Giải toán điện xoay chiều bằng giản đồ vecto và số phức newstudy vn

A. PHƯƠNG PHÁP DÙNG GIẢN ĐỒ VECTƠ. I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Ta có thể xem các đại lượng tức thời của dòng điện xoay chiều hình sin như một dao động điều hòa. Như vậy có thể biểu diện chúng bằng những vecto. Dựa và tính chất mạch điện ta có thể chuyển từ các phép tính đại số thành các phép tính vectơ ( hay phép tính hình học) Ví dụ: Đối với đoạn mạch ghép nối tiếp ta có tính chất: cường độ dòng điện qua các đoạn mạch là như nhau, còn điện áp toàn mạch bằng tổng điện áp các đoạn mạch thành phần. i = I 0 cos(ωt) u = U 0 cos( ωt +φ) Có thể biểu diễn bằng hình học như sau: u r = 1 2 3 u u u+ + ur uur uur 1 I U U 1 U 2 O U 3 I U U 1 U 2 O U 3 hay Đối với mạch song song ta có tính chất: điện áp các đoạn mạch bằng nhau, còn cường độ dòng điện ở mạch chính bằng tổng cường độ dòng điện ở các mạch thành phần. u = U o cos(ωt) i = I 0 cos(ωt +φ) : Ta biểu diễn bằng hình học như sau: 1 2 i i i= + r r ur Đối với một mạch điện phức tạp ta có thể phân chia mạch điện thành các đoạn nhỏ có cấu trúc đơn giản ( chỉ có các phần tử ghép nối tiếp hay song song) để lập các giản đồ vecto trước khi phối hợp chúng lại. Với phương pháp hình học, ta có thể giải nhanh một số bài toán điện xoay chiều mà nếu dùng phương pháp đại số ta phải tốn khá nhiều thời gian 2 I U I 1 I 2 O φ II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VÍ DỤ. 1/ Công suất, hệ số công suất và điện áp hiệu dụng các đoạn mạch. Bài 1. Một đoạn mạch điện gồm một cuộn dây ghép nối tiếp với một tụ điện. Hai đầu mạch có một điện áp xoay chiều có điện áp hiệu dụng U. Biết giá trị hiệu dụng của điện áp các đoạn mạch như sau: U d = U C = U. Tìm hệ số công suất của mạch điện. Giải: Ta có u = u d + u c Nhận xét: cuộn dây có điện trở thuần, nếu không thì u L + u C sẽ bằng 0 Ta có giản đồ vectơ như sau: Tam giác AMB là tam giác cân có đường cao AI Suy ra góc φ = 30 0 Vậy hệ số công suất của mạch cosφ = 3 2 = 0,865 Bài 2. Một mạch điện gồm một cuộn dây độ tự cảm L có điện trở thuần r, ghép nối tiếp với một điện có điện dung C. Hai đầu mạch được một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi U = 100V tần số góc ω. Dùng vôn kế xoay chiều ta đo điện điện áp hai đầu cuộng dây là U 1 = 100 3.V ; điện áp hai bản tụ là U 2 = 100V. Tìm hệ số công suất của mạch điện. Giải: Dùng phương pháp giản đồ vectơ : 1 2 U U U= + ur uur uur Ta biết u 1 = u L + u r ; u 2 = u C . Nên ta có thể vẽ các vecto biểu diễn chúng như sau: 3 I U d U C A B M φ) U Vì U = U 2 = 100V nên tam giác ABM là tam giác cân, đường cao BH chia cạnh đáy AM thành hai phần bằng nhau. Ta có 2 100 3 3 ˆ cos 2 2.100 2 U MAB U = = = Suy ra góc 0 ˆ 30MAB = Góc 0 0 ˆ ˆ 30 60M MAI= = = Vậy φ = 30 0 Hệ số công suất cosφ = 3 0,86 2 = Bài 3. Một mạch điện có sơ đồ như sau: Hai đầu AB có một điện áp xoay chiều tần số ω xác định. Ta có giá trị hiệu dụng của điện áp các đoạn như sau: U AB = U NB = 130V; U MB = 50 2 .