(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi

(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi(Luận văn thạc sĩ file word) Phương pháp giới hạn và ứng dụng trong một số bài toán về dãy số dành cho học sinh khá, giỏi

ĐẠI HOC THÁI NGUYÊN TRƯ NG ĐẠI HOC KHOA HOC ——————–o0o——————– DƯƠNG TH± THU PHƯƠNG PHÁP GI I HẠN VÀ ỨNG DỤNG TRONG M T SO BÀI TOÁN VE DÃY SO DÀNH CHO HOC SINH KHÁ, GIÔI LU N VĂN THẠC SĨ TỐN HOC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cap Mã so: 46 01 13 NGƯŐI HƯŐNG DAN KHOA HOC PGS.TS TR±NH THANH HÂI THÁI NGUYÊN, 11/2021 i Mục lục MƠ đau 1 PHƯƠNG PHÁP TÌM GI I HẠN DÃY SO 1.1 Dãy so tính chat 1.2 Giói hạn dãy so tính chat liên quan 1.3 M t so phương pháp tìm giói hạn dãy so 1.3.1 Sử dụng tính đơn u dãy so tìm giói hạn 1.3.2 Sử dụng tính đơn u hàm so đe tìm giói hạn 13 1.3.3 Sử dụng định lý Lagrange tìm giói hạn 25 1.3.4 Sử dụng định lý Stolz - Cesaro tìm giói hạn 27 V N DỤNG PHƯƠNG PHÁP GI I HẠN VÀO M T SO TOÁN LÊN QUAN ĐEN DAY SO 34 2.1 M t so tốn ve giói hạn m t tong 34 2.2 M t so tốn ve dãy so liên quan đen hình hoc .43 Ket lu n 54 Tài li u tham khao 55 MƠ đau Trong chương trình mơn Tốn ỏ trưịng thơng, dãy so m t n i dung quan trong, dãy so đ c bi t dãy so cap so c ng, dãy so cap so nhân, loại dãy so đưoc v n dụng tốn kinh te Đoi vói tốn ứng dụng vi c tìm dãy l p sụ đan phương pháp ln gan vói lý thuyet dãy so, giói hạn dãy so, có the nói lý mà kỳ thi chon hoc sinh giỏi Quoc gia, Quoc te tốn ve dãy so ln đưoc khai thác ỏ nhieu khía cạnh khác Dãy so nói chung, tốn liên quan đen giói hạn dãy so nói riêng đưoc đánh giá m t n i dung tương đoi khó Các tốn ve giói hạn dãy so thưịng địi hỏi hoc sinh hieu xác moi quan h so hạng dãy so đưoc xét, mà bang ngôn ngữ khó dien đạt m t cách đay đủ Do v y tốn ve giói hạn dãy so ln t p thú vị thưòng phức tạp ln có sức hap dȁn, thu hút đưoc sụ u thích thay dạy tốn hoc sinh Đe giải đưoc m t so tốn ve giói hạn dãy so đe thi chon hoc sinh giỏi hoc sinh phải nam đưoc kien thức r ng chuyên sâu, không the áp dụng trục tiep đưoc công thức đe có đưoc lịi giải mà phải "đi đưịng vịng", phải qua nhieu bưóc trung gian Trong khuân kho lu n văn, xin dành sụ quan tâm đen vi c "chuyen qua giói hạn" đe đưa đưoc hưóng giải quyet cho m t so tốn Tuy nhiên cách thức không đưoc đưoc giảng dạy chương trình đại trà chương trình nâng cao ỏ b c thơng Đã có nhieu tài li u trình bày ve giói hạn dãy so, vȁn chưa đay đủ, vói khn kho lu n văn thạc sĩ Tốn hoc, chúng tơi chon đe tài liên quan tói giói hạn dãy so m t tốn liên quan Vói mong muon tìm hieu phương pháp giói hạn đe ứng dụng vào giải m t so toán liên quan đen dãy so đe thi hoc sinh giỏi, đe làm tài li u cho vi c giảng dạy thân