ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– DƯƠNG THỊ THU PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyê[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– DƯƠNG THỊ THU PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN, 11/2021 i Mục lục Mở đầu PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.1 Dãy số tính chất 1.2 Giới hạn dãy số tính chất liên quan 1.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 1.3.1 Sử dụng tính đơn điệu dãy số tìm giới hạn 1.3.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số đề tìm giới hạn 1.3.3 Sử dụng định lý Lagrange tìm giới hạn 1.3.4 Sử dụng định lý Stolz - Cesaro tìm giới hạn 3 8 13 25 27 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN VÀO MỘT SỐ TOÁN LÊN QUAN ĐẾN DẪY SỐ 34 2.1 Một số toán giới hạn tổng 34 2.2 Một số toán dãy số liên quan đến hình học 43 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Mở đầu Trong chương trình mơn Tốn trường phổ thơng, dãy số nội dung quan trọng, dãy số đặc biệt dãy số cấp số cộng, dãy số cấp số nhân, loại dãy số vận dụng toán kinh tế Đối với tốn ứng dụng việc tìm dãy lặp đắn phương pháp gắn với lý thuyết dãy số, giới hạn dãy số, nói lý mà kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế tốn dãy số ln khai thác nhiều khía cạnh khác Dãy số nói chung, toán liên quan đến giới hạn dãy số nói riêng ln đánh giá nội dung tương đối khó Các tốn giới hạn dãy số thường địi hỏi học sinh hiểu xác mối quan hệ số hạng dãy số xét, mà đơi ngơn ngữ khó diễn đạt cách đầy đủ Do tốn giới hạn dãy số ln tập thú vị thường phức tạp có sức hấp dẫn, thu hút u thích thầy dạy tốn học sinh Để giải số toán giới hạn dãy số đề thi chọn học sinh giỏi học sinh phải nắm kiến thức rộng chuyên sâu, áp dụng trực tiếp cơng thức để có lời giải mà phải "đi đường vòng", phải qua nhiều bước trung gian Trong khuân khổ luận văn, xin dành quan tâm đến việc "chuyển qua giới hạn" để đưa hướng giải cho số toán Tuy nhiên cách thức không được giảng dạy chương trình đại trà chương trình nâng cao bậc phổ thơng Đã có nhiều tài liệu trình bày giới hạn dãy số, chưa đầy đủ, với khn khổ luận văn thạc sĩ Tốn học, chúng tơi chọn đề tài liên quan tới giới hạn dãy số toán liên quan Với mong muốn tìm hiểu phương pháp giới hạn để ứng dụng vào giải số toán liên quan đến dãy số đề thi học sinh giỏi, để làm tài liệu cho việc giảng dạy thân làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi tự học, chọn chủ đề: Giới hạn dãy số ứng dụng làm hướng nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Nội dung đề tài luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương, cụ thể: Chương Phương pháp tìm giới hạn dãy số Trong chương sau hệ thống hoá kiến thức dãy số giới hạn dãy số, bổ sung số kiến thức nâng cao, luận văn trình bày số phương pháp tính giới hạn dãy số như: Vận dụng tính đơn điệu dãy số; Vận dụng tính đơn điệu hàm số, qua xây dựng dãy số tìm giới hạn; Vận dụng kết kinh điển giải tích để xác định dãy số Định lý Lagrange Định lý Stolz-Cesaro Các nội dung minh họa hệ thống tốn tốn khó, sử dụng kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, quốc gia quốc tế qua làm rõ sở cho tốn dãy số trình bày Chương luận văn Chương Vận dụng phương pháp giới hạn vào số toán liên quan đến dãy số Trong Chương 2,chúng đưa điều kiện hội tụ cho lớp dãy số, thông qua xác định dãy số dạng tổng liên quan tới dãy số cho xác định giới hạn Cuối trình bày số tốn hình học liên quan tới giới hạn Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Trịnh Thanh Hải, thầy tận tình hướng dẫn bảo cho tơi suốt q trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy giáo, phịng chức trường tạo cho tác giả điều kiện tốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, bạn học viên lớp Cao học Toán K13 động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối tác giả xin bày tỏ biết ơn vô hạn cha mẹ, anh chị em người thân gia đình động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2021 Tác giả Dương Thị Thu Chương PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Trong chương này, hệ thống lại kiến thức dãy số bốn phương pháp thường xuất tốn tìm giới hạn dãy số, bao gồm phương pháp sơ cấp cao cấp 1.1 Dãy số tính chất Dãy số tập hợp đếm số thực, đánh số xếp theo thứ tự số tăng dần Dãy số ký hiệu (un )∞n=1 hay {un }∞n=1 đơn giản (un )n>1 hay (un ), Hay viết cách tường minh, dãy số tập hợp ký hiệu sau {u1 , u2 , , un , } Cũng xem dãy số tập giá trị hàm có tập xác định tập số nguyên dương 1, 2, 3, Trong chương trình sách giáo khoa lớp 11 định nghĩa dãy số sau Định nghĩa 1.1.1 Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu u : N∗ → R n 7→ u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Các số hạng dãy số thường kí hiệu un thay u(n) Dãy số kí hiệu {un } (un ) Trong chương trình phổ thơng, học sinh trang bị số dãy số đặc biệt dãy cấp số cộng, cấp số nhân dãy số Fibonacci Các loại dãy số có nhiều tính chất thú vị xuất ứng dụng thực tế Tuy vậy, nội dung luận văn tập trung số phương pháp tìm giới hạn dãy số, nên định nghĩa dãy số khơng trình bày lại Ví dụ 1.1.2 (1) Dãy số tự nhiên chẵn 0, 2, 4, 6, 8, có số hạng đầu u1 = 0, số hạng tổng quát un = 2(n − 1) (2) Dãy số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, có số hạng đầu u1 = 1, số hạng tổng quát un = 2n − (3) Dãy số phương 1, 4, 9, 16, có số hạng đầu u1 = 1, số hạng tổng quát un = n2 Định nghĩa 1.1.3 Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, , m} với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , , um , u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Định nghĩa 1.1.4 (a) Dãy số (un ) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un N∗ (b) Dãy số (un ) gọi dãy số không giảm ta có un+1 > un (c) Dãy số (un ) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un ∀n ∈ ∀n ∈ N∗ ∀n ∈ N∗ (d) Dãy số (un ) gọi dãy số khơng tăng ta có un+1 un ∀n ∈ N∗ Ví dụ 1.1.5 (1) Dãy số (un ) với un = 2n + dãy số tăng Thật vậy, với n ∈ N∗ , xét hiệu un+1 − un Ta có un+1 − un = 2(n + 1) + − (2n + 1) = Do un+1 − un > nên un+1 > un n (2) Dãy số (un ) với un = n dãy số không tăng Thật vậy, với n ∈ N∗ , un > un+1 Ta có nên xét tỉ số un un+1 n + n n+1 = n+1 : n = un 2 2n n+1 un+1 Dễ thấy với n > nên suy un+1 un 2n un Định nghĩa 1.1.6 (a) Dãy số {un } gọi bị chặn tồn số M cho un M, ∀n ∈ N∗ (b) Dãy số {un } gọi bị chặn tồn số m cho un > m, ∀n ∈ N∗ (c) Dãy số {un } gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m un M, ∀n ∈ N∗ Ví dụ 1.1.7 (1) Dãy số tự nhiên bị chặn un > với n ∈ N∗ n (2) Dãy số {un } với un = n , tức dãy 3 , , , , , 27 81 243 dãy bị chặn un , ∀n ∈ N∗ 1.2 Giới hạn dãy số tính chất liên quan Về mặt trực quan, với dãy số (un ) với số hạng tổng quát un = (1/2)n liệt kê 1 u1 = ( )1 = = 0.5 2 u2 = ( ) = = 0.25 u3 = ( ) = = 0.125 ··· 1 = 0.000977 u10 = ( )10 = 1024 ··· u20 = ( )20 = 0.000000954 ··· ta thấy rằng, n lớn un gần “0” Ta nói “giới hạn dãy (un ) n dần vô không” “dãy số hội tụ tới không” “limn→∞ un = 0” Đồ thị mô tả biến thiên gần “không” dãy (1/n) ((1/2)n ) cho n thay đổi từ đến 20 0.8 0.6 0.4 0.2 10 15 20 25 Về mặt tốn học, giới hạn dãy số có định nghĩa tính chất sau Định nghĩa 1.2.1 (a) Dãy số (un ) gọi có giới hạn l n dần tới dương vơ với ε > nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un ε) cho với n > N0 ta có |un − l| < ε Khi đó, ta ký hiệu limn→∞ un = l Hay lim un = l ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un − l| < ε n→∞ (b) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ n → +∞ với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 cho với n > N0 ta có un > M Khi đó, ta ký hiệu limn→∞ un = +∞ Hay lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , un > M n→∞ Dãy số (un ) gọi có giới hạn −∞ n → +∞ lim(−un ) = +∞ (c) Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy số hội hay dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Giới hạn dãy số có tính chất tương tự phép tính số học thơng thường Việc tìm giới hạn định nghĩa phức tạp nên người ta thường áp dụng công thức giới