(V) Biết u MB vuông pha với u AN . Tìm hệ số công suất của mạch Giải: Ta có u AB = u AN + u NB . Ta thấy AN là đoạn mạch RC nên u AN trễ pha so với i; NB là đoạn mạch rL nên u NB sớm pha so với i Biểu diễn bằng giản đồ vectơ: Từ U = U NB suy ra tam giác ABN là tam giác cân tại B nên đường cao BH chia AN thành hai phần bằng nhau U AN /2, và vì u MB vuông pha với u AN nên ta được 4 φ U I U 1 U 2 A M B H R C L A B N M r B A N M U L U C U R U r φ) α) U H U AN U NB I U MB U R = U C Tam giác AMN vuông cân. Suy ra góc α = ˆ MAN = 45 0 Nên U r = U MB cos45 0 = 50V U L = 2 2 NB r U U− = 120V U R = U C = U L – U MB sinα = 70V Vậy hệ số công suất của mạch điện cosφ = 0.923 R r U U U + = Bài 4. Một mạch điện có sơ đồ: Điện áp xoay chiều u AB có giá trị hiệu dụng U không đổi; R V = ∞ . Khi R = R 1 thì vôn kế chỉ U 1 = 120V; khi R = R 2 thì vôn kế chỉ giá trị U 2 = 90V. Trong hai trường hợp trên công suất tiêu thụ vẫn bằng P. a) Tìm điện áp hiệu dụng U. b) Biết R 1 = 45Ω; R 2 = 80Ω. Tìm P Giải: Vôn kế chỉ giá trị hiệu dụng U LC vì vậy u V luôn vuông pha với u R . Ta có giản đồ vectơ: R V U U U= + ur uuur uuur trong hai trường hợp Từ biểu thức công suất tiêu thụ phụ thuộc R: P = RI 2 = 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 L C L C U P R R Z Z U R R Z Z P = + − ⇒ − + − = Áp dụng định lý Viét ta được: R 1 .R 2 = (Z L –Z C ) 2 (1) Và R 1 +R 2 = 2 U P (2) 5 R C L A B V U U 1 U 2 φ 1 φ 2 φ 1 A B M M’ U R2 U R1 a) Từ (1) ta có tanφ 1 .tanφ 2 = 2 1 2 ( ) 1 . L c z z R R − = nên φ 1 + φ 2 = 2 π Tam giácAMB = tam giác BM’A. Như vậy có thể nói U R1 = U 2 = 90V Điện áp hiệu dụng toàn mạch: U = 1 2 2 2 2 1 2 1 150 R U U U U V + = + = b) Từ (2) ta có 2 2 1 2 150 45 80 U P R R = = + + = 180W. 2/ Bài toán R,L,C mắc nối tiếp có U L hay U c đạt cực đại. Bài 1. Mạch điện có sơ đồ như hình vẽ: Trong đó có cuộn dây thuần cảm kháng, độ tự cảm L biến đổi được. Hai đầu mạch điện có một điện áp xoay chiều tần số xác định, giá trị hiệu dụng U = 200V a) Điều chỉnh L đến giá trị L 0 thì thấy chỉ số vôn kế V 1 cực đại và chỉ số vôn kế V 2 là U 2 = 300V. Tìm số chỉ vôn kế V 1 lúc này. b) Điều chỉnh L đến giá trị L M thì chỉ số vôn kế V 2 cực đại bằng 400V. Tìm số chỉ vôn kế V 1 và hệ số công suất của mạch điện lúc này. Giải: a) Nhận xét: R; C và tần số dòng điện không đổi nên tổng trở đoạn AN là Z 1 xác định vì vậy U 1 = I.Z 1 cực đại khi cường độ dòng điện I cực đại. Ta có 2 2 1 U I R L C ω ω =   + −  ÷   nên I cực đại khi Lω = 1/ωC , suy ra U L = U C = 300V và U R = U = 200V Vậy vôn kế V 1 có số chỉ là U 1 = 2 2 2 2 200 300 360,5 R L U U V+ = + = 6 R C L A B N M V 1 V 2 U I U 1 =U R U 2 U C =U L φ 1 b) Vôn kế V 2 có số chỉ cực đại tức U L cực đại Ta có thể biểu diễn giản đồ vectơ như sau: Z C và R xác định nên góc φ 1 không đổi khi L biến đổi, như vậy góc α cũng không đổi Hệ thức lượng giác trong tam giác ABN ˆ sin sin L U U A α = ˆ sin sin L U U A α ⇒ = Như vậy, khi sinA = 1 thì U L cực đại, tam giác ABN vuông tại A. Áp dụng định lý Pythagore ta tìm được U 1 = 2 2 2 U U− = 346.1V Bài 2. Một mạch điện gồm: điện trở thuần R = 50Ω ; cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1 2 π H và một tụ điện có điện dung biến đổi được, ghép theo sơ đồ như hình vẽ. Hai đầu mạch có điện áp xoay chiều u = 100 2 sin100πt.