( x) ln x +  xg  ( x ) ln x + g ( x ) = x , x  (1; +  ) với g ( x ) =  g  ( x ) ln x +  g ( x ) ln x − Do f ( e ) = g ( x)  x dx +  g ( x) x f ( x)  g ( x ) lnx dx +  = x, x  (1; +  )  x g ( x) = x , x (1; +  ) f ( x) g ( x) x  dx = xdx dx = x + C  g ( x ) ln x = x + C , x  (1; +  )  g ( e ) = e2  C = e Suy g ( x ) ln x = x , x  (1; +  )  g ( x) = x2 x ln x  0, x  (1; +  )  xf ( x ) = =  0, x  (1; +  ) ln x g ( x) x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = xf ( x ) , y = , x = e , x = e là: e2 e xf ( x ) dx = Câu 29: Cho hàm e2 e số ln x dx = x e2 e e2 lnx d ( ln x ) = ln x = 2 e y = f ( x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn hệ thức x f ( x ) + x f  ( x ) = x3 − 12 x + x Tính thể tích vật tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành trục tung quanh trục Ox A B 8 C 32 D 32 Lời giải Chọn D  Ta có: x f ( x ) + x f  ( x ) = x3 − 12 x + x   x f ( x )  = x3 − 12 x + x Lấy nguyên hàm hai vế ta được:   x f ( x ) dx =    ( 4x ) − 12 x + x dx  x f ( x ) = x − x3 + x + C Chọn x =  C = , nên f ( x ) = x − x + Hoành độ giao điểm đồ thị y = x − x + với trục hoành x = Nên thể tích cần tìm là: V =  0 ( x ) 2 − x + dx =   0 ( x − ) dx = ( x − ) Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) dương, có đạo hàm liên tục  −2;1 = 32 , thỏa mãn hệ thức f ( x ) = f  ( x ) x + f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành đường thẳng x = −2, x = 3e − A 2e2 3e + B 2e2 3e + C e2 3e − D e2 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Lời giải Chọn A Ta có: f ( x ) = f  ( x ) x +  f ( x) f ( x) = x+3 Lấy nguyên hàm hai vế ta được: ln f ( x ) = Do f (1) = nên C = −4 Vậy f ( x ) = e2  x+3 x +3 − = e2 Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: S = Đặt I = −2 e x +3 dx  ln f ( x ) = x + + C e4 e2 e −2  x +3 x +3 dx dx Đặt t = x +  t = ( x + 3)  dx = tdt Đổi cận: x =  t = 4; x = −2  t = Nên: I = e x +3 −2 Câu 31: Cho hàm số 4 t 3e − e 3e − dx = e tdt =  et t − et  = S= 2 22 2 2 2e  f ( x ) = x3 + ax + bx + c với a , b, c số thực Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + f  ( x ) + f  ( x ) có hai giá trị cực trị −4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) g ( x ) + 12 A 2ln y = B ln C ln18 Lời giải D ln Chọn D Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + f  ( x ) + f  ( x ) Ta có g  ( x ) = f  ( x ) + f  ( x ) + f  ( x ) = f  ( x ) + f  ( x ) + 12 Theo giả thiết ta có phương trình g  ( x ) = có hai nghiệm m, n  g ( m ) = gCD = Vì g ( x ) hàm bậc ba có hệ số a  nên giả sử m  n   g ( n ) = gCT = −4 Xét phương trình f ( x) g ( x ) + 12 =  g ( x ) + 12 − f ( x ) = x = m  f  ( x ) + f  ( x ) + 12 =  g ' ( x ) =   x = n Diện tích hình phẳng cần tìm là:  f ( x)  1− dx =  −  dx =  g x + 12 g x + 12 ( ) ( )   m m n  f ( x) 26| Biên soạn: Phan Nhật Linh n  n  g ( x ) + 12 − f ( x )   dx g ( x ) + 12  m  Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 n  = m f  ( x ) + f  ( x ) + 12 g ( x ) + 12 n dx = g( x )  g ( x ) + 12 Phan Nhật Linh n = dx m  d ( g ( x ) + 12 ) g ( x ) + 12 m = ln g ( n ) + 12 − ln g ( m ) + 12 = ln −4 + 12 − ln + 12 = ln = ln g ( x ) + 12 n m = ln 16 Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = f  ( x ) có diện tích A 127 40 B 