hạn đặc biệt tính chất giới hạn Định lý 1.2.2 ([1]) (1) [Tính giới hạn.] Giới hạn dãy số tồn (2) [Tính chất thứ tự giới hạn.] – Nếu an bn với n > N0 limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b a b – Cho (an ), (bn ), (cn ) ba dãy số Nếu từ số N0 trở có bất đẳng thức an cn bn limn→∞ an = a = limn→∞ bn limn→∞ cn = a (3) Giả sử dãy số {un } có giới hạn hữu hạn ℓ, ∃N0 ∈ N cho với n > N0 ta có a xn b a ℓ b Định lý 1.2.3 (Tính chất dãy số hội tụ) (1) Nếu lim an = a lim bn = b n→∞ n→∞ (a) limn→∞ (an ± bn ) = a ± b (b) limn→∞ (an bn ) = ab an a (c) limn→∞ = (nếu b 6= 0) bn b (d) limn→∞ |an | = |a| (e) limn→∞ αan = αa (2) Nếu lim an = dãy (bn ) bị chặn lim an bn = n→∞ n→∞ (3) Nếu an > với n lim an = a n→∞ a > lim n→∞ √ √ an = a Chứng minh Với ε > tồn số tự nhiên N1 N2 cho ∀n > N1 ⇐⇒ |an − a| < ε Tương tự, ε > tồn số tự nhiên N2 cho ∀n > N1 ⇐⇒ |bn − b| < ε Đặt N = max(N1 , N2 ) Nếu n > N, theo bất đẳng thức tam giác ta có |(an ± bn ) − (a ± b)| |an − a| + |bn − b| < ε/2 + ε/2 = ε Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.2.4 Nếu dãy số (un ) hội tụ theo định lý ta có lim (an+1 − an ) = n→∞ Qua nhật xét ta thấy dãy số un = (−1)n dãy phân kỳ, |an+1 − an | = với n Định lý 1.2.5 (Sự hội tụ dãy đơn điệu) Một dãy số tăng (giảm) bị chặn (bị chặn dưới) dãy hội tụ Tiếp theo, chúng tơi đưa tính chất hội tụ hai dãy kề Hai dãy số (an ) (bn ) gọi kề (an ) dãy tăng (bn ) dãy giảm lim (an − bn ) = n→∞ Định lý 1.2.6 (Sự hội tụ hai dãy kề nhau) Hai dãy số kề chúng hội tụ giới hạn Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm dãy con, dãy Cauchy số tính chất Định nghĩa 1.2.7 (a) Cho dãy số (an ) : a1 , a2 , Dãy (ank ) với số thỏa mãn n1 < n2 < · · · gọi dãy trích từ dãy (an ) (b) Dãy số (an ) gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 cho với m, n > N0 ta có |an − am | < ε Một số tính chất dãy dãy Cauchy Tính chất 1.2.8 (1) Một dãy hội tụ dãy trích từ dãy hội tụ giới hạn (2) (Bổ đề Bolzano–Weierstrass) Mọi dãy số bị chặn trích dãy hội tụ (3) (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy số (an ) dãy Cauchy hội tụ Định lý 1.2.9 Cho (un ), (vn ) dãy Khi đó, un (1) Nếu lim un = a lim = ±∞ lim = n→∞ n→∞ n→∞ un = +∞ n→∞ n→∞ n→∞ (3) Nếu lim un = +∞ lim = a > lim un = +∞ (2) Nếu lim un = a > 0, lim = > với n lim n→∞ n→∞ n→∞ 3n + n→∞ n2n Ví dụ 1.2.10 Tìm lim 3n + + 4n 3+ LỜI GIẢI Chia tử mẫu cho n, ta = lim 2n = = Vì lim n n n n→∞ n→∞ n2 +∞ nên + n4 3n + lim = lim n = n→∞ n2n n→∞ 1.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Cũng lĩnh vực khác toán học, giới hạn dãy số đa dạng thể loại phong phú phương pháp Ngoài số cách thông thường sử dụng định nghĩa giới hạn, định nghĩa tích phân, định nghĩa đạo hàm, hay chứng minh dãy đơn điệu bị chặn, sau giải phương trình truy hồi để tìm giới hạn, v.v cần ý tới số phương pháp khác, tương đối hiệu cho dạng tốn 1.3.1 Sử dụng tính đơn điệu dãy số tìm giới hạn Như ta biết, để chứng minh tính đơn điệu tăng dãy số (an ) ta thường chứng minh an+1 − an > an+1 /an > từ số N0 trở Việc chứng minh tính đơn điệu tăng dãy số em học sinh dễ dàng phát Nên vấn đề toán phụ thuộc vào việc chứng minh dãy số bị chặn Khi hướng dẫn đến phần nhận thấy có nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp quy nạp Nhưng em gặp phải trở ngại mà {an } lại dãy số tăng, nên việc chọn đại lượng chặn số khiến cho em sử dụng giả thiết quy nạp Do để giải trở ngại nghĩ đến kỹ thuật làm giảm lượng vừa đủ thay đổi theo n, đảm bảo (an ) bị chặn mà sử dụng phương pháp quy nạp Để minh họa cho điều ta xét dãy số sau Tuy nhiên bạn đọc nhận thấy việc đưa bất đẳng thức an − hoàn tồn khơng tự nhiên Để dạy học n tập thường không vào lời giải mà tiếp cận bất đẳng thức an − theo hướng làm sau: Giả sử ta có {an } bị chặn số n M Tức an < M, ∀n ∈ N∗ Từ công thức truy hồi ta có: an−2 an−1 an−1 = an−1 + + an+1 = an + n(n + 1) (n − 1)n n(n + 1) Lặp lại trình tìm an+1 = a2 + a1 a2 an−1 + +···+ 2·3 3·4 n(n + 1) 5 Theo quy nạp, ta suy ε k−1 k +···+ +1 an0 − b + an0 +k − b 5 3 k k ε