ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THU THỦY QUAN HỆ HAI NGÔI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC [.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ THU THỦY QUAN HỆ HAI NGƠI VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - BÙI THỊ THU THỦY QUAN HỆ HAI NGÔI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Nguyên An THÁI NGUYÊN - 2019 Möc löc Mð ¦u Chữỡng Kián thùc chu©n bà 1.1 Quan h» hai ngæi 1.2 Ôi sè tê hñp Ch÷ìng Quan h» hai ngæi v mët sè b i to¡n 15 2.1 ¸m mët sè quan h» hai ngỉi °c bi»t 2.2 nh xÔ v mởt sè b i to¡n li¶n quan 2.3 PhƠn hoÔch, số Stirling loÔi hai 2.4 ám số quan hằ tữỡng ữỡng v quan h» hai ngỉi bc c¦u 15 23 27 32 Kát luên 39 T i li»u tham kh£o 39 i Mð Ưu Cho A, B l cĂc têp hủp Mởt quan hằ hai ngổi tứ têp A án têp B l mởt têp cừa têp tẵch à cĂc A ì B °c bi»t, mët quan h» hai ngæi tø A án A ữủc gồi l mởt quan hằ hai ngổi trản A Náu R l mởt quan hằ hai ngổi trản têp A v (a, b) R thẳ ta k½ hi»u aRb ( åc l a câ quan h» R vợi b) Quan hằ hai ngổi xuĐt hiằn nhiÃu ngnh khĂc cừa toĂn hồc: Ôi số, Số hồc, Hẳnh hồc, Lỵ thuyát ỗ th, Khoa hồc mĂy tẵnh, Mởt trữớng hủp c biằt cừa quan hằ hai ngổi CĂc quan hằ hai ngổi in hẳnh chữỡng trẳnh phờ thổng l "quan hằ chia hát", "quan hằ ỗng dữ", "quan hằ lợn hỡn", "quan hằ song song", hm số, Ta thữớng quan tƠm án cĂc tẵnh chĐt sau cừa quan hằ hai ngổi phÊn xÔ (reflexive), ối xựng (symmetric), bưc cƯu (transitive), bĐt ối xựng (asymmetric), phÊn ối xựng (antisymmetric), bĐt phÊn xÔ (irreflexive) Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn l tẳm hiu mởt số bi toĂn tê hđp v· quan h» hai ngỉi T i li»u ch½nh cừa luên vôn l giÊi mởt số bi têp [7], [2] v bi bĂo [6] Luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng Chữỡng trẳnh by mởt số kián thực chuân b và lỵ thuyát quan hằ hai ngổi, quan hằ tữỡng ữỡng, quan hằ thự tỹ, Ănh xÔ v m Ưu và lỵ thuyát tờ hủp Tuy l kián thực chuân b cho Chữỡng ối vợi tĂc giÊ nhiÃu kián thực cừa chữỡng l kián thực mỵi v câ nhi·u ùng dưng gi£i to¡n phê thổng Chữỡng ny chừ yáu tham khÊo theo cĂc ti li»u [1, 2] Ch÷ìng theo t i li»u [6, 7] l chữỡng chẵnh cừa luên vôn trẳnh by và mởt số bi toĂn liản quan án quan hằ hai ngổi Bưt Ưu l bi toĂn ám mởt số quan hằ hai ngổi c biằt Cụng cƯn phÊi nõi thảm rơng quan h» hai ngỉi xu§t ph¡t tø nhúng v§n · toĂn sỡ cĐp nhữ "lỵ thuyát chia hát", "lỵ thuyát ỗng dữ" vẳ khuổn khờ cừa luên vôn t¡c gi£ ch¿ khai th¡c mët sè b i to¡n cĐp liản quan án bi toĂn tờ hủp Mởt lữu ỵ cừa luên vôn l tĂc giÊ cố gưng tẳm hiu nhiÃu cĂch giÊi, cĂch tiáp cên khĂc cừa mởt bi toĂn, mởt vĐn à ám quan hằ hai ngổi l Ănh xÔ v cĂc trữớng hủp c biằt ( ỡn Ănh, song Ănh, ton Ănh) ữủc trẳnh by mửc thự hai cừa chữỡng Viằc nghiản cựu số ton Ănh gủi ỵ cho ta tẳm hiu số Stirling loÔi hai v bi toĂn ám số phƠn hoÔch mởt têp hủp VĐn à ny ữủc trẳnh by mửc thự ba cừa chữỡng Mửc cuối cừa chữỡng tẳm hiu số quan hằ tữỡng ữỡng, số quan hằ bưc cƯu (liản hằ vợi quan hằ thự tỹ) theo bi bĂo [6] Chú ỵ rơng số quan hằ tữỡng ữỡng trản têp n phƯn tỷ chẵnh l số phƠn hoÔch, số Bell thự n Trong quĂ trẳnh lm luên vôn, tổi nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù tên tẳnh cừa TS TrƯn Nguyản An - Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản Tổi xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh án quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc khõa Cao hồc ToĂn khõa 11B (2017-2019) - trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản,  truyÃn thử án cho tổi nhiÃu kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu khoa hồc Lới ci cịng, t¡c gi£ mn d nh º tri ¥n bè mà v gia ẳnh vẳ  chia s nhỳng khõ khôn tĂc giÊ hon thnh cổng viằc hồc têp cừa mẳnh ThĂi Nguyản, ngy 28 thĂng 10 nôm 2019 TĂc giÊ Bũi Th Thu Thừy Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Quan hằ hai ngổi nh nghắa 1.1.1 Mởt quan hằ hai ngổi tứ têp A án têp B l mởt têp cừa têp tẵch à c¡c A × B °c bi»t, mët quan h» hai ngổi tứ A án A ữủc gồi l mởt quan h» hai ngỉi tr¶n A Nâi c¡ch kh¡c, mët quan hằ hai ngổi trản mởt têp A l mởt têp cừa têp A2 Ta thữớng kẵ hiằu cĂc quan h» hai ngỉi b¬ng c¡c c¡i R (hay S, T, U, V, ) N¸u R l mởt quan hằ hai ngổi trản têp A v (a, b) R thẳ ta kẵ hiằu aRb ( ồc l a câ quan h» R vỵi b, ho°c nâi tt l a R b) Khi (a, b) ∈ / R thẳ ta viát aRb ( ồc l a khổng cõ quan hằ R vợi b) Ta thữớng quan tƠm án cĂc tẵnh chĐt sau cừa quan hằ hai ngổi nh nghắa 1.1.2 Gi£ sû R ⊆ A × A l quan h» hai ngỉi Quan h» hai ngỉi R ÷đc gåi l (i) PhÊn xÔ (reflexive) náu a A, ((a, a) ∈ R); (ii) èi xùng (symmetric) n¸u ∀a, b ∈ A, ((a, b) ∈ R th¼ (b, a) ∈ R); (iii) Bưc cƯu (transitive) náu a, b, c A, ((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R thẳ (a, c) R); (iv) BĐt ối xựng (asymmetric) náu a, b A, ((a, b) R thẳ (b, a) ∈/ R); (v) Ph£n èi xùng (antisymmetric) n¸u ∀a, b ∈ A, [((a, b) ∈ R∧(b, a) ∈ R) thẳ a = b]; (vi) BĐt phÊn xÔ (irreflexive) náu a A, ((a, a) / R) Vẵ dử 1.1.3 Cho A = {1, 2, 3} X²t c¡c quan h» R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}, R2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3)}, R3 = A × A, R4 = {(2, 2), (3, 3), (1, 2)} Ta R1 R2 R3 R4 PhÊn xÔ T F T F èi xùng T F T F Bc c¦u T T T T cõ vợi T kỵ hiằu True, F kỵ hiằu False Vẵ dử 1.1.4 Cho A = {1, 2, 3, 4} X²t c¡c quan h» R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (4, 3), (3, 2)}, R2 = A × A, R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (4, 3), (4, 1), (3, 2)}, R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)} PX X P X X BPX BC R1 R2 R4 R5 F T T T F T T T F F F F T F T F F F F F F T T T Chú ỵ ta viát tưt: PX = PhÊn xÔ, X = ối xựng, P X = PhÊn ối xựng, BPX = BĐt phÊn xÔ, BC = Bưc cƯu nh nghắa 1.1.5 (i) Mởt quan hằ hai ngổi trản têp A ữủc gồi l quan hằ tữỡng ữỡng náu nõ cõ cĂc tẵnh chĐt phÊn xÔ, ối xùng v bc c¦u Theo truy·n thèng, c¡c quan h» tữỡng ữỡng thữớng ữủc kẵ hiằu bi dĐu (ii) Cho l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản têp A Vợi mội a A, ta gồi lợp tữỡng ữỡng cừa a ối vợi quan hằ tữỡng ữỡng ∼, k½ hi»u bði [a]∼ (hay [a], hay a, hay C(a)), õ l mởt têp cừa A ữủc xĂc ành bði [a] = {b ∈ A | b ∼ a} ỗng thới, têp hủp tĐt cÊ cĂc lợp tữỡng ữỡng cừa cĂc phƯn tỷ A ữủc gồi l têp thữỡng cừa A theo quan hằ tữỡng ữỡng , v ữủc kẵ hiằu l A/ Nhữ vêy, ta câ biºu di¹n A/ ∼ = {[a] | a ∈ A} V½ dư 1.1.6 Cho m l mët sè tỹ nhiản lợn hỡn Trản têp Z cĂc số nguyản ta nh nghắa quan hằ hai ngổi R nhữ sau: vỵi måi a, b ∈ Z, ta nâi aRb ⇔ m|(a − b) Quan h» n y ÷đc gåi l quan hằ ỗng theo mổ un m (hay cỏn gồi l quan hằ ỗng modulo m) Khi a ỗng b theo mổ un m, ta thữớng kẵ hiằu l a ≡ b (mod m) Ta th§y â l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản têp Z Vợi a Z, lợp tữỡng ữỡng cừa a ữủc kẵ hiằu bi a, v ữủc gồi l mởt lợp thng theo mổ un m vợi Ôi diằn l a Têp thữỡng cừa Z ối vợi quan hằ ỗng modulo m ữủc kẵ hiằu bi Zm v ữủc gồi l têp cĂc lợp thng theo mổ un m (hay têp hủp cĂc lợp thng modulo m) Cho a Z, â ta câ a = {b ∈ Z | b ≡ a (mod m)} = {b ∈ Z | b a chia hát cho m} Vợi mội a Z  cho, ta luổn cõ biu diạn a = mq+r â ≤ r ≤ m−1 (theo nh lỵ php chia vợi dữ) Khi õ b a = b − mq − r, n¶n ta câ a = {b ∈ Z | b−mq−r chia h¸t cho m} = {b ∈ Z | b−r chia h¸t cho m} = r Hỡn nỳa, vợi mồi số tỹ nhiản i, j cho ≤ i < j ≤ m − ta luæn câ < j − i < m nản j i khổng chia hát cho m Do â i 6≡ j (mod m), n¶n i 6= j Vẳ thá têp Zm gỗm m phƯn tû ỉi mët kh¡c nh÷ sau: Zm = {0, 1, , m 1} Chú ỵ rơng náu a = mq + r thẳ a = r Vẳ thá vợi q1, , qm l m số nguyản tuý ỵ ta luổn cõ Zm = {q1 m, q2 m + 1, , qm m + m 1} Chng hÔn Z3 = {0, 1, 2} = {6, 2, 8} nh lỵ dữợi Ơy cho ta ỵ nghắa cừa cĂc quan hằ tữỡng ữỡng Trữợc phĂt biu nh lỵ, cƯn khĂi niằm sau nh nghắa 1.1.7 Cho A l mởt têp hủp Ta gồi mởt phƠn hoÔch (hay mởt sỹ chia lợp) trản A l mởt php phƠn chia tªp A th nh mët hå c¡c tªp kh¡c réng {Ai}i∈I tho£ m¢n c¡c i·u ki»n: (i) Ai ∩ Aj = ∅ vỵi måi i, j ∈ I, i 6= j S (ii) A = Ai iI nh lỵ 1.1.8 Cho A l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản tªp A Khi â c¡c ph¡t biºu sau l óng (i) [a] 6= ∅ vỵi måi a ∈ A S (ii) A = [a] a∈A (iii) [a] = [b] ho°c [a] ∩ [b] = ∅ vỵi måi a, b ∈ A Vẳ thá quan hằ tữỡng ữỡng xĂc nh mởt phƠn hoÔch trản A Ngữủc lÔi, náu {Ai}iI l mởt phƠn hoÔch trản A thẳ tỗn tÔi nhĐt mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản A cho mội Ai l mởt lợp tữỡng ữỡng nh nghắa 1.1.9 (i) Mởt quan hằ hai ngổi trản mởt têp hủp ữủc gåi l quan h» thù tü n¸u nâ câ c¡c tẵnh chĐt phÊn xÔ, phÊn ối xựng, v bưc cƯu Quan hằ thự tỹ thữớng ữủc kẵ hiằu bi dĐu "≤" ( åc l "nhä hìn ho°c b¬ng") Khi a ≤ b thẳ ta cụng viát b a (ii) Khi trản mởt têp hủp A cõ mởt quan hằ thự tỹ thẳ ta nõi A l mởt têp hủp ữủc sưp thự tỹ bi Vẵ dử (i) Quan hằ nhọ hỡn hoc bơng thổng thữớng (ta  biát phờ thổng) l quan hằ thự tỹ trản cĂc têp N, Z, Q, v R (ii) Quan hằ bao hm trản têp 2A (têp tĐt cÊ c¡c tªp cõa A) l mët quan h» thù tỹ (iii) Quan hằ chia hát "|" trản têp N = N \ {0} l mët quan h» thù tü (iv) Xt A l têp tũy ỵ cừa têp N Khi õ quan hằ chia hát "|" trản têp A cơng l mët quan h» thù tü tr¶n A Mưc ci giỵi thi»u lỵp quan h» hai ngỉi °c biằt l Ănh xÔ nh nghắa 1.1.10 Cho R l quan h» ngỉi tø A ¸n B Khi õ miÃn xĂc nh cừa R (domain of R), kỵ hiằu D(R) ữủc nh nghắa l têp {x|x A; ∃y ∈ A, (x, y) ∈ R} nh cõa R (image of R), kỵ hiằu im(R) ữủc nh nghắa l tªp {y|y ∈ B, ∃x ∈ A, (x, y) ∈ R} V½ dư 1.1.11 Cho A = {4, 5, 7, 8, 9} v B = {16, 18, 20, 22}, R = {(4, 16), (4, 20), (5, 20), (8, 16), (9, 18)} Khi â R l quan h» ngæi tø A ¸n B , D(R) = {4, 5, 8, 9}, im(R) = {16, 18, 20} ành ngh¾a 1.1.12 (i) Cho A, B l c¡c tªp kh¡c réng Mët quan hằ hai ngổi f tứ A án B ữủc gồi l mởt Ănh xÔ náu (1) D(f ) = A (tùc l ∀a ∈ A, ∃b ∈ B, (a, b) ∈ f ), (2) Vỵi måi (a, b), (a, b) ∈ f, a = a k²o theo b = b Mởt cĂch tữỡng ữỡng mởt Ănh xÔ f tứ têp A án têp B l mởt quy tưc cho tữỡng ựng mội phƯn tỷ a A vợi mởt phƯn tỷ nhĐt b B Khi õ ta viát f (a) = b, ta gåi b gåi l £nh cừa phƯn tỷ a bi Ănh xÔ f ; v ta gồi a l mởt tÔo Ênh cừa phƯn tỷ b Têp A ữủc gồi l têp nguỗn, têp B gồi l têp ẵch cừa Ănh xÔ f diạn tÊ Ănh xÔ f nhữ trản ngữới ta kẵ hi»u: f A→ − B, a 7→ f (a) = b, ho°c f : A → B, a 7→ f (a) = b, ho°c f :A→B a 7−→ f (a) = b (ii) Ta quy ữợc rơng cõ mởt Ănh xÔ rộng tứ têp án têp B bĐt kẳ (iii) Cho Ănh xÔ f : A B, a 7→ f (a) Ta gåi tªp hđp G(f ) cõa A × B x¡c ành bði G(f ) = {(a, f (a)) | a A} l ỗ th cừa Ănh xÔ f (iv) Hai Ănh xÔ ữủc gồi l bơng náu chúng cõ chung nguỗn, chung ẵch v chung ỗ th Nõi cĂch khĂc, cho f : A → B v g : A0 → B l hai Ănh xÔ, õ f = g n¸u A = A0, B = B v f (a) = g(a) vợi mồi a A nh nghắa 1.1.13 Cho f : A −→ B, a 7→ b = f (a) l mởt Ănh xÔ (i) f ữủc gåi l ìn ¡nh n¸u f (a) = f (a0) k²o theo a = a0 vỵi måi a, a0 ∈ A (ii) f ữủc gồi l ton Ănh náu vợi mồi b B ko theo tỗn tÔi a A º f (a) = b (iii) f ÷đc gåi l song ¡nh n¸u nâ vøa l ìn ¡nh vøa l to n ¡nh b§t ký Khi â: |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = X |Ai1 | − 1≤i1 ≤n X |Ai1 ∩ Ai2 | + 1≤i ≤i2 ≤n + (−1)k+1 X1 |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik | + 1≤i1 ≤i2 ≤ ik ≤n n+1 + (−1) |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Ain | Chùng minh Ta chùng minh cỉng thùc tr¶n bơng quy nÔp theo n Vợi n = 1, cổng thực trản hin nhiản úng Ta chựng minh rơng nõ cơng óng cho n = Ta câ: A1 = (A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 \ (A1 ∩ A2 )), A2 = (A1 ∩ A2 ) ∪ (A2 \ (A1 ∩ A2 )), A1 ∪ A2 = (A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 \ (A1 ∩ A2 )) ∪ (A1 ∩ A2 ) ∪ (A2 \ (A1 ∩ A2 )) Hđp cõa c¡c v¸ ph£i l hđp cõa c¡c têp ổi mởt rới Vẳ vêy theo quy tưc cëng, |A1 | = |A1 ∩ A2 | + |A1 \ (A1 ∩ A2 )|, |A2 | = |A1 ∩ A2 | + |A2 \ (A1 ∩ A2 )|, |A1 ∪ A2 | = |A1 ∩ A2 | + |A1 \ (A1 ∩ A2 )| + |A2 \ (A1 ∩ A2 )| Tứ ba ng thực ny ta nhên ữủc |A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1 ∩ A2| Vêy cổng thực trản úng cho trữớng hủp n = GiÊ sỷ cổng thực  ữủc chựng minh cho n = m v A1, A2, , Am, Am+1 l m + têp hỳu hÔn bĐt ký  cho Vẳ cổng thực  ữủc chựng minh cho n = n¶n |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am ∪ Am+1 | = |(A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am ) ∪ Am+1 | = |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am | + |Am+1 | − |(A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am ) ∩ Am+1 | X X = |Ai1 | − |Ai1 ∩ Ai2 | + 1≤i1 ≤m + (−1)k+1 + 1≤i1 ≤i2 ≤m X |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik | + 1≤i1 ≤i2 ≤ ik ≤m m+1 (−1) |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aim | + |Am+1 | − |(A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am ) ∩ Am+1 | Tø hai ¯ng thùc tr¶n suy cỉng thùc nh lỵ 2.2.5 cụng úng cho n = m + 26 nh lỵ 2.2.6 (Số ton Ănh) GiÊ sỷ A, B l cĂc têp hỳu hÔn vợi |A| = n v |B| = k Khi â, sè t§t c£ c¡c to n ¡nh f : A −→ B b¬ng k!S(n, k), â k X k k−j (−1) j n S(n, k) = j k! j=0 Chựng minh Gồi X l têp tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ f : A B = {m1, , mk }, Xi = {f ∈ X | mi ∈ / f (A)}, i = 1, , k Theo nguy¶n lỵ bũ trứ, số cĂc hm ton Ănh f : A −→ B b¬ng: |X \ (X1 ∪ ∪ Xk )| = |X| − |X1 ∪ ∪ Xk | X X = |X| − ( |Xi1 | − |Xi1 ∩ Xi2 | + 1≤i1 ≤n (−1)k+1 |X1 ∩ 1≤i1 ≤i2 ≤n X2 ∩ ∩ Xk |) k k n n =k − (k − 1) + (k − 2)n − k k k−1 n k + (−1) + (−1) 0n k−1 k k X k i = (−1) (k − i)n i i=0 k X k k−j = (−1) jn k−j + j=0 = k X (−1)k−j j=0 k j j n Vẳ vêy, k!S(n, k) = k X j=0 (−1)k−j k j k X k (−1)k−j j n j n ⇔ S(n, k) = j k! j=0 2.3 PhƠn hoÔch, số Stirling loÔi hai Mửc ny giợi thiằu số Stirling loÔi hai v ựng dửng viằc ám quan h» hai ngỉi to n ¡nh ành ngh¾a 2.3.1 Sè tĐt cÊ cĂc phƠn hoÔch thnh k têp cừa mởt têp n phƯn tỷ ữủc gồi l số Strirling loÔi hai v ữủc kỵ hiằu l S(n, k) 27 Chú ỵ 2.3.2 (i) Ta quy ữợc S(n, 0) = vỵi måi n ∈ N∗, S(0, k) = vỵi måi k ∈ N∗, S(n, k) = n¸u k > n v S(0, 0) = (ii) Theo ành nghắa số Stirling loÔi hai l số cĂch phƠn phối n qu£ bâng ph¥n bi»t v o k hëp gièng m khỉng câ hëp n o réng V½ dư c¡c phƠn hoÔch cừa têp {a, b, c, d} thnh ba khèi l : {{a}, {b}, {c, d}}, {{a}, {b, c}, {d}} , {{a}, {b, d}, {c}} {{b}, {a, c}, {d}}, {{b}, {a, d}, {c}}, {{c}, {a, b}, {d}} Do â, S (4,3) = B¥y gií ta chùng minh h» thùc sau Ơy cho S(n, k) nh lỵ 2.3.3 S(n + 1, k) = kS(n, k) + S(n, k − 1) Chựng minh Xt têp bĐt ký cõ n + phƯn tỷ, chng hÔn têp A = {x1 , x2 , , xn+1 } Theo ành nghắa ta cõ S(n + 1, k) phƠn hoÔch têp A th nh k tªp M°t kh¡c ta câ thº chia têp A tĐt cÊ cĂc phƠn hoÔch trản thnh hai têp P1 v P2 rới nhữ sau: P1 bao gỗm tĐt cĂc cĂc phƠn hoÔch cừa A thnh k tªp â mët tªp l {xn+1}, cán P2 bao gỗm tĐt cÊ cĂc phƠn hoÔch cừa A thnh k tªp â khỉng tªp n o l {xn+1 } Khi õ mội phƠn hoÔch thuởc P1 s chia têp {x1, x2, , xn} th nh (k − 1) tªp v câ S(n, k − 1) c¡ch chia nhữ thá Vẳ vêy, |P1| = S(n, k 1) Náu {xn+1} khổng l mởt têp thẳ xn+1 cƯn chựa mởt têp vợi ẵt nhĐt mởt phƯn tỷ khĂc nỳa cừa A Vẳ cõ S(n, k) cĂch phƠn hoÔch tªp {x1, x2, , xn} th nh k têp v xn+1 cõ th thuởc mởt têp bĐt ký số cĂc têp õ, nản ta cõ tĐt cÊ l kS(n, k) cĂch phƠn hoÔch têp A thnh k têp cho {xn+1} khổng l mởt têp cừa phƠn hoÔch ko theo [P ] = kS(n, k) Vẳ P = P1 ∪ P2 vỵi P1 ∩ P2 = ∅ n¶n theo quy tc cëng S(n + 1, k) = |P | = |P1 | + |P2 | hay S(n + 1, k) = kS(n, k) + S(n, k − 1) Chú ỵ rơng vợi mồi n 1, S(n, 0) = 0, S(n, 1) = 1, S(n, n) = v S(n, k) = n¸u k > n Vẳ vêy ta nhên ữủc tam giĂc sau Ơy cho cĂc số Stirling loÔi hai: 28 S(1, 1) = S(2, 1) = S(2, 2) = S(3, 1) = S(3, 2) = S(3, 3) = nh lỵ 2.3.4 GiÊ sỷ A v B l hai têp hỳu hÔn vợi |A| = n v |B| = k Sè to n ¡nh f : A → B l k!S(n, k) Chùng minh Gi£ sû B = {b1, , bk } v f : A → B l mët to n ¡nh Ta ành nghắa quan hằ f trản têp A nhữ sau: a1f a2 v ch¿ f (a1) = f (a2) Dạ thĐy rơng quan hằ f