(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi

(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– DƯƠNG THỊ THU PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN, 11/2021 i Mục lục Mở đầu PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.1 Dãy số tính chất 1.2 Giới hạn dãy số tính chất liên quan 1.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 1.3.1 Sử dụng tính đơn điệu dãy số tìm giới hạn 1.3.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số đề tìm giới hạn 1.3.3 Sử dụng định lý Lagrange tìm giới hạn 1.3.4 Sử dụng định lý Stolz - Cesaro tìm giới hạn 3 8 13 25 27 VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN VÀO MỘT SỐ TOÁN LÊN QUAN ĐẾN DẪY SỐ 34 2.1 Một số toán giới hạn tổng 34 2.2 Một số toán dãy số liên quan đến hình học 43 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Mở đầu Trong chương trình mơn Tốn trường phổ thơng, dãy số nội dung quan trọng, dãy số đặc biệt dãy số cấp số cộng, dãy số cấp số nhân, loại dãy số vận dụng toán kinh tế Đối với tốn ứng dụng việc tìm dãy lặp đắn phương pháp gắn với lý thuyết dãy số, giới hạn dãy số, nói lý mà kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế tốn dãy số ln khai thác nhiều khía cạnh khác Dãy số nói chung, toán liên quan đến giới hạn dãy số nói riêng ln đánh giá nội dung tương đối khó Các tốn giới hạn dãy số thường địi hỏi học sinh hiểu xác mối quan hệ số hạng dãy số xét, mà đơi ngơn ngữ khó diễn đạt cách đầy đủ Do tốn giới hạn dãy số ln tập thú vị thường phức tạp có sức hấp dẫn, thu hút u thích thầy dạy tốn học sinh Để giải số toán giới hạn dãy số đề thi chọn học sinh giỏi học sinh phải nắm kiến thức rộng chuyên sâu, áp dụng trực tiếp cơng thức để có lời giải mà phải "đi đường vòng", phải qua nhiều bước trung gian Trong khuân khổ luận văn, xin dành quan tâm đến việc "chuyển qua giới hạn" để đưa hướng giải cho số toán Tuy nhiên cách thức không được giảng dạy chương trình đại trà chương trình nâng cao bậc phổ thơng Đã có nhiều tài liệu trình bày giới hạn dãy số, chưa đầy đủ, với khn khổ luận văn thạc sĩ Tốn học, chúng tơi chọn đề tài liên quan tới giới hạn dãy số toán liên quan Với mong muốn tìm hiểu phương pháp giới hạn để ứng dụng vào giải số toán liên quan đến dãy số đề thi học sinh giỏi, để làm tài liệu cho việc giảng dạy thân làm tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi tự học, chọn chủ đề: Giới hạn dãy số ứng dụng làm hướng nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Nội dung đề tài luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương, cụ thể: Chương Phương pháp tìm giới hạn dãy số Trong chương sau hệ thống hoá kiến thức dãy số giới hạn dãy số, bổ sung số kiến thức nâng cao, luận văn trình bày số phương pháp tính giới hạn dãy số như: Vận dụng tính đơn điệu dãy số; Vận dụng tính đơn điệu hàm số, qua xây dựng dãy số tìm giới hạn; Vận dụng kết kinh điển giải tích để xác định dãy số Định lý Lagrange Định lý Stolz-Cesaro Các nội dung minh họa hệ thống tốn tốn khó, sử dụng kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, quốc gia quốc tế qua làm rõ sở cho tốn dãy số trình bày Chương luận văn Chương Vận dụng phương pháp giới hạn vào số toán liên quan đến dãy số Trong Chương 2,chúng đưa điều kiện hội tụ cho lớp dãy số, thông qua xác định dãy số dạng tổng liên quan tới dãy số cho xác định giới hạn Cuối trình bày số tốn hình học liên quan tới giới hạn Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Trịnh