C \Users\hieu\Documents\Research\Theses\PhDs\DT Son Tran Phu\Luan an\Version 6 July\LA Son cap Truong dvi BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐOÀN THÁI SƠN TÍNH ỔN Đ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐỒN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐỒN THÁI SƠN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ VĂN HIỆN TS TRỊNH TUẤN ANH HÀ NỘI-2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trịnh Tuấn Anh Các kết trình bày luận án trung thực, trí đồng tác giả đưa vào luận án chưa công bố công trình, luận văn, luận án khác Tác giả LỜI CẢM ƠN Luận án thực mơn Giải tích, khoa Tốn-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Văn Hiện TS Trịnh Tuấn Anh Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, đặc biệt PGS.TS Lê Văn Hiện, có định hướng đắn dẫn sát cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả nguồn động lực lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua khó khăn nghiên cứu Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin thầy giáo, giáo mơn Giải tích ln giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn bạn nghiên cứu sinh thành viên xemina Phương trình vi phân tích phân mơn Giải tích quan tâm, trao đổi góp ý cho tơi q trình học tập làm luận án Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp tổ Tốn-Tin, trường Trung học phổ thơng Chun Trần Phú, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Sau cùng, xin dành tình cảm lịng biết ơn chân thành tới gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tơi vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 15 1.1 M-ma trận 15 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ tính ổn định Lyapunov 16 1.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn 18 1.3.1 Khái niệm ổn định thời gian hữu hạn 18 1.3.2 Mối liên hệ tính ổn định thời gian hữu hạn với tính ổn định theo Lyapunov 19 1.3.3 Tính ổn định thời gian hữu hạn lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn hợp biến thiên 20 1.4 Tính tiêu hao số lớp phương trình vi phân có trễ 22 1.4.1 Cách tiếp cận bất đẳng thức Halanay số cải biên 23 1.4.2 Tính tiêu hao lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách tiếp cận phương pháp đổi biến 25 1.5 Một số kết bổ trợ 26 1.5.1 Đạo hàm Dini 26 1.5.2 Một số bổ đề bổ trợ 27 TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ 28 2.1 Mơ hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ 28 2.2 Tính ổn định hữu hạn mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ không đồng 30 2.3 Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng nghiệm mơ hình (2.1) 34 2.4 Ví dụ minh họa 36 2.5 Kết luận Chương 42 TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ 43 3.1 Thiết lập sơ 44 3.2 Tính tiêu hao tồn cục mơ hình (3.1) 46 3.2.1 Trường hợp hệ số phản hồi quy 46 3.2.2 Trường hợp hệ số phản hồi suy biến 50 3.3 Ví dụ minh họa 55 3.4 Kết luận Chương 59 TÍNH HÚT TỒN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN DƯƠNG CỦA MỘT MƠ HÌNH NICHOLSON CĨ TRỄ 61 4.1 Kết sơ 61 4.2 Nghiệm dương tồn cục tính bền vững 64 4.2.1 Sự tồn nghiệm dương toàn cục 64 4.2.2 Tính bền vững 67 4.3 Tính hút tồn cục nghiệm tuần hồn dương 69 4.4 Điểm cân dương tính hút tồn cục 75 4.5 Ví dụ mơ 78 4.6 Kết luận Chương 80 Kết luận chung 82 Danh mục cơng trình cơng bố 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN [n] Tập hợp n số nguyên dương {1, 2, , n} a,b b biểu thức định nghĩa a R+ Tập số thực không âm Rn Không gian Euclide n chiều kxk∞ maxi∈[n] |xi |, chuẩn max vectơ x = (xi ) ∈ Rn Rm×n Tập hợp ma trận cấp m × n A⊤ Ma trận chuyển vị ma trận A A>0 Ma trận A xác định dương, tức x⊤ Ax > 0, ∀x 6= Sn+ Tập ma trận đối xứng xác định dương Rn×n In Ma trận đơn vị Rn×n diag{a1 , , an } Ma trận chéo với phần tử a1 , a2 , , an đường chéo [A]ij Phần tử dòng i cột j ma trận A A0 Ma trận không âm, tức [A]ij ≥ với i, j A≻0 xy Rn+ ξ + (t.