l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản A Vẳ thá m cĂc lợp tữỡng ữỡng cừa f tÔo thnh mởt phƠn hoÔch cừa A Vẳ f l ton Ănh, nản phƠn hoÔch ny cõ úng k khối, tực l ta cõ th xem phƠn hoÔch õ l têp A = {A1, , Ak } vỵi c¡c Ai, i = 1, , m l c¡c khối cừa phƠn hoÔch Hỡn thá nỳa, Ănh xÔ f cÊm sinh Ănh xÔ f = A B : Ai → f (Ai) = f (ai) vỵi Ai Dạ thĐy rơng f l mởt song Ănh giỳa A v B Ngữủc lÔi, mởt phƠn hoÔch A cõa A th nh k khèi cịng vỵi mët song ¡nh f : A → B x¡c ành óng mët to n ¡nh f : A → B : 7→ f (ai) = f ([ai]) vỵi [ai] l khèi cõa phƠn hoÔch A chựa Tõm lÔi, mởt ton Ănh f : A → B câ thº coi l mët cĂch thỹc hiằn cừa mởt hnh ởng H "tÔo ton Ănh" bao gỗm hai giai oÔn H1 v H2 nhữ sau: Giai oÔn H1: TÔo mởt phƠn hoÔch A cừa A gỗm k khối Theo nh nghắa cừa số Stirling loÔi hai, ta cõ S(n, k) cĂch thỹc hiằn giai oÔn H1 Giai oÔn H2: TÔo mởt h m song ¡nh f : A → B Nh÷ ta  tẵnh bi toĂn ám tĐt cĂ cĂc ỡn Ănh, ta cõ k! cĂch thỹc hiằn giai oÔn H2 Theo nguyản lỵ nhƠn, ta cõ số cĂc ton ¡nh f : A → B vỵi |A| = n v |B| = k b¬ng k!S(n, k) Ta câ thº trẳnh by lới giÊi khĂc nhữ sau: Gồi Fnk l têp cĂc Ănh xÔ tứ A án B Ta cõ thº gi£ sû A = {1, 2, , n} Dạ thĐy, mội ton Ănh f Fn,k cho phƠn hoÔch nhĐt A = {1, 2, , n} = f −1 (1) ∪ f −1 (2) ∪ f (k) Ngữủc lÔi, mội phƠn hoÔch A = {1, 2, , n} = A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak t÷ìng ùng óng k! to n ¡nh: 29 (1) Tªp A1, chån i1 ∈ B º tªp A1 = f −1(i1) Câ óng k c¡ch chån sè nguy¶n i1 ∈ B º A1 = f −1(i1) (2) T÷ìng tü, câ óng k − c¡ch chån i2 ∈ B \ {i1} º A2 = f −1(i2) ··· (k) Câ nh§t c¡ch chån sè ik ∈ B Ak = f 1(ik ) Nhữ vêy, mội phƠn hoÔch têp A cho k! ton Ănh Vêy số cĂc ton Ănh têp Fn,k bơng k!S(n, k) Kát qu£ sau cho ta cæng thùc x¡c ành sè Stirling loÔi hai nh lỵ 2.3.5 Vợi hai số nguyản dữỡng n, k thäa m¢n ≤ k ≤ n câ k X k S(n, k) = [ (−1)k−i in ] i k! i=0 Chùng minh X²t tªp A = {a1, a2, , an} v B = {1, 2, , k} Theo nh lỵ 2.3.4, số cĂc ton Ănh tứ A lản B bơng k!S(n, k) Mt khĂc, biu diạn Ănh xÔ f : A B bi a1 a2 an f (a1 ) f (a2 ) f (an ) ta câ {f (a1 ), f (a2 ), , f (an )} = {1, 2, , k} Viát dÂy số f (a1), , f (an) nhữ mởt chnh hủp lp chêp n cừa k số Nhữ vêy, tữỡng ựng mội f vợi úng mët ch¿nh hđp l°p chªp n cõa k sè Sè chnh hủp lp ny úng bơng kn Kỵ hiằu X l têp tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ tứ A vo B v cho mội i kỵ hiằu Xi l têp cừa X gỗm tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ tứ A v o B \ {i} T Ta câ |X| = kn, |Xi| = (k − 1)n v sj=1 Xij = (k s)n Têp tĐt cÊ cĂc ton S Ănh tứ A lản B úng bơng X \ ki=1 Xi Theo Nguyản lỵ bũ trứ (xem nh lỵ 2.2.5) ta nhên ữủc n k!S(n, k) = k = |X| − | Ta câ k n (k −1) + k n (k −2) − +(−1) k k k k i (k −k)n Sk i=1 Xi | k!S(n, k) = k X i=0 i (−1) k i n (k − i) = k X i=0 30 k−1 (−1) in Hằ quÊ 2.3.6 Vợi số nguyản dữỡng n, k thäa m¢n ≤ k ≤ n câ k X k k−i ak = (−1) bi i i=0 Ta câ thº chùng minh cư thº nh÷ sau: P k °t ck = (−1)k ak Khi õ ck = i=0(1)i ki bi Kỵ hiằu ng thùc n y nh÷ sau ck = (1 − b)k v hiºu l sau khai triºn thay bi bði bi Vợi kỵ hiằu hiằu chẵnh thực, úng vợi mồi giĂ tr cừa x, cõ th viát ỗng nhĐt thực nhữ sau: (c + x)k = (−b + 1+ x)k Cho x = −1 ta câ (−1)k bk = (c − 1)k P P hay bk = (1 − c)k = ki=0(−1)i ki ci Vªy kn = ki=0 ki i!S(n, i) nh lỵ 2.3.7 kn = P S(n, i)Akn n i=0 Chùng minh Gi£ sû A v B l c¡c têp vợi |A| = n v |B| = k v F l têp tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ f : A B Kỵ hiằu Fi = {f F ||f (A)| = i} , i = 1, , k Khi â Fi ∩ Fj = ∅ n¸u i 6= j v F = F1 ∪ F2 ∪ ∪ Fk Theo nguy¶n lỵ cởng, |F | = |F1 ∪ Fk | = |F1| + + |Fk | Méi f ∈ Fi câ thº coi l mởt cĂch thỹc hiằn cừa hnh ởng H "tÔo cĂc Ănh xÔ thuởc Fi" bao gỗm hai giai oÔn H1 v H2 nhữ sau: Giai oÔn H1: TÔo cĂc têp K B lỹc lữủng i Theo ành ngh¾a cõa tê hđp, ta câ ki c¡ch thỹc hiằn H1 Giai oÔn H2: TÔo mởt ton ¡nh f : A → K Theo b i to¡n ám cĂc ton Ănh tứ mởt têp hỳu hÔn lản mởt têp hỳu hÔn, ta cõ i!S(n, i) cĂch thỹc hiằn giai oÔn H2 Theo nguyản lỵ nhƠn, |Fi | = n i k!S(n, i) = S(n, i)Aim Do â |F | = X n i i=1 S(n, i)Am 31 Theo bi toĂn ám tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ tứ mởt têp hỳu hÔn vo mởt têp hỳu hÔn, |F | = kn Chú ỵ S(n, 0) = 0, S(n, i) = n¸u i > n, Aik = náu i > k , nản ta nhên ữủc n k = |F | = S(n, 0)A0k + n X S(n, i)Aik = i=1 n X S(n, i)Aik i=1 nh lỵ hon ton ữủc chựng minh Chú ỵ 2.3.8 Trong [2] ngữới ta cụng  ữa mởt số biu diạn khĂc cho số Stirling loÔi nh÷ sau: P n n (1) S(n, k) = k!1 i + +i i , i , , i (2) S(n + 1, k) = k Pn j=0 n j k S(j, k 1) 2.4 ám số quan hằ tữỡng ữỡng v quan hằ hai ngổi bưc cƯu Mửc ny tẳm hiu số quan hằ tữỡng ữỡng, số quan hằ thự tỹ, số quan hằ bưc cƯu trản mởt têp hỳu hÔn Theo nh lỵ 1.1.8 số quan hằ tữỡng ữỡng trản mởt têp A chẵnh l số phƠn hoÔch trản A v õ chẵnh l số Bell ữủc giợi thi»u bði Eric Temple Bell v o nhúng n«m 1930 Sè Bell câ nhi·u ùng dưng tê hđp, x¡c su§t ành ngh¾a 2.4.1 Sè Bell thù n l sè c¡ch phƠn hoÔch têp n phƯn tỷ (hay nõi cĂch khĂc l số quan hằ tữỡng ữỡng trản têp n phƯn tû) Gåi sè Bn l sè Bell thù n Vỵi n = 3, v tªp S = {1, 2, 3}, ta cõ B3 = vẳ cõ cĂch phƠn hoÔch: {{1}, {2}, {3}}, {{1, 2}, {3}}, {{1, 3}, {2}}, {{1}, {2, 3}} {{1, 2, 3}} Mët v i sè Bell Ưu tiản: 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, Chú ỵ 2.4.2 Bn = S(n, 1) + S(n, 2) + + S(n, n) Ta cõ cổng thực truy hỗi sau cừa số Bell nh lỵ 2.4.3 Số Bell thọa mÂn Bn+1 n X n = Bk k k=0 32 Chựng minh Xt mởt phƠn hoÔch cừa têp S = {1, 2, , n + 1}, A1 , , Am Ta câ thº gi£ sû n + ∈ A1 v |A1| = k + 1, ≤ k ≤ n Khi â A2, , Am lêp thnh mởt phƠn hoÔch cừa têp n k phƯn tỷ cỏn lÔi cõa S , tùc l tªp S \ A1 Cõ Bnk phƠn hoÔch têp ny Vẳ vêy tờng số phƠn hoÔch cừa S m n n + mởt têp k + phƯn tỷ l Bn−k Do â k Bn+1 n X n Bn−k , = k k=0 hay Bn+1 = n X k=0 Vªy Bn+1 n n−k Bn−k n X n = Bk k k=0 Ghi chó 2.4.4 (Tam gi¡c Bell) C¡c sè Bell câ th dng tẵnh bơng cĂch xƠy dỹng tam giĂc Bell, cỏn ữủc gồi l dÂy Aitken hoc tam giĂc Peirce: Bưt Ưu vợi số mởt t số ny trản dỏng thự nhĐt TÔo mởt dỏng mợi bơng viằc lĐy phƯh tỷ cỹc phÊi cừa dỏng trản nõ lm phƯn tỷ Ưu tiản trĂi cừa dỏng mợi LƯn lữủt tẵnh cĂc số tiáp theo cừa dỏng mợi bơng cĂch lĐy tờng phƯn tỷ trĂi nõ vợi phƯn tỷ ựng cởt phƯn tỷ Đy dỏng trữợc nõ Tiáp tửc bữợc ba cho án số phƯn tỷ cừa dỏng mợi nhiÃu hỡn số