Thanh Hải, thầy tận tình hướng dẫn bảo cho tơi suốt q trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy giáo, phịng chức trường tạo cho tác giả điều kiện tốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, bạn học viên lớp Cao học Toán K13 động viên giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối tác giả xin bày tỏ biết ơn vô hạn cha mẹ, anh chị em người thân gia đình động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2021 Tác giả Dương Thị Thu Chương PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Trong chương này, hệ thống lại kiến thức dãy số bốn phương pháp thường xuất tốn tìm giới hạn dãy số, bao gồm phương pháp sơ cấp cao cấp 1.1 Dãy số tính chất Dãy số tập hợp đếm số thực, đánh số xếp theo thứ tự số tăng dần Dãy số ký hiệu (un )∞n=1 hay {un }∞n=1 đơn giản (un )n hay (un ), Hay viết cách tường minh, dãy số tập hợp ký hiệu sau {u1 , u2 , , un , } Cũng xem dãy số tập giá trị hàm có tập xác định tập số nguyên dương 1, 2, 3, Trong chương trình sách giáo khoa lớp 11 định nghĩa dãy số sau Định nghĩa 1.1.1 Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu u : N∗ → R n → u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , , un , gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Các số hạng dãy số thường kí hiệu un thay u(n) Dãy số kí hiệu {un } (un ) Trong chương trình phổ thơng, học sinh trang bị số dãy số đặc biệt dãy cấp số cộng, cấp số nhân dãy số Fibonacci Các loại dãy số có nhiều tính chất thú vị xuất ứng dụng thực tế Tuy vậy, nội dung luận văn tập trung số phương pháp tìm giới hạn dãy số, nên định nghĩa dãy số không trình bày lại Ví dụ 1.1.2 (1) Dãy số tự nhiên chẵn 0, 2, 4, 6, 8, có số hạng đầu u1 = 0, số hạng tổng quát un = 2(n − 1) (2) Dãy số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, có số hạng đầu u1 = 1, số hạng tổng quát un = 2n − (3) Dãy số phương 1, 4, 9, 16, có số hạng đầu u1 = 1, số hạng tổng quát un = n2 Định nghĩa 1.1.3 Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, , m} với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , , um , u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Định nghĩa 1.1.4 (a) Dãy số (un ) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un N∗ (b) Dãy số (un ) gọi dãy số không giảm ta có un+1 (c) Dãy số (un ) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un (d) Dãy số (un ) gọi dãy số khơng tăng ta có un+1 un ∀n ∈ ∀n ∈ N∗ ∀n ∈ N∗ un ∀n ∈ N∗ Ví dụ 1.1.5 (1) Dãy số (un ) với un = 2n + dãy số tăng Thật vậy, với n ∈ N∗ , xét hiệu un+1 − un Ta có un+1 − un = 2(n + 1) + − (2n + 1) = Do un+1 − un > nên un+1 > un n (2) Dãy số (un ) với un = n dãy số không tăng Thật vậy, với n ∈ N∗ , un > un+1 nên xét tỉ số Ta có un un+1 n + n n+1 = n+1 : n = un 2 2n n+1 un+1 Dễ thấy với n nên suy un+1 un 2n un Định nghĩa 1.1.6 (a) Dãy số {un } gọi bị chặn tồn số M cho un M, ∀n ∈ N∗ (b) Dãy số {un } gọi bị chặn tồn số m cho un m, ∀n ∈ N∗ (c) Dãy số {un } gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho m un M, ∀n ∈ N∗ Ví dụ 1.1.7 (1) Dãy số tự nhiên bị chặn un n (2) Dãy số {un } với un = n , tức dãy với n ∈ N∗ , , , , , 27 81 243 dãy bị chặn 1.2 un , ∀n ∈ N∗ Giới hạn dãy số tính chất liên quan Về mặt trực quan, với dãy số (un ) với số hạng tổng quát un = (1/2)n liệt kê 1 u1 = ( )1 = = 0.5 2 u2 = ( ) = = 0.25 u3 = ( ) = = 0.125 ··· 1 u10 = ( )10 = = 0.000977 1024 ··· u20 = ( )20 = 0.000000954 ··· ta thấy rằng, n lớn un