Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 275 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
275
Dung lượng
5,99 MB
Nội dung
Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 y = f ( x) Câu 19: Hàm số có đạo hàm liên tục Về đích đặc biệt 9+ thỏa mãn f ( x ) + x f ( x ) + f ( x ) = x3 − x − x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) A S = D S = 4 C S = 8 Lời giải B S = Chọn A Ta có f ( x ) + x f ( x ) + f ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) f ( x ) = ( x + 1) f ( x ) f ( x ) + x f ( x ) + f ( x ) = x3 − x − x + x3 − x − x + = ( x + 1) f ( x ) Nên ( x + 1) f ( x ) = x − x3 − x + x + C (1) Thay x = −1 vào (1) ta C − = C = Suy ( x + 1) f ( x ) = x − x3 − x + x + f ( x ) = x3 − 3x + x + Khi f ( x ) = 3x − x + x = Xét phương trình x − 3x + x + = x − x + x − x + x = x = x = 2 S= Câu 20: Cho 0 x − x + x dx = hàm số y = f ( x) có f ( x ) = x3 + 3x − xf ' ( x ) , x đạo hàm liên tục B 7,32 C 7,33 Lời giải Chọn C Ta có f ( x ) = x3 + 3x − xf ' ( x ) f ( x ) + xf ' ( x ) = x3 + 3x x f ( x ) = x3 + 3x x f ( x ) = x + x3 + C ' Cho x = ta C = f ( x ) = x3 + x f ' ( x ) = 3x + x Xét phương trình: f ( x ) = f ' ( x ) x = x3 + x = 3x + x x3 − x − x = x = − x = 1+ 1+ Diện tích hình phẳng là: S = 1− 20| Biên soạn: Phan Nhật Linh mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ' ( x ) có kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai A 7,31 thỏa x3 − x − x dx 7,33 ( đvdt) D 7,34 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục Phan Nhật Linh thỏa mãn f (1) = ; 0;1 f ' ( x ) + xf ( x ) = x − x, x 0;1 Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) trục Ox , Oy Khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox tích A B 2 C 3 D 4 Lời giải Chọn B Ta có 0 xf ( x ) dx = x2 x2 x f ( x ) d = f ( x ) − f ' ( x ) dx 0 1 1 ' ' = f (1) − x f ( x ) dx = − x f ( x ) dx 20 20 f ' ( x ) + xf ( x ) = x − x, x 0;1 1 −4 f ( x ) dx − x f ( x ) dx = 0 ( f ' ' ' 0 0 0 f ' ( x ) ( x ) − x ) dx = f ' ( x ) = x f ( x ) = Do f (1) = nên C = f ' ( x ) dx + xf ( x ) dx = 0 0 ( x ) − x dx 0 d x − x f ( x ) dx + x = ' x +C −2 2 f ( x ) = x3 − 3 Xét phương trình: f ( x ) = x − = x = 3 2 2 2 Thể tích khối tròn xoay là: V = x3 − dx = ( đvtt) 3 3 Câu 22: Cho hàm số y = f ( x) có f ( x) + xf ( x) = x + x + 3, x đạo hàm liên tục thỏa mãn Giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x) thuộc khoảng A ( 27;28 ) B ( 26;27 ) C ( 28;29 ) D ( 29;30 ) Lời giải Chọn C Ta có: f ( x) + x f ( x) = x + x + ( x) f ( x) + x f ( x) = x + x + [ x f ( x)] = x + x + x f ( x) = x5 + 3x + 3x + C f ( x) = Vì f ( x ) liên tục x5 + 3x + 3x + C x nên C = Suy f ( x) = x + 3x + f ( x) = x3 + Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f ( x) , ta có: ( ) x + 3x + = x3 + x x3 − x + = x = x = x ( x − 1) x − 3x − = x = + 21 − 21 x = ( ) Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x) là: + 21 S= f ( x) − f ( x) dx 28,87 3− 21 Câu 23: Cho hàm y = f ( x) số có đạo hàm cos xf ( x) − sin xf ( x) = 2cos x + 2sin x, x y = f ( x ) , y = f ( x) , x = x = A − liên tục thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường B + C − Lời giải D + Chọn C Ta có: cos xf ( x) − sin xf ( x) = 2cos x + 2sin x, x cos x f ( x) + ( cos x ) f ( x) = 2cos x + 2sin x [cos x f ( x)] = 2cos x + 2sin x cos x f ( x) = sin x − 2cos x + C sin x − 2cos x + C 2sin x.cos x − 2cos x + C = cos x cos x Vì f ( x ) liên tục nên C = Do f ( x) = 2cos x − f ( x) = −2sin x f ( x) = Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = f ( x) , x = x = S= 2 f ( x) − f ( x) dx = là: 2cos x + 2sin x − dx = = ( 2sin x − 2cos x − x ) ( 2cos x + 2sin x − ) dx = − Câu 24: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục thoả mãn f (1) = f ( x ) = xf ( x ) − x3 − 3x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) y = f ( x ) A Chọn C 22| Biên soạn: Phan Nhật Linh B C 18 Lời giải D 27 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh f ( x ) = xf ( x ) − x3 − 3x xf ( x ) − f ( x ) = x3 + 3x xf ( x ) − f ( x ) x2 = x + 3; x f ( x ) f ( x ) = x + dx = x x f ( x) ( x + 3) dx = x + 3x + C = x + 3x + C x Vì f (1) = nên = 12 + 3.1 + C C = Do f ( x ) = x3 + 3x ; x nên f ( x ) liên tục x = f ( ) = f ( x ) = x3 + 3x ; x Vì f ( x ) liên tục f ( x ) = 3x + x Phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x ) ; y = f ( x ) x=0 x3 + 3x = 3x + x x x − = x = − x= ( ) S hp = x3 − x dx = 18 − Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( 0;+ ) thoả mãn f ( x ) + f ( x) = x + 3x x f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) phương trình tiếp tuyến điểm y = f ( x ) có hồnh độ x = A 2400 12 B 2401 12 C 333 D 335 Lời giải Chọn B f ( x) + f ( x) x = x + 3x xf ( x ) + xf ( x ) = x3 + 3x x f ( x ) = x3 + 3x x f ( x ) dx = ( 4x ) + 3x dx xf ( x ) = x + x + C Vì f (1) = nên f (1) = + + C C = Do f ( x ) = x3 + x Lại có f ( x ) = 3x + x f ( ) = 16, f ( ) = 12 Do phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = y = 16 x − 20 Phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = x3 + x y = 16 x − 20 x = −5 x3 + x = 16 x − 20 x=2 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Shp = −5 x + x − 16 x + 20 dx = Câu 26: Cho hàm số 2401 12 y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( 0;+ ) thoả mãn f (1) = x ( − f ( x ) ) = f ( x ) − với x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) trục Ox , trục Oy x = A B C Lời giải D Chọn A x ( − f ( x ) ) = f ( x ) − xf ( x ) + f ( x ) = x + xf ( x ) = x + x f ( x ) dx = ( x + 1) dx x f ( x ) = 2x + x+C Vì f (1) = nên C = Do f ( x ) = x + 1 S hp = 0 x + 1dx = f ( x ) = −2 x f ( x ) , x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) , x = x = Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn f ( x ) 0, x ; f ( ) = A B 2 C D 3 Lời giải Chọn B f ( x ) = −2 x f ( x ) Vì f ( ) = − f ( x) f ( x ) = 2x − f ( x ) f ( x ) dx = xdx = x2 + C f ( x) nên C = Do f ( x ) = suy S hp = x +1 1 0 x + dx = Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn − xf ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x ) , x (1; + ) , f ( x ) , x (1; + ) f ( e ) = x = e A Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = xf ( x ) , y = , x = e , e2 B C Lời giải Chọn C 24| Biên soạn: Phan Nhật Linh D Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Ta có: − xf ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x ) − x f ( x) f Phan Nhật Linh ( x) ln x + xg ( x ) ln x + g ( x ) = x , x (1; + ) với g ( x ) = g ( x ) ln x + g ( x ) ln x − Do f ( e ) = g ( x) x dx + g ( x) x f ( x) g ( x ) lnx dx + = x, x (1; + ) x g ( x) = x , x (1; + ) f ( x) g ( x) x dx = xdx dx = x + C g ( x ) ln x = x + C , x (1; + ) g ( e ) = e2 C = e Suy g ( x ) ln x = x , x (1; + ) g ( x) = x2 x ln x 0, x (1; + ) xf ( x ) = = 0, x (1; + ) ln x g ( x) x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = xf ( x ) , y = , x = e , x = e là: e2 e xf ( x ) dx = Câu 29: Cho hàm e2 e số ln x dx = x e2 e e2 lnx d ( ln x ) = ln x = 2 e y = f ( x) có đạo hàm liên tục thỏa mãn hệ thức x f ( x ) + x f ( x ) = x3 − 12 x + x Tính thể tích vật tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành trục tung quanh trục Ox A B 8 C 32 D 32 Lời giải Chọn D Ta có: x f ( x ) + x f ( x ) = x3 − 12 x + x x f ( x ) = x3 − 12 x + x Lấy nguyên hàm hai vế ta được: x f ( x ) dx = ( 4x ) − 12 x + x dx x f ( x ) = x − x3 + x + C Chọn x = C = , nên f ( x ) = x − x + Hoành độ giao điểm đồ thị y = x − x + với trục hoành x = Nên thể tích cần tìm là: V = 0 ( x ) 2 − x + dx = 0 ( x − ) dx = ( x − ) Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) dương, có đạo hàm liên tục −2;1 = 32 , thỏa mãn hệ thức f ( x ) = f ( x ) x + f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành đường thẳng x = −2, x = 3e − A 2e2 3e + B 2e2 3e + C e2 3e − D e2 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Lời giải Chọn A Ta có: f ( x ) = f ( x ) x + f ( x) f ( x) = x+3 Lấy nguyên hàm hai vế ta được: ln f ( x ) = Do f (1) = nên C = −4 Vậy f ( x ) = e2 x+3 x +3 − = e2 Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: S = Đặt I = −2 e x +3 dx ln f ( x ) = x + + C e4 e2 e −2 x +3 x +3 dx dx Đặt t = x + t = ( x + 3) dx = tdt Đổi cận: x = t = 4; x = −2 t = Nên: I = e x +3 −2 Câu 31: Cho hàm số 4 t 3e − e 3e − dx = e tdt = et t − et = S= 2 22 2 2 2e f ( x ) = x3 + ax + bx + c với a , b, c số thực Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) có hai giá trị cực trị −4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) g ( x ) + 12 A 2ln y = B ln C ln18 Lời giải D ln Chọn D Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) Ta có g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + 12 Theo giả thiết ta có phương trình g ( x ) = có hai nghiệm m, n g ( m ) = gCD = Vì g ( x ) hàm bậc ba có hệ số a nên giả sử m n g ( n ) = gCT = −4 Xét phương trình f ( x) g ( x ) + 12 = g ( x ) + 12 − f ( x ) = x = m f ( x ) + f ( x ) + 12 = g ' ( x ) = x = n Diện tích hình phẳng cần tìm là: f ( x) 1− dx = − dx = g x + 12 g x + 12 ( ) ( ) m m n f ( x) 26| Biên soạn: Phan Nhật Linh n n g ( x ) + 12 − f ( x ) dx g ( x ) + 12 m Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 n = m f ( x ) + f ( x ) + 12 g ( x ) + 12 n dx = g( x ) g ( x ) + 12 Phan Nhật Linh n = dx m d ( g ( x ) + 12 ) g ( x ) + 12 m = ln g ( n ) + 12 − ln g ( m ) + 12 = ln −4 + 12 − ln + 12 = ln = ln g ( x ) + 12 n m = ln 16 Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) có diện tích A 127 40 B 107 C 127 10 D 13 Lời giải Chọn B Hàm số cho có dạng f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e , a f ( x ) = 4ax3 + 3bx + 2cx + d Từ hình vẽ cho ta thấy đồ thị f ( x ) tiếp xúc với trục hoành điểm ( −2;0 ) , (1;0 ) qua điểm ( 0;1) nên: f ( x ) = k ( x + )2 ( x − 1)2 1 2 k = f ( x ) = ( x + ) ( x − 1) 4 f ( ) = 1 3 Vậy f ( x ) = x + x3 − x − x + f ( x ) = x3 + x − x − 4 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = f ( x ) x = −2 x = −1 x − x − x + x+2=0 x = 4 x = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) S= −2 f ( x ) − f ( x ) dx Do f ( x ) không đổi dấu khoảng ( −2; − 1) , ( −1;1) , (1;4 ) nên ta có: −1 f ( x ) − f ( x ) dx + −1 f ( x ) − f ( x ) dx + 1 f ( x ) − f ( x ) dx = −2 107 (đvdt) Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục \ 0 Về đích đặc biệt 9+ thoã mãn f (1) = f ( x ) − xf ( x ) − f ' ( x ) = −16 x − Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đường y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = 1; x = A ln − B − ln C − ln Lời giải D 10 − ln Chọn C Ta có f ( x ) − xf ( x ) − f ' ( x ) = −16 x − f ( x ) − xf ( x ) + 16 x = f ' ( x ) − ( f ( x ) − x ) = ( f ( x ) − x ) ' (1) Đặt f ( x ) − x = h ( x ) Ta có (1) h ( x ) = h ' ( x ) h '( x ) h ( x) h '( x ) h =1 ( x) − dx = 1dx = x+C h( x) h( x) = − x+C 1 Do f (1) = C = f ( x ) − x = − f ( x ) = − + x x+C x x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = 1; x = f ( x ) − 4x = − S = 1 1 − x + x dx = − ln f ( x ) dx = Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = x + 0 (10u − x ) f (u )du có đồ thị ( C ) Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , trục tung, tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = A S = 108 B S = 12 C S = 180 Lời giải D S = 112 Chọn B Ta có f ( x ) = x + 0 (10u − x ) f (u )du = x Đặt a = 0 0 − x f ( u )du + 10 uf ( u )du 0 f (u )du b = 0 uf (u )du Khi hàm số f ( x ) có dạng f ( x ) = x3 − 4ax + 10b Suy f ( u ) = u − 4au + 10b a= f (u)du = ( 0 a= ) 1 u − 4au + 10b du = u − 2au + 10bu = − 2a + 10b 4 0 1 − 2a + 10b 3a − 10b = (1) 4 1 0 ( 0 ) b = uf (u )du = u u − 4au + 10b du = ( ) 4 1 u − 4au + 10bu du = u − au + 5bu = − a + 5b 5 0 28| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 4 b = − a + 5b a − 4b = (2) 3 Phan Nhật Linh a = Từ (1) (2) ta được: b = Suy f ( x ) = x3 − 3x + 2; f ( x) = x − Ta có: f (2) = 4; f (2) = Phương trình tiếp tuyến d ( C ) điểm có hồnh độ x = : y = ( x − ) + y = x − 14 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị ( C ) với tiếp tuyến d là: x = −4 x3 − 3x + = x − 14 x3 − 12 x + 16 = x = Diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) , trục tung, tiếp tuyến d S= Câu 35: Cho 0 x 0 − x + − ( x − 14 ) dx = x − 12 x + 16 dx = hàm số y = f ( x) có đạo hàm xác 0 ( x ) − 12 x + 16 dx = 12 định 0;+ ) thoả mãn f ( ) = Diện