107 C 127 10 D 13 Lời giải Chọn B Hàm số cho có dạng f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e , a   f  ( x ) = 4ax3 + 3bx + 2cx + d Từ hình vẽ cho ta thấy đồ thị f ( x ) tiếp xúc với trục hoành điểm ( −2;0 ) , (1;0 ) qua điểm ( 0;1) nên:  f ( x ) = k ( x + )2 ( x − 1)2 1 2  k =  f ( x ) = ( x + ) ( x − 1)  4  f ( ) = 1 3 Vậy f ( x ) = x + x3 − x − x +  f  ( x ) = x3 + x − x − 4 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = f  ( x )  x = −2  x = −1  x − x − x + x+2=0  x = 4  x = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = f  ( x ) S= −2 f ( x ) − f  ( x ) dx Do f ( x ) không đổi dấu khoảng ( −2; − 1) , ( −1;1) , (1;4 ) nên ta có: −1   f ( x ) − f  ( x ) dx + −1  f ( x ) − f  ( x ) dx + 1  f ( x ) − f  ( x ) dx = −2 107 (đvdt) Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục \ 0 Về đích đặc biệt 9+ thoã mãn f (1) = f ( x ) − xf ( x ) − f ' ( x ) = −16 x − Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đường y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = 1; x = A ln − B − ln C − ln Lời giải D 10 − ln Chọn C Ta có f ( x ) − xf ( x ) − f ' ( x ) = −16 x −  f ( x ) − xf ( x ) + 16 x = f ' ( x ) −  ( f ( x ) − x ) = ( f ( x ) − x ) ' (1) Đặt f ( x ) − x = h ( x ) Ta có (1)  h ( x ) = h ' ( x )  h '( x ) h ( x) h '( x ) h  =1 ( x)  − dx = 1dx = x+C h( x)  h( x) = − x+C 1 Do f (1) =  C =  f ( x ) − x = −  f ( x ) = − + x x+C x x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = 1; x =  f ( x ) − 4x = − S = 1 1 − x + x dx = − ln f ( x ) dx = Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = x + 0 (10u − x ) f (u )du có đồ thị ( C ) Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , trục tung, tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = A S = 108 B S = 12 C S = 180 Lời giải D S = 112 Chọn B Ta có f ( x ) = x + 0 (10u − x ) f (u )du = x Đặt a = 0 0 − x f ( u )du + 10 uf ( u )du 0 f (u )du b = 0 uf (u )du Khi hàm số f ( x ) có dạng f ( x ) = x3 − 4ax + 10b Suy f ( u ) = u − 4au + 10b a=  f (u)du =  ( 0 a= ) 1  u − 4au + 10b du =  u − 2au + 10bu  = − 2a + 10b 4 0 1 − 2a + 10b  3a − 10b = (1) 4 1 0 ( 0 ) b = uf (u )du = u u − 4au + 10b du = ( ) 4 1  u − 4au + 10bu du =  u − au + 5bu  = − a + 5b 5 0 28| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 4  b = − a + 5b  a − 4b = (2) 3 Phan Nhật Linh  a = Từ (1) (2) ta được:  b =  Suy f ( x ) = x3 − 3x + 2; f ( x) = x − Ta có: f (2) = 4; f (2) = Phương trình tiếp tuyến d ( C ) điểm có hồnh độ x = : y = ( x − ) +  y = x − 14 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị ( C ) với tiếp tuyến d là:  x = −4 x3 − 3x + = x − 14  x3 − 12 x + 16 =   x = Diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) , trục tung, tiếp tuyến d S= Câu 35: Cho 0 x 0 − x + − ( x − 14 ) dx = x − 12 x + 16 dx = hàm số y = f ( x) có đạo hàm xác 0 ( x ) − 12 x + 16 dx = 12 định  0;+  ) thoả mãn f ( ) = Diện tích hình phẳng x − x ( f  ( x ) − ) + ( f ( x ) − f  ( x ) + 1) = , x   0; +  ) có gới hạn hai đồ thị y = f ( x ) y = f  ( x ) A 5 B 3 C D Lời giải Chọn A Ta có: x − x ( f  ( x ) − ) + ( f ( x ) − f  ( x ) + 1) =  x − xf  ( x ) + x + f ( x ) − f  ( x ) + =  ( x + 1) f  ( x ) − f ( x ) = ( x + 1)  ( x + 1) f  ( x ) − f ( x ) = 1, x  0; +  )  ( x + 1)2 f ( x)  f ( x )   = x+C  = 1, x   0; +  )  x +1  x +1  Mà f ( ) =  C =  f ( x ) = x + x  f  ( x ) = x +  1+ x = Xét f ( x ) = f  ( x )  x + x = x +  x − x − =    1− x =  1+ Vậy S =  1− x − x − dx = 5 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ Phan Nhật Linh Có tất giá trị nguyên tham số m   0;23 để hàm số y = f ( x ) − 2m2 x + m − đồng biến khoảng ( −3;0 ) ? Biết tọa độ điểm cực tiểu hàm số y = f ( x ) ( −3;5 ) ? A B 22 C D 20 Lời giải Chọn A Đặt g ( x ) = f ( x ) − 2m x + m − có g  ( x ) = f  ( x ) − 2m Do hàm số y == f ( x ) có điểm cực tiểu ( −3;5 ) nên ta có f ( −3) = Để hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( −3;0 ) xảy hai trường hợp sau:  f  ( x ) − 2m   g  ( x )   , x  ( −3;0 ) Trường hợp 1:   g ( −3)   f ( −3) + 6m + m −  2m  f  ( x ) 2m    m=0 2 m + m +  m + m +     2  g  ( x )   f  ( x ) − 2m  2m  f  ( x )   Trường hợp 2:  2  f ( −3) + 6m + m −   g ( −3)  6m + m +  Do 6m + m +  0, m nên trường hợp không thỏa mãn Kết hợp điều kiện m  m   0;23 suy m  0 Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 26: Cho hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27 Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Biết f (1) = Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m   −2023;2023 để hàm số y = f ( ln x ) − ln x + − 2m nghịch biến khoảng (1;e ) A 2023 B 2014 C 2026 Lời giải D 4042 Chọn C Xét hàm số g ( x ) = f (ln x) − ln x + − 2m với x  1 ln x t Ta có g  ( x ) = f  ( ln x ) − 2ln x ; g  ( x ) =  f  ( ln x ) = Đặt t = ln x ta có f  ( t ) = x x 2 t có ba nghiệm t = b  −1; t = t = a  Suy g  ( x ) = có ba nghiệm x = eb  ; x = x = ea  e e Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Dựa vào đồ thị phương trình f  ( t ) = m ; m −2023;2023 Yêu cầu toán  g ( e ) = − 2m   m  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→−2023  m  Suy có tất 2026 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 27: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 28| Biên soạn: Phan Nhật Linh có đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m   −23;23 để hàm số y = f ( − x ) − mx + ( 3m + 1) x + m nghịch biến khoảng (1;3) ? A 43 B 41 C D Lời giải Chọn D Xét hàm số g ( x ) = f ( − x ) − mx + ( 3m + 1) x + m Ta có: g  ( x ) = −2 f  ( − x ) − 2mx + ( 3m + 1) =  − f ( − x ) − mx + 3m + 1 Khi đó: g ( 3) = f ( −1) − 9m + ( 3m + 1) + m = 10m + Đặt t = − x  t  ( −1;1) Để hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng (1;3) xảy hai trường hợp sau:  g  ( 3)  − f  ( − x ) − mx + 3m +  0, x  (1;3 )  Trường hợp 1:  10m +   g ( 3)  m ( − x ) + m +  f  ( − x ) , x  (1;3)   m  −  m ( −1) + m +  1  2m +   m  Xét phương trình mt + m +  f  ( t ) , t  ( −1;1)   m ( −1) + m +   m  Từ suy  (vơ lý) m  −   g  ( 3)  − f  ( − x ) − mx + 3m +  0, x  (1;3 )  Trường hợp 2:  10m +   g ( 3)  m ( − x ) + m +  f  ( − x ) , x  (1;3)   m  −  Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 m ( −1) + m +  1 Xét phương trình mt + m +  f  ( t ) , t  ( −1;1)   m 2m +   m  m ; m −23;23 Từ suy  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→−  m   m  {0} m  −  Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục dương có đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên dương