ư ξ+ ) λ(A) Ma trận dương, tức [A]ij > với i, j xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn y = (yi ) ∈ Rn Orthant dương {x ∈ Rn : x 0} maxi∈[n] ξi (t.ư mini∈[n] ξi ) với ξ ∈ Rn , ξ ≻ Tập hợp giá trị riêng ma trận A λmax (A), λmin (A) max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)} C([a, b], Rn ) Tập hàm giá trị Rn liên tục [a, b] D + v(t) lim suph→0+ v(t+h)−v(t) , h đạo hàm Dini bên phải MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết định tính phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định nghiệm nói riêng, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, góp phần giải nhiều vấn đề đặt thực tiễn ứng dụng từ học, vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin đến mơ hình sinh thái học quần thể, kinh tế môi trường [1, 21] Trong thực tiễn, nhiều mơ hình ứng dụng mơ tả lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38] Sự xuất độ trễ ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ nói chung tính ổn định, tính chất phổ dụng hệ mơ hình ứng dụng, nói riêng Vì vậy, tốn nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình thực tiễn vấn đề nghiên cứu có tính thời thu hút quan tâm nhiều tác giả nước năm gần [13] Đối với lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản lớp hệ tuyến tính dừng, hệ có trễ số vv, phương pháp hàm Lyapunov công cụ quan trọng hiệu để nghiên cứu tính ổn định Bằng việc xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, điều kiện ổn định hệ thiết lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) Khi đó, cơng cụ giải số số thuật tốn tối ưu lồi vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận lớp điều kiện LMIs đảm bảo tính ổn định hệ Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ mơ hình thực tiễn nhân tạo, hệ sinh thái, thường có cấu trúc phức tạp, dạng phi tuyến không dừng [30] Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng, cho lớp hệ địi hỏi phải tiếp tục phát triển công cụ phương pháp nghiên cứu đặc thù Nhiều vấn đề mở hướng nghiên cứu lý thuyết định tính dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt lớp phương trình mơ tả mơ hình sinh thái học, cần tiếp tục nghiên cứu phát triển Đó lí động lực chúng tơi chọn chủ đề nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân có trễ ứng dụng mơ hình sinh thái Đối tượng nội dung nghiên cứu 2.1 Tính ổn định hữu hạn lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên trễ tỉ lệ Trong hai thập kỉ gần đây, hệ động lực có cấu trúc mạng nơron nghiên cứu ứng dụng thành công nhiều lĩnh vực xử lí tín hiệu số, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số đặc biệt lĩnh vực trí tuệ nhân tạo [28, 34] Trong mơ hình đó, việc đảm bảo tính ổn định mạng nơron thiết kế quan trọng [40] Mặt khác, mơ hình mạng nơron, yếu tố trễ truyền tải không tránh khỏi q trình xử lí truyền tín hiệu qua kênh với băng thông hạn chế Sự xuất trễ thời gian thường dẫn đến hiệu suất nguy làm tính ổn định mạng Trong cơng trình cơng bố, tính ổn định tính đồng nghiên cứu cho số mơ hình mạng nơron với trọng số kết nối nơron trễ bị chặn Các kết khơng áp dụng cho mơ hình mạng nơron với trễ tỉ lệ, lớp trễ sử dụng phổ biến mô tả động lực hệ có cấu trúc mạng [41] Chẳng hạn, với cấu trúc mạng nơron có nhiều tầng (layers), q trình xử lí truyền tín hiệu tầng thường mơ tả tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian Về dáng điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ N(t + ω − τk (t))e−γk (t)N (t+ω−τk (t)) −γk (t)N (t−τk (t)) − N(t − τk (t))e Theo định lí giá trị trung bình, −N (t+ω) b(t)σNω (t) e −N (t) −e = −b(t)σNω (t) Nω (t)e−ζ(t) , ζ(t) giá trị N(t) N(t + ω) Do đó, ∗ −b(t)σNω (t) e−N (t+ω) − e−N (t) ≤ −b− e−(r Với < θ1 ≤ θ2 , đánh giá sau −γx |1 − γx|e ≤ max (4.23) +ǫ) |Nω (t)|, ∀t ≥ T 1 − γ − θ1 , e2 eγ − θ1 (4.24) (4.25) với x ∈ [θ1 , θ2 ] γ ≥ γ − > Do đó, từ (4.25), ta có −γk (t)x −γk (t)y xe − ye ≤ νkǫ |x − y|, ∀t ≥ 0, x, y ∈ [r∗ − ǫ, r∗ + ǫ] Các kết đánh giá cho ta −γk (t)N (t+ω−τk (t)) −γk (t)N (t−τk (t)) N(t + ω − τ (t))e − N(t − τ (t))e