Tài Liệu Sự Tồn Tại Nghiệm Của Mô Hình Động Lực Rừng Điều Chỉnh.pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC HOÀNG HẢI MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành Toán Giải tích Mã số 60460102[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HỒNG HẢI MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoảng Hải Minh Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian kết liên quan 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Toán tử quạt 1.2.2 Xấp xỉ Yosida 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach 10 1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính 10 1.5 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 20 Chương Sự tồn nghiệm mơ hình động học rừng điều chỉnh 33 2.1 Nghiệm địa phương 34 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 35 36 2.2 Hệ động lực 38 2.2.1 Nghiệm toàn cục 2.2.2 Hàm Lyapunov 38 43 LỜI MỞ ĐẦU Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng chủ đề môi trường quan tâm Những vấn đề nghiên cứu bảo tồn nguồn tài nguyên rừng biết tới như: quy luật phát triển cá thể cây, khu vực rừng, rừng hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống rừng hệ thống khác đất, nước, thời tiết với tương tác hệ thống nêu trên, Nhiều nhà khoa học giới nghiên cứu vấn đề đạt kết quan trọng Vào năm 1972, D B Botkin [2] đưa mơ hình tốn học sở phát triển rừng Trong đó, Botkin nghiên cứu khu vực khoảng (100m3 tới 300m3 ) rừng đưa phương trình phát triển cho với tương tác khu vực Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya Antonovsky M D Korzukhin [1] đưa mơ hình tốn học rừng quan tâm tới mối quan hệ phụ thuộc tuổi Mơ hình sau vào năm 1994 tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev A Aponina [4] phát triển thành mơ hình mơ tả phát triển rừng thông qua mối quan hệ phụ thuộc tuổi trình tái sinh Cụ thể là, miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét hệ rừng đơn loài giả sử chia thành hai lớp tuổi non trưởng thành Có ba yếu tố cấu thành hệ rừng: non, trưởng thành hạt giống khơng khí Chúng tạo thành mơ hình động học thể trình phát triển hệ rừng sau:  ∂u   = β δ w − γ(v)u − f u Ω × (0, ∞),   ∂t     ∂v = f u − hv Ω × (0, ∞), ∂t  ∂w   = d∆w − β w + αv Ω × (0, ∞),    ∂t   u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) Ω, 0 (0.1) Ω khu vực rừng phát triển (Ω ⊂ R2 miền hai chiều bị chặn) Các hàm u(x,t) v(x,t) mật độ non mật độ trưởng thành, vị trí x ∈ Ω thời điểm t ∈ [0, ∞) Hàm w(x,t) mật độ hạt khơng khí x ∈ Ω t ∈ [0, ∞) Phương trình thứ thứ hai mô tả phát triển non trưởng thành Phương trình thứ ba thể động lực hạt khơng khí; d > số khuếch tán hạt, α > β > tỉ lệ hạt tạo số hạt rơi xuống đất Trong đó, < δ ≤ tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > tỉ lệ chết non, phụ thuộc vào tỉ lệ trưởng thành v, f > tỉ lệ non phát triển thành trưởng thành, h > tỉ lệ chết trưởng thành Hàm γ(v) xác định γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > c > Với w, số điều kiện biên đặt biên ∂ Ω Các hàm giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ lấy Ω Mơ hình (0.1) số tác giả nghiên cứu Với điều kiện biên Neuman Dirichlet đặt lên w, tác giả L H Chuan, A Yagi T Shirai [3] [5] chứng minh tồn nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực tồn hàm Lyapunove cho hệ (0.1) Tuy nhiên, mơ hình chưa đầy đủ Các nghiệm dừng u, v toán (0.1) có giá hồn tồn Ω Tuy nhiên rừng tự nhiên khuếch tán, mật độ hạt bên biên tự nhiên dương Một số kết tính tốn số nghiệm dừng hệ (0.1) có mật độ miền bên biên rừng dương Hai tác giả A Yagi M Primicerio vào năm 2014 [7] đưa hình động học rừng điều chỉnh sau:  ∂u   = β δ (w − w∗ )+ − γ(v)u − f u Ω × (0, ∞),   ∂t     ∂v = f u − hv Ω × (0, ∞), ∂t  ∂w   = d∆w − β w + α v˜ R2 × (0, ∞),    ∂t   u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) Ω R2 0 (0.2) Ở đây, w∗ > số cho trước ký hiệu (w − w∗ )+ phần dương w − w∗ , với w ≥ w∗ , (w − w∗ )+ = w − w∗ với w < w∗ , (w − w∗ )+ = Vì thế, w∗ mật độ tối thiểu hạt mặt đất, mật độ tối thiểu cần thiết để mọc lên Giờ hàm w mật độ hạt khơng khí, xác định tồn R2 Và v˜ ký hiệu hàm mở rộng v từ L∞ (Ω) tới L∞ (R2 ), v(x) ˜ = v(x) với x ∈ Ω v(x) ˜ =0 với x ∈ R \Ω Mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) cải thiện hai khía cạnh Khía cạnh đầu tiên, mở rộng miền xác định w thành tồn khơng gian R2 w biểu thị mật độ hạt khơng khí hạt phân tán xa so với biên Ω Một cách tự nhiên, ta khơng cịn cần phải quan tâm tới điều kiện biên w Khía cạnh thứ hai, ta có ngưỡng w∗ Nếu w ≤ w∗ khơng có non mọc, tất nhiên khơng có trưởng thành Điều khiến cho giá nghiệm dừng u, v compact Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương luận văn trình bày tóm tắt số kết biết khơng gian hàm, tốn tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, định lý kết liên quan tới luận văn Chương trình bày dựa tài liệu [6] • Chương luận văn trước tiên trình bày tồn nghiệm địa phương (0.2), sau tồn nghiệm tồn cục (0.2) Cuối chương phần trình bày hàm Lyapunov hệ động lực sinh (0.2) Chương trình bày dựa tài liệu [7] Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoàng Hải Minh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dựng sở lý thuyết nhằm tiếp cận tốn mơ hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Cụ thể, ta hệ thống lại kiến thức số khơng gian hàm, tốn tử quạt, đồng thời nhắc lại kết phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính Phần cuối chương ta chứng minh tồn nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục đánh giá nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 1.1 Một số khơng gian kết liên quan Cho X không gian Banach với chuẩn k.k, [a, b] ⊂ R, với hai số mũ < σ < β ≤ 1, ta định nghĩa khơng gian hàm Holder liên tục có trọng Fβ ,σ ((a, b]; X), < σ < β ≤ 1, sau: Định nghĩa 1.1 Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) bao gồm hàm liên tục (a, b] (hay [a, b] ) < β < (khi β = 1) thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với β < 1, (t − a)1−β F(t) có giới hạn t → a (2) F hàm liên tục Holder với số mũ σ với trọng (s − a)1−β +σ , cụ thể (s − a)1−β +σ kF(t) − F(s)k sup (t − s)σ a≤s 0, ta định nghĩa −z A = 2πi Z λ −z (λ − A)−1 dλ , Γ Γ đường cong bao quanh σ (A) theo chiều kim đồng hồ nằm C\(∞, 0] ∩ ρ(A) Khi A−z hàm giải tích với Rez > hàm nhận giá trị L(X) Định nghĩa At với t ∈ R sau: Khi t = 0, A0 ≡ I Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈ L(X) Khi t > 0, At = (A−t )−1 D(At ) trù mật X Hơn nữa, với < t1 ≤ t2 D(At2 ) ⊂ D(At1 ) Ta có tính chất sau tốn tử lũy thừa toán tử mũ: Với < φ < π2 , z → với z ∈ Σφ − {0}, A−z hội tụ mạnh tới X, (Xem [6], định lý 2.21) Chú ý −z A < ∞ (1.11) sup |arg z| tỉ lệ hạt tạo số hạt rơi xuống đất Trong đó, < δ ≤ tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > tỉ lệ chết non, phụ thuộc vào tỉ lệ trưởng thành v, f > tỉ lệ non R2 33 phát triển thành trưởng thành, h > tỉ lệ chết trưởng thành Hàm γ(v) xác định γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > c > Ở đây, w∗ > số cho trước ký hiệu (w − w∗ )+ phần dương w − w∗ , với w ≥ w∗ , (w − w∗ )+ = w − w∗ với w < w∗ , (w − w∗ )+ = Vì thế, w∗ mật độ tối thiểu hạt mặt đất, mật độ tối thiểu cần thiết để mọc lên Hàm w mật độ hạt khơng khí, xác định toàn R2 Và v˜ ký hiệu hàm mở rộng v từ L∞ (Ω) tới L∞ (R2 ), v(x) ˜ = v(x) với x ∈ Ω v(x) ˜ = với x ∈ R2 \Ω Các hàm giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ lấy Ω Ta chứng minh (2.1) có nghiệm địa phương 2.1 Nghiệm địa phương Trước tiên, ta thiết lập khơng gian tốn (2.1) Đặt  X = t (u, v, w) : u ∈ L∞ (Ω), v ∈ L∞ (Ω) w ∈ L2 (R2 ) (2.2) không gian sở Ta viết lại toán (2.1) thành toán Cauchy với phương trình tiến hóa   dU + AU = F(U), 0 Khi hàm Z ψ1 (t) = R ≤ t ≤ Tb0 b H(w(t))dx, Rõ ràng, ψ1 (t) hàm không âm với Z b w b0 (t)dx H (w(t)) ψ1 (t) = R Z Z =d R b b + H (w(t))∆ wdx i h  e b b + α χ Revb dx H (w(t)) −β w R Ta có Z R b b =− H (w(t))∆ wdx Z R b wdx b =− ∇H (w)∇ Z R b w| b dx H 00 (w)|∇ Do đó, ψ1 (t) = −d Z R 00 b b dx − β H (w).|∇ w| Z Z b wdx b +α H (w) R R   b H (w)χ Ree vb dx Ta thấy, ψ1 (t) ≤ với ≤ t ≤ Tb0 , nghĩa là, ψ1 (t) ≤ ψ1 (0) với t ∈ [0, Tb0 ] Như b ≥ [0, Tb0 ] Mặt khác, từ (2.5) vậy, ψ1 (t) = với t ∈ [0, Tb0 ] hay w(t) (2.6) ta có R v(s))+ f ]ds − 0t [γ(b ub(t) = e Z t ub0 + β δ e R − st [γ(b v(τ))+ f ]dτ b w(s)ds b ≥ [0, Tb0 ] nên ub(t) ≥ [0, Tb0 ] Tương tự, Do w(t) vb(t) = e −ht Z t vb0 + f e−h(t−s) ub(s)ds, vb(t) ≥ [0, Tb0 ] b nghiệm địa Chú ý rằng, vb(t) ≥ χ(Reb v(t)) = vb(t) Như U b phương (2.1) Do tính nghiệm nên U(t) ≡ U(t) với t ∈ [0, min{T0 , Tb0 }] Dẫn tới, u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ [0, Tb0 ] Nếu Tb0 ≥ T0 ta suy điều phải chứng minh Nếu Tb0 < T0 , ta giả sử T1 = sup {0 < T ≤ T0 : u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ 37 với < t ≤ T } Vì, Z Z H(u(T1 ))dx = lim Ω t→T1 Ω H(u(t))dx = 0, nên u(T1 ) ≥ Tương tự ta có, v(T1 ) ≥ 0, w(T1 ) ≥ Nếu T1 = T0 , ta suy điều phải chứng minh Nếu T1 < T0 , ta lặp lại toán (2.7) với thời gian đầu T1 U(T1 ) Lập lại bước chứng minh ta có ∃τ > cho u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ với T0 ≤ t ≤ T0 + τ Điều mâu thuẫn với giả sử Vậy T1 = T0 suy điều phải chứng minh Phần tiếp theo, ta xây dựng nghiệm tồn cục tốn (2.1), từ xây dựng nên hệ động lực (2.1) 2.2 Hệ động lực 2.2.1 Nghiệm toàn cục Trước hết, ta thiết lập ước lượng tiên nghiệm cho nghiệm địa phương Mệnh đề 2.1 ([7], p.111) Cho ≤ u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) ≤ w0 ∈ L2 (R2 ) Giả sử (u, v, w) nghiệm địa phương (2.1) [0, Tu,v,w ) cho ( ≤ u, v ∈ C ([0, Tu,v,w ) ; L∞ (Ω)) ∩ C1 ((0, Tu,v,w ) ; L∞ (Ω)) ,


≤ w ∈ C [0, Tu,v,w ) ; L2 (R2 ) ∩ C1 (0, Tu,v,w ) ; L2 (R2 ) ∩ C (0, Tu,v,w ) ; H (R2 ) Khi ta có ước lượng kut kL∞ + kvt kL∞ + kwt kL2   i h ≤ C e−ρt ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kL2 + , ≤ t < Tu,v,w , với c > ρ > không phụ thuộc vào (u, v, w) Chứng minh Trong chứng minh đây, ta sử dụng ký hiệu C1 ,C2 , C, ρ, ρ số dương số mũ dương, xác định số cho trước a, b, c, d, f , h, α, β δ , Ω C, ρ, ρ thay đổi lần xuất Bước Đánh giá kukL2 , kvkL2 , kwkL2 Nhân phương trình thứ (2.1) với u ta u ∂u b − w∗ )+ u − γ(v)u2 − f u2 , = β δ (w ∂t 38 suy d b − w∗ )+ u − γ(v)u2 − f u2 (u ) = β δ (w dt Lấy tích phân hai vế đẳng thức Ω ta d dt Z Z Z u dx + f u dx = Ω Ω Ω f ≤ b − w∗ )+ udx − β δ (w Z Z γ(v)u2 dx Ω w dx − u dx +C1 Ω Z Z γ(v)u2 dx (2.8) Ω R Nhân phương trình thứ ba (2.1) với w lấy tích phân hai vế kết ta d dt Z Z w dx + β R Z Z w dx = d R w∆wdx + α R R vewdx, suy d dt Z Z w dx + β R Z w dx + d R |∇w| dx = α R Z R β ≤ vewdx Z Z w dx +C2 R R ve2 dx (2.9) Lấy C3 > cho C1C3 ≤ β4 Nhân (2.8) với C3 ta C3 d dt C3 f u dx +C3 f u dx ≤ Ω Ω Z Z 2 Z Z 2 w dx −C3 u dx +C1 C3 Ω Z Ω R γ(v)u2 dx (2.10) Cộng vế 2.9 (2.10) ta C3 d dt C3 f u dx + Ω Z d u dx+ w2 dx dt Ω R Z Z Z β 2 + w dx ≤ C2 ve dx −C3 γ(v)u2 dx R R Ω (2.11) Z Z Tiếp theo, ta nhân phương trình thứ hai (2.1) với v sau lấy tích phân Ω ta Z Z Z d 2 v dx + h v dx = f uvdx dt Ω Ω Ω Lấy C4 > cho C4 h ≥ 2C2 sau nhân đẳng thức với C4 ta có C4 d dt Z Z v dx + 2C2 Ω Z v dx = C4 f Ω 39 uvdx Ω Cộng vế bất đẳng thức với vế bất đẳng thức (2.11) C3 d dt C3 f u dx + Ω Z d u dx + dt Ω Z Z β w dx + R Z v2 dx ≤ C2 + 2C2 Ω Z R ve2 dx −C3 Z C4 d w dx + dt R Z γ(v)u2 dx +C4 f Ω Z v2 dx Z Ω uvdx Ω Vì ve(x) = v(x), ∀x ∈ Ω ve(x) ≡ 0, ∀x ∈ R\Ω suy C3 d dt d C3 f v dx + w2 dx + u2 dx dt R Ω Ω Z Z Z Z β 2 +C2 v dx + w dx ≤ C4 f uvdx −C3 γ(v)u2 dx R Ω Ω Ω C4 d u dx + dt Ω Z Z Z Z Chú ý  2 C f C4 f uv −C3 γ(v)u2 = − C3 a(v − b) u2 −C4 f (v − b)u + 4C3 a     C4 f b2 C4 f b2 b2 − C3Cu −C4 f bu + + + 4C3 c 4C3 a c Nhận xét thấy   C4 f 2 ≥0 , C3 a(v − b) u −C4 f (v − b)u + 4C3 a C3Cu2 −C4 f bu + C4 f b2 ≥ 0, 4C3 c Do đó, C4 f b2 C4 f uv −C3 γ(v)u2 ≤ 4C3  b2 + a c  Vì nên d dt Z Ω Z  Z Z

d C3 u2 dx +C4 v2 dx+ w2 dx+ρ C3 u2 dx +C2 v2 dx + w2 dx ≤ C dt R R Ω Suy   C3 ku(t)k2L2 +C4 kv(t)k2L2 +kw(t)k2L2 ≤ Ce−ρt C3 ku0 k2L2 +C4 kv0 k2L2 + kw0 k2L2 +C Từ suy 
 ku(t)kL2 + kv(t)kL2 + kw(t)kL2 ≤ C e−ρt ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η + , với ≤ t < Tu,v,w (2.12) 40 Bước Đánh giá kw(t)kH 2η Sử dụng kết nửa nhóm, ta có −tΛ η Λ w(t) = e η {Λ w0 } + Z tn Λη e −t−τ Λ o e −t−τ Λ αv(τ)dτ, với e−tΛ ≤ e−tβ , (t ≥ 0) Từ suy η kw(t)kH 2η ≤ CkΛ w(t)kL2 ≤ Ce −βt kw0 kH 2η +C Z t β (t − τ)−η e− (t−τ) kv(τ)kL2 dτ Hơn nữa, từ (2.12) ta có kv(τ)kL2 ≤ ku(τ)kL2 + kv(τ)kL2 + kw(τ)kL2
  ≤ C e−ρτ ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η + Do Z t −η − β2 (t−τ) (t − τ) e kv(τ)kL2 dτ ≤ C Z t β (t − τ)−η e− (t−τ) dτ Z t +C β (t − τ)−η e− (t−τ) e−ρτ dτ
× ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η Lấy Z t < ρ0 < n β ,ρ −η − β2 (t−τ) (t − τ) e o , kv(τ)kL2 dτ ≤ C Z t β (t − τ)−η e− (t−τ) dτ −ρ τ Z t β 0 (t − τ)−η e−( −ρ )(t−τ) e−(ρ−ρ )τ dτ
× ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η i h
−ρ τ ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η + ≤C e +Ce Từ suy 
 kw(t)kL∞ ≤ Ckw(t)kH 2η ≤ C e−ρτ ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η + (2.13) Bước 3: Đánh giá ku(t)kL∞ , kv(t)kL∞ Từ (2.5), ta có R − 0t [γ(v(s))+ f ]ds u(t) = e Z t u0 + β δ e− Rt τ [γ(v(s))+ f ]ds 41 w(τ)dτ, ≤ t < Tu,v,w Vì nên −ft ku(t)kL∞ = e ku0 kL∞ +C Z t e− f (t−τ) kw(τ)kL∞ dτ Từ (2.13) ta có Z t − f (t−τ) e kw(τ)kL∞ dτ ≤ C Z t e− f (t−τ) dτ Z t +C
e− f (t−τ) e−ρτ ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η dτ Lấy < ρ < { f , ρ} Z t − f (t−τ) e kw(τ)kL∞ dτ ≤ C Z t e− f (t−τ) dτ −ρ τ Z t 0 e−( f −ρ )(t−τ) e−(ρ−ρ )τ dτ
× ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η
≤ Ce−ρ τ ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η +C +Ce Như 
 ku(t)kL∞ ≤ C e−ρt ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η + , Tương tự, từ (2.6) (2.14) ta có
