Đề tài 3 phân tích a=qr

lOMoARcPSD|18034504 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA   GVHD:Thầy Đặng Văn Vinh DANH SÁCH SINH VIÊN Đặng Thị Phương Anh Hàng Gia Bảo Hồ Nhật Bảo Trương Quang Bảo Nguyễn Phong Thanh Bình Trần Khánh Chi Hồ Thị Thu Cúc Nguyễn Đăng Danh Phan Châu Danh Phạm Huỳnh Ngọc Diệp MSSV 2012576 2012656 2012657 2010917 2012695 2012726 2012755 2012781 2012785 2010987 ĐỀ TÀI 3: PHÂN TÍCH A=QR Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ĐỀ TÀI I Yêu cầu II Điều kiện BÀI TẬP LỚN Câu I Định nghĩa II Phân tích III Ví dụ vận dụng Ví dụ Ví dụ Câu I Tổng quan MatLab II Giải toán MatLab Câu Bình phương cực tiểu Sử dụng mơ hình Sử dụng ứng dụng học máy Sử dụng hệ thống xử lý TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 LỜI CẢM ƠN Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn thầy TS Đặng Văn Vinh trường Đại học Bách Khoa TP.HCM – Đại Học Quốc Gia TP.HCM, Thầy trang bị cho em kiến thức để hồn thành đề tài giao Trong q trình làm việc nhóm để hồn thành tập lớn này, kiến thức hạn chế nên chúng em cịn nhiều thiếu sót q trình tìm hiểu, đánh giá trình bày để tài Chúng em mong nhận quan tâm, góp ý thầy để tài chúng em đầy đủ hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn thầy! Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 ĐỀ TÀI I Yêu cầu : - Nêu sở lí thuyết phân tích A = QR phương pháp Gram-Schmidt - Viết chương trình dùng để phân tích A = QR phương pháp GramSchmidt - Tìm ứng dụng phân tích A = QR II Điều kiện : -Sinh viên cần có kiến thức lập trình Matlab -Tìm hiểu lệnh Matlab dùng để viết chương trình phân tích A = QR phương pháp Gram-Schmidt Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 BÀI TẬP LỚN Câu 1: Cơ sở lí thuyết phân tích A = QR phương pháp GramSchmidt I Định nghĩa:  Cho ma trận A ∈ Mmxn(ℝ) với rank(A) = n Phân tích QR ma trận A biểu diễn A = QR với Q ma trận trực giao (QT=Q-1) R ma trận tam giác (rij=0, ∀i > j) II Phân tích:  Giả sử A ∈ Mmxn(ℝ) ma trận gồm n cột độc lập tuyến tính, A viết dạng vector cột A = (v1, v2, , vn)  Trực chuẩn hoá Gram-Schmidt vector v1, v2, , ta vector e1, e2, , en Lập ma trận trực giao Q gồm cột véctơ trực chuẩn: Q = (e1, e2, , en) Với Q sở trực chuẩn A với vk ∈ A ta được: 𝑘 Vì ta viết: 𝑣𝑘 = ∑〈𝑣𝑘 , 𝑒𝑖 〉𝑒𝑖 𝑖=1 〈𝑣1 , 𝑒1〉 A = (v1, v2, , vn) = (e1, e2, , en) ( ⋮ 〈𝑣2 , 𝑒1〉 〈𝑣1, 𝑒1〉 ⋮ … … ⋮ … 〈𝑣𝑛 , 𝑒1 〉 〈𝑣𝑛 , 𝑒2 〉 ) = QR ⋮ 〈𝑣𝑛 , 𝑒𝑛 〉  Như Q ma trận cột trực giao, cịn R ma trận vng cấp m hệ số khai triển vector vk theo sở trực chuẩn thu từ trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt vector (hệ số Fourier) Rõ ràng ⟨vi,ei⟩ ≠ R khả nghịch III Ví dụ vận dụng: 1.Ví dụ : A = (v1, v2, v3) = (1 1 0) Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504  Tìm phân tích QR Để giải tốn, ta trực chuẩn hóa Gram-Schmidt vector v1, v2, v3, ví dụ ta tìm 𝑒1 = ( √3 ; √3 ; √ 𝑇 ) , 𝑒2 = ( −2 √6 ; √6 ; √ 𝑇 ) , 𝑒3 = (0; −1 √2 ; √ 𝑇 ) Khi 𝑄= Cịn 〈𝑣1 , 𝑒1 〉 𝑅= ( 0 Ví dụ → 𝑓2 = (1;2;1) - √6 1 −(𝑒2 ,𝑓1 ) (𝑓1 ,𝑓1 ) 12 −1 √6 √2 ) 1) =− √2 1 √3 ( 0 √3 √6 33 √3 √6 √2) −(𝑒3 ,𝑓1 ) (𝑓1 ,𝑓1 ) 1 ; ;− ) Chọn 𝑓2 = (1;-2;1) → 𝑓3 = (1;1;2) – (1;1;1) – (1;-2;1) = ( √6 〈𝑣3 , 𝑒1〉 〈𝑣3, 𝑒2 〉) = 〈𝑣3, 𝑒3 〉 〈𝑣2 , 𝑒1 〉 〈𝑣2 , 𝑒2〉 (1;1;1) = (− √3 (√3 Tìm 𝑓3 = 𝑒3 + 𝛼1𝑓1 + 𝛼2 𝑓2 , với 𝛼1= −2 √3 1 Phân tích QR ma trận A = (1 Chọn 𝑓1 = 𝑒1 = (1;1;1) Tìm 𝑓2 = 𝑒2 + 𝛼1 𝑓1, với 𝑎1 = = −4 ; 0; ) 𝛼2 = Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) −(𝑒3 ,𝑓2 ) (𝑓2 ,𝑓2 ) = −1 lOMoARcPSD|18034504 Chọn 𝑓3 = (-1;0;1) → Họ trực chuẩn Q = { √3 (1;1;1), Ma trận R = 𝑄 𝑇 𝐴 = ( −1 √6 1 √6 −2 (√3 √6 √6 √6 √3 √3 √6 (1;-2;1), √3 → Ma trận trực giao Q = 1 √3 −2 0 √2 √2 (-1;0;1)} √2 ) √3 √2 ) Câu 2: Viết chương trình dùng để phân tích A = QR phương pháp Gram-Schmidt I Tổng quan MatLab : -Matlab (viết tắt matrix laborary) ngơn ngữ lập trình bậc cao bốn hệ, mơi trường để tính tốn số học, trực quan lập trình Được phát triển MathWorks -Nó cho phép thao tác với ma trận, vẽ biểu đồ với hàm số liệu, thực thuật toán, tạo giao diện người dùng, bao gồm C,C++, Java Fortran ; phân tích liệu, phát triển thuật tốn, tạo kiểu mẫu ứng dụng -Nó có nhiều lệnh hàm toán học nhằm hỗ trợ đắc lực cho bạn việc tính tốn, vẽ hình vẽ, biểu đồ thông dụng thực thi phương pháp tính tốn Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 II Giải toán MatLab : function [Q, R] = qrgramschmidt(A); (phan tich mt bang thuat gramsmidt) [m, n]= size(A); R(1,1)= norm(A(:, 1)); Q(:, 1)= A(:, 1)/R(1, 1); for k = 2:n R(1:k-1, k) = Q(1:m, 1:k-1)'*A(1:m, k); z =A(1:m,k) - Q(1:m, 1:k-1)*R(1:k-1, k); R(k,k) = norm(z); Q(1:m,k) = z/R(k, k); end Câu 3: Các ứng dụng phân tích A=QR Phương pháp bình phương cực tiểu Đề bài: Tìm đường cong khớp với dải liệu có chu kỳ nhiệt độ ghi nhận Washington ngày 1/1/2001 cho bảng sau: Time of day 12 mid am am am 12 noon pm pm pm t 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 Lời giải: Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mơ hình g(xj, t)= x1 + x2 cos2𝜋t + x3 sin2𝜋t Kết thu được: g(t)= -1.95 – 0.7445cos2𝜋t – 2.5594sin2𝜋t Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) Temp (C) -2.2 -2.8 -6.1 -3.9 0.0 1.1 -0.6 -1.1 lOMoARcPSD|18034504 Hình 1: Mơ hình đường cong khớp với dải liệu Phân tích QR sử dụng mơ hình hồi quy đầu vào có tương quan cao Phép biến đổi cho ma trận Q với vectơ cột độc lập Phân tách QR hữu ích ứng dụng học máy Một ví dụ việc sử dụng phân tách QR học máy tự động loại bỏ đối tượng khỏi hình ảnh Hãy tưởng tượng bạn muốn cắt hình ảnh xe từ video clip Sử dụng gọi phân tách giá trị đơn, trở nên tương đối đơn giản Nói tóm lại, cách chia video thành khung riêng lẻ, biến khung thành vectơ 1D tạo ma trận vectơ tương ứng với hình ảnh, sau người ta chạy phân tách giá trị video Việc phân tách cho phép phân tách đơn giản đối tượng tiền cảnh khỏi không gian ảnh từ video Phân tách QR sử dụng hệ thống xử lý tín hiệu hệ thống MIMO Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com) lOMoARcPSD|18034504 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo trình Đại số tuyến tính thầy Đặng Văn Vinh trang 161 https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A2n_r%C3%A3_QR:nguồn Internet 10 Downloaded by vu ga (vuchinhhp2@gmail.com)