BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HàNội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mãsố: 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang HàNội – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi với hướng dẫn khoa học GS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang Những kết trình bày Luận án mới, trung thực chưa công bố cơng trình khác Các kết thực nghiệm kiểm tra chương trình tơi thiết kế thử nghiệm mơi trường MATLAB, số liệu hồn tồn trung thực Các kết công bố chung cán hướng dẫn đồng tác giả cho phép sử dụng Luận án Nghiên cứu sinh Nguyễn Thanh Hường i LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS TS Đặng Quang Á TS Vũ Vinh Quang Trong suốt trình học tập, nghiên cứu thực Luận án, Thầy kiên nhẫn, tận tình bảo, dìu dắt giúp đỡ em Chính niềm say mê khoa học, nghiêm khắc khoa học với quan tâm, động viên khích lệ Thầy động lực khiến em không ngừng nỗ lực, cố gắng vượt qua khó khăn, vất vả để hồn thành Luận án Em xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ thành viên nhóm Seminar khoa học Phịng Phương pháp Tốn học Cơng nghệ thông tin, Viện Công nghệ Thông tin cán nghiên cứu Những ý kiến nhận xét đóng góp vơ q báu buổi báo cáo thảo luận giúp em hoàn thành tốt Luận án Em xin chân thành cảm ơn sở đào tạo - Viện Công nghệ Thông tin Học viện Khoa học Công nghệ Quý Viện Học viện tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt q trình học tập nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, bạn bè đồng nghiệp, gia đình người thân ln đồng hành, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận án Xin chân thành cảm ơn! ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu Tập số thực Tập số thực không âm Tập số phức Không gian Euclide K chiều Khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục [a, b] C([0, ∞)) Không gian hàm liên tục [0, ∞) C(R) Không gian hàm liên tục R C([0, 1] × R) Khơng gian hàm liên tục [0, 1] × R C([a, b], K) Khơng gian hàm liên tục f : [a, b] → K C([a, b] × R4 , R) Khơng gian hàm liên tục f : [a, b] × R4 → R Ω Miền giới nội Γ Biên miền Ω Ω Bao đóng miền Ω C(Ω) Khơng gian hàm liên tục Ω C(Ω × R) Khơng gian hàm liên tục Ω × R C (Ω × R, R) Không gian hàm f : Ω × R → R có đạo hàm riêng cấp liên tục Ω × R C (Ω) Khơng gian hàm có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục Ω ∞ C (Γ) Không gian hàm khả vi vô hạn Γ ∞ C (Ω × R × R) Khơng gian hàm khả vi vơ hạn Ω × R × R ∆, ∆2 , ∇ Toán tử Laplace, toán tử song điều hịa, tốn tử Gradient q L (Ω) Khơng gian hàm khả tích bậc q Ω ∞ L (Ω) Không gian hàm bị chặn hầu khắp nơi Ω kxk Chuẩn phần tử x kxk2 Chuẩn không gian L2 phần tử x H (Ω) Khơng gian Sobolev hàm có đạo hàm suy rộng cấp hai thuộc L2 (Ω) H01 (Ω) Không gian Sobolev hàm triệt tiêu biên Ω, có đạo hàm suy rộng cấp thuộc L2 (Ω) O(h) Vô bé bậc cao h R R+ C RK C k [a, b] iii Danh sách hình vẽ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ 3.1 Đồ thị sai số e(m) Phương pháp DIM2 (trái) phương pháp nhanh Wang (phải) Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 2π Đồ thị sai số e(m) Phương pháp DIM2 (trái) phương pháp nhanh Wang (phải) Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 12π Đồ thị sai số e(m) Phương pháp DIM2 (trái) phương pháp nhanh Wang (phải) Ví dụ 3.2 với k = 0.1 Đồ thị sai số e(m) Phương pháp DIM2 (trái) phương pháp nhanh Wang (phải) Ví dụ 3.2 với k = 0.4 Đồ thị sai số e(m) tỉ số r(m) Ví dụ 3.3 3.2 3.3 3.4 3.5 thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị e(K) Ví dụ 2.1 r(K) Ví dụ 2.1 e(K) Ví dụ 2.2 r(K) Ví dụ 2.2 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.1.2 e(K) Ví dụ 2.3 r(K) Ví dụ 2.3 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.3 e(K) Ví dụ 2.4 e(K) Ví dụ 2.5 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.5 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.6 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.7 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.10 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.11 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.15 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.16 e(K) Ví dụ 2.17 e(K) Ví dụ 2.18 e(K) Ví dụ 2.19 e(K) Ví dụ 2.20 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.20 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 iv 46 47 48 48 49 49 50 50 59 61 61 63 64 66 69 75 76 84 86 86 87 87 111 111 112 113 113 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ Đồ thị thị thị thị thị thị thị thị thị thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.3 sai số e(m) tỉ số r(m) Ví dụ nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.4 e(m) Ví dụ 3.5 e(m) Ví dụ 3.6 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.6 e(m) Ví dụ 3.7 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.7 e(m) Ví dụ 3.8 nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.8 v 3.4 114 114 114 123 124 124 124 125 126 126 Danh sách bảng 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự Sự hội hội hội hội hội hội hội hội hội hội hội hội hội tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ tụ trong trong trong trong trong trong Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví Ví dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ dụ 2.1 2.4 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 2.14 với xấp xỉ đầu v0 = 2.15 với xấp xỉ đầu v0 = 2.16 với xấp xỉ đầu v0 = 2.17 2.21 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 2.22 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 2.23 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 2.24 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 2.25 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Sự Sự Sự Sự Sự Sự hội hội hội hội hội hội tụ tụ tụ tụ tụ tụ phương pháp lặp Ví dụ 3.1 phương pháp lặp Ví dụ 3.2 Ví dụ 3.5 Ví dụ 3.6 Ví dụ 3.7 Ví dụ 3.8 vi 46 59 73 74 74 75 75 84 95 96 96 97 98 lưới 65 × 65 nút110 112 122 123 125 125 Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu iii Mở đầu Chương Kiến thức bổ trợ 11 1.1 Một số định lý điểm bất động 1.1.1 Giới thiệu chung 1.1.2 Định lý điểm bất động Schauder 1.1.3 Định lý điểm bất động Banach 11 11 12 14 1.2 Hàm Green số toán 16 1.3 Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao 1.3.1 Đạo hàm số 1.3.2 Tích phân số 21 21 22 1.4 Lược đồ sai phân với độ xác cấp bốn cho phương trình Poisson 24 1.5 Phương pháp giải hệ phương trình lưới 1.5.1 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm 1.5.2 Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc ba điểm 26 26 tơ 29 Chương Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn 34 2.1 Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương 2.1.1 Trường hợp điều kiện biên tổ hợp 2.1.2 Trường hợp điều kiện biên Dirichlet 2.1.3 Trường hợp điều kiện biên phi tuyến 35 35 50 68 2.2 Bài tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn không địa phương 