lý thuyết chương số phức ( cơ bản )

Chơng 4 Giải tích 12 Số Phức I. S PHC V BIU DIN S PHC : 1. nh ngha: S phc l mt biu thc cú dng a bi+ , trong ú 2 , ; 1a b i = Ă . S phc z a bi= + cú a l phn thc, b l phn o. S phc z a bi= + c biu din bi im ( ) ;M a b hay bi ( ) ;u a b= r trong mt phng ta Oxy. z = a + 0i l s thc z = 0 + bi l s thun o z = 0 + 0i va l s thc va l s o Hai s phc bng nhau : a c a bi c di b d = + = + = . Modun ca s phc z a bi= + chớnh l di ca OM uuuur . Vy : 2 2 z OM a b= = + uuuur . S phc liờn hp ca s phc z a bi= + l s phc z a bi= . Chỳ ý rng : cỏc im biu din z v z i xng nhau qua trc honh. Do ú z l s thc khi v ch khi z z= , z l s o khi v ch khi z z= 2. CC PHẫP TON TRấN S PHC : a. Phộp cng, tr, nhõn hai s phc : ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ + = + ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di ac bd ad bc i+ + = + + Chỳ ý : Cỏc phộp toỏn : cng, tr, nhõn hai s phc thc hin nh rỳt gn biu thc i s quen thuc vi chỳ ý rng 2 1i = . Cỏc quy tc i s ó bit trờn tp s thc vn c ỏp dng trờn tp s phc. 1 2 3 4 , 1, , 1i i i i i i= = = = . Tng quỏt : 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, n n n n i i i i i i + + + = = = = . ( ) 2 1 2i i+ = ; ( ) 2 1 2i i = . b. Phộp chia hai s phc : Gv: Lê Phú Trơng Trang 1 Bi 1: S PHC Chng IV: S PHC Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a bi c di a bi c di a bi c di c di c di c d + − + − + = = + + − + . Như vậy : 2 . . . z z z z z z z z z ′ ′ ′ = = Chú ý : 1 1 i i i + = − . c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun : • z z= ; z z z z ′ ′ + = + ; .zz z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′   =  ÷   • 0z ≥ với mọi z∈ £ , 0 0z z= ⇔ = . • z z= ; zz z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ + ≤ + • Tính kết hợp: ( z + z / ) + z // = z + ( z / + z // ) • Tính giao hoán : z + z / = z / + z • Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z • z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối của z I. Căn bậc 2 của số phức: 1. Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức w nếu : 2 z w= . Như vậy để tìm Số phức z x yi= + ( ) ,x y∈ ¡ là căn bậc hai của số phức w a bi= + ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau : 2 2 2 x y a xy b      − = = Chú ý : • Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. • Số thực 0a > có đúng hai căn bậc hai là : a± Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 2 BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc • Số thực 0a < có hai căn bậc hai là i a i a± = ± − . Đặc biệt , số 1− có hai căn bậc hai là i ± . II. Phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai 2 0az bz c+ + = ( , , , 0a b c a∈ ≠£ ). • Nếu 0∆ = , phương trình có một nghiệm kép 2 b z a = − . • Nếu 0∆ ≠ , phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1,2 2 b z a δ − ± = , trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ . a. Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai 2 0az bz c+ + = ( , , , 0a b c a∈ ≠£ ) có hai nghiệm 1 2 ,z z thì : 1 2 b z z a + = − và 1 2 c z z a = . b. Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số 1 2 ,z z có tổng 1 2 z z S+ = và 1 2 z z P= thì 1 2 ,z z là nghiệm của phương trình : 2 0z Sz P− + = . I. Dạng lượng giác của số phức : Số phức 0z a bi= + ≠ có dạng lượng giác là : ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + ; trong đó : 0r z= > , cos a r ϕ = , sin b r ϕ = , ( ) ,Ox OM ϕ = là một acgumen của z . Các tính chất của acgumen : Nếu ϕ là một acgumen của z thì ϕ − là một acgumen của z . Nếu ϕ là một acgumen của z thì π ϕ + là một acgumen của z− . II. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác : Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + và ( ) cos sinz r i ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ = + thì : ( ) ( ) cos sinzz rr i ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ = + + +    , ( ) ( ) cos sin z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ = − + −    ′ ′ . III. Lũy thừa số phức dưới dạng lượng giác : Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 3 Bài 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + thì ( ) cos sin n n z r n i n ϕ ϕ = + 1n ≥ và n∈ ¥ . IV. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Nếu ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + thì các căn bậc hai của z là : 2 2 cos sin 2 2 k k r i ϕ π ϕ π + +   +  ÷   , với 0k = hay 1k = . Bài 1: Xác đònh phần thực , phần ảo của các số phức sau : − − a) z = 2 + 5i b) z = 2 i c) z = 3 d) z = 0 − − − + − − 2 e) i + (2 4i) (3 5i) f) ( 2 5i) g) (2 + 3i)(2 3i) h) i(2 i)(3+i) Bài 2: − ∈ ¡Cho z = (2a 4) + (3b + 6)i với a,b . Tìm điều kiện của a và b để : a) z là số thực b) z là số ảo . Bài 3: ′ Tìm các số thực a,b sao cho z = z với từng trường hợp sau : ′ − − − ′ − − − − − a) z = ( 3a 6) + i , z = 12 + (2b 9)i b) z = (2a 5) (3b 1)i , z = (2b 1) + (3a 5)i Bài 4: ′ ′ ′ −Tính z + z , z z , z . z với : ′ ′ a) z = 3+2i , z = 4 + 3i b) z = 2-3i , z = 5 + 4i Bài 5: Tìm nghòch đảo của các số phức sau : − − a) z = 3 + 4i b) z = 1 2i c) z = 2 + 3i Bài 6: Thực hiện các phép tính sau : − + − + + − + 2 2 3 1 5 6i A = (1 i) ; B = (2 + 4i) ; D = (1+ i) 13i ; E = ; F = (1 i)(4 3i) 4 3i − − − = − − − − 7 2i 1 1 3 2i 3 4i G = ;H ; I = ; J = ; K = 8 6i 2 5i i 4 i 1 3 i 2 2 Bài 7: − + + + 2 3 2 1 3 1 Cho z = i . Hãy tính : , z,z ,(z) ,1 z z . 2 2 z Bài 8: ∈ £Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z − − − − − − a) iz + 2 i = 0 b) (2 + 3i)z = z 1 c) (2 i)z 4 = 0 d) (iz 1)(z + 3i)(z 2+3i) = 0 e). ( ) 3 3 2 6 7x i i+ − = + ; f). ( ) ( ) 5 2 2 7 3i x i i+ + − + = − . g). ( ) 2 4 2 1 0i i z− − − = . h). 2 6 2z z i+ = + . m). 3 7 5iz z i+ = + ; n). 3 2 5 2z z i+ = + . Bài 9: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau : Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 4 BÀI TẬP Ch¬ng 4 – Gi¶i tÝch 12 Sè Phøc − − − − a) z = 1 b) z = 9 c) z = 5 + 12i d) z = i e) z = 1+ 4 3i f) z = 17+ 20 2i g) z = 8 + 6i h) z = 46 14 3i i). 3 4i− ; j). 5 12i− − . Bài 10: ∈ £Giải các phương trình sau trên tập số phức : với ẩn z = + + + = − + = + − + − = − − − = − − + − = 2 2 2 2 2 2 a) z z 1 b) z 2z 5 0 c) z z 1 0 d) z ( 2 i)z 2i 0 e) ix 2(1 i)x 4 0 f) x (5 i)z 8 i 0 + = 2 g) z 4 0 h) 2 2z i= Gv: Lª Phó Tr¬ng Trang 5 . tr, nhõn hai s phc : ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ + = + ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di ac bd ad. của các số phức sau : − − a) z = 2 + 5i b) z = 2 i c) z = 3 d) z = 0 − − − + − − 2 e) i + (2 4i) (3 5i) f) ( 2 5i) g) (2 + 3i )( 2 3i) h) i(2 i )( 3 +i) Bài 2: