Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 270 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
270
Dung lượng
6,04 MB
Nội dung
Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 DẠNG A Phan Nhật Linh TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Biểu diễn hình học số phức ( ) biểu diễn điểm M (a;b ) Số phức z = a + bi a, b ( ) hay u = a;b mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy Tập hợp điểm biểu diễn số phức Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: • ax + by + c = tập hợp điểm đường thẳng B • • x = tập hợp điểm trục tung Oy y = tập hợp điểm trục hoành Ox • ( x − a ) + (y − b ) • x − a + y − b = R2 tập hợp điểm đường trịn có tâm I a;b , bán kính x + y − 2ax − 2by + c = ( 2 ) ( ) ( ) R2 tập hợp điểm hình trịn tâm I a;b , bán kính R ( ) • • R = a + b2 − c x tập hơp điểm miền bên phải trục tung y tập hợp điểm miền phía trục hồnh • • x tập hợp điểm miền bên trái trục tung y tập hợp điểm phía trục hồnh • y = ax + bx + c tập hợp điểm đường Parabol • x y2 + = tập hợp điểm đường Elip a b2 • x y2 − = tập hợp điểm đường Hyperbol a b2 BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA Câu 35 – Đề tham khảo 2023 Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A ( 0; ) B ( −2;0 ) C ( 0; −2 ) D ( 2;0 ) Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi , với x, y Từ giả thiết z + 2i = x + ( y + ) = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 0; −2 ) , bán kính R = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 C Câu 1: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Cho số phức z thỏa mãn iz − = + 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( C ) A I ( 0;1) ; R = Câu 2: B I ( 0;1) ; R = C I ( 0; − 1) ; R = D I ( 0; − 1) ; R = Cho số phức z thoả mãn z + − 2i = Biết tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z đường trịn Tìm toạ độ tâm I bán kính R đường trịn Câu 3: A I ( −6; ) , R = 16 B I ( 6; −2 ) , R = C I ( 6; −2 ) , R = 16 D I ( −6; ) , R = Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −1;2 ) B I ( −1; −2 ) C I (1;2 ) Câu 4: D I (1; −2 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; ) điểm M ( a; b ) biểu diễn số ( ) phức z Biết số phức w = ( z + 2i ) z − số thực M nằm trung trực AB Tổng S = a + b A S = −14 Câu 5: B S = A B 3 C D 3 Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 3i = D I ( 2; −3) Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −3;4 ) B I ( −3; −4 ) C I ( 3; −4 ) Câu 8: 10 1 = + Diện tích tam giác z+w z w đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 2;3) B I ( −2; −3) C I ( −2;3) Câu 7: D S = Cho số phức w có w = Một tam giác có đỉnh điểm biểu diễn w hai đỉnh lại biểu diễn hai nghiệm phương trình Câu 6: C S = −2 D I ( 3;4 ) Cho Gọi (C ) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − + z − z = Diện tích hình phẳng giới hạn (C ) A 24 Câu 9: B C 16 D Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi ( x, y ) + z = i − z A x − y = 2| Biên soạn: Phan Nhật Linh B x + y − = C x − y + = D x + y = thỏa mãn Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 10: Gọi H hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy cho z − z , số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình H A 2 B 5 C 5 D 5 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z (1 + i ) mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) hình phẳng ( H ) có diện tích A S = 9 C S = 18 B S = Câu 12: Xét số phức z thỏa mãn ( z −1 + i ) z + z i +1 D S = 18 số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z parabol có đỉnh 9 3 9 A I − ; − B I ; 2 2 2 33 C I ; − 4 3 9 D I ; − 2 2 Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + với + iz = z − 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến A B 2 C D Câu 14: Cho phương trình z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi = z , m tham số thực Số giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phức phân biệt cho điểm biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân A B C D Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn iz + − 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −2; −1) B