gần “0” Ta nói “giới hạn dãy (un ) n dần vô không” “dãy số hội tụ tới không” “limn→∞ un = 0” Đồ thị mô tả biến thiên gần “không” dãy (1/n) ((1/2)n ) cho n thay đổi từ đến 20 0.8 0.6 0.4 0.2 10 15 20 25 Về mặt tốn học, giới hạn dãy số có định nghĩa tính chất sau Định nghĩa 1.2.1 (a) Dãy số (un ) gọi có giới hạn l n dần tới dương vô với ε > nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un ε) cho với n > N0 ta có |un − l| < ε Khi đó, ta ký hiệu limn→∞ un = l Hay lim un = l ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un − l| < ε n→∞ (b) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ n → +∞ với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 cho với n > N0 ta có un > M Khi đó, ta ký hiệu limn→∞ un = +∞ Hay lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , un > M n→∞ Dãy số (un ) gọi có giới hạn −∞ n → +∞ lim(−un ) = +∞ (c) Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy số hội hay dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vơ n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Giới hạn dãy số có tính chất tương tự phép tính số học thơng thường Việc tìm giới hạn định nghĩa phức tạp nên người ta thường áp dụng công thức giới hạn đặc biệt tính chất giới hạn Định lý 1.2.2 ([1]) (1) [Tính giới hạn.] Giới hạn dãy số tồn (2) [Tính chất thứ tự giới hạn.] – Nếu an bn với n N0 limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b a b – Cho (an ), (bn ), (cn ) ba dãy số Nếu từ số N0 trở có bất đẳng thức an cn bn limn→∞ an = a = limn→∞ bn limn→∞ cn = a (3) Giả sử dãy số {un } có giới hạn hữu hạn , ∃N0 ∈ N cho với n > N0 ta có a xn b a b Định lý 1.2.3 (Tính chất dãy số hội tụ) (1) Nếu lim an = a lim bn = b n→∞ n→∞ (a) limn→∞ (an ± bn ) = a ± b (b) limn→∞ (an bn ) = ab an a (c) limn→∞ = (nếu b = 0) bn b (d) limn→∞ |an | = |a| (e) limn→∞ αan = αa (2) Nếu lim an = dãy (bn ) bị chặn lim an bn = n→∞ (3) Nếu an n→∞ với n lim an = a n→∞ a lim n→∞ √ √ an = a Chứng minh Với ε > tồn số tự nhiên N1 N2 cho ∀n > N1 ⇐⇒ |an − a| < ε Tương tự, ε > tồn số tự nhiên N2 cho ∀n > N1 ⇐⇒ |bn − b| < ε Đặt N = max(N1 , N2 ) Nếu n > N, theo bất đẳng thức tam giác ta có |(an ± bn ) − (a ± b)| |an − a| + |bn − b| < ε/2 + ε/2 = ε Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.2.4 Nếu dãy số (un ) hội tụ theo định lý ta có lim (an+1 − an ) = n→∞ Qua nhật xét ta thấy dãy số un = (−1)n dãy phân kỳ, |an+1 − an | = với n Định lý 1.2.5 (Sự hội tụ dãy đơn điệu) Một dãy số tăng (giảm) bị chặn (bị chặn dưới) dãy hội tụ Tiếp theo, chúng tơi đưa tính chất hội tụ hai dãy kề Hai dãy số (an ) (bn ) gọi kề (an ) dãy tăng (bn ) dãy giảm lim (an − bn ) = n→∞ Định lý 1.2.6 (Sự hội tụ hai dãy kề nhau) Hai dãy số kề chúng hội tụ giới hạn Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm dãy con, dãy Cauchy số tính chất Định nghĩa 1.2.7 (a) Cho dãy số (an ) : a1 , a2 , Dãy (ank ) với số thỏa mãn n1 < n2 < · · · gọi dãy trích từ dãy (an ) (b) Dãy số (an ) gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 cho với m, n > N0 ta có |an − am | < ε Một số tính chất dãy dãy Cauchy Tính chất 1.2.8 (1) Một dãy hội tụ dãy trích từ dãy hội tụ giới hạn (2) (Bổ đề Bolzano–Weierstrass) Mọi dãy số bị chặn trích dãy hội tụ (3) (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy số (an ) dãy Cauchy hội tụ Định lý 1.2.9 Cho (un ), (vn ) dãy Khi đó, un (1) Nếu lim un = a lim = ±∞ lim = n→∞ n→∞ n→∞ un = +∞ n→∞ n→∞ n→∞ (3) Nếu lim un = +∞ lim = a > lim un = +∞ (2) Nếu lim un = a > 0, lim = > với n lim n→∞ n→∞ n→∞ 3n + n→∞ n2n Ví dụ 1.2.10 Tìm lim 3n + + n4 = n Vì lim 3+ 4n = lim 2n = LỜI GIẢI Chia tử mẫu cho n, ta n n→∞ n→∞ n2 +∞ nên + 4n 3n + lim = lim n = n→∞ n2n n→∞ 1.