làm tài li u tham khảo cho hoc sinh khá, giỏi tụ hoc, chúng tơi chon chủ đe: Giói hạn dãy so ứng dụng làm hưóng nghiên cứu cho lu n văn thạc sĩ N i dung đe tài lu n văn phan mỏ đau, ket lu n tài li u tham khảo, đe tài gom chương, cụ the: Chương Phương pháp tìm giỚi hạn dãy so Trong chương sau h thong hoá kien thức ve dãy so giói hạn dãy so, bo sung m t so kien thức nâng cao, lu n văn trình bày m t so phương pháp tính giói hạn dãy so như: V n dụng tính đơn u dãy so; V n dụng tính đơn u hàm so, qua xây dụng dãy so tìm giói hạn; V n dụng ket kinh đien giải tích đe xác định dãy so Định lý Lagrange Định lý Stolz-Cesaro Các n i dung đưoc minh hoa bỏi m t h thong tốn tốn khó, đưoc sử dụng kỳ thi chon hoc sinh giỏi toán cap tỉnh, quoc gia quoc te qua làm rõ sỏ cho tốn dãy so đưoc trình bày ỏ Chương lu n văn Chương V n dụng phương pháp giỚi hạn vào m t so toán liên quan đen dãy so Trong Chương 2,chúng đưa đieu ki n h i tụ cho m t lóp dãy so, thơng qua xác định dãy so mói ỏ dạng tong liên quan tói dãy so cho xác định giói hạn Cuoi trình bày m t so tốn hình hoc liên quan tói giói hạn Đe hồn thành đưoc lu n văn này, tác giả xin bày tỏ lịng biet ơn sâu sac đoi vói PGS TS Trịnh Thanh Hải, thay t n tình hưóng dȁn bảo cho tơi suot q trình làm lu n văn Tác giả xin trân cảm ơn Trưòng Đại hoc Khoa hoc, Đại hoc Thái Nguyên, thay giáo, phịng chức trưịng tạo cho tác giả moi đieu ki n tot nhat q trình hoc t p trưịng Tác giả xin gửi lịi cảm ơn chân thành tói bạn bè, bạn hoc viên lóp Cao hoc Tốn K13 đ ng viên giúp đõ tác giả suot thòi gian hoc t p Cuoi tác giả xin bày tỏ sụ biet ơn vô hạn đoi vói cha me, anh chị em ngưịi thân gia đình đ ng viên giúp đõ tác giả suot trình hoc t p Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2021 Tác gia Dương Thị Thu Chương PHƯƠNG PHÁP TÌM GI I HẠN DÃY SO Trong chương này, h thong lại kien thức ve dãy so bon phương pháp thưòng xuat hi n tốn tìm giói hạn dãy so, bao gom phương pháp sơ cap cao cap 1.1 Dãy so tính chat Dãy so m t t p hop đem đưoc so thục, đưoc đánh so sap xep theo thứ tụ ∞ so tăng dan Dãy so đưoc ký hi u (unn=1 )∞ hay {un}n=1 ho c đơn giản (un)n≥1 hay (un), Hay viet m t cách tưòng minh, dãy so t p hop đưoc ký hi u sau {u1 , u2 , , un , } Cũng có the xem dãy so t p giá trị hàm có t p xác định t p so nguyên dương 1, 2, 3, .Trong chương trình sách giáo khoa lóp 11 định nghĩa dãy so sau Định nghĩa 1.1.1 Mői hàm so u xác định t p so nguyên dương N∗ đưoc goi m t dãy so vơ hạn (goi tat dãy so) Kí hi u u : N∗ → R n ›→ u(n) Ngưịi ta thưịng viet dãy so dưói dạng khai trien u1, u2, u3, , un, goi u1 so hạng đau, un so hạng thŕ n so hạng tőng quát dãy so Các so hạng dãy so thưòng đưoc kí hi u un thay u(n) Dãy