tham số  m  20 để hàm số y = f ( x − m ) + x − 2mx + 2023 đồng biến khoảng (1;2 ) ? A B C Lời giải D Chọn C Xét hàm số g ( x ) = f ( x − m ) + x − 2mx + 2023 = f ( x − m ) + ( x − m ) − m + 2023 ( Đạo hàm: g  ( x ) = ( x − m ) f ( x − m ) + x − m Theo giả thiết f ( x )  0, x  ) m   0;20 ) suy g ( x )  0, x  ( *) Để hàm số y = g ( x ) đồng biến (1;2 ) g ( x ) g  ( x )  0, x  (1;2 ) ( ) Mặt khác g ( x )   g  ( x )   ( x − m ) f ( x − m ) + x − m  0, x  (1;2 )   x − m    x − m   m  x(1;2 )   ⎯⎯⎯→ m    f x − m + x − m  f x − m + x − m  x − m  ) )   (   (        x − m    x − m   m  2m5     4f ( x−m )+2 x−m 0  4f ( x−m )+2 x−m 0  x − m        Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = − x − x + với x  ( Số giá trị nguyên tham ) số m thuộc  −10;10 để hàm số g ( x ) = f sin x + 3sin x − m + m2 + đồng biến  2 5   ;    A 30| Biên soạn: Phan Nhật Linh B C 14 Lời giải D 11 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn D ( Phan Nhật Linh ) Ta có: g ( x ) = f sin x + 3sin x − m + m2 + 1 3  2 5  Đặt t = sin x với x   ;  t   ;    2   2 5  Xét hàm số g ( t ) = f t + 3t − m + m + Để hàm số g ( x ) đồng biến  ;    ( ) 1 3 7 3+  hàm số g ( t ) phải nghịch biến  ; Đặt u = t + 3t với u   ;   2  4     7 3+  Xét hàm số h ( u ) = f ( u − m ) + m + nghịch biến  ;  4   Đạo hàm: h ( u ) = Với u  m , ta có f ( u − m ) (u − m) u−m f  ( u − m )( u − m ) (u − m) 7 3+   0, u   ;   4 7 3+    f  ( u − m )  0, u   ;   4  +  15 +  m −  m    u − m  −3  u  m −      u − m 1  u  m +1        m +   m  m   4 7     m  m      7 4 m  m     f  ( m − u )( m − u ) 0  7 3+  u − m) (  , u   ; Với u  m , ta có:    3+ 4   m   m −1   u  m −   f ( m − u )  1  m − u   7 3+  3+ 3+        m   m  ,  u   ;     + 3+ 4  4 m  m      u  m + 3 +   m+3    u  m khơng có giá trị m thỏa mãn Do m  , m   −10;10 nên suy −10  m   m  {-10;-9; ;0} Vậy có tất 11 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đồ thị hàm số đạo hàm y = f  ( x ) sau: Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Hàm số ho hàm số g ( x ) = f ( x − ) + x − x − x − + 2023 nghịch biến khoảng dưới đây? A ( −; −1) B (1;2) C ( −1;1) D (3; + ) Lời giải Chọn B Ta có g ( x ) = f ( x − ) + x − x − x − + 2023 2  g ( x) = f  ( x − 1)  + x − x − ( x − 1) + 2023   x −1  f  ( x − ) + x − − 1 , x   g  ( x ) =  f  ( x − ) = − x − +  g ( x ) = x −1  Đặt t = x − với t  , ta phương trình f  ( t ) = −t + (1) Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f  ( t ) đường thẳng y = −t + x = x =  x −1 = t =    Vì t  nên f ( t ) = −t +    x = −2 t = x − =    x = Bảng biến thiên 32| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến (1;2 ) Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục f ( −3) = có bảng xét dấu đạo hàm sau: ( ) Hỏi hàm số g ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f − x − x3 − x − đồng biến khoảng khoảng sau? A (1;2 ) B ( −1;0 ) C ( 0;1) D (1;+ ) Lời giải Chọn B ( ) Xét hàm số h ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f − x − x3 − x − Khi g ( x ) = h ( x ) 6 Ta có h ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f  − ( x + 1) + ( x + 1) − 3   Suy h ( x ) = 12 ( x + 1) − 12 ( x + 1) −  −4 ( x + 1) + ( x + 1)  f  − ( x + 1) + ( x + 1) − 3     4 Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 + 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 f   − ( x + 1) + ( x + 1) − 3         2 Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 ( x + 1) + + f   − ( x + 1) + ( x + 1) − 3       Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + ) x ( x + 1) + + f   − ( x + 1) + ( x + 1) − 3   2 Ta có − ( x + 1) + ( x + 1) − = − ( x + 1) − 1 −  −2, x   Từ bảng xét dấu suy f   − ( x + 1) + ( x + 1) − 3  0, x   Do đó, ( x + 1) + + f   − ( x + 1) + ( x + 1) − 3  0, x    x = −1 Vậy h ( x ) =  12 ( x + 1) ( x + ) x =   x = −2 có bảng biến thiên:  x = Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33 Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Từ bảng biến thiên khẳng định hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục hàm số g ( x ) = f ( x − ) có đồ thị hình dưới đây: Gọi S tập tất số nguyên tham số a để hàm số y = f ( sin x ) + cos x − ( a + 1)   nghịch biến khoảng  0;  Tổng phần tử tập S là:  2 A B −3 C Lời giải Chọn B  x =  f ' ( −2 ) =  Ta có g ' ( x ) = f ' ( x − ) =   x =  f ' ( ) = x =  f ' = ( )  Từ đó, ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) 34| Biên soạn: Phan Nhật Linh D −1 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Đặt h ( x ) = f ( sin x ) + cos x − ( a + 1) Phan Nhật Linh Khi h ' ( x ) = 4cos x f ' ( sin x ) − 2sin x    cos x,sin x    Với x   0;     h ' ( x )  0, x   0;    sin x  ( 0;1)  f ' ( sin x )   2   Suy hàm số h ( x ) nghịch biến  0;   2   Do đó, hàm số y = h ( x ) nghịch biến khoảng  0;   2 2      h ( x )  x   0;   h     f (1) − − ( a + 1)   − ( a + 1)   2 2 a  −2,73  a  0,73 ⎯⎯⎯ → a  { − 2; − 1;0} Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 33: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có f ( )  f (1) = Biết hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ bên  x x Hàm số g ( x ) = f 1 −  − nghịch biến khoảng dưới đây?  2 A ( −8; −4 ) B ( 4;+ ) C ( 2;4 ) D ( −10; −8 ) Lời giải Chọn D x  x2  Xét hàm số h ( x ) = f 1 −  −  2 Ta có h ( x ) = −  x x 1  x x f ' 1 −  − =  −  f ' 1 −  +  = (3)  2 2  2 2 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 x x Đặt − = t  = − t 2 Về đích đặc biệt 9+ t = −1  x = −4 Khi (3)  f ' ( t ) − ( t − 1) =  t =   x =   t =  x = x = a Ta có h(0) = f (1) − = f (1) = ; suy h( x) =   x =   x = b(a   b) Ta có bảng biến thiên hàm số  −8  ( −8) Ta có h ( −8) = f 1 −  − = f ( 5) −  , f ( )  , suy −8  a   Từ ta có hàm số nghịch biến ( −10; −8 ) Câu 34: Cho hàm số y = f ' ( x ) hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ dưới Gọi S tập tất số tự nhiên không 100 m cho hàm số g ( x ) = f ( m − x ) + x − mx nghịch biến khoảng ( 0;1) Số phần tử tập S bằng: A 95 B 96 C 100 Lời giải D 99 Chọn B Cách 1: Ta có: g  ( x ) = 2(2x − m) 2x − m  f ( 2x − m )  f ( 2x − m ) + ( 2x − m) = ( 2x − m)  + 1  x − m  m   f ( 2x − m )  x=  g( x ) =  ( 2x − m)  + 1 =   x − m    f  ( x − m ) + x − m = 36| Biên soạn: Phan Nhật Linh ( *) Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh t Đặt t = x − m phương trình (*) trở thành f  ( t ) + t =  f  ( t ) = −      x − m = −2 ( vo nghiem ) t = −   t  Kẻ đường thẳng y = − với đồ thị f  ( x ) ta t =   x − m = ( nghiem kep )  t = m   x= +2    2x − m =   