tích hình phẳng x − x ( f ( x ) − ) + ( f ( x ) − f ( x ) + 1) = , x 0; + ) có gới hạn hai đồ thị y = f ( x ) y = f ( x ) A 5 B 3 C D Lời giải Chọn A Ta có: x − x ( f ( x ) − ) + ( f ( x ) − f ( x ) + 1) = x − xf ( x ) + x + f ( x ) − f ( x ) + = ( x + 1) f ( x ) − f ( x ) = ( x + 1) ( x + 1) f ( x ) − f ( x ) = 1, x 0; + ) ( x + 1)2 f ( x) f ( x ) = x+C = 1, x 0; + ) x +1 x +1 Mà f ( ) = C = f ( x ) = x + x f ( x ) = x + 1+ x = Xét f ( x ) = f ( x ) x + x = x + x − x − = 1− x = 1+ Vậy S = 1− x − x − dx = 5 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Phan Nhật Linh Có tất giá trị nguyên tham số m 0;23 để hàm số y = f ( x ) − 2m2 x + m − đồng biến khoảng ( −3;0 ) ? Biết tọa độ điểm cực tiểu hàm số y = f ( x ) ( −3;5 ) ? A B 22 C D 20 Lời giải Chọn A Đặt g ( x ) = f ( x ) − 2m x + m − có g ( x ) = f ( x ) − 2m Do hàm số y == f ( x ) có điểm cực tiểu ( −3;5 ) nên ta có f ( −3) = Để hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( −3;0 ) xảy hai trường hợp sau: f ( x ) − 2m g ( x ) , x ( −3;0 ) Trường hợp 1: g ( −3) f ( −3) + 6m + m − 2m f ( x ) 2m m=0 2 m + m + m + m + 2 g ( x ) f ( x ) − 2m 2m f ( x ) Trường hợp 2: 2 f ( −3) + 6m + m − g ( −3) 6m + m + Do 6m + m + 0, m nên trường hợp không thỏa mãn Kết hợp điều kiện m m 0;23 suy m 0 Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27 Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Biết f (1) = Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m −2023;2023 để hàm số y = f ( ln x ) − ln x + − 2m nghịch biến khoảng (1;e ) A 2023 B 2014 C 2026 Lời giải D 4042 Chọn C Xét hàm số g ( x ) = f (ln x) − ln x + − 2m với x 1 ln x t Ta có g ( x ) = f ( ln x ) − 2ln x ; g ( x ) = f ( ln x ) = Đặt t = ln x ta có f ( t ) = x x 2 t có ba nghiệm t = b −1; t = t = a Suy g ( x ) = có ba nghiệm x = eb ; x = x = ea e e Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Dựa vào đồ thị phương trình f ( t ) = m ; m −2023;2023 Yêu cầu toán g ( e ) = − 2m m ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→−2023 m Suy có tất 2026 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 27: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 28| Biên soạn: Phan Nhật Linh có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m −23;23 để hàm số y = f ( − x ) − mx + ( 3m + 1) x + m nghịch biến khoảng (1;3) ? A 43 B 41 C D Lời giải Chọn D Xét hàm số g ( x ) = f ( − x ) − mx + ( 3m + 1) x + m Ta có: g ( x ) = −2 f ( − x ) − 2mx + ( 3m + 1) = − f ( − x ) − mx + 3m + 1 Khi đó: g ( 3) = f ( −1) − 9m + ( 3m + 1) + m = 10m + Đặt t = − x t ( −1;1) Để hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng (1;3) xảy hai trường hợp sau: g ( 3) − f ( − x ) − mx + 3m + 0, x (1;3 ) Trường hợp 1: 10m + g ( 3) m ( − x ) + m + f ( − x ) , x (1;3) m − m ( −1) + m + 1 2m + m Xét phương trình mt + m + f ( t ) , t ( −1;1) m ( −1) + m + m Từ suy (vơ lý) m − g ( 3) − f ( − x ) − mx + 3m + 0, x (1;3 ) Trường hợp 2: 10m + g ( 3) m ( − x ) + m + f ( − x ) , x (1;3) m − Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 m ( −1) + m + 1 Xét phương trình