so đưoc kí hi u {un} ho c (un) Trong chương trình thơng, hoc sinh đưoc trang bị m t so dãy so đ c bi t dãy cap so c ng, cap so nhân dãy so Fibonacci Các loại dãy so có nhieu tính chat thú vị xuat hi n ứng dụng thục te Tuy v y, n i dung lu n văn t p trung ve m t so phương pháp tìm giói hạn dãy so, nên định nghĩa ve dãy so khơng trình bày lại Ví dụ 1.1.2 (1) Dãy so tụ nhiên chȁn 0, 2, 4, 6, 8, có so hạng đau u1 = 0, so hạng tong quát un = 2(n − 1) (2).Dãy so tụ nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, có so hạng đau u1 = 1, so hạng tong quát un = 2n − (3).Dãy so phương 1, 4, 9, 16, có so hạng đau u1 = 1, so hạng tong quát un = n2 Định nghĩa 1.1.3 Mői hàm so u xác định t p M = {1, 2, , m} vói m ∈ N∗ đưoc goi m t dãy so hru hạn Dạng khai trien u1, u2, , um, u1 so hạng đau, um so hạng cuoi Định nghĩa 1.1.4 (a) Dãy so (un) đưoc goi dãy so tăng neu ta có un+1 > un N ∗ (b).Dãy so (un) đưoc goi dãy so không giám neu ta có un+1 ≥ un ∀n ∈ ∀n ∈ N∗ ∀n ∈ N∗ (c).Dãy so (un) đưoc goi dãy so giám neu ta có un+1 < un (d).Dãy so (un) đưoc goi dãy so không tăng neu ta có un+1 ≤ un ∀n ∈ N∗ Ví dụ 1.1.5 (1) Dãy so (un) vói un = 2n + dãy so tăng Th t v y, vói moi n ∈ N∗, xét hi u un+1 − un Ta có un+1 − un = 2(n + 1) + − (2n + 1) = Do un+1 − un > nên un+1 > un n (2) Dãy so (un) vói un = dãy so khơng tăng Th t v y, vói moi n ∈ N∗, un > 2n nên có the xét tỉ so un+1 Ta có un un+1 n + n+1 n De thay un n+1 n = 2n+1 : 2n = 2n u ≤ vói moi n ≥ nên un+1 ≤ suy ≤ un + 2n un Định nghĩa 1.1.6 (a) Dãy so {un} đưoc goi bị ch n neu ton m t so M cho un ≤ M, ∀n ∈ N∗ (b) Dãy so {un} đưoc goi bị ch n neu ton m t so m cho un ≥ m, ∀n ∈ N∗ (c) Dãy so {un} đưoc goi bị ch n neu vừa bị ch n vừa bị ch n dưói, tức ton so m, M cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ Ví dụ 1.1.7 (1) Dãy so tụ nhiên bị ch n dưói un ≥ vói moi n ∈ N∗ n (2) Dãy so {un} vói un = , tức dãy 3 , n , 27 81 3, , , 243 dãy bị ch n ≤ un ≤ , ∀n ∈ N∗ 1.2 GiỚi hạn cua dãy so tính chat liên quan Ve m t trục quan, vói dãy so (un) vói so hạng tong quát un = (1/2)n đưoc li t kê 1 u = 0.5 = ( ) = 12 12 u = 0.25 = ( ) = 12 14 u = 0.125 = ( ) = ··· 10 u ) = = 0.000977 10 = ( 1024 ··· 20 u = 0.000000954 20 = ( ) ··· ta thay rang, n lón un rat gan “0” Ta nói rang “giói hạn dãy (un) n dan vô không” ho c “dãy so h i tụ tói khơng” ho c “lim n→∞ un = 0” Đo thị dưói mơ tả sụ bien thiên ve gan “không” dãy (1/n) ((1/2)n) cho n thay đoi từ đen 20 0.8 0.6 0.4 0.2 10 15 20 25 Ve m t tốn hoc, giói hạn dãy so có định nghĩa tính chat sau Định nghĩa 1.2.1 (a) Dãy so (un) đưoc goi có giới hạn l n dan tói dương vơ neu vói moi ε > nhỏ tùy ý, ton so tụ nhiên N0 (phụ thu c vào dãy so un ε) cho vói moi n > N0 