Chương 0-Số phức

10/22/20 11 1 Chương 0 Số phức 0.1 – Dạng đại số của số phức 0.2 – Dạng lượng giác của số phức 0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa 0.5 – Khai căn số phức 0.6 – Định lý cơ bản của Đại số 0.3 – Dạng mũ của số phức 0.1 Dạng đại số của số phức Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một số âm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x 2 = -1. Định nghĩa số i Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i 2 = -1 Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọn để ký hiệu một số mà bình phương của nó bằng –1. Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo. 0.1 Dạng Đại số của số phức Định nghĩa số phức Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z. Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho b = 0, thì a + bi = a + 0i = a là một số phức. Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). 0.1 Dạng Đại số của số phức Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực khác không được gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo. Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z. 10/22/20 11 2 0.1 Dạng Đại số của số phức Ví dụ Cho z 1 = 2 + 3i; z 2 = m + 3i. Tìm tất cả các số thực m để z 1 = z 2 . Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Nói cách khác, hai số phức z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 +ib 2 bằng nhau khi và chỉ khi a 1 = a 2 và b 1 = b 2 . Định nghĩa sự bằng nhau Giải 12 2 3 3z z i m i 2 2 33 m m 0.1 Dạng Đại số của số phức Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức. Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (3 + 5i) + (2 - 3i). Giải z = (3 + 5i) + (2 - 3i) Re( ) 5; Im( ) 2.zz = (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i. 0.1 Dạng Đại số của số phức Định nghĩa phép nhân hai số phức. Cho z 1 = a + bi và z 2 = c + di là hai số phức, khi đó z 1 .z 2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i Ví dụ Tìm dạng đại số của số phức z = (2 + 5i).(3+ 2i) Giải z = (2 + 5i)(3 + 2i) = 6 + 4i + 15i + 10 i 2 Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i. = 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i = 6 + 19i + 10(-1)= -4 + 19i 0.1 Dạng Đại số của số phức Cộng, trừ, nhân hai số phức: Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý i 2 = −1. 10/22/20 11 3 0.1 Dạng Đại số của số phức Ví dụ. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (2 + 3i) (4 - 2i). Định nghĩa số phức liên hợp Số phức được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi. z a bi Giải. Vậy số phức liên hợp là 14 8 .zi z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i = 8 – 4i + 12i – 6i 2 = 8 – 4i + 12i – 6(-1) = 14 + 8i. 0.1 Dạng Đại số của số phức Cho z và w là hai số phức; và là hai số phức liên hợp tương ứng. Khi đó: z w 1. là một số thực. zz 2. là một số thực. zz 3. khi và chỉ khi z là một số thực. zz 4. z w z w 5. z w z w 6. zz 7. với mọi số tự nhiên n () nn zz Tính chất của số phức liên hợp 0.1 Dạng Đại số của số phức Phép chia hai số phức. 1 1 1 2 2 2 z a ib z a ib 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) z a ib a ib z a ib a ib 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z a a b b b a a b i z a b a b Muốn chia số phức z 1 cho z 2 , ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu. (Giả sử ) 2 0z 0.1 Dạng Đại số của số phức Ví dụ. Thực hiện phép toán i i 5 23 Giải. )5)(5( )5)(23( 5 23 ii ii i i 125 210315 2 iii i i 2 1 2 1 26 1313 Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu là 5 + i. Viết ở dạng Đại số 10/22/20 11 4 Lưu ý: So sánh với số phức. Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói một cách khác, không thể so sánh hai số phức z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 + ib 2 như trong trường số thực. Biểu thức z 1 < z 2 hoặc z 2 ≥ z 1 không có nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác. 0.1 Dạng Đại số của số phức 0.2 Dạng lượng giác của số phức ( , )M a b z a bi r b a o x y 22 mod( )r a b z cos : sin a r b r trục thực trục ảo 0.2 Dạng lượng giác của số phức 22 mod( ) | |z z a b Định nghĩa Môdun của số phức Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: Ví dụ Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i. Giải Vậy mod(z) = |z| = 2 2 2 2 3 ( 4) 5.ab a = 3; b = -4. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Cho z = a + bi và w = c + di. Chú ý: Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ (a, b), thì 2 2 2 2 | | ( 0) ( 0)z a b a b là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ. là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d). 22 | | ( ) ( )z w a c b d 10/22/20 11 5 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Tìm tất cả các số phức z thỏa | 2 3 | 5zi Giải | 2 3 | 5zi | (2 3 ) | 5zi đường tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa argument của số phức Góc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là arg( ) .z Góc được giới hạn trong khoảng Lưu ý. 02 hoặc Công thức tìm argument của số phức. 22 22 cos sin aa r ab bb r ab hoặc tg b a 0.2 Dạng lượng giác của số phức Giải Ví dụ Tìm argument của số phức 3.zi 3; 1ab . Ta tìm góc thỏa: 33 os = 2 31 a c r 11 sin = 2 31 b r Suy ra 6 Vậy arg(z) = 6 0.2 Dạng lượng giác của số phức 22 ; 0z a bi a b (cos sin )z r i Dạng lượng giác của số phức 22 2 2 2 2 () ab z a b i a b a b (cos sin )z r i 10/22/20 11 6 0.2 Dạng lượng giác của số phức Giải Môđun: Ví dụ Tìm dạng lượng giác của số phức 1 3.zi 1; 3.ab 11 os = 2 31 a c r 33 sin = 2 31 b r Suy ra 2 3 Dạng lượng giác: 22 | | 2.r z a b Argument: 22 1 3 2(cos sin ) 33 z i i 0.2 Dạng lượng giác của số phức 1 1 1 1 2 2 2 2 (cos sin ); (cos sin )z r i z r i Sự bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác 12 12 12 2 rr zz k Phép nhân ở dạng lượng giác 1 2 1 2 1 2 1 2 (cos( ) sin( ))z z r r i Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Giải (1 )(1 3)z i i Dạng lượng giác: Ví dụ Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức (1 )(1 3).z i i 2( os in ) 2( os in ) 4 4 3 3 z c is c is 2 2[ os( ) in( )] 4 3 4 3 z c is 2 2( os in ). 12 12 z c is 0.2 Dạng lượng giác của số phức Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác 11 1 2 1 2 22 (cos( ) sin( )) zr i zr Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. 1 1 1 1 2 2 2 2 (cos sin ); (cos sin )z r i z r i 22 0 0.zr 10/22/20 11 7 0.2 Dạng lượng giác của số phức Giải 2 2 3 3 i z i Dạng lượng giác: 77 2( os in ). 66 z c is Ví dụ Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức 2 12 . 3 i z i 4(cos sin ) 33 55 2(cos sin ) 66 i i - 5 - 5 2[cos( - ) sin( - )] 3 6 3 6 zi 0.3 Dạng mũ của số phức cos sin i ei Định lý Euler (1707-1783) z a bi (cos sin )z r i i z re Dạng đại số của số phức z Dạng lượng giác của số phức z Dạng mũ của số phức z 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Tìm dạng mũ của số phức sau 3zi Dạng lượng giác: 55 2(cos sin ) 66 zi Dạng mũ: 5 6 2 i ze 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức 2 ; i z e R Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 2 (cos sin )z e i 10/22/20 11 8 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức 3 ; ai z e a R (cos 3 sin 3) a z e i Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2. 0.4 Nâng số phức lên lũy thừa Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n z a bi 2 2 2 ( )( ) ( ) (2 )z z z a bi a bi a b ab i 3 3 3 2 2 3 ( ) 3 3 ( ) ( ) z a bi a a bi a bi bi 0 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n z a bi C a C a bi C a bi C bi n z A iB 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Ví dụ. Cho z = 2 + i. Tính z 5 . 