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số Cũng lĩnh vực khác toán học, giới hạn dãy số đa dạng thể loại phong phú phương pháp Ngồi số cách thơng thường sử dụng định nghĩa giới hạn, định nghĩa tích phân, định nghĩa đạo hàm, hay chứng minh dãy đơn điệu bị chặn, sau giải phương trình truy hồi để tìm giới hạn, v.v cần ý tới số phương pháp khác, tương đối hiệu cho dạng tốn 1.3.1 Sử dụng tính đơn điệu dãy số tìm giới hạn Như ta biết, để chứng minh tính đơn điệu tăng dãy số (an ) ta thường chứng minh an+1 − an an+1 /an từ số N0 trở Việc chứng minh tính đơn điệu tăng dãy số em học sinh dễ dàng phát Nên vấn đề tốn cịn phụ thuộc vào việc chứng minh dãy số bị chặn Khi hướng dẫn đến phần chúng tơi nhận thấy có nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp quy nạp Nhưng em gặp phải trở ngại mà {an } lại dãy số tăng, nên việc chọn đại lượng chặn số khiến cho em sử dụng giả thiết quy nạp Do để giải trở ngại nghĩ đến kỹ thuật làm giảm lượng vừa đủ thay đổi theo n, đảm bảo (an ) bị chặn mà sử dụng phương pháp quy nạp Để minh họa cho điều ta xét dãy số sau Tuy nhiên bạn đọc nhận thấy việc đưa bất đẳng thức an − hoàn tồn khơng tự nhiên Để dạy học n tập thường không vào lời giải mà tiếp cận bất đẳng thức an − theo hướng làm sau: Giả sử ta có {an } bị chặn số n M Tức an < M, ∀n ∈ N∗ Từ công thức truy hồi ta có: an−1 an−2 an−1 an+1 = an + = an−1 + + n(n + 1) (n − 1)n n(n + 1) Lặp lại trình tìm an+1 = a2 + a1 a2 an−1 + +···+ 2·3 3·4 n(n + 1) 41 LỜI GIẢI Áp dụng Hệ 2.1.9 với α = 1, β = n a = 0, ta 1999 uk ∑ uk+1 = β(a + α) = 1999 n→∞ lim k=1 Ví dụ 2.1.11 (Đề thi Olympic Tốn sinh viên 2018, mơn Giải tích, [3]) Cho dãy số {un } xác định công thức   u1 = 2019, 2017 u2  un+1 = un + n , n 2018 2018 n uk Tính giới hạn lim ∑ n→∞ k=1 uk+1 − LỜI GIẢI Áp dụng Hệ 2.1.9 với α = 2019, β = n uk a = −1, ta 2018 ∑ uk+1 − = β(a + α) = n→∞ lim k=1 Hệ 2.1.12 Cho λ > dãy số {un } xác định công thức  u = α, u = βuλ+1 + aβuλ + (1 + bβ)u + abβ, n n+1 n n n Nếu điều kiện sau thỏa mãn (i) β > 0, (ii) α > max 0, −a, |b| λ uλk + b lim ∑ = n→∞ k=1 uk+1 + a β(a + α) n Chứng minh Trước hết ta chứng minh dãy số cho khơng có giới hạn hữu hạn Ta có un+1 − un = β(uλ+1 + auλn + bun + ab) n ⇔ un+1 = un + β(uλn + b)(un + a) (2.4) Từ (2.4) điều kiện cho, ta có u2 = u1 + β(uλ1 + b)(u1 + a) > 1 từ có u2 > max 0, −a, |b| λ Giả sử uk > max 0, −a, |b| λ với k (2.4) ta uk+1 = uk + β(uλk + b)(uk + a) > uk Khi từ 42 Từ theo nguyên lý quy nạp ta kết luận dãy số {un } dãy số tăng Ta giả sử dãy số bị chặn trên, nghĩa tồn l = lim un Khi l n→∞ phương trình α nghiệm x = βxλ+1 + aβxλ + (1 + bβ)x + abβ ⇔ (x + a)(xλ + b) = ⇔ x = −a xλ = −b Điều mâu thuẫn un > u1 = α > max 0, −a, |b| λ Ta kết luận dãy số cho khơng có giới hạn hữu hạn Bây ta tìm giới hạn tổng cho Ta có uk+1 = βuλ+1 + aβuλk + (1 + bβ)un + abβ ⇔ uk+1 − uk = β(uλk + b)(uk + a) k ⇔ (uk+1 + a) − (uk + a) = β(uk + a)(uλk + a) ⇔ ⇔ (uk + a)(uλk + a) (uk+1 + a) − (uk + a) =β (uk+1 + a)(uk + a) (uk+1 + a)(uk + a) uλ + b 1 − =β k uk + a uk+1 − a uk+1 + a Lấy tổng theo k hai vế đẳng thức ta n ∑ k=1 n uλ + b 1 − =∑ β k uk + a uk+1 − a uk+1 + a k=1 Suy n uλk + b 1 − = ∑β u1 + a un+1 − a k=1 uk+1 + a Lấy giới hạn ta n uλk + b lim ∑ β = n→∞ α+a k=1 uk+1 + a uλk + b = n→∞ k=1 uk+1 + a β(a + α) n hay lim ∑ Ví dụ 2.1.13 Cho dãy số số dương {un } xác định công thức  u = 1, u = u + u2013 , n n+1 n n u2012 k n→∞ k=1 uk+1 n Tính giới hạn lim ∑ LỜI GIẢI Áp dụng Hệ 2.1.12 với α = 1, β = a = b = 0, ta n u2012 lim ∑ k = = n→∞ β(a + α) k=1 uk+1 43 Ví dụ 2.1.14 ([3]) Cho dãy số số dương {un } xác định công thức  u = 1, u = u2020 + 2018u2019 + u , n n+1 n n n u2019 k n→∞ k=1 uk+1 + 2018 n Tính giới hạn lim ∑ LỜI GIẢI Áp dụng Hệ 2.1.12 với α = 1, β = a = 2018, b = λ = 2019, ta n u2019 1 k lim ∑ = = n→∞ β(a + α) 2019 k=1 uk+1 + 2018 2.2 Một số toán dãy số liên quan đến hình học Mục này,chúng tơi trình bày số ứng dụng giới hạn tốn Hình học Nội dung tham khảo từ tài liệu [6], [7] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Bài toán 2.2.1 Chứng minh tam giác, ba đường trung tuyến đồng quy điểm điểm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ : Hình 2.1 Hình 2.2 LỜI GIẢI Giả sử trung tuyến AA1 , BB1 ,CC1 không đồng quy Khi đó, chúng đơi cắt P, Q, R (Hình 2.1) Khi đó, tam giác PQR nằm ABC Gọi A2 , B2 ,C2 giao điểm trung tuyến AA1 , BB1 ,CC1 với đường trung bình (Hình 2.2) Sử dụng định lý Thales, ta chứng minh A2 , B2 ,C2 trung điểm B1C1 ,C1 A1 , A1 B1 Do đó, A1 A2 , B1 B2 ,C1C2 lại trung tuyến A1 B1C1 Nên đường trung tuyến hai tam giác ABC A1 B1C1 trùng Vì PQR nằm A1 B1C1 Ta lặp lại trình tạo dãy tam giác {An BnCn }n ln chứa PQR Theo tính chất độ dài đường trung bình tam giác, ta thu 1 An Bn = n AB, BnCn = n BC, Cn An = n CA 2 44 Theo tính chất tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng (bằng bình phương tỉ số độ dài) ta có SAn BnCn = n SABC Cho n → ∞ ta SAn BnCn → Điều chứng tỏ từ số n trở An BnCn nằm PQR Điều mâu thuẫn với cách xây dựng dãy {An , Bn ,Cn } Do ba đường trung tuyến phải đồng quy điểm G Ta chứng minh điểm G chia độ dài đoạn AA1 theo tỉ lệ : Thật vậy, đặt AA1 = m Khi AG = AA2 + A2 A4 + A4 A6 + · · · m m m m = + + + · · · = = m 32 1− Bài toán tổng quát Ta gọi trung tuyến n-giác đoạn thẳng nối đỉnh n-giác đến trọng tâm n − 1-giác tạo n − đỉnh lại Chứng minh trung tuyến đồng quy điểm điểm chia trung tuyến theo tỉ số (n − 1) : n LỜI GIẢI Với n = ta hiểu trọng tâm đoạn thẳng trung điểm cạnh Theo Bài toán 2.2.1 trên, ta chứng minh trung tuyến tam giác đồng quy trọng tâm G điểm G chia trung tuyến theo tỉ số : Hình 2.3 Với n = 4, ta xét tứ giác A1 A2 A3 A4 (Hình 2.3) Ta gọi S trung điểm A1 A2 , O1 , O2 trọng tâm tam giác A1 A2 A3 , A1 A2 A4 Gọi O giao điểm A3 O2 O1 O2 A4 O1 Áp dụng tính chất trọng tâm định lý Thales, ta có O1 O2 A3 A4 = A3 A4 OA4 Do OO2 O1 ∼ OA3 A4 nên = Như khẳng định với n = O1 O4 45 Giả sử khẳng định với n = k − Nghĩa trung tuyến (k − 1)-giác đồng quy điểm O điểm chia trung tuyến theo tỉ lệ (k − 2) : (k − 1) Ta cần chứng minh khẳng định với n = k, hay trung tuyến k-giác đồng quy O O chia trung tuyến theo tỷ lệ (k − 1) : k Hình 2.4 Thật vậy, gọi S trọng tâm (k − 2)-giác A1 A2 A3 Ak−2 (Hình 2.4) Khi đó, theo định nghĩa SAk−1 , SAk trung tuyến (k − 1)-giác A1 A2 A3 Ak−1 A1 A2 A3 · · · Ak−2 Ak Gọi Ok−1 , Ok theo thứ tự trọng tâm hai đa giác Theo giả thiết quy nạp ta có SAk−1 SAk k−1 = = SOk SOk−1 k Từ định lý Thales suy Ok−1 Ok Ak−1 Ak Gọi O giao điểm Ak−1 Ok−1 Ak Ok (đều trung tuyến) Do OOk−1 Ok ∼ OAk−1 Ak , ta có OAk−1 OAk k−1 = = OOk−1 OOk k Khẳng định chứng minh Bài toán 2.2.2 Trong đường trịn bán kính đơn vị cho trước, ta