mt + m + f ( t ) , t ( −1;1) m 2m + m m ; m −23;23 Từ suy ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→− m m {0} m − Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục dương có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên dương tham số m 20 để hàm số y = f ( x − m ) + x − 2mx + 2023 đồng biến khoảng (1;2 ) ? A B C Lời giải D Chọn C Xét hàm số g ( x ) = f ( x − m ) + x − 2mx + 2023 = f ( x − m ) + ( x − m ) − m + 2023 ( Đạo hàm: g ( x ) = ( x − m ) f ( x − m ) + x − m Theo giả thiết f ( x ) 0, x ) m 0;20 ) suy g ( x ) 0, x ( *) Để hàm số y = g ( x ) đồng biến (1;2 ) g ( x ) g ( x ) 0, x (1;2 ) ( ) Mặt khác g ( x ) g ( x ) ( x − m ) f ( x − m ) + x − m 0, x (1;2 ) x − m x − m m x(1;2 ) ⎯⎯⎯→ m f x − m + x − m f x − m + x − m x − m ) ) ( ( x − m x − m m 2m5 4f ( x−m )+2 x−m 0 4f ( x−m )+2 x−m 0 x − m Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = − x − x + với x ( Số giá trị nguyên tham ) số m thuộc −10;10 để hàm số g ( x ) = f sin x + 3sin x − m + m2 + đồng biến 2 5 ; A 30| Biên soạn: Phan Nhật Linh B C 14 Lời giải D 11 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn D ( Phan Nhật Linh ) Ta có: g ( x ) = f sin x + 3sin x − m + m2 + 1 3 2 5 Đặt t = sin x với x ; t ; 2 2 5 Xét hàm số g ( t ) = f t + 3t − m + m + Để hàm số g ( x ) đồng biến ; ( ) 1 3 7 3+ hàm số g ( t ) phải nghịch biến ; Đặt u = t + 3t với u ; 2 4 7 3+ Xét hàm số h ( u ) = f ( u − m ) + m + nghịch biến ; 4 Đạo hàm: h ( u ) = Với u m , ta có f ( u − m ) (u − m) u−m f ( u − m )( u − m ) (u − m) 7 3+ 0, u ; 4 7 3+ f ( u − m ) 0, u ; 4 + 15 + m − m u − m −3 u m − u − m 1 u m +1 m + m m 4 7 m m 7 4 m m f ( m − u )( m − u ) 0 7 3+ u − m) ( , u ; Với u m , ta có: 3+ 4 m m −1 u m − f ( m − u ) 1 m − u 7 3+ 3+ 3+ m m , u ; + 3+ 4 4 m m u m + 3 + m+3 u m khơng có giá trị m thỏa mãn Do m , m −10;10 nên suy −10 m m {-10;-9; ;0} Vậy có tất 11 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đồ thị hàm số đạo hàm y = f ( x ) sau: Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Hàm số ho hàm số g ( x ) = f ( x − ) + x − x − x − + 2023 nghịch biến khoảng dưới đây? A ( −; −1) B (1;2) C ( −1;1) D (3; + ) Lời giải Chọn B Ta có g ( x ) = f ( x − ) + x − x − x − + 2023 2 g ( x) = f ( x − 1) + x − x − ( x − 1) + 2023 x −1 f ( x − ) + x − − 1 , x g ( x ) = f ( x − ) = − x − + g ( x ) = x −1 Đặt t = x − với t , ta phương trình f ( t ) = −t + (1) Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( t ) đường thẳng y = −t + x = x = x −1 = t = Vì t nên f ( t ) = −t + x = −2 t = x − = x = Bảng biến thiên 32| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến (1;2 ) Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục f ( −3) = có bảng xét dấu đạo hàm sau: ( ) Hỏi hàm số g ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f − x − x3 − x − đồng biến khoảng khoảng sau? A (1;2 ) B ( −1;0 ) C ( 0;1) D (1;+ ) Lời giải Chọn B ( ) Xét hàm số h ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f − x − x3 − x − Khi g ( x ) = h ( x ) 6 Ta có h ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 