ta có |un − l| < ε Khi đó, ta ký hi u limn→∞ un = l Hay lim un = l ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |un − l| < ε n→∞ (b) Ta nói dãy so (un) có giới hạn +∞ n → +∞ neu vói moi so thục dương M lón tùy ý, ton so tụ nhiên N0 cho vói moi n > N0 ta có un > M Khi đó, ta ký hi u limn→∞ un = +∞ Hay lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, un > M n→∞ Dãy so (un) đưoc goi có giói hạn −∞ n → +∞ neu lim(−un) = +∞ (c) Dãy so có giói hạn hữu hạn đưoc goi dãy so h i hay dãy h i tụ Dãy so khơng có giói hạn ho c dan đen vơ n dan đen vô goi dãy phân kỳ Giói hạn dãy so có tính chat tương tụ phép tính so hoc thơng thưịng Vi c tìm giói hạn bang định nghĩa phức tạp nên ngưịi ta thưịng áp dụng cơng thức giói hạn đ c bi t neu tính chat giói hạn Định lý 1.2.2 ([1]) (1) [Tính nhat giới hạn.] Giới hạn dãy so neu ton nhat (2) [Tính chat ve thŕ tự giới hạn.] – Neu an ≤ bn với n ≥ N0 limn→∞ an = a, limn→∞ bn = b a ≤ b – Cho (an), (bn), (cn) ba dãy so Neu tr m t so N0 trớ có bat đȁng thŕc an ≤ cn ≤ bn limn→∞ an = a = limn→∞ bn limn→∞ cn = a (3).Giá sr dãy so {un} có giới hạn hru hạn l, neu ∃N0 ∈ N cho với moi n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b a ≤ l ≤ b Định lý 1.2.3 (Tính chat dãy so h i tụ) (1) Neu lim an = a lim bn = b n→∞ n→∞ (a).limn→∞(an ± bn) = a ± b (b).limn→∞(anbn) = ab (c).lim an (neu b /= 0) n a = ∞ → bn b (d).limn→∞ |an| = |a| (e).limn→∞ αan = αa (2) Neu lim an = dãy (bn) bị ch n lim anbn = n→∞ n→∞ (3) Neu an ≥ với moi n lim an = a n→∞ √ √ a ≥ lim an = a n→∞ Chŕng minh Vói moi ε > ton so tụ nhiên N1 N2 cho ∀n > N1 ⇐⇒ |an − a| < ε Tương tụ, moi ε > ton so tụ nhiên N2 cho ∀n > N1 ⇐⇒ |bn − b| < ε Đ t N = max(N1, N2) Neu n > N, theo bat đȁng thức tam giác ta có |(an ± bn) − (a ± b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε/2 + ε/2 = ε Ta có đieu phải chứng minh Nh n xét 1.2.4 Neu dãy so (un) h i tụ theo định lý ta có lim(an+1 − an) = n→∞ Qua nh t xét ta thay dãy so un = (−1)n dãy phân kỳ, |an+1 − an| = vói moi n Định lý 1.2.5 (Sụ h i tụ dãy đơn u) M t dãy so tăng (giám) bị ch n (bị ch n dưới) dãy h i tn Tiep theo, chúng tơi đưa tính chat h i tụ hai dãy ke Hai dãy so (an) (bn) đưoc goi ke neu (an) dãy tăng (bn) dãy giảm lim(an − bn) = n→∞ Định lý 1.2.6 (Sụ h i tụ hai dãy ke nhau) Hai dãy so ke chúng h i tn ve m t giới hạn Tiep theo, chúng tơi trình bày khái ni m ve dãy con, dãy Cauchy m t so tính chat Định nghĩa 1.2.7 (a) Cho dãy so (an) : a1, a2, Dãy (ank ) vói so thỏa mãn n1 < n2 0, ton so tụ nhiên N0 cho vói moi m, n > N0 ta có |an − am| < ε M t so tính chat dãy dãy Cauchy Tính chat 1.2.8 (1) M t dãy h i tụ moi dãy trích từ dãy đeu h i tụ ve giói hạn (2) (Bo đe Bolzano–Weierstrass) Moi