(V). a) Tìm giá trị C 0 của tụ điện để điện áp hiệu dụng U MN cực đại b) Tính U AM ;U MN ;U NB và công suất tiêu thụ trong mạch ứng với giá trị C 0 . Giải. Ta có giá trị Z L = Lω = 50Ω tanφ R,L = 1 L Z R = , 4 R L π ϕ ⇒ = Biểu diễn bằng giản đồ vectơ như sau: U MN = U C cực đại khi ˆ A = 90 0 ( chứng minh như trên) 7 U I U 1 U R =U 2 U L U C φ 1 A N B α R C L A B N M I U RL U U C φ r,L U L A U R φ) B N M α Tam giác AMN vuông tại M, ta có α + φ R,L = 90 0 nên α = , 4 R L π ϕ = . Suy ra tam giác ABN vuông cân. a) Tìm C 0 . Dựa vào giản đồ vectơ ta có U c = 2U L ⇒ Z C = 2Z L = 100Ω 4 0 1 10 C C F Z ω π − = = b) Tìm U AM , U NM , U MB U AM = U R = 50 2 2 U = .(V) vì tam giác AMB vuông cân tại M U NM = U C = 2 100 2U = (V) U MB = U R = 50 2 (V). Công suất tiêu thụ trong mạch 2 R U P R = = 100W Bài 3. Một mạch điện gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, một tụ điện có điện dung C, một điện trở thuần R nối tiếp. Hai đầu mạch nối với một điện áp xoay chiều u = U 0 cosωt.(V), trong đó tần số ω biến đổi; khi ω = ω 0 thì U R đạt cực đại; khi ω = ω 1 thì U L cực đại; khi ω = ω 2 thì U C cực đại, hãy lập biểu thức tính ω 0 ; ω 1 ; ω 2 theo R,L,C và xác định mối liên hệ giữa ω 0 , ω 1 , ω 2 . Giải: Loại bài toán này nếu dùng giản đồ vecto để giải thì sẽ gặp khó khăn trong khâu biện luận dẫn đến kết quả. Nhưng nếu dùng phương pháp giải tích thì việc tính toán dẫn đến kết quả dễ dàng hơn. Thật vậy với biểu thức: U R = 2 2 . 1 ( ) U R R L C ω ω + − U R cực đại khi 2 2 1 ( )R L C ω ω + − cực tiểu => ω 0 = 1 LC 8 Với biểu thức U L = 2 2 . 1 ( ) U L R L C ω ω ω + − = 2 2 2 2 . 1 ( ) U L R L C ω ω + − Đặt y = 2 2 2 2 1 ( ) R L C ω ω + − và đặt x = 2 1 ω Ta được phương trình y = 2 2 2 2 1 2 ( ) 0 L x R x L C C + − + = U L cực đại khi y cực tiểu, tức đạo hàm y’ = 0 Ta tìm được kết quả là ω 1 = 2 2 2 2LC R C− Tương tự với biểu thức U C = 2 2 1 ( ) U C R L C ω ω ω + − Ta tìm được ω 2 = 2 2 1 2 R LC L − = 2 2 2 2 L R C L C − Dễ dàng nhận thấy ω 0 2 = ω 1 .ω 2 3. Mạch điện R,L,C mắc hổn hợp Bài 1. Cho mạch điện như hình vẽ : Biết cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, điện dung của tụ điện là C, và điện trở thuần R. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U 2 cosωt.