76 2.2.1 Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản 76 2.2.2 Trường hợp điều kiện biên phi tuyến 88 vii Chương Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải toán biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 100 3.1 Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hịa 3.1.1 Sự tồn nghiệm 3.1.2 Phương pháp giải ví dụ số 100 102 106 3.2 Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hịa loại Kirchhoff 115 3.2.1 Sự tồn nghiệm 117 3.2.2 Phương pháp giải ví dụ số 120 Kết luận chung 128 Danh mục cơng trình công bố Luận án 129 Tài liệu tham khảo 130 viii L c c |M (ky2 k2 ) − M (ky1 k2 )|kv2 k ≤ λM kϕ2 k c ky2 k2 − ky1 k2 L2 ≤ λM R, c (ky2 k2 + ky1 k2 ) ky2 k2 − ky1 k2 √ 83 √ LL R ky2 k2 + ky1 k2 ≤ L (ky2 k + ky1 k) ≤ , 12 √ √ LL |ky2 k2 − ky1 k2 | ≤ ky2 − y1 k2 ≤ Lky2 − y1 k ≤ kϕ2 − ϕ1 k 24 Kết hợp (2.2.28)-(2.2.30) (2.2.24)-(2.2.27) ta thu λM cR L 2 c c |M (ky2 k2 ) − M (ky1 k2 )|kv2 k ≤ kϕ2 − ϕ1 k 2304 81 (2.2.27) (2.2.28) (2.2.29) (2.2.30) Do ||Aϕ2 − Aϕ1 || ≤ qkϕ2 − ϕ1 k, với số q < xác định (2.2.17) Ta có điều cần chứng minh Định lý 2.13 Giả sử tất điều kiện Bổ đề 2.4 thỏa mãn Khi tốn (2.2.1) có nghiệm u kuk ≤ 5L4 R, 384 ku0 k ≤ L3 R, 24 ku00 k ≤ L2 R, ku000 k ≤ L R Chứng minh Theo Bổ đề 2.4, A tốn tử co hình cầu đóng B[O, R] Do phương trình ϕ = Aϕ có nghiệm ϕ với kϕk ≤ R Điều hàm ý tốn (2.2.1) có nghiệm u xác định từ (2.2.10), (2.2.11) ứng với hàm ϕ tìm Các đánh giá u, u0 , u00 , u000 suy từ (2.2.22) 2.2.1.2 Phương pháp lặp ví dụ số Phương pháp lặp tìm điểm bất động tốn tử A phương pháp lặp giải toán (2.2.1) đề xuất sau: Phương pháp lặp 2.2.1 i) Cho xấp xỉ đầu ϕ0 (x), chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0, 0, 0) ii) Biết ϕk (x) (k = 0, 1, 2, ) giải liên tiếp hai toán ( vk00 (x) = ϕk (x), < x < L, vk (0) = vk (L) = 0, ( u00k (x) = vk (x), < x < L, uk (0) = uk (L) = (2.2.31) (2.2.32) (2.2.33) iii) Cập nhật c(ku0k k22 )u00k (x) + f (x, uk (x), u0k (x), u00k (x), u000 ϕk+1 (x) = M k (x)) Đặt pk = (2.2.34) qk kϕ1 − ϕ0 k Ta có định lý sau: 1−q Định lý 2.14 Với giả thiết Bổ đề 2.4, Phương pháp lặp 2.2.1 hội tụ ta có đánh giá 5L4 L3 0 kuk − uk ≤ pk , kuk − u k ≤ pk , 384 24 L2 L 00 00 000 kuk − u k ≤ pk , ku000 pk , k −u k≤ u nghiệm toán (2.2.1) 82 Chứng minh Từ hội tụ phương pháp lặp tìm điểm bất động toán tử co A với xấp xỉ đầu ϕ0 (x) ∈ B[O, R] ước lượng dạng (2.2.23) ta thu điều cần phải chứng minh Để thử nghiệm số, ta sử dụng lược đồ sai phân với độ xác cấp hai giải tốn (2.2.32), (2.2.33), sử dụng công thức xấp xỉ đạo hàm cấp với độ xác cấp hai xấp xỉ tích phân cơng thức hình thang lưới ω h = {xi = ih, i = 0, 1, , N } với bước lưới h = L/N Ta sử dụng chuẩn lưới kukωh = maxxi ∈ωh |u(xi )| Trong tất bảng số liệu tính tốn đây, u nghiệm toán, N số khoảng chia lưới, K số lần lặp, eu(K) = kuK − ukωh , e(K) = kuK − uK−1 kωh Quá trình lặp dừng e(K) ≤ 10−14 Ví dụ 2.17 Xét tốn c(ku0 k2 )u00 (x) + (u(x)u000 (x) − u0 (x)u00 (x)) u(4) (x) − M π = π4 + sin πx, < x < 1, 24 u(0) = u(1) = 0, (2.2.35) u00 (0) = u00 (1) = 0, s 12π Nghiệm toán c(s) = M u(x) = sin πx, Ta có ≤ x ≤ π2 f (x, u, y, v, z) = π + sin πx + (uz − yv) 24 Trong miền n 5R R R Ro ; |y| ≤ ; |v| ≤ ; |z| ≤ DR = (x, u, y, v, z) | ≤ x ≤ 1; |u| ≤ , 384 24 ta có đánh giá |f (x, u, y, v, z)| ≤ 98 + 5R R R R 9R2 + = 98 + 384 24 6144 R2 Do điều kiện (2.2.14) Bổ đề 2.4 thỏa mãn với R = 128, m = 6912π |fu0 | = |z| R ≤ , 16 |fy0 | = |v| R ≤ , 64 |fv0 | = 83 |y| R ≤ , 