55 )2( iz 55 5 44 5 323 5 232 5 41 5 50 5 22222 iCiCiCiCiCC iii 1.2.5).(4.10)1.(8.10.16.532 i4138 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa bậc n của số phức i: ii 1 1 2 i iiiii )1( 23 1)1()1( 224 iii iiiii 1 45 1)1(1 246 iii iiiii )(1 347 111 448 iii Lũy thừa bậc n của i Giả sử n là số tự nhiên, khi đó i n = i r , với r là phần dư của n chia cho 4. 10/22/20 11 9 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Tính 1987 zi 1987 4 496 3 1987 zi 4 496 3 3 i i i 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Cho z = 1 + i. a) Tìm z 3 ; b) Tìm z 100 . Ví dụ 33 ) (1 )a z i 23 1 3 3i i i 1 3 3z i i 22zi ) Tính tương tự rất phức tạp. Ta sử dụng cách khácb [ (cos sin )] (cos sin ) nn r i r n i n Cơng thức De Moivre Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa z a bi (cos sin )ri 22 (cos 2 sin 2 )z z z r i 3 2 3 (cos 3 sin 3 )z z z r i 1 (cos sin ) n n n z z z r n i n 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Ví dụ. Sử dụng cơng thức de Moivre’s, tính: a) (1 + i) 25 200 )31( i b) 20 17 )212( )3( i i c) Giải. a) Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác ) 4 sin 4 (cos21 iiz Bước 2. Sử dụng cơng thức de Moivre’s: ) 4 25 sin 4 25 (cos)2()] 4 sin 4 (cos2[ 252525 iiz Bước 3. Đơn giản ) 4 sin 4 (cos22 1225 iz 10/22/20 11 10 0.4 Khai căn số phức Định nghĩa căn bậc n của số phức Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w n = z, trong đó n là số tự nhiên. (cos sin )z a bi r i 22 (cos sin ) (cos sin ) nn n k kk z r i z r i nn với k = 0, 1, 2, …, n – 1. Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 0.4 Khai căn số phức Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diển các nghiệm lên trên mặt phẳng phức. 3 8 a) 4 3 i b) 8 16 1 i i c) 6 1 3 i i d) 5 12i e) 12i f) Giải câu a) b) Viết số phức ở dạng lượng giác: 8 8(cos 0 sin 0)i Sử dụng công thức: 3 0 2 0 2 8(cos 0 sin 0) 2(cos sin ) 33 k kk i z i 0,1,2.k 0.4 Khai căn số phức Giải câu b) b) Viết số phức ở dạng lượng giác: Sử dụng công thức: 4 4 22 66 2(cos sin ) 2 (cos sin ) 6 6 4 4 k kk i z i 0,1,2,3.k 3 2(cos sin ) 66 ii 0 z 1 z 2 z 3 z 0.5 Định lý cơ bản của Đại số Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Số nghiệm của một đa thức Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. [...]... z 2 c) z 4 d) z 2 z 1 Dạng Đại số của số phức z 0 1 z i - 0 2 2 1 bi 2 Dạng Lượng giác của số phức 0 2z a i z r (cos i sin ) 0 3 Nâng lên lũy thừa Giải Giải phương trình az 2 Bước 1 Tính b Bước 2 Tìm b Bước 3 z1 b 1 2a 2 2 ; z2 bz c z 0 n [ r (cos i sin )] n n r (cos n i sin n ) 4 ac 4 Căn bậc n của số phức 4 ac b 1, 2 2 2a n z n r (cos i sin k... phương trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế nào Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây Hệ quả Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức 0.5 Định lý cơ bản của Đại số - Ví dụ (sử dụng hệ quả của định lý cơ bản) 1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ . 10/ 22/ 20 11 1 Chương 0 Số phức 0. 1 – Dạng đại số của số phức 0. 2 – Dạng lượng giác của số phức 0. 4 – Nâng số phức lên lũy thừa 0. 5 – Khai căn số phức 0. 6 – Định lý cơ bản của Đại số 0. 3. 12i e) 12i f) Giải câu a) b) Viết số phức ở dạng lượng giác: 8 8(cos 0 sin 0) i Sử dụng công thức: 3 0 2 0 2 8(cos 0 sin 0) 2(cos sin ) 33 k kk i z i 0, 1,2.k 0. 4 Khai căn số phức Giải câu b) b) Viết số phức. n chia cho 4. 10/ 22/ 20 11 9 0. 3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Tính 1987 zi 1987 4 496 3 1987 zi 4 496 3 3 i i i 0. 3 Nâng số phức lên lũy thừa Cho z = 1 + i. a) Tìm z 3 ; b) Tìm z 100 . Ví dụ 33 )