(V). a) Tìm biểu thức tổng trở toàn mạch. b) Tìm độ lệch pha của u so với i. c) Tìm điều kiện để cường độ dòng điện I không phụ thuộc R. d) Nếu chỉnh điện dung C = C 1 thì U C cực đại. Tìm C 1 Giải : a) Tổng trở của mạch 9 L R A B N C Gọi U NB là U 1 , ta có I R = 1 U R ; I L = 1 L U Z và i L trễ pha π/2 so với i R Giản đổ vecto biểu diễn như sau: Như vậy I 2 = I 2 R +I L 2 Suy ra tổng trở Z 1 2 = 2 2 2 2 L L R Z R Z+ Cường độ dòng điện i trể pha so với u 1 một góc là φ 1 , ta có sinφ 1 = 1L L I Z I Z = U AN = U C ; u c trễ pha so với i một góc π/2. Ta có giản đồ vecto như sau: Theo tính chất mạch nối tiếp ta có: 1C U U U= + ur uuur uur => U 2 = U C 2 + U 1 2 – 2U C U 1 cosα Mà cosα = sinφ 1 Thay các giá trị và chia hai vế cho I ta được Z 2 = Z C 2 + Z 1 2 – 2.Z 1 2 C L Z Z Hay Z 2 = 2 2 2 2 2 2 1 L L R C C R L ω ω ω     − +  ÷  ÷     + b) Độ lệch pha của u so với i. Dựa vào giản đồ vecto ta có 1 1 1 1 1 1 1 sin tan tan cos cos C C U U U U U ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − = = − 2 2 2 ( ) . tan . C L C L L R Z Z Z Z R Z ϕ − + = > 0 nên u trễ pha so với i c) Điều kiện I không phụ thuộc R. Ta có I = U Z , để I không phụ thuộc R thì Z không phụ thuộc R Từ biểu thức Z 2 = Z C 2 + Z 1 2 – 2.Z 1 2 C L Z Z = Z C 2 + Z 1 2 (1 – 2 C L Z Z ) Và Z 1 2 = 2 2 2 2 L L R Z R Z+ ta suy ra để Z không thuộc R thì 1 - 2 C L Z Z = 0 => Z L = 2Z C 10 U 1 I R I I L φ 1 I U U 1 U C φ 1 φ α [...]... trình (1) và (2) cho ta tìm được L= 2 (1) => R0 = LCrω = CR1 R2 (Crω ) 2 + 1 C 2 R1 R2 rω 2 ( Crω ) 2 +1 13 Tóm lại ta có thể dùng giản đồ vecto có thể giải một bài tốn điện xoay chiều khá đơn giản, đặc biệt là đối với loại mạch điện ghép hổn hợp Tuy nhiên một số bài tốn điện xoay chiều có cấu trúc mạch phức tạp thì phương pháp giản đồ vecto lại khơng thuận tiện, thậm chí bị bế tắt Nhưng bằng phương... chia số phức dưới dạng đại số người ta thường nhân mẫu và tử với với số phức liên hợp của mẫu z = a + bj là z = a − bj để ta được mẫu là một số thuần thực vì z z = a2 + b2 II PHƯƠNG PHÁP DÙNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TỐN MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU 15 Một vấn đề cơ bản khi giải quyết các bài tốn mạch điện là phải xác định tổng trở của mạch điện (tương tự việc tìm điện trở tương đương của mạch điện của dòng điện. .. dùng số phức ta có thể giải nó tốt hơn Chúng ta thử tìm hiểu phương pháp dùng số phức để giải bài tốn điện xoay nhiều như thế nào? B PHƯƠNG PHÁP DÙNG SỐ PHỨC I CƠ SỞ TỐN HỌC Ta biết, trong tập hợp các số thực ta khơng thể lấy căn bậc hai của một số âm Điều này làm hạn chế việc thực hiện các phép tính, do đó người ta mở rộng tập hợp các số thực thành tập hợp các số phức 1 Biểu diễn số phức Ta đưa vào... khơng đổi) Đối với mạch điện của dòng điện xoay chiều ta có thể giải quyết bài tốn trên bằng phương tiện giản đồ vectơ khá thuận lợi nhưng với các mạch điện phức tạp thì gặp nhiều khó khăn Ta có thể đơn giản hóa cách giải bằng cách sử dụng phương tiện số phức Ta biết, cơng thức Ơle cho thấy một đại lượng biến thiên đều hòa theo thời gian a = Acos(ωt +φ) có thể biểu diễn bằng một số phức a* = Ae (ωt + φ)... mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần, cuộn cảm thuần và tụ điện mắc nối tiếp Biết cảm kháng gấp đơi dung kháng Dùng vơn kế xoay chiều (điện trở rất lớn) đo