  kv(t)kL∞ ≤ C e−ρt ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kH 2η + , ≤ t < Tu,v,w (2.14) ≤ t < Tu,v,w (2.15) Liên kết (2.12), (2.13), (2.14) (2.15) ta có kut kL∞ + kvt kL∞ + kwt kL2 h   i ≤ C e−ρt ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kL2 + , ≤ t < Tu,v,w , Hệ trực tiếp Mệnh đề (2.1), ta chứng minh tồn nghiệm toàn cục (2.1) Định lý 2.2 ([7], p.112) Cho u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) w0 ∈ L2 (R2 ) với u0 ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ Khi đó, (2.1) có nghiệm tồn cục cho ( ≤ u, v ∈ C ([0, ∞) ; L∞ (Ω)) ∩ C1 ((0, ∞) ; L∞ (Ω))


≤ w ∈ C [0, ∞) ; L2 (R2 ) ∩ C1 (0, ∞) ; L2 (R2 ) ∩ C (0, ∞) , H (R2 ) 42 Nghiệm toàn cục thỏa mãn ước lượng ku(t)kL∞ + kv(t)kL∞ + kw(t)kL2 h   i −ρt ku0 kL∞ + kv0 kL∞ + kw0 kL2 + , ≤C e ≤ t < ∞ (2.16) Ta chứng minh Định lý 2.2 tương tự chứng minh Bổ đề 1.1 Theo Định lý 2.1, tốn (2.1) ln có nghiệm địa phương U [0, T0 ] Theo Định lý 2.1, ta có U (T0 ) xác định U0 Do nghiệm U thác triển thành nghiệm địa phương [0, T0 + τ] với τ > xác định U (T0 ) , tức phụ thuộc vào U0 Tiếp tục trình thác triển ta thu nghiệm tồn cục toán Hơn nữa, từ ta xây dựng hệ động lực sinh toán (2.1) Đặt  K = t (u, v, w) ∈ X; u0 ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ không gian giá trị ban đầu Như Định lí 2.2, với U0 ∈ K, (2.1) tồn nghiệm toàn cục U (t,U0 ) = t (u(t), v(t), w(t)) Vì thế, ta xác định nửa nhóm phi tuyến {S(t)}t≥0 tác động K S(t)U0 = U(t;U0 ) Ta thấy, S(t) liên tục với chuẩn X Vậy, (S(t), K, X) xác định hệ dộng lực không gian X, K không gian pha (S(t), K, X) gọi hệ động lực sinh (2.1) Giống trường hợp mơ hình (0.1), ta xây dựng hàm Lyapunov cho hệ động lực (S(t), K, X) 2.2.2 Hàm Lyapunov Đặt ϕ = f u − hv, ∂ϕ = ∂t = ∂u ∂v −h ∂t ∂t   f β δ (w − w∗ )+ − γ(v)u − f u − hϕ f = f β δ (w − w∗ )+ − f ( f u − hv) − f hv − γ(v)( f u − hv) − γ(v)hv − hϕ = f β δ (w − w∗ )+ − [γ(v) + f + h] ϕ − h [γ(v) + f ] v Nhân hai vế đẳng thức với ϕ ta (lưu ý: ϕ = ∂v ∂t ) ∂ϕ ϕ = f β δ (w − w∗ )+ ϕ − [γ(v) + f + h] ϕ − h [γ(v) + f ] vϕ, ∂t 43 suy   2   ∂v ∂v ∂v − [γ(v) + f + h] − h [γ(v) + f ] v ∂t ∂t ∂t    2 Z ∂v ∂v d v = f β δ (w − w∗ )+ − [γ(v) + f + h] −h [γ(v) + f ] dv ∂t ∂t dt d ϕ = f β δ (w − w∗ )+ dt Đặt Γ(v) = Rv  [γ(v) + f ] dv lấy tích phân Ω ta d dt d ϕ dx + h dt Ω Z Z Γ(v)dx − f β δ Ω Z Ω  ∂v = − [γ(v) + f + h] ∂t Ω Z  (w − w∗ )+  ∂v dx ∂t 2 Bên cạnh đó, nhân hai vế phương trình thứ ba (2.1) với lấy tích phân R2 ta Z R2 (2.17) dx ∂ ∂t (w − w∗ )+ Z ∂ ∂ ∂ (w − w∗ ) (w − w∗ )+ dx = d ∆ (w − w∗ ) (w − w∗ )+ dx ∂t ∂t ∂t R2 Z Z ∂ ∂ −β (w − w∗ ) (w − w∗ )+ dx − β w∗ (w − w∗ )+ dx ∂t R2 R2 ∂t Z ∂ +α ve (w − w∗ )+ dx R2 ∂t Vì nên d d dt Z  Z 2 β d d ∇(w − w∗ )