192 |fz0 | = |u| 5R ≤ , 3072 10 −2 10 −4 10 −6 error−axis 10 −8 10 −10 10 −12 10 −14 10 −16 10 K−axis Hình 2.18: Đồ thị e(K) Ví dụ 2.17 tồn miền D128 Ta chọn K1 = 8, K3 = , K2 = 2, Mặt khác λM c = , 12π K4 = 24 m ≈ 0.24 Khi q = K1 1 m λ cR + K2 + K3 + K4 + + M ≈ 0.465 < 384 24 8 2304 Như tất điều kiện Bổ đề 2.4 thỏa mãn Theo Định lý 2.13 Định lý 2.14, tốn (2.2.35) có nghiệm phương pháp lặp (2.2.31)-(2.2.34) hội tụ Bảng 2.8 thể rõ hội tụ nhanh phương pháp lặp Chú ý hội tụ phương pháp không phụ thuộc vào cỡ lưới Hình 2.18 cho ta đồ thị sai số e(K) Ví dụ 2.17 Bảng 2.8: Sự hội tụ Ví dụ 2.17 N K eu(K) e(K) 30 50 100 900 9 9 0.0018 6.5618e-4 1.6408e-4 2.0264e-6 6.6613e-16 2.2204e-16 4.4409e-16 3.3307e-16 Ví dụ 2.18 Xét toán u(4) (x) − 2u00 (x) = π + 2π − sin πx − sin2 πx sin πx + (u(x))2 + (u(x))3 , u(0) = u(1) = 0, < x < 1, u00 (0) = u00 (1) = (2.2.36) 84 Nghiệm toán u(x) = sin πx, ≤ x ≤ Trong miền n 5R R R Ro DR = (x, u, y, v, z) | ≤ x ≤ 1; |u| ≤ ; |y| ≤ ; |v| ≤ ; |z| ≤ , 384 24 hàm f (x, u, y, v, z) = π + 2π − sin πx − sin πx sin πx + u2 + u3 2 thỏa mãn đánh giá sau |f (x, u, y, v, z)| ≤ 118 + 5R 2 384 + 5R 3 384 Ngoài ra, đạo hàm riêng fy0 , fv0 , fz0 f |fu0 | 2 5R 5R = 2|u| + 3u ≤ +3 192 384 DR Do đó, với R = 200, m = 2, K1 = 19625 , 768 K2 = K3 = K4 = ý λM c = ta suy miền D200 , q = K1 1 m λ cR + K2 + K3 + K4 + + M ≈ 0.583 < 384 24 8 2304 Theo Định lý 2.13, Định lý 2.14, toán (2.2.36) có nghiệm phương pháp lặp (2.2.31)-(2.2.34) hội tụ Thử nghiệm số cho thấy tiêu chuẩn dừng lặp thỏa mãn sau 19 lần lặp hội tụ phương pháp lặp không phụ thuộc vào bước lưới Đồ thị sai số e(K) cho Hình 2.19 Nhận xét 2.2 Vế phải phương trình (2.2.36) khơng thỏa mãn điều kiện (2.2.2) Do phương pháp sử dụng cơng trình [7] khơng suy tồn nghiệm toán (2.2.36) Ví dụ 2.19 Xét tốn (4) u (x) − c(ku0 k2 )u00 (x) M + u(x) + (u(x))2 , u(0) = u(1) = 0, = π4 π + − sin πx − sin πx 48 < x < 1, u00 (0) = u00 (1) = 0, 85 (2.2.37) c(s) = s M 24 Nghiệm toán u(x) = sin πx, ≤ x ≤ Tương tự ví dụ trên, ta chọn R = 128, m ≈ 1.2 hệ số Lipschitz 13 , K2 = K3 = K4 = 0, λM Khi q ≈ 0.466 < Do tốn K1 = c = 24 (2.2.37) có nghiệm phương pháp lặp hội tụ Thử nghiệm số cho thấy tiêu chuẩn dừng lặp thỏa mãn sau 10 lần lặp hội tụ phương pháp lặp không phụ thuộc vào bước lưới Đồ thị sai số e(K) cho Hình 2.20 Nhận xét 2.3 Vế phải phương trình (2.2.37) khơng thỏa mãn điều kiện (2.2.3) Do đó, phương pháp [7] không kết luận tồn nghiệm toán (2.2.37) 10 error−axis 10 −5 10 −10 10 −15 10 10 K−axis 15 20 Hình 2.19: Đồ thị e(K) Ví dụ 2.18 10 −5 error−axis 10 −10 10 −15 10 K−axis Hình 2.20: Đồ thị e(K) Ví dụ 2.19 86 10 10 −5 error−axis 10 −10 10 −15 10 K−axis 10 12 Hình 2.21: Đồ thị e(K) Ví dụ 2.20 0.018 0.016 0.014 u−axis 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x−axis Hình 2.22: Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.20 Ví dụ 2.20 Xét toán c(ku0 k2 )u00 (x) = x3 + x4 + u(x) + eu0 (x) u(4) (x) − M 1 + (u00 (x)) + sin u000 (x), < x < 1, u(0) = u(1) = 0, u00 (0) = u00 (1) = 0, c(s) = s + Trong ví dụ này, nghiệm xác tốn khơng M biết Mặc dù vậy, với cách làm tương tự ví dụ trước, ta thiết lập tồn nghiệm toán miền D12 phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ Tiêu chuẩn dừng lặp thỏa mãn sau 12 lần lặp Đồ thị nghiệm xấp xỉ đồ thị sai số e(K) tương ứng cho Hình 2.22, Hình 2.21 Như cơng trình [A2], chúng tơi đề xuất phương pháp nghiên cứu tính giải tốn biên cho phương trình vi phân cấp bốn không 87