x = m −    Bảng biến thiên g ( x ) sau: Nhận xét: x → + ( x − m )  2x − m → + nên f ( t ) + t   g  ( x )  Để hàm số g ( x ) nghịch biến ( 0;1)  m   m  1 m  − ( 0;1)   −; −   m        m m   −2  m  m  1 m + ( 0;1)   ; +   2 2   Kết hợp với điều kiện m  m  100 nên suy m  0;6;7;8; ;100 Vậy có tất 96 giá trị tham số m thỏa mãn u cầu tốn Cách 2: Ta có: g ( x ) = f ( m − x ) + x − mx  g  ( x ) = ( x − m )  f  ( m − x ) + m − x  m − 2x Để hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) g  ( x )  0, x  ( 0;1) Trường hợp 1: m − x   x  m Ta có g  ( x ) = −  f  ( m − x ) + ( m − x )    f  ( m − x ) + ( m − x )    −2  m − x    m −  x  m +  ( m − x )    m − x  m −  x  f ( m − 2x )  −  , x  ( 0;1)   m m       Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023   m −    m   0  m     m +       m   m    m −  m   m   Trường hợp 2: m − x   x  m Ta có g  ( x ) = f  ( x − m ) + ( x − m )   f  ( x − m )  − ( x − m ) , x  ( 0;1) m −    x − m  −2 m −  x     m    0  x − m     m  x  m +     , x  ( 0;1) m  m     m +    m   m      −2  m   −2  m  m   Từ hai trường hợp điều kiện m  m  100 nên suy m  0;6;7;8; ;100 Vậy có tất 96 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 35: Cho đồ thị hàm số y = f ( − x ) hình vẽ dưới đây: ( ) Có giá trị nguyên tham số m   −23;23 để hàm số y = f x3 − 3x + m + m − đồng biến khoảng ( 0;1) ? B 22 A 23 C 21 Lời giải D 20 Chọn B Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) vẽ lại sau: ( g ( x ) = f x − 3x + m + m 38| Biên soạn: Phan Nhật Linh ( 3x −  g( x ) = ) )( − x3 − 3x + m x − 3x + m ).f  (x ) − 3x + m + m − Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Nhận xét: x3 − 3x + m + m2 −  −1, x  ( ) ( Phan Nhật Linh ) 3x − = x −  0, x  ( 0;1) Hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( 0;1) g  ( x )  0, x  ( 0;1) ( )  ( x3 − 3x + m ) f  x3 − 3x + m + m −  0, x  ( 0;1)   x3 − 3x + m + m −   −1;9  −1  x3 − x + m + m −      x3 − 3x + m    x − 3x  −m   , x  ( 0;1)  − x − x + m + m −    x3 − 3x + m + m −  ( )      x3 − 3x + m    x − 3x  −m  − m − m  −2   −m − m  x − 3x  10 − m    10 − m    x − x  − m    − m  −2    m − m − 10  x − 3x  m − m − 10    x − x  − m    − m     m     m  −2   − 10  m  10   m  10  m ; m −23;23   m   → m  −23; − 22; ; −3; 2;3 − 41 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m       m  − 41      + 41  m        m  Vậy có tất 23 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ dưới đây: ( ) Có giá trị nguyên tham số m   0;23 để hàm số g ( x ) = f x − x + m + 2023 đồng biến khoảng ( 2; + ) ? A 23 B 20 C 21 Lời giải: D 22 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn A ( ) Để hàm số g ( x ) = f x − x + m + 2023 đồng biến khoảng ( 2;+ ) g( x ) = Mà ( x − 2) ( x2 − 2x ) x2 − 2x ( 2x − 2) ( x2 − 2x ) x2 − 2x ( ) f  x − x + m  0, x  ( 2; +  ) ( )  0, x  ( 2; +  )  f  x − x + m  0, x  ( 2; +  ) Từ đồ thị, hàm số y = f ( x ) đồng biến  −1;0 1;+  )  x2 − 2x + m   x2 − 2x  − m  , x  ( 2; +  ) Suy   −1  x − x + m   −1 − m  x − x  − m     Nhận xét: Ta thấy x − x  0, x  ( 2; +  )   − m  m  ⎯⎯⎯⎯⎯ →1  m  23 m ; m 0; 23 Vậy có tất 23 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán 40| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Biên soạn: Phan Nhật Linh |