dựng hình vng nội tiếp, hình vng ta lại dựng đường tròn nội tiếp, đường tròn ta dựng bát giác nội tiếp, bát giác ta dựng đường tròn nội tiếp thứ ba, đường trịn ta nội tiếp hình 16 cạnh Quá trình tiếp tục theo quy luật đường tròn thứ n ta nội tiếp đa giác 2n+1 cạnh, n ∈ N∗ , n Gọi Rn bán kính đường trịn thứ n Tính lim Rn n→∞ LỜI GIẢI Để lời giải tổng quát, gọi R bán kính đường trịn ban đầu Ta có cạnh √ hình vng 2R Hình trịn thứ hai có bán kính R π √ = R cos Tương tự, đường trịn thứ ba có bán kính π π π π R cos cos = R cos cos 2 46 Hình 2.5 Ta dự đốn đường trịn thứ n có bán kính Rn = R cos π π π cos · · · cos n , n ∈ N∗ , n 2 2 (2.5) Ta chứng minh nhận định (2.5) phương pháp quy nạp Với n = khẳng định đúng, R π bán kính đường tròn thứ hai √ = R cos Giả sử bán kính đường trịn thứ k (k 2) π π π Rk = R cos cos · · · cos k 2 Bán kính đường trịn thứ k + ứng với cạnh tam giác vng cân có góc đáy góc π tâm có số đo k+1 tam giác có cạnh huyền Rk Do ta tính cạnh góc vng Rk+1 = Rk cos π 2k+1 = R cos π π π π cos · · · cos k · cos k+1 2 2 Khẳng định (2.5) chứng minh Mặt khác π π π Rn = R cos cos · · · cos n 2 π π π π π ⇔ Rn sin n = R cos cos · · · cos n sin n 2 2 Sử dụng công thức nhân đôi n lần bên vế phải R = ta thu Rn sin π π = sin = 2n 2n−1 2n−1 Từ Rn = 2n−1 sin 2πn sin x = 1, tìm lim Rn = n→∞ x→0 x π Từ lim = π 2n sin 2πn · π 47 Bài tốn 2.2.3 Cho đường trịn ngoại tiếp A1 B1C1 Các đường phân giác góc A1 B1C1 cắt đường tròn ngoại tiếp điểm A2 , B2 ,C2 Những đường phân giác góc A2 B2C2 lại cắt đường tròn A3 , B3 ,C3 Quá trình tiếp tục Chứng minh An BnCn tiến tới tam giác n dần vơ Hình 2.6 LỜI GIẢI Cần chứng minh π lim An = lim Bn = lim Cn = n→∞ n→∞ n→∞ Ta có An+1 = Bn+1 An+1Cn+1 = Bn+1 An+1 An + An An+1Cn+1 = Bn+1 Bn An + AnCnCn+1 = Vậy An+1 = Bn Cn π An + = − 2 2 π An − , ∀n ∈ N∗ Do 2 A2 = π A2 π Ak π A1 − , A3 = − , , Ak+1 = − 2 2 2 Nhân đẳng thức hệ (2.6) với cộng vế theo vế ta −1 π 1 −1 1− + −···+ 2 −1 k π 1− −1 k = · + A 2 + 12 An+1 = k−1 , k−1 + A1 −1 −1 (2.6) k−2 , , k −1 48 π Cho k → +∞, ta thu An+1 → π π Tương tự, Bn+1 → , Cn+1 → 3 Bài tốn 2.2.4 Cho ABC vng A điểm P Dựng điểm A1 trung điểm PA, B1 trung điểm A1 B, C1 trung điểm B1C Ta nhận tam giác A1 B1C1 Tiếp tục trình cách thay A1 vào vai trò P, ta nhận A2 B2C2 , A2 , B2 ,C2 trung điểm A1 A, A2 B, B2C, Chứng minh dãy điểm An , Bn ,Cn có giới hạn A0 , B0 ,C0 mà vị trí chúng khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P ban đầu SABC = 4SA0 B0C0 Hình 2.7 LỜI GIẢI Cho hệ trục Oxy cho A ≡ O, B ∈ Oy,C ∈ Ox Đặt a = AB, b = AC Khi A(0, 0), B(0, a),C(b, 0) P(x, y) Theo cách dựng ta xây dựng dãy tọa độ điểm sau: x y x y a b x y a A1 , , B1 , + ,C1 + , + , 2 4 2 8 x y x y a b x y a A2 , , B2 , + ,C2 + , + , 4 8 2 16 16 Quá trình tiếp tục cách tương tự ta thu dãy với số hạng tổng quát An y a x y a x y x b , n , B2 n+1 , n+1 + ,C2 + n+2 , n+2 + n 2 2 2 2 Bằng kĩ thuật tính giới hạn, ta thu dãy {An , Bn ,Cn } có giới hạn {A0 , B0 ,C0 } với A0 (0, 0), B0 0, a b a , C0 , 2 không phụ thuộc (x, y), tức không phụ thuộc vị trí điểm P ta dễ dàng chứng minh SA0 B0C0 = SABC 49 Bài toán 2.2.5 Cho ABC vuông cân C Ta dựng điểm P0 ≡ A, P1 trung điểm BC, P2k trung điểm AP2k−1 P2k+1 trung điểm BP2k với k = 1, 2, 3, Chứng minh giới hạn M, N dãy {P2k } {P2k+1 }, k = 1, 2, 3, nằm cạnh huyền ABC Hình 2.8 LỜI GIẢI Ta chọn hệ trục Oxy cho C(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) (Hình 2.8) Ta kí