Suy h ( x ) = 12 ( x + 1) − 12 ( x + 1) − −4 ( x + 1) + ( x + 1) f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 4 Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 + 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 2 Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 ( x + 1) + + f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + ) x ( x + 1) + + f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 2 Ta có − ( x + 1) + ( x + 1) − = − ( x + 1) − 1 − −2, x Từ bảng xét dấu suy f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 0, x Do đó, ( x + 1) + + f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 0, x x = −1 Vậy h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + ) x = x = −2 có bảng biến thiên: x = Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33 Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Từ bảng biến thiên khẳng định hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục hàm số g ( x ) = f ( x − ) có đồ thị hình dưới đây: Gọi S tập tất số nguyên tham số a để hàm số y = f ( sin x ) + cos x − ( a + 1) nghịch biến khoảng 0; Tổng phần tử tập S là: 2 A B −3 C Lời giải Chọn B x = f ' ( −2 ) = Ta có g ' ( x ) = f ' ( x − ) = x = f ' ( ) = x = f ' = ( ) Từ đó, ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) 34| Biên soạn: Phan Nhật Linh D −1 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Đặt h ( x ) = f ( sin x ) + cos x − ( a + 1) Phan Nhật Linh Khi h ' ( x ) = 4cos x f ' ( sin x ) − 2sin x cos x,sin x Với x 0; h ' ( x ) 0, x 0; sin x ( 0;1) f ' ( sin x ) 2 Suy hàm số h ( x ) nghịch biến 0; 2 Do đó, hàm số y = h ( x ) nghịch biến khoảng 0; 2 2 h ( x ) x 0; h f (1) − − ( a + 1) − ( a + 1) 2 2 a −2,73 a 0,73 ⎯⎯⎯ → a { − 2; − 1;0} Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 33: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có f ( ) f (1) = Biết hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên x x Hàm số g ( x ) = f 1 − − nghịch biến khoảng dưới đây? 2 A ( −8; −4 ) B ( 4;+ ) C ( 2;4 ) D ( −10; −8 ) Lời giải Chọn D x x2 Xét hàm số h ( x ) = f 1 − − 2 Ta có h ( x ) = − x x 1 x x f ' 1 − − = − f ' 1 − + = (3) 2 2 2 2 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 x x Đặt − = t = − t 2 Về đích đặc biệt 9+ t = −1 x = −4 Khi (3) f ' ( t ) − ( t − 1) = t = x = t = x = x = a Ta có h(0) = f (1) − = f (1) = ; suy h( x) = x = x = b(a b) Ta có bảng biến thiên hàm số −8 ( −8) Ta có h ( −8) = f 1 − − = f ( 5) − , f ( ) , suy −8 a Từ ta có hàm số nghịch biến ( −10; −8 ) Câu 34: Cho hàm số y = f ' ( x ) hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ dưới Gọi S tập tất số tự nhiên không 100 m cho hàm số g ( x ) = f ( m − x ) + x − mx nghịch biến khoảng ( 0;1) Số phần tử tập S bằng: A 95 B 96 C 100 Lời giải D 99 Chọn B Cách 1: Ta có: g ( x ) = 2(2x − m) 2x − m f ( 2x − m ) f ( 2x − m ) + ( 2x − m) = ( 2x − m) + 1 x − m m f ( 2x − m ) x= g( x ) = ( 2x − m) + 1 = x − m f ( x − m ) + x − m = 36| Biên soạn: Phan Nhật Linh ( *) Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh t Đặt t = x − m