điện áp giữa hai đầu tụ điện và điện áp giữa hai đầu điện trở thì số chỉ của vơn kế là như nhau Độ lệch pha của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch so với cường độ dòng điện trong đoạn mạch là A π 4 B π 6 C π 3 π 3 D − Câu 14 (ĐH – 2009): Đặt điện. .. diễn các đại lượng tức thời của dòng điện xoay chiều dưới dạng số phức thì các cơng thức liên hệ giữa các đại lượng này có dạng giống như đối với dòng điện khơng đổi III MỘT SỐ BÀI TỐN VÍ DỤ 1 Mạch điện xoay chiều RLC khơng phân nhánh Bài 1 Mạch điện có sơ đồ như sau: Cho biết R = 30Ω; C = A R M C N L,r B 200 1 µF ; L = H và r = 20Ω π π Đặt vào mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = 100 2 cos100πt.(V)... điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120 V, tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần 30 Ω, cuộn cảm thuần có độ tự cảm 0,4/ π (H) và tụ điện có điện dung thay đổi được Điều chỉnh điện dung của tụ điện thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại bằng A 250 V B 100 V C 160 V D 150 V Câu 15 (ĐH – 2009): Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U vào... Cho biết điện dung C= 10,6µF Tính độ tự cảm và điện trở thuần của cuộn dây b) Viết biểu thức cường độ dòng điện Bài 5 : Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ : A Vôn kế V1 chỉ 10V , V2 chỉ 50V và R V1 V M L,r V B V2 V chỉ 56,4V nguồn điện có tần số 50Hz a) Hãy xác đònh hệ số công suất của cuộn dây 35 b) Cho R=5Ω Tính r và L và công suất tiêu thụ toàn mạch Bài 6: Một mạch điện xoay chiều có sơ đồ: Các... cảm , các tụ điện có điện dung là C = 10−4 F và π các điện trở R1 = 2R2 = 200Ω; ampe kế có điện trở khơng đáng kể Tìm số chỉ ampe R1 kế A Bài 8: Mạch điện có sơ đồ như sau: R3 M B L C R2 N Hai đầu mạch có điện áp xoay chiều u = 100 2 cos(100π ).(V ) , các điện trở R1 = R2 = R3 = 100Ω cuộn dây thuần cảm L = 1 10−4 H ; tụ điện có C = F π π Tính tổng trở tồn mạch và cường độ hiệu dụng của dòng điện qua cuộn... (A) và Viết dưới dạng theo biến thời gian i1 = 8.1cos(100πt – 0,85).(mA) i2 = 9,7cos(100πt + 4,4).(mA) 2 Mạch điện xoay chiều phức tạp Bài 1 Một điện có sơ đồ: R1 L M Đặt vào hai đầu AB một điện áp A u = 100 2 cos100πt (V) B R2 N C Biết R1; R2; L và C a) Lập biểu thức tính tổng trở ZAB b) Viết biểu thức tức thời cường độ dòng điện ở mạch chính c) Tính điện áp hiệu dụng hai điểm MN Áp dụng bằng số: . thể dùng giản đồ vecto có thể giải một bài toán điện xoay chiều khá đơn giản, đặc biệt là đối với loại mạch điện ghép hổn hợp. Tuy nhiên một số bài toán điện xoay chiều có cấu trúc mạch phức tạp. giản đồ vecto lại không thuận tiện, thậm chí bị bế tắt. Nhưng bằng phương pháp dùng số phức ta có thể giải nó tốt hơn. Chúng ta thử tìm hiểu phương pháp dùng số phức để giải bài toán điện xoay. mạch điện (tương tự việc tìm điện trở tương đương của mạch điện của dòng điện không đổi). Đối với mạch điện của dòng điện xoay chiều ta có thể giải quyết bài toán trên bằng phương tiện giản đồ