hiệu (xn , yn ) tọa độ điểm Pn với n = 0, 1, 2, Từ cơng thức tính tọa độ trung điểm ta có x0 = 1, y0 = 0, x1 = 0, y1 = , y2k−1 + x2k−1 , y2k = , x2k = 2 x2k + y2k x2k+1 = , y2k+1 = , với k = 1, 2, 3, 2 Từ tính tọa độ (xn , yn ) sau: 1 1 1 + , x5 = 1+ , x2 = , x3 = , x4 = 4 4 1 1 1 x6 = + + , x7 = 1+ + 4 4 Bằng quy nạp thu 1 1 x2k = + + + · · · + k−1 , 4 1 1 x2k+1 = + + + · · · + k−1 , k = 1, 2, 3, 4 4 Ta chứng minh khẳng định Thật giả sử khẳng định tới n = k Khi + x2k+1 x2(k+1) = 50 1 1 1 + + + · · · + k−1 4 4 1 1 1+ + +···+ k , = 4 x2(k+1) 1 1 = 1+ + +···+ k x2(k+1)+1 = 4 4 = Khẳng định với n = k + Tương tự ta xây dựng 1 1 + + + · · · + k−1 , 4 4 1 1 y2k+1 = + + + · · · + k−1 , k = 1, 2, 3, 4 y2k = Bằng kĩ thuật giới hạn thu lim x2k = k→∞ 1 1 = = · , lim y = · ⇒ M , 2k − 14 k→∞ − 14 3 Tương tự 2 lim x2k+1 = , lim y2k+1 = ⇒ N , k→∞ k→∞ 3 1 Ta có M , , N , giới hạn dãy {P2k }, {P2k+1 } Dễ dàng chứng 3 3 minh tọa độ điểm M, N thỏa mãn phương trình cạnh huyền AB Tiếp theo, chúng tơi trinh bày ví dụ hình có diện tích hữu hạn chu vi lại vơ hạn Một điều trơng ’nghịch lí’ Đó hình bơng tuyết Vôn Kốc (von Koch) Bông tuyết Vôn Kốc (được đặt theo tên nhà toán học Thụy Điển, Niels Fabian Helge von Koch, 25 tháng năm 1870 – 11 tháng năm 1924) xây dựng phương pháp lặp sau: Cho tam giác Ở bước một, chia cạnh tam giác thành ba đoạn nhau, dựng tam giác đoạn (ở bên ngồi tam giác cho) xóa cạnh đáy tam giác đường gấp khúc kín Ở bước tiếp theo, chia đoạn đường gấp khúc kín thành ba đoạn nhau, dựng tam giác đoạn (ở bên ngồi đường gấp khúc kín đó) xóa cạnh đáy Cứ làm “bơng tuyết Vơn Kốc” Bài tốn 2.2.6 (Bài tốn Bơng tuyết von Koch) Định nghĩa dãy hình {Fn } sau F0 tam giác cạnh Với n ≥ 1, ký hiệu Fn đường cong tạo cách bỏ phần ba cạnh Fn−1 thay phần tam giác hướng ngồi Hình thu n → ∞ gọi bơng tuyết Koch Bốn hình đầu tiên, F0 , F1 , F2 , F3 , việc vẽ bơng tuyết Koch (a) Tính chu vi bơng tuyết von Koch (b) Tính diện tích tuyết von Koch LỜI GIẢI (a) Ký hiệu Nn số cạnh hình Fn Vì F0 tam giác nên N0 = Ký hiệu ln chiều dài cạnh Fn Vì F0 tam giác cạnh nên l0 = Vì F1 51 tạo cách xóa phần ba cạnh thay đoạn hai đoạn, nên với cạnh F0 , ta thu bốn cạnh F1 Do đó, số cạnh F1 N1 = · Vì chiều dài cạnh 1/3 chiều dài cạnh F0 , chiều dài cạnh F1 1 l1 = · = 3 Tương tự với F2 , ta xóa phần ba cạnh F1 thay hai đoạn thẳng, số cạnh F2 N2 = 4N1 = 4(4 · 3) = 42 · Vì chiều cạnh 1/3 chiều dài cạnh F1 , chiều dài cạnh F2 1 l2 = l1 = · = 3 3 Tổng quát hơn, Fn tạo cách xóa phần ba cạnh Fn−1 thay đoạn hai đoạn dài 13 ln−1 tam giác đều, nên Nn = 4Nn−1 ln = ln−1 Do đó, số cạnh Fn Nn = 4n · chiều dài cạnh n Do đó, để tính chu vi Fn , ta nhân số cạnh Nn với chiều dài cạnh ln Suy chu vi Fn xác định ln = Ln = Nn ln = · Do đó, chiều dài bơng tuyết Koch L = lim Ln = ∞ n→∞ n 52 (b) Ký hiệu Tn diện tích tam giác với dựng Fn Với n = 0, T0 diện tích √ tam giác ban đầu Do đó, T0 = A0 = 3/4 Với n ≥ 1, chiều dài cạnh tam giác 1/3 chiều dài cạnh Fn−1 , ta có Tn = Tn−1 = Tn−1 Do đó, √ n Tn = Vì ta dựng tam giác ba cạnh Fn−1 nên An = An−1 + Nn−1 Tn = An−1 + (3 · 4n−1 ) √ n = An−1 + n √ Một vài số hạng √ , A0 = √ √ √ √ 3 3 A1 = A0 + = + = 1+ √ 4 4 √ √4 2 3 4 A2 = A1 + = 1+ + 4 9 √ 4 = 1+ + 4 9 , Tổng quát, ta có √ 3 4 An = 1+ + 4 9 Hay √ 4 An = 1+ 1+ + 9 Biểu thức + 94 + 9 +···+ +···+ +···+ 9 n n−1 n−1 tổng n số hạng đầu cấp số nhân có giá trị 4 1+ + 9 +···+ n−1 = − (4/9)n − (4/9) Thay vào công thức An rút gọn ta