phương trình (*) trở thành f ( t ) + t = f ( t ) = − x − m = −2 ( vo nghiem ) t = − t Kẻ đường thẳng y = − với đồ thị f ( x ) ta t = x − m = ( nghiem kep ) t = m x= +2 2x − m = x = m − Bảng biến thiên g ( x ) sau: Nhận xét: x → + ( x − m ) 2x − m → + nên f ( t ) + t g ( x ) Để hàm số g ( x ) nghịch biến ( 0;1) m m 1 m − ( 0;1) −; − m m m −2 m m 1 m + ( 0;1) ; + 2 2 Kết hợp với điều kiện m m 100 nên suy m 0;6;7;8; ;100 Vậy có tất 96 giá trị tham số m thỏa mãn u cầu tốn Cách 2: Ta có: g ( x ) = f ( m − x ) + x − mx g ( x ) = ( x − m ) f ( m − x ) + m − x m − 2x Để hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) g ( x ) 0, x ( 0;1) Trường hợp 1: m − x x m Ta có g ( x ) = − f ( m − x ) + ( m − x ) f ( m − x ) + ( m − x ) −2 m − x m − x m + ( m − x ) m − x m − x f ( m − 2x ) − , x ( 0;1) m m Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 m − m 0 m m + m m m − m m Trường hợp 2: m − x x m Ta có g ( x ) = f ( x − m ) + ( x − m ) f ( x − m ) − ( x − m ) , x ( 0;1) m − x − m −2 m − x m 0 x − m m x m + , x ( 0;1) m m m + m m −2 m −2 m m Từ hai trường hợp điều kiện m m 100 nên suy m 0;6;7;8; ;100 Vậy có tất 96 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 35: Cho đồ thị hàm số y = f ( − x ) hình vẽ dưới đây: ( ) Có giá trị nguyên tham số m −23;23 để hàm số y = f x3 − 3x + m + m − đồng biến khoảng ( 0;1) ? B 22 A 23 C 21 Lời giải D 20 Chọn B Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) vẽ lại sau: ( g ( x ) = f x − 3x + m + m 38| Biên soạn: Phan Nhật Linh ( 3x − g( x ) = ) )( − x3 − 3x + m x − 3x + m ).f (x ) − 3x + m + m − Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Nhận xét: x3 − 3x + m + m2 − −1, x ( ) ( Phan Nhật Linh ) 3x − = x − 0, x ( 0;1) Hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( 0;1) g ( x ) 0, x ( 0;1) ( ) ( x3 − 3x + m ) f x3 − 3x + m + m − 0, x ( 0;1) x3 − 3x + m + m − −1;9 −1 x3 − x + m + m − x3 − 3x + m x − 3x −m , x ( 0;1) − x − x + m + m − x3 − 3x + m + m − ( ) x3 − 3x + m x − 3x −m − m − m −2 −m − m x − 3x 10 − m 10 − m x − x − m − m −2 m − m − 10 x − 3x m − m − 10 x − x − m − m m m −2 − 10 m 10 m 10 m ; m −23;23 m → m −23; − 22; ; −3; 2;3 − 41 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m m − 41 + 41 m m Vậy có tất 23 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ dưới đây: ( ) Có giá trị nguyên tham số m 0;23 để hàm số g ( x ) = f x − x + m + 2023 đồng biến khoảng ( 2; + ) ? A 23 B 20 C 21 Lời giải: D 22 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn A ( ) Để hàm số g ( x ) = f x − x + m + 2023 đồng biến khoảng ( 2;+ ) g( x ) = Mà ( x − 2) ( x2 − 2x ) x2 − 2x ( 2x − 2) ( x2 − 2x ) x2 − 2x ( ) f x − x + m 0, x ( 2; + ) ( ) 0, x ( 2; + ) f x − x + m 0, x ( 2; + ) Từ đồ thị, hàm số y = f ( x ) đồng biến −1;0 1;+ ) x2 − 2x + m x2 − 2x − m , x ( 2; + ) Suy −1 x − x + m −1 − m x − x − m Nhận xét: Ta thấy x − x 0, x ( 2; + ) − m m ⎯⎯⎯⎯⎯ →1 m 23 m ; m 0; 23 Vậy có tất 23 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán 40| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Biên soạn: Phan Nhật Linh |