dãy so bị ch n đeu có the trích đưoc m t dãy h i tụ (3) (Tiêu chuan Cauchy) Dãy so (an) dãy Cauchy h i tụ Định lý 1.2.9 Cho (un), (vn) dãy Khi đó, un (1).Neu lim un = a lim = ±∞ lim = n→∞ n→∞ n→∞ un (2).Neu lim un = a > 0, lim = > với moi n lim = +∞ n→∞ n→∞ n→∞ (3).Neu lim un = +∞ lim = a > lim unvn = +∞ n→∞ n→∞ Ví dụ 1.2.10 Tìm lim 3n + n→∞ LŐI GIÂI n→∞ Chia tử mȁu cho n, ta đưoc 3n + +∞ nên lim n→∞ 3n + n2n n = n2 n 3+ = lim n→∞ + Vì lim 3+ 2n n→∞ n = lim 2n = n→∞ n 2n n = n2 1.3 M t so phương pháp tìm giỚi hạn cua dãy so Cũng lĩnh vục khác toán hoc, giói hạn dãy so rat đa dạng ve the loại phong phú ve phương pháp Ngoài m t so cách thơng thưịng sử dụng định nghĩa giói hạn, định nghĩa tích phân, định nghĩa đạo hàm, hay chứng minh m t dãy đơn u bị ch n, sau giải phương trình truy hoi đe tìm giói hạn, v.v can ý tói m t so phương pháp khác, tương đoi hi u cho dạng tốn 1.3.1 S dụng tính đơn u cua dãy so tìm giỚi hạn Như ta biet, đe chứng minh tính đơn u tăng dãy so (an) ta thưòng chứng minh an+1 − an ≥ ho c an+1/an ≥ từ so N0 trỏ Vi c chứng minh tính đơn u tăng dãy so em hoc sinh rat de dàng phát hi n Nên van đe tốn cịn phụ thu c vào vi c chứng minh dãy so bị ch n Khi hưóng dȁn đen phan chúng tơi nh n thay có rat nhieu hoc sinh nghĩ đen phương pháp quy nạp Nhưng em l p tức g p phải trỏ ngại mà {an} lại dãy so tăng, nên vi c chon đại lưong ch n m t hang so khien cho em không the sử dụng đưoc giả thiet quy nạp Do đe giải quyet trỏ ngại nghĩ đen kỹ thu t làm giảm m t lưong vừa đủ thay đoi theo n, vȁn đảm bảo đưoc (an) bị ch n mà vȁn sử dụng đưoc phương pháp quy nạp Đe minh hoa cho đieu ta xét dãy so sau Tuy nhiên bạn đoc đeu nh n thay vi c đưa bat đȁng thức an ≤ − hoàn tồn khơng tụ nhiên Đe dạy hoc n t p thưịng khơng vào lịi giải mà tiep c n bat 2 − theo hưóng làm sau: Giả sử ta có {an} bị ch n đȁng thức an ≤ n bỏi m t so M Tức an < M, ∀n ∈ N∗ Từ công thức truy hoi ta có: an+1 = an an−2 an−1 an−1 + n(n + 1)= a n−1 + (n − 1)n+ n(n + 1) π Cho k → +∞, ta thu đưoc Aˆn+1 → π π ˆ ˆ Tương tụ, Bn+1 → ,Cn+1 → Bài tốn 2.2.4 Cho ΔABC vng A điem P bat kỳ Dụng điem A1 trung điem PA, B1 trung điem A1B, C1 trung điem B1C Ta nh n đưoc tam giác A1B1C1 Tiep tục trình bang cách thay A1 vào vai trò P, ta nh n đưoc ΔA2B2C2, ỏ A2, B2,C2 trung điem A1A, A2B, B C, Chứng minh rang dãy điem An, Bn,Cn có giói hạn A0, B0,C0 mà vị trí chúng khơng phụ thu c vào vị trí điem P ban đau SABC = 4SA B C 0 Hình 2.7 LŐI GIÂI Cho h trục Oxy cho A ≡ O, B ∈ Oy,C ∈ Ox Đ t a = AB, b = AC Khi A(0, 0), B(0, a),C(b, 0) P(x, y) Theo cách dụng ta xây dụng đưoc dãy toa đ điem sau: A y A y x y x b , +a B , , 2 4 ,C x y a 8 , + , + a b x y a y x , B , + ,C2 + , + , 4 8 2 16 16 x , Quá trình tiep tục m t cách tương tụ ta thu đưoc dãy vói so hạng tong quát n A x y x y a b x y a , , B 2n+1 , 2n+1 + ,C + 22 n+ , 2n+2 + n n Bang kĩ thu t tính giói hạn, ta thu đưoc dãy {An , Bn ,Cn } có giói hạn {A0 , B0 ,C0 } vói a b a A0(0, 0), B0 0, , C0 , 2 không phụ thu c (x, y), tức khơng phụ thu c vị trí điem P ta de dàng chứng minh đưoc SA B C = SABC 0 Bài toán 2.2.5 Cho ΔABC vuông cân C Ta dụng điem P0 ≡ A, P1 trung điem BC, P2k trung điem AP2k−1 P2k+1 trung điem BP2k vói k = 1, 2, 3, Chứng minh rang giói hạn M, N dãy {P2k } {P2k+1 }, k = 1, 2, 3, nam cạnh huyen ΔABC Hình 2.8 LŐI GIÂI Ta chon h trục Oxy cho C(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) (Hình 2.8) Ta kí hi u (xn, yn) toa đ điem Pn vói n = 0, 1, 2, Từ cơng thức tính toa đ trung điem ta có x0 = 1, y0 = 0, x1 = 0, y1 = , + x2k−1 y k− x2k = , y2k = , + y2k, vói k = 1, 2, 3, x2k = x2k , = y2k + + 2 Từ tính đưoc toa đ (xn, yn) sau: 1 1 1 x= x x = + , x = + = 4, , , x6 = 1 ,x = + + + + 4 42 42 Bang quy nạp thu đưoc 1 1 x2k = + + + · · · + , k−1 4 x2k 1 1 , k = 1, 2, 3, = 1+ + + · · · + + 42 4k−1 Ta chứng minh khȁng định Th t v y giả sử khȁng định tói n = k ≥ Khi x2(k+1) + x2k+1 = 1 1 = 1+ + + · · · + 42 1 + + + · · · + ,4k−1 =2 4 k 42 x2 k 1 x2(k+1) 1 + · · · + = (+ ) 1= + + + 4 k 42 Khȁng định vói n = k + Tương tụ ta xây dụng đưoc 1 1 y2k = + + + · · · + k−1, 4 42 y2k 1 1 + · · · + , k = 1, 2, 3, = + + + k−1 4 42 Bang kĩ thu t giói hạn 1thu đưoc 1 lim x2k = · lim y2k = · = ⇒M , 12 1− − 41 3 = , 31 k→∞ 2 lim x2k+1 = , lim = ⇒N , y2k k→∞ k→∞ +1 3 1 Ta có M , , N , lan lưot giói hạn dãy {P2k }, {P2k } De dàng chứng minh đưoc3 toa đ các3 điem M, N thỏa mãn phương trình cạnh huyen+AB Tương tụ k→∞ Tiep theo, trinh bày m t ví dụ ve m t hình có di n tích hữu hạn chu vi lại vơ hạn M t đieu trơng rat ’nghịch lí’ Đó hình bơng tuyet Vơn Koc (von Koch) Bơng tuyet Vơn Koc (đưoc đ t theo tên nhà tốn hoc Thụy Đien, Niels Fabian Helge von Koch, 25 tháng năm 1870 – 11 tháng năm 1924) đưoc xây dụng bang phương pháp l p sau: Cho m t tam giác đeu Ő bưóc m t, chia mői cạnh tam giác thành ba đoạn bang nhau, dụng tam giác đeu đoạn ỏ (ỏ bên tam giác cho) roi xóa cạnh đáy tam giác đeu đưoc m t đưịng gap khúc kín Ő mői bưóc tiep theo, chia mői đoạn đưịng gap khúc kín thành ba đoạn bang nhau, dụng tam giác đeu đoạn ỏ (ỏ bên ngồi đưịng gap khúc kín đó) roi xóa cạnh đáy Cứ làm the đưoc “bơng tuyet Vơn Koc” Bài tốn 2.2.6 (Bài tốn Bơng tuyet von Koch) Định nghĩa dãy hình {Fn} sau F0 m t tam giác đeu cạnh Vói n ≥ 1, ký hi u Fn đưòng cong đưoc tạo bang cách bỏ m t phan ba ỏ mői cạnh Fn−1 thay the phan bang m t tam giác đeu hưóng ngồi Hình thu đưoc n → ∞ đưoc goi tuyet Koch Bon hình