thu √ √ 1 − (4/9)n An = 1+ = − − (4/9) 5 Do đó, diện tích tuyết von Koch √ A = lim An = n→∞ n 53 Tương tự, ta có số tốn sau Bài tốn 2.2.7 (Chu vi, diện tích hình trịn) Cho C nửa đường trịn, đường kính AB = 2R C1 hai nửa đường trịn đường kính R C2 bốn nửa đường trịn đường kính R/2 Cn 2n nửa đường trịn đường kính R/2n−1 Gọi pn độ dài Cn Sn diện tích hình phẳng giới hạn Cn AB Tìm giới hạn pn Sn Bài tốn 2.2.8 (Chất phóng xạ) Có 1kg chất phóng xạ độc hại Biết rằng, sau khoảng thời gian T = 24000 năm nửa chất phóng xạ phân rã thành chất khác không độc hại người Gọi an lượng chất phóng xạ cịn lại chu kỳ thứ n Chứng minh limn→∞ un = Bài toán 2.2.9 (Xếp khối cầu) Một mơ hình gồm khối cầu xếp chồng lên thành cột thẳng đứng Biết rằng, khối cầu có bán kính gấp đơi khối cầu nằm bán kính khối cầu 50cm Hãy xác định chiều cao tối đa mơ hình 54 Kết luận Đề tài luận văn nhằm mục đích tổng hợp có lựa chọn ví dụ minh họa cho việc vận dụng phương pháp giới hạn vào giải số toán dãy số dành cho học sinh phổ thơng, luận văn hồn thành nhiệm vụ sau: (1) Trình bày số kiến thức sở tính chất dãy số, giới hạn dãy số tính chất giới hạn dãy số, có số định lý, tính chất mở rộng so với chương trình giải tích phổ thơng để học sinh có thêm cơng cụ giải tốn (2) Trình bày số cách giải tốn tìm giới hạn Với cách luận văn minh họa bới vài tập trích dẫn từ tài liệu tham khảo số toán chọn lọc từ để thi học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế Olympic Sinh viên tồn quốc (3) Nội dung vận dụng cách tính giới hạn vào giải toán luận văn trình bày thơng qua số ví dụ minh họa cho dạng tìm giới hạn tổng dãy số tập chủ yếu lấy từ kỷ yếu thi Olympic Tốn Sinh viên tồn quốc năm gần (4) Trình bày số vận dụng giới hạn dãy số vào tốn hình học để minh họa thêm cho mối liên hệ hình học dãy số (5) Tính mở luận văn thú vị, ta vận dụng phương pháp giới hạn khơng tốn dãy số mà việc giải toán liên quan đến hàm số, tích phân chương trình toán THPT 55 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Lâm Tuyền (2005), “Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số”, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Số 338, tr 11-13 [3] Trần Minh Vũ, Trần Thị Thanh Minh, Huỳnh Kim Linh (2020), “Một vài kết hay giới hạn tổng”, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Số 517, tr 33-39 [4] Nguyễn Ngọc Xuân, Bùi Thị Hương (2014), Một số phương pháp thường gặp tìm giới hạn dãy số, Kỷ yếu hội thảo: Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi vùng Tây Bắc, Hội Toán học Hà Nội, tr 105-115 Tiếng Anh [5] Ellina Grigorieva (2016), Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhăauser [6] Peter Brown (2013), Sequences and series, Education Services Australiaăauser [7] Tetyana Darian (2019), Sophisticated limits with focus on Mathematical olympiad problems, Gabor Toth Camdenăauser ... Chương Phương pháp tìm giới hạn dãy số Trong chương sau hệ thống hoá kiến thức dãy số giới hạn dãy số, bổ sung số kiến thức nâng cao, luận văn trình bày số phương pháp tính giới hạn dãy số như:... đầu PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.1 Dãy số tính chất 1.2 Giới hạn dãy số tính chất liên quan 1.3 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 1.3.1 Sử dụng. .. thạc sĩ Tốn học, chọn đề tài liên quan tới giới hạn dãy số toán liên quan Với mong muốn tìm hiểu phương pháp giới hạn để ứng dụng vào giải số toán liên quan đến dãy số đề thi học sinh giỏi, để làm