I ( −2;1) C I ( 2;1) D I ( 2; −1) Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + − i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 2;3) B I ( 2; −3) C I ( −2; −3) D I ( −2;3) Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 7; −1) B I ( −7;1) C I ( −7; −1) ( z +1+ i = − 4i D I ( 7;1) ) Câu 18: Cho số phức z có z − = w = + 3i z + Tập hợp điểm biểu diễn số phức ( ) A I ( −3; ) , R = w = + 3i z + đường tròn, tâm bán kính đường trịn ( ) B I 3; − , R = C I ( ) ( ) 3; , R = D I 3; , R = Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − = , biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 − i ) z + i đường trịn Tính bán kính đường trịn Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A B 2 C D Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z mặt 1− i phẳng tọa độ Oxy đường trịn có tâm 3 A I − ; 2 1 3 B I ; − 2 2 1 C I − ; − 2 Câu 21: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3 1 D I ; 2 2 z + − 2i = z − + 3i A Đường trịn tâm I ( 5; −8 ) bán kính 17 B Đường tròn tâm I ( −5;8 ) bán kính 17 C Đường trịn tâm I ( 5; ) bán kính D Đường tròn tâm I ( −5 ; ) bán kính Câu 22: Cho z1 z hai số phức z thỏa mãn z − − 3i = , đồng thời z1 − z2 = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn có phương trình dạng ( x − a ) + ( y − b ) = r ( r ) Tính giá trị biểu thức T = ( a + b ) r A T = 96 B T = 64 C T = D T = 12 Câu 23: Biết phương trình z + mz + m − = ( m tham số thực) có hai nghiệm phức A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 z0 = i Có giá trị tham số m để diện tích tam giác ABC 1? A B 4| Biên soạn: Phan Nhật Linh z1 , z2 Gọi C D Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn iz − = + 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( C ) A I ( 0;1) ; R = B I ( 0;1) ; R = C I ( 0; − 1) ; R = D I ( 0; − 1) ; R = Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi ( x; y ) Theo ra: iz − = + 2i i ( x + yi ) − = + 2i −1 − y + xi = x + ( y + 1) = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) có tâm I ( 0; − 1) , bán kính R = Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z + − 2i = Biết tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z đường trịn Tìm toạ độ tâm I bán kính R đường trịn A I ( −6; ) , R = 16 B I ( 6; −2 ) , R = C I ( 6; −2 ) , R = 16 D I ( −6; ) , R = Lời giải Chọn D Đặt z = x + yi ( x, y ) Theo đề ta có: x + yi + − 2i = ( x + ) + ( y − ) i = ( x + 6) + ( y − 2) 2 = ( x + ) + ( y − ) = 16 2 Vậy tập điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −6; ) , bán kính R = Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 2i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −1;2 ) B I ( −1; −2 ) C I (1;2 ) D I (1; −2 ) Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi (với x; y ( x + 1) + ( y − ) i = ) Ta có: z + − 2i = ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 1) + ( y − ) = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; ) điểm M ( a; b ) biểu diễn số ( ) phức z Biết số phức w = ( z + 2i ) z − số thực M nằm trung trực AB Tổng S = a + b A S = −14 B S = C S = −2 D S = 10 Lời giải Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn A Ta có: AB ( −5;5 ) −1 Đường trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm I ; có phương trình 2 (d ) : x − y + = M d M ( a; a + ) z = a + ( a + ) i ; z = a − ( a + ) i Khi w = a + ( a + ) i a − − ( a + ) i = a ( a − ) − a ( a + ) i + ( a − )( a + ) i + ( a + )( a − ) w số thực −a ( a + ) + ( a + )( a − ) = − a − 2a + a − 16 = a = −8 b = −6 a + b = −14 Câu 5: Cho số phức w có w = Một tam giác có đỉnh điểm biểu diễn w hai đỉnh cịn lại biểu diễn hai nghiệm phương trình A B 3 1 = + Diện tích tam giác z+w z w C D 3 Lời giải Chọn C z Điều kiện: w 1 = + z.w = ( z + w ) w + ( z + w ) z z + z.w + w2 = Ta có z+w z w z z z i w = z1,2 i z = − + +1 = = − w 2 2 w w Lúc z1 = z2 = − i w = w = w + z1 + z2 = 2 Suy w , z1 , z biểu diễn ba điểm A , B , C tạo thành tam giác nằm đường trịn tâm O bán kính R = Tam giác ABC có đường cao h = Diện tích tam giác S ABC = 6| Biên soạn: Phan Nhật Linh 2 3 3 h = =3 , độ dài cạnh a = R= 2 3 a.h = Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 6: Phan Nhật Linh Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 3i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ B I ( −2; −3) A I ( 2;3) C I ( −2;3) D I ( 2; −3) Lời giải Chọn B Gọi z = x + yi (với x; y ) Suy z = x − yi Ta có: z + − 3i = ( x + ) + ( − y − 3) i = ( x + 2) + ( y + 3) = ( x + ) + ( y + 3) = 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −2; −3) , bán kính R = Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −3;4 ) B I ( −3; −4 ) C I ( 3; −4 ) D I ( 3;4 ) Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi (với x; y ) Ta có: z + (1 + 2i ) = z − + 4i = ( x − 3) + ( y + ) = ( x − 3) + ( y + ) = 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = Câu 8: Cho Gọi (C ) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − + z − z = Diện tích hình phẳng giới hạn (C ) A 24 B C 16 Lời giải D Chọn D Đặt z = x + iy, x, y Khi đó, đẳng thức z + z − + z − z = x − + 2iy = x −2 +8 y = x −2 + y = Ta đồ thị hình vẽ bên dưới: Đây hình thoi có độ dài hai đường chéo ; nên diện tích (2.8) : = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 9: ( x, y ) Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi thỏa mãn + z = i − z A x − y = B x + y − = C x − y + = D x + y = Lời giải Chọn D Ta có + z = i − z + x + yi = i − x − yi (1 + x ) + y = x + ( y − 1) x + y = 2 Câu 10: Gọi H hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy cho z − z , số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình H A 2 B 5 C 5 D 5 Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi, ( x, y , x ) x2 y + Ta có ( x + yi ) − ( x − yi ) x + 25 y x + 25 y 25 25 2 2 x2 y = , có tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền Elip với Xét elip ( E ) : + 25 x 0 5 Ta có a = 5, b = , nên diện tích hình H S = a.b = 2 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z (1 + i ) mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) hình phẳng ( H ) có diện tích A S = 9 C S = 18 Lời giải B S = D S = 18 Chọn C Ta có z − + 2i = z (1 + i ) + ( −1 + 2i )(1 + i ) = + i w − + i Giả sử w = x + yi ( x, y ) x − + ( y + 1) i ( x − 3) + ( y + 1) 18 2 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn ( H ) tâm I ( 3;1) bán kính R = 18 Khi diện tích hình trịn S = R = 18 Câu 12: Xét số phức z thỏa mãn ( z −1 + i ) z + z i +1 số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z parabol có đỉnh 9 3 9 A I − ; − B I ; 2 2 2 33 C I ; − 4 Lời giải Chọn D Gọi z = a + bi ( a, b 8| Biên soạn: Phan Nhật Linh ) Khi z −1+ i ( z + z )i +1 = (a − 1) + (b + 1)i 2ai + 3 9 D I ; − 2 2 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh z −1 + i Vì số thực nên ( ( a − 1) + ( b + 1) i ) (1 − 2ai ) số thực hay −2a ( a − 1) + ( b + 1) =0 z + z i +1 ( ) Suy 2a − 2a − b − = (*) a = Mà w = z , gọi w = x + yi , suy ra: b = x thay vào biểu thức (*) ta y x y x − − − = y = x2 − x − 3 3 3 3 9 Do đó, tập hợp biểu biễn w parabol có đỉnh I ; − 2 2 Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + với + iz = z − 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến A B 2 C D Lời giải Chọn B w−2 , thay vào + iz = z − 2i ta được: 1+ i Ta có w = (1 + i ) z + z = i ( w − 2) + + i w −2 w −2 w − − 2i − 2i 1+ i = − 2i = i ( w − ) + + i = w − 2i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i iw − 2+ = w − 2i w − + − i = w − 2i w − − i = w − 2i i Gọi w = x + yi ( x, y ) , từ (1) (1) ta có x + yi − − i = x + yi − 2i ( x − 1) + ( y − 1) i = x + ( y − ) i ( x − 1) + ( y − 1) = x + ( y − ) x − y + = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w mặt phẳng phức đường thẳng : x − y + = Khi d ( A, ) = − ( −2 ) + 1 + ( −1) 2 = 2 Câu 14: Cho phương trình z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi = z , m tham số thực Số giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phức phân biệt cho điểm biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân A B C D Lời giải Chọn D Xét phương trình: z = z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi = z − mz + + mi = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục 0;1 Phan Nhật Linh thỏa mãn f (1) = ; f ' ( x ) + xf ( x ) = x − x, x 0;1 Hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) trục Ox , Oy Khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox tích A Câu 22: Cho B hàm số 2 y = f ( x) C có đạo f ( x) + xf ( x) = x + x + 3, x hàm 3 liên D tục 4 thỏa mãn Giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x) thuộc khoảng A ( 27;28 ) Câu 23: Cho hàm B ( 26;27 ) số y = f ( x) có C ( 28;29 ) đạo hàm cos xf ( x) − sin xf ( x) = 2cos x + 2sin x, x y = f ( x ) , y = f ( x) , x = x = A − Câu 24: Cho hàm số B + y = f ( x) liên D ( 29;30 ) tục thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường C − D + có đạo hàm liên tục thoả mãn f (1) = f ( x ) = xf ( x ) − x3 − 3x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) y = f ( x ) A B C 18 D 27 Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( 0;+ ) thoả mãn f ( x ) + f ( x) = x + 3x x f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) phương trình tiếp tuyến điểm y = f ( x ) có hoành độ x = A 2400 12 B 2401 12 C 333 Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục D ( 0;+ ) 335 thoả mãn f (1) = x ( − f ( x ) ) = f ( x ) − với x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) trục Ox , trục Oy x = A B C D f ( x ) = −2 x f ( x ) , x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = f ( x ) , x = x = Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn f ( x ) 0, x ; f ( ) = A B C 2 D 3 Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn − xf ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x ) , x (1; + ) , f ( x ) , x (1; + ) f ( e ) = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = xf ( x ) , y = , x = e , e2 x = e Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A B Câu 29: Cho hàm số y = f ( x) Về đích đặc biệt 9+ C D có đạo hàm liên tục thỏa mãn hệ thức x f ( x ) + x f ( x ) = x3 − 12 x + x Tính thể tích vật tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành trục tung quanh trục Ox A B 8 C 32 D Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) dương, có đạo hàm liên tục −2;1 32 , thỏa mãn hệ thức f ( x ) = f ( x ) x + f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục hoành đường thẳng x = −2, x = A 3e − 2e2 Câu 31: Cho hàm số B 3e + 2e2 C 3e + e2 D 3e − e2 f ( x ) = x3 + ax + bx + c với a, b, c số thực Biết hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) có hai giá trị cực trị −4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) g ( x ) + 12 A 2ln y = B ln D ln C ln18 Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) có diện tích A 127 40 B 107 C 127 10 Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục D 13 \ 0 thoã mãn f (1) = f ( x ) − xf ( x ) − f ' ( x ) = −16 x − Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đường y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = 1; x = A ln − B − ln Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = x + C − ln D 10 − ln 0 (10u − x ) f (u )du có đồ thị ( C ) Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , trục tung, tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = A S = 108 6| Biên soạn: Phan Nhật Linh B S = 12 C S = 180 D S = 112 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm xác định Phan Nhật Linh thoả mãn 0;+ ) f ( ) = Diện tích hình phẳng x − x ( f ( x ) − ) + ( f ( x ) − f ( x ) + 1) = , x 0; + ) có gới hạn hai đồ thị y = f ( x ) y = f ( x ) 5 Câu 36: Cho hàm 3 y = f ( x ) có A C B số đạo hàm liên D tục thỏa mãn f ( x ) = ( x − 1) f ( x ) + x3 − 3x + f ( ) = −6 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x ) + A B D 22 C 15 Câu 37: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục f (1) = và thỏa mãn xf ( x ) = f ( x ) + 3x − 3x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x ) A 162 Câu 38: Cho hàm B số 324 y = f ( x) liên C tục 104 khoảng D − ; 2 229 10 Biết f (0) = f ( x ) cos x + f ( x ) sinx = , x − ; Diện tích hình phẳng giới hạn đường 2 y = f ( x ) , y = trục Oy ( miền x − ; ) 2 A Câu 39: Cho 2 − hàm B 2 − y = f ( x) số có C đạo hàm − liên tục D 2− thỏa mãn f ( x) + xf ( x) = x − x , x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x) 71 45 A B C D 12 Câu 40: Cho hàm y = f ( x) số có f ( x) + xf ( x) = x + x − 4, x y = xf ( x) 112 272 A B 15 15 Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên trục đạo hàm liên tục thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) C 1088 15 D 32 0 thỏa mãn điều kiện f ( x ) = x − + xf ( + 15x ) dx Đồ thị hàm số y = g ( x ) = ax3 + bx + cx − cắt đồ thị y = f ( x ) ba điểm phân biệt có hồnh độ 1;2;4 Hình phẳng giới hạn hai đường cong f ( x ) g ( x ) có diện tích bằng: Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A I = B I = Về đích đặc biệt 9+ C I = 37 12 D I = f ( x ) Câu 42: Cho hàm số y = f ( x ) , có đạo hàm f (1) = (1;+ ) thỏa mãn điều kiện f ( x ) ( ) f ' ( x ) = ( x − 1) f ( x ) − f ( x ) + Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ 2 thị hàm số y = f ( x ) với đường x = 1; x = Ox ? A S = B S = C S = −4 D S = −8 Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm liên tục ( 0;+ ) thỏa mãn f (1) = x ( f ' ( x ) − x ) = f ( x ) − 1, x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) ; x = 1; x = trục hoành A 32 B 20 C 12 D 32 Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ( 0; + ) thỏa mãn xf ( x ) + f ( x ) = x x Biết f (1) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) − xf ( x ) , trục hoành, đường thẳng x = 1; x = A 14 B 124 C 62 D 28 Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có f ( ) = , đạo hàm f ( x ) liên tục −2; + ) thỏa mãn ( x + ) f ( x ) − f ( x ) = ( x − )( x + )3 với đồ thị hàm số y = f ( x ) trục hoành A 432 8| Biên soạn: Phan Nhật Linh B 448 x −2; + ) Diện tích hình phẳng giới hạn C 464 D 446 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( có f ( ) = f ( ) thỏa mãn biểu thức ) f ( x ) − f ( x ) f ( x ) − x − 3x = 18 x − xf ( x ) Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x ) g ( x ) = x f ( x ) A B C D Lời giải Chọn A ( ) Ta có: f ( x ) − f ( x ) f ( x ) − x − 3x = 18 x − xf ( x ) ( ) xf ( x ) + f ( x ) = f ( x ) f ( x ) − x − 3x + 18 x ( ) ( x + 3) f ( x ) + f ( x ) x + 3x = f ( x ) f ( x ) + 18 x f ( x ) x + 3x = f ( x ) + 18 x ( ) f ( x ) x + 3x dx = f ( x ) dx + 18 x 2dx ( ) ( ) f ( 0) =0 f ( x ) x + 3x = f ( x ) + x3 + C ⎯⎯⎯⎯ →C = ( ) ( ) f ( x ) − x f ( x ) + x3 − 3xf ( x ) = f ( x ) f ( x ) − x − 3x f ( x ) − x = f ( x ) = x2 f ( x ) − x ( f ( x ) − 3x ) = Do f ( ) f ( x ) = 3x f ( x ) = x ( ) Ta có: f ( x ) = 3x f ( x ) = g ( x ) = x f ( x ) = x = 3x x = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: 3x = 3x 3x − 3x = x = 1 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị là: S = Câu 2: Cho hàm y = f ( x) số có đạo hàm 0 ( 3x − 3x ) dx = liên tục thỏa mãn f ( x) + xf ( x) = x − x − 4, x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ( x) A 125 B 40 C 131 D 10 Lời giải Chọn C Ta có: f ( x) + x f ( x) = x3 − x − , x [ x f ( x)] = x3 − x − , x ( x) f ( x) + x f ( x) = x3 − x − , x x f ( x) = x − x − x + C , x Với x = C = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Suy f ( x) = x3 − x − f ( x) = x − Xét phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x ) y = f ( x) , ta có: x = x − x − = 3x − x = −1 Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x ) x = 4 y = f ( x) là: S = Câu 3: −1 f ( x) − f ( x) dx = −1 x − x − x dx = 131 Biết hàm số f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục nửa khoảng ( 0;1 , thỏa mãn f ( x) với x ( 0;1 Khi diện tích hình phẳng giới hạn x đường y = f ( x ) y = − x gần giá trị sau đây? f (1) = f ( x ) + x f ( x ) = B 0, 49 A 0,58 C 1, 22 D 0,97 Lời giải Chọn B Ta có: f ( x ) + x f ( x ) = ( f ( x) x f ( x ) f ( x ) + x ) x f ( x ) = x f ( x ) = x f ( x) x = f ( x) ( x ) f ( x ) + x = x x f ( x) dx x f ( x ) = x + C Vì f (1) = 2.1 f (1) = + C C = Do x f ( x ) = x f ( x ) = x Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = − x x= = − x −4 x + x − = x x = Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị S= f ( x ) − g ( x ) dx = Câu 4: 1 x − + x dx = 0, 488 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ( 0;+ ) thỏa mãn x f '( x ) − x f ( x) = x x − x f (1) = −1, tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f ( x ) A B C Lời giải 10| Biên soạn: Phan Nhật Linh D 11 Biết Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn C Theo giả thiết ta có: xf ' ( x ) − f ( x ) = x − Phan Nhật Linh xf ' ( x ) − f ( x ) x =1− x2 f ( x) f ( x) f ( x ) 1 = 1 − dx = x + + C ( ) =1− x x x x x x f (1) Mà f (1) = −1 nên từ ( ) có: f ( x) x = x+ 1 = + + C −1 = + C C = −3 1 − f ( x ) = x − 3x + f ( x ) = x − x x = Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − 3x + = x − x − x + = x = 4 Diện tích hình phẳng bằng: S = Câu 5: 1 x − x + dx = y = f ( x ) hàm liên tục có tích phân Cho hàm số 0;2 thỏa điều kiện ( ) = x + xf ( x ) dx Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x y = f ( x ) đường thẳng y = x − 12 A 30 C 24 Lời giải B 27 D 22 Chọn B 2 0 ( ) = x + xf ( x ) dx Đặt xf ( x ) dx = a Ta có f x ( ) Khi f x = x + a f ( x ) = x + a 3 ax Do a = xf ( x ) dx = x x + a dx a = x + a = 24 + 2a a = −24 2 0 0 ( ) Nên f ( x ) = x − 24 x = −1 Ta có x − 24 = x − 12 x − x − = x = 2 Vậy diện tích cần tìm S = Câu 6: 6x −1 2 − x − 12 dx = (6x −1 ) − x − 12 dx = 27 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) nằm phía trục hoành Hàm số y = f ( x ) thỏa mãn 1 điều kiện ( y ) + y y = −4 f ( ) = 1; f = Diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) 4 trục hoành gần với số đây? A 0,98 B 0,88 C 0,78 D 0,68 Lời giải Chọn A Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Ta có ( f ( x ) ) + f ( x ) f ( x ) = −4 ( f ( x ) f ( x ) ) = −4 ( f ( x ) f ( x )) dx = −4dx f ( x ) f ( x ) = −4 x + C f ( x ) f ( x ) dx = f ( x) ( −4x + C ) dx f ( x ) d ( f ( x )) = −4 x2 + C x + B = −2 x + C.x + B f ( x ) = −4 x + 2C.x + B 1 Theo giả thiết f ( ) = f = nên ta có 4 B =1 B = C C = f ( x ) = −4 x + x + − + +B = Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) với trục hoành (C ) −4 x + x + = 1− x1 = −4 x + x + = 1+ x2 = Vì ( C ) ln phía trục hồnh nên S = 1+ −4 x + x + 1dx 0,98 1− Câu 7: Cho hàm số f ( x ) liên tục xác định 0;2 thỏa mãn đồng thời điều kiện f (1) , f ( x) với x , ( x − 1) f ( x) + f ( x) = f ( x) f ( x) với x [0;2] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = x − A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn B Từ giả thiết ( x − 1) f ( x) + f ( x) = f ( x) f ( x) với x [0;2] , cho x = , ta có f (1) = f (1) f ' (1) f (1) 1 − f ' (1) = f (1) = Mặt khác, x [0;2] , ta có ( x − 1) f ( x) + f ( x) = f ( x) f ( x) ( x − 1) f ( x ) = f ( x ) ( x − 1) f ( x ) = f ( x ) + C Thay x = , ta suy f (1) + C = C = f ( x) = Do đó, ta ( x − 1) f ( x ) = f ( x ) f ( x ) = x − Vì f ( x ) 0, x nên ta suy f ( x ) = x − Xét phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x ) y = x − , ta có: 12| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 x = x − = x2 − x = Phan Nhật Linh Vậy diện tích phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = x − là: S = Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên 5 x + x − 3x3 − 3x + x, x 2 số y = f ( x); y = f ( x) có diện tích xf ( x) + x f ( x) = A 127 40 B 127 10 C tục 0 x − x dx = thỏa mãn Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm 107 D 13 Lời giải Chọn C 5 x + x − 3x3 − 3x + x, x 2 x f ( x) + x f ( x) = x5 + x − 3x3 − 3x + x, x 2 x f ( x) = x5 + x − 3x3 − 3x + x, x 2 1 x f ( x) = x + x5 − x − x3 + x + C 4 3 C f ( x) = x + x − x − x + + 4 x Vì f ( x ) liên tục nên C = Ta có: xf ( x) + x f ( x) = ( ) 3 3 x + x − x − x + f ( x) = x3 + x − x − 4 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) = f ( x) Do f ( x) = x = −2 x = −1 1 x − x3 − x + x + = x = 4 x = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số S= Câu 9: −2 f ( x) − f ( x) dx = 107 (dvdt ) Cho hàm số f ( x ) = x + bx + c ( b, c (d ) : y = g ( x) y = f ( x); y = f ( x) ) có đồ thị đường cong ( C ) đường thẳng tiếp xúc với ( C ) điểm x0 = Biết ( d ) ( C ) cịn hai điểm chung khác có hồnh độ x1 , x2 ( x1 x2 ) x2 x g ( x) − f ( x) ( x − 1) dx = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) đường thẳng ( d ) A 29 B 28 C 143 D 43 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có: f ( x ) − g ( x ) = ( x − 1) ( x − x1 )( x − x2 ) = x + bx − mx + n (*) x2 Ta có: x f ( x) − g ( x) ( x − 1)2 x2 1 x ( x − x1 )( x − x2 ) dx = x ( x − x1 )( x − x1 + x1 − x2 ) dx x2 x2 = dx = x2 x ( x − x1 ) 2 ( x − x )3 x − x1 ) ( + ( x − x1 )( x1 − x2 ) dx = + ( x1 − x2 ) x1 3 x2 − x1 ) ( x2 − x1 ) x2 − x1 ) ( ( −4 = − =− = Suy ( x2 − x1 ) = x2 − x1 = 3 (1) Mặt khác theo định lí viet bậc phương trình (*) ta được: + + x2 + x1 = x2 + x1 = −2 ( ) x = Từ (1) , ( ) x1 = −2 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( C ) đường thẳng ( d ) là: S= −2 ( x − 1) ( x + ) x dx = 29 Câu 10: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = ax3 + bx + cx + d ( P ) : y = mx + nx + p có đồ thị hình vẽ (Đồ thị ( C ) nét có đường cong đậm hơn) Biết phần hình phẳng giới hạn ( C ) ( P ) (phần tơ đậm) có diện tích Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay phần hình phẳng quanh trục hồnh có giá trị gần với số nhất? A 12.53 B 9.34 C 10.23 Lời giải D 11.74 Chọn D Từ đồ thị ta có: ( P ) : y = g ( x ) = mx + nx + p ( P ) qua ( 3;1) , ( 5;3) , (1;2 ) m= 9m + 3n + p = 29 25m + 5n + p = n = −2 g ( x ) = x − x + 8 m + n + p = 29 p = 14| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Đường cong ( C ) : y = ax3 + bx + cx + d Đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt điểm có hồnh độ x = , x = , x = suy f ( x ) − g ( x ) = k ( x − 1)( x − 3)( x − )( k ) 3 S = k ( x − 1)( x − 3)( x − ) dx − ( x − 1)( x − 3)( x − ) dx = k − ( −4 ) = 8k S = = 8k k = f ( x) = 29 x3 15 15 x − x − x − + x − x + = − x + x− ( )( )( ) 8 8 Vậy V = Câu 11: Cho 1 ( f hàm −g ) dx + ( g ) − f dx = số y = f ( x) có đạo xf ( x ) + x f ' ( x ) = x + x + x, x 6533 2007 + 11.74 3360 1120 hàm liên tục thỏa mãn Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) y = f ' ( x ) A B C D Lời giải Chọn D Ta có: ( xf ( x ) + x ) f ' ( x ) dx = 2 (( x ) ' f ( x ) + x f ' ( x ) )dx = (5x + 6x + 4x )dx = x + 2x +2x + C x f ( x ) = x5 + x +2 x + C Cho x = ta C = f ( x ) = x3 + x + ; f ' ( x ) = 3x + Xét phương trình hồnh độ giao điểm y = f ( x ) y = f ' ( x ) : x = x + x + = 3x + x = x = 2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm 0 f ( x ) − f ' ( x ) dx = Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục xác định 0;+ ) thỏa mãn điều kiện x + 8 − f ( x ) x + f ( x ) − f ( x ) + 8 = , x 0; + ) f (1) = Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) y = x + x − bằng: A B C D Lời giải Chọn B Ta có: x + ( − f ( x ) ) x + ( f ( x ) − f ( x ) + ) = Biên soạn: Phan Nhật Linh | 15 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 x + x − xf ( x ) + f ( x ) − f ( x ) + = x + x + = xf ( x ) − f ( x ) + f ( x ) ( ) x + x + = f ( x )( x + ) − f ( x ) ( x + ) = ( x + ) f ( x ) − f ( x ) x + 2) f ( x ) − f ( x ) f ( x) f ( x ) ( =2 = 2x + C =2 x+2 ( x + 2) x+2 f ( x) Mặt khác f (1) = nên C = −2 = x − f ( x ) = ( x + )( x − ) = x + x − x+2 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x + x − = x + x − x = x2 + x − = x2 + 8x − x2 − x + = x = Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số là: S= 2 ( x Câu 13: Cho ) ( ) + x − − x + x − dx = hàm f ( x) số thỏa f ( x ) 0, x (1; + ) f ( e ) = 2 x − x + dx = − xf ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x ) , x (1; + ) mãn , Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị e2 y = xf ( x ) , y = 0, x = e, x = e A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn A Ta có: − xf ( x ) ln x + f ( x ) = x f ( x ) − x f ( x) f ( x) xg ( x ) ln x + g ( x ) = x , x (1; + ) với g ( x ) = g ( x ) ln x + g ( x ) ln x − Do f ( e ) = g ( x) dx + g ( x) x = x , x (1; + ) f ( x) f ( x) = x, x (1; + ) g ( x ) ln x dx + x g ( x) x ln x + g ( x) x dx = 2x dx dx = x + C g ( x ) ln x = x + C , x (1; + ) g ( e ) = e2 C = Suy g ( x ) ln x = x , x (1; + ) e x2 x ln x g ( x) = 0, x (1; + ) y = xf ( x ) = = , x (1; + ) ln x g ( x) x Ta có S = e2 e x f ( x ) dx = e2 e e2 ln x dx = ln x = x 2 e Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm xác định, liên tục khoảng ( −1; + ) đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( x ) x ( −1, + ) , f ( ) = −1 f ( x ) = f ( x ) , f ( 3) = − ln Khi diện tích giới hạn đồ thị ( C ) : y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = 2, x = bao nhiêu? 16| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A 8ln − ln − B 8ln − 3ln − C 4ln − 3ln − D 8ln + 3ln − Lời giải Chọn B Phan Nhật Linh −1 = Với x ( −1; + ) , ta có: f ( x ) = f ( x ) −1 = − f ( x ) f ( x ) 1 mà f ( ) = −1 nên C1 = −1 f ( x) = − x + C1 = − x + C1 f ( x) f ( x ) 1 f ( x) = dx = − ln x + + C2 −x −1 −x −1 Mặt khác, ta có: f ( 3) = − ln − ln ( ) + C = − ln ( ) C2 = nên f ( x ) = − ln ( x + 1) Vậy f ( x ) = Khi đó: S = 2 − ln ( x + 1) dx = 2 ln ( x + 1) dx = 8ln − 3ln − Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa f ( x ) + f ( x ) = ; f (1) − f ( ) = x3 − x + x (x ) − x +1 f ( x ) dx = Biết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) : y = f ( x ) , trục tung trục hồnh có dạng S = ln a − ln b với a, b số nguyên dương Tính T = a + b A T = 14 B T = 25 C T = 36 Lời giải Chọn B Ta có f ( x ) + f ( x ) = f ( x )dx + ( ) x2 − x + 0 ( x − 1) ( x − x + 1) − x + x + = ( ) x2 − x + 2x − x2 − x − f ( x )dx = dx − dx x − x +1 x2 − x + f ( x )dx + f ( x )dx = x3 − x + x D T = 43 ( )− d x2 − x + x2 − x + ( ) x2 − x − ( x − 1)2 x2 − x + 2 dx 2x − x2 − x + d d x2 − x + 2x − 2x − f ( x )dx + f ( x ) = − = ln x − x + + +C 2 x − x +1 x − x +1 x2 − x + 2x − ( ) ( ) 2x − f ( x )dx = ln x − x + + − f ( x) + C x − x +1 0 ( ) Biên soạn: Phan Nhật Linh | 17 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 ( ) 1 ln x − x + = = f ( x ) dx 0 Vì nên suy x − = − (−1) = = f (1) − f ( ) x − x + Do đó: S = 2x − dx = − ln x − x + x − x +1 ( ) = ln C = 2x − f x = ( ) x2 − x + = ln − ln a = Suy Vậy T = a + b = 25 b = Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai, liên tục nhận giá trị dương đoạn 0;1 thỏa mãn 1 1 f ( x ) − f ( x ) f ( x ) + xf ( x ) + ( x + 1) f ( x ) = 0, x [0;1], f = f = 2 2 phân 0 f Biết tích a a ( a, b số nguyên dương phân só tối giản) Giá trị a + b b b ( x ) dx = A 181 B 25 C 10 Lời giải D 26 Chọn B Ta có: f ( x ) − f ( x ) f ( x ) + xf ( x ) + ( x + 1) f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + xf ( x ) + ( x + 1) f ( x ) = f ( x ) f ( x ) + f ( x ) ( x + ) f ( x ) + ( x + 1) f ( x ) = f ( x ) f ( x ) + f ( x ) 2 ( x + 1) f ( x ) = f ( x ) + 1 f ( x ) ( x + 1) f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + C1 1 1 Theo giả thiết: f = f = = + C1 C1 = 4 2 2 ( x + 1) f ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + Do f ( x)dx = f ( x ) 1 = ( x + 1)2 f ( x) + f ( x) + ( x + 1)2 dx −1 = ( f ( x ) 0) −1 + C2 ( x + 1) 1 f ( x) + f ( x) + 2 1 1 1 = Theo giả thiết: f = f = C2 = ( x + 1) 2 2 f ( x) + 2 a = 13 1 13 f ( x ) = x + f ( x ) dx = x + dx = a + b = 25 2 12 b = 12 0 Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục , thỏa mãn f ( x ) − f ( x ) = −8 + 16 x − x f ( ) = Tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) trục Ox quay quanh Ox 18| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 256 256 16 A B C 15 15 Lời giải Chọn B Từ giả thiết ta có Phan Nhật Linh D ( 16 ) f ( x ) − f ( x ) = −8 + 16 x − x f ( x ) e − x − f ( x ) e − x = −8 + 16 x − x e − x ( ) = ( −8 + 16 x − x ).e = ( x − x ) e + C f ( x ) e − x f ( x ) e − x −x f ( x ) e − x = −x ( −8 + 16 x − x ).e dx −x Vì f ( ) = C = Ta có f ( x ) = x − x Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) trục hồnh thỏa mãn phương trình x = f ( x) = x = Vậy thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) trục Ox quay quanh Ox V = 0 ( x ) − x dx = Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục 256 15 , thỏa mãn x f ( x ) − f ( x ) = x − f ( ) = Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox trục Oy A B C D Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta có x f ( x ) − f ( x ) = x − x4 = f ( x ) x − 4x − = x3 x3 x f ( x) 4x − 4 dx = − + + C f ( x ) = Cx − x + x x x x x Vì f ( ) = nên C = f ( x) x f ( x ) − xf ( x ) = Vậy f ( x ) = x − x + Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hồnh nghiệm phương trình f ( x) = x = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox trục Oy 0 S = ( x − x + 4)dx = Biên soạn: Phan Nhật Linh | 19