đau tiên, F0, F1, F2, F3, vi c vẽ bơng tuyet Koch (a) Tính chu vi bơng tuyet von Koch (b) Tính di n tích tuyet von Koch LŐI GIÂI (a) Ký hi u Nn so cạnh hình Fn Vì F0 tam giác nên N0 = Ký hi u ln chieu dài mői cạnh Fn Vì F0 tam giác đeu cạnh nên l0 = Vì F1 đưoc tạo bang cách xóa m t phan ba ỏ mői cạnh thay đoạn bang hai đoạn, nên vói mői cạnh F0, ta thu đưoc bon cạnh F1 Do đó, so cạnh F1 N1 = · Vì chieu dài mői cạnh mói bang 1/3 chieu dài cạnh F0, chieu dài mői cạnh F1 1 l1 = · = 3 Tương tụ vói F2, ta xóa m t phan ba ỏ mői cạnh F1 thay bang hai đoạn thȁng, so cạnh F2 N2 = 4N1 = 4(4 · 3) = 42 · Vì chieu mői cạnh bang 1/3 chieu dài mői cạnh F1, chieu dài mői cạnh F2 l = l = · = 1 1 3 3 Tong qt hơn, Fn đưoc tạo bang cách xóa m t phan ba ỏ mői cạnh Fn−1 thay đoạn bang hai đoạn dài 13 ln−1 m t tam giác đeu, nên Nn = 4Nn — l = ln−1 n Do đó, so cạnh Fn chieu dài mői cạnh Nn = n · nl = n Do đó, đe tính chu vi Fn, ta nhân so cạnh Nn vói chieu dài mői cạnh ln Suy chu vi Fn xác định bỏi Ln = Nnln = · n Do đó, chieu dài bơng tuyet Koch L = lim Ln = ∞ n→∞ (b) Ký hi u Tn di n tích tam giác vói √ dụng Fn Vói n = 0, T0 di n tích tam giác đeu ban đau Do đó, T0 = A0 = 3/4 Vói n ≥ 1, chieu dài cạnh tam giác mói bang 1/3 chieu dài cạnh Fn−1, ta có 1 T = 2T = T n n−1 n−1 √ Do đó, n Tn = Vì ta dụng tam giác mói ba cạnh của9 Fn−1 nên n−1 √3 A = A + N T = A + (3 · ) n n n−1 n− n n−1 √ =A + n n−1 M t vài so hạng đau tiên √ A0 = 3, √ √ √ √ h i 3 3 A =A 1+ + = + = , √4 √ 4 4 √ h i 4 93 44 A2 = A 43 94 4 1+ = + √ + = h1 + + 3 4 4 9 i Tong quát, ta có 3 4 A = √ h1 + + 2+···+ n i n 9 Hay i √ h 4 n−1 + +···+ A = 9 + 4+ n Bieu thức + 94 + 92 + · · · + 9n−1 m t tong n so hạng đau m t cap so nhân có giá trị bang − (4/9)n 1+ +···+ +9 = − (4/9) Thay vào công thức An roi rút gon ta thu đưoc √ h n 3 ni 1 − (4/9) − An = √ h1 = i 5 + − (4/9) Do đó, di n tích bơng tuyet von Koch √ A = lim An = 4 n→∞ n−1 Tương tụ, ta có m t so tốn sau Bài tốn 2.2.7 (Chu vi, di n tích hình trịn) Cho C nửa đưịng trịn, đưịng kính AB = 2R C1 hai nửa đưịng trịn đưịng kính R C2 bon nửa đưịng trịn đưịng kính R/2 Cn 2n nửa đưịng trịn đưịng kính R/2n−1 Goi pn đ dài Cn Sn di n tích hình phȁng giói hạn bỏi Cn AB Tìm giói hạn pn Sn Bài tốn 2.2.8 (Chat phóng xạ) Có 1kg chat phóng xạ đ c hại Biet rang, sau m t khoảng thịi gian T = 24000 năm m t nửa chat phóng xạ phân rã thành chat khác khơng đ c hại đoi vói ngưịi Goi an lưong chat phóng xạ cịn lại ỏ chu kỳ thứ n Chứng minh rang limn→∞ un = Bài toán 2.2.9 (Xep khoi cau) M t mơ hình gom khoi cau xep chong lên thành m t c t thȁng đứng Biet rang, mői khoi cau có bán kính gap đơi khoi cau nam bán kính khoi cau dưói 50cm Hãy xác định chieu cao toi đa mơ hình Ket lu n Đe tài lu n văn nham mục đích tong hop có lụa chon ví dụ minh hoa cho vi c v n dụng phương pháp giói hạn vào giải quyet m t so toán dãy so dành cho hoc sinh thơng, lu n văn hồn thành nhi m vụ sau: (1) Trình bày m t so kien thức sỏ ve tính chat dãy so, giói hạn dãy so tính chat ve giói hạn dãy so, có m t so định lý, tính chat mỏ r ng so vói chương trình giải tích ỏ thơng đe hoc sinh có thêm cơng cụ giải quyet tốn (2) Trình bày m t so cách giải quyet tốn tìm giói hạn Vói mői cách lu n văn minh hoa bói m t vài t p đưoc trích dȁn từ tài li u tham khảo m t so toán đưoc chon loc từ đe thi hoc sinh giỏi Quoc gia, Quoc te Olympic Sinh viên toàn quoc (3) N i dung v n dụng cách tính giói hạn vào giải quyet tốn đưoc lu n văn trình bày thơng qua m t so ví dụ minh hoa cho dạng tìm giói hạn tong dãy so t p chủ yeu lay từ ký yeu thi Olympic Tốn Sinh viên tồn quoc năm gan (4) Trình bày m t so v n dụng giói hạn dãy so vào tốn hình hoc đe minh hoa thêm cho moi liên h hình hoc dãy so (5) Tính mỏ lu n văn rat thú vị, ta có the v n dụng phương pháp giói hạn khơng tốn đoi vói dãy so mà vi c giải tốn liên quan đen hàm so, tích phân chương trình tốn THPT Tài li u tham khao Tieng Vi t [1] Nguyen Văn M u (Chủ biên), Tran Nam Dũng, Nguyen Minh Tuan (2008), Chuyên đe chon loc dãy so áp dnng, NXB Giáo dục [2] Nguyen Lâm Tuyen (2005), “M t so phương pháp xác định giói hạn dãy so”, Tạp chí Tốn hoc tuői tré, So 338, tr 11-13 [3] Tran Minh Vũ, Tran Thị Thanh Minh, Huỳnh Kim Linh (2020), “M t vài ket hay ve giói hạn m t tong”, Tạp chí Tốn hoc tuői tré, So 517, tr 33-39 [4] Nguyen Ngoc Xuân, Bùi Thị Hương (2014), M t so phương pháp thường g p tìm giới hạn dãy so, Ký yeu h i thảo: Các chuyên đe toán hoc boi dưõng hoc sinh giỏi vùng Tây Bac, H i Toán hoc Hà N i, tr 105-115 Tieng Anh [5] Ellina Grigorieva (2016), Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhaăuser [6] Peter Brown (2013), Sequences and series, Education Services Australiaaăuser [7] Tetyana Darian (2019), Sophisticated limits with focus on Mathematical olympiad problems, Gabor Toth Camdenaăuser ... hoc sinh giỏi, đe làm tài li u cho vi c giảng dạy thân làm tài li u tham khảo cho hoc sinh khá, giỏi tụ hoc, chúng tơi chon chủ đe: Giói hạn dãy so ứng dụng làm hưóng nghiên cứu cho lu n văn thạc. .. lu n văn thạc sĩ Tốn hoc, chúng tơi chon đe tài liên quan tói giói hạn dãy so m t tốn liên quan Vói mong muon tìm hieu phương pháp giói hạn đe ứng dụng vào giải m t so toán liên quan đen dãy so... làm rõ sỏ cho tốn dãy so đưoc trình bày ỏ Chương lu n văn Chương V n dụng phương pháp giỚi hạn vào m t so toán liên quan đen dãy so Trong Chương 2,chúng đưa đieu ki n h i tụ cho m t lóp dãy so,