phƯn tỷ cừa dỏng trản mởt phƯn tỷ Số nơm phẵa trĂi mội dỏng l số Bell cho mội dỏng Nhữ vƠy, dỏng thự nhĐt ch gỗm số Dỏng tiáp theo (thự hai) ữủc tÔo bơng cĂch lĐy phƯn tỷ Ưu tiản phÊi cừa dỏng trản t vo v trẵ Ưu tiản trĂi Ta cõ: 1 x GiĂ trà cõa x l têng cõa hai ph¦n tû ð cởt tữợc nõ cúng dỏng (l 1) v dỏng 33 trản (cụng l 1) bơng 1 y GiĂ tr y bơng giĂ tr Ưu tiản tẵnh tứ phÊi cừa dỏng trản (bơng 2), v tiáp theo: 1 2 x Bơng cĂch Đy ta câ dáng ¦u cõa tam gi¡c l : 1 15 10 15 20 27 37 52 Dỏng thự nôm ữủc tẵnh nhữ sau: LĐy 15 tứ dỏng thự tữ 15 + = 20; 20 + = 27; 27 + 10 = 37; 37 + 15 = 52 Sè ùng ð dáng thù n v cët thù k l sè c¡c ph¥n hoÔch cừa têp {1, , n} cho n l khổng mởt lợp vợi bĐt ký số no c¡c ph¦n tû k, k + 1, , n Chng hÔn cõ phƠn hoc cõa {1, , 4} cho khổng lợp vợi cĂc phƯn tỷ 2, 3, v cõ 10 phƠn hoÔch cừa {1, , 4} cho khổng lợp vợi phƯn tỷ Hiằu cừa hai số trản (bơng 3) l số cĂc phƠn hoÔch cừa {1, , 4} cho lợp vợi khổng lợp vợi Số ny cõ nghắa rơng cõ phƠn hoÔch cừa {1, , 3} cho khổng lợp vợi Tiáp theo ta tẳm hiu số quan hằ hai ngổi bưc cƯu liản hằ vợi số quan hằ thự tỹ trản mởt têp hỳu hÔn Cho A l têp cõ n phƯn tỷ Ta kỵ hiằu 2X l têp cĂc têp cừa X Nhưc lÔi mởt quan hằ hai ngổi ữủc gồi l thự tỹ náu phÊn xÔ v bưc cƯu; ữỡc gồi l thự tỹ (tứng phƯn) náu phÊn xÔ, ối xựng v bưc cƯu Kỵ hiằu T (A) kỵ hiằu têp quan hằ hai ngổi bưc cƯu trản A, P (A) kỵ hiằu têp quan h» thù tü tr¶n A °t Tn = |T (A)| số quan hằ bưc cƯu trản A, Pn = |P (A)| sè quan h» thù tü tr¶n A, Qn sè quan hằ tỹa thự tỹ trản A 34 Náu n = 0, °t T0 = P0 = Q0 = Kỵ hiằu P (A) têp cĂc phƠn hoÔch cừa A GiÊ sỷ P P (A) l mởt phƠn hoÔch cõa A, ph¦n tû cõa P chùa x ∈ A, kỵ hiằu [x] Evans, Harary v Lynn [5]  ữa mèi li¶n h» giúa sè quan h» tüa thù tỹ v quan hằ thự tỹ trản têp n phƯn tû Qn = n X S(n, k)Pk k=1 Trong mửc ny ta ữa mối liản hằ giỳa số quan h» bc c¦u v sè quan h» thù tü theo bi bĂo [6] Tứ cĂc kát quÊ Â biát [3, 4, 5] ta x¡c ành ÷đc sè quan h» bưc cƯu trản têp n phƯn tỷ vợi n 14 °t Ta(A) l tªp c¡c quan h» hai ngỉi bưc cƯu v phÊn ối xựng trản A GiÊ sỷ X A v P l mởt phƠn hoÔch cừa têp A \ X Ta nh nghắa Ta (X ∪ P) = {ϕ ∈ Ta (X ∪ P)|∀z ∈ X ∪ P, zϕz ⇔ z ∈ P} Bê · 2.4.5 Tỗn tÔi song Ănh f : T (A) [ [ ( Ta∗ (X ∪ P) X∈2A P∈P (A\X) Chùng minh Vỵi méi ϕ ∈ T (A) ta ành nghắa têp A = {x A|(x, x) } Vợi x, y A, ta nh nghắa x y ⇔ (x, y) ∈ ϕ v (y, x) ∈ ϕ Vỵi måi x ∈ Aϕ ta câ (x, x) ∈ ϕ n¶n x ∼ x Suy ∼ câ tẵnh chĐt phÊn xÔ Vợi mồi x, y A gi£ sû x ∼ y K²o theo (x, y) ∈ ϕ v (y, x) ∈ ϕ Theo ành ngh¾a y x suy cõ tẵnh chĐt ối xựng Vỵi måi x, y, z ∈ Aϕ, gi£ sû x ∼ y v y ∼ z K²o theo (x, y) ∈ ϕ, (y, z) ∈ ϕ, (z, y) ∈ , (y, x) .Vẳ cõ tẵnh chĐt bưc cƯu nản (x, z) v (z, x) Suy cõ tẵnh chĐt bưc cƯu vêy l quan hằ tữỡng ữỡng trản A t X = A\Aϕ v P = Aϕ/∼ Ta câ P l phƠn hoÔch cừa A = A\X hay P P (A \ X) Vỵi méi ϕ ∈ T (A), ta nh nghắa Ta(X P) nhữ sau GiÊ sû (x, y) ∈ ϕ 35 N¸u x, y ∈ X ta °t (x, y) ∈ σ, N¸u x ∈ A \ X = Aϕ, y ∈ X ta °t ([x], y) ∈ ϕ, N¸u x ∈ X, y ∈ A \ X , °t (x, [y]) ∈ σ, N¸u x, y ∈ A \ X , °t ([x], [y]) ∈ σ Theo ành ngh¾a cõa X , ta câ zσz ⇔ z ∈ P Rã r ng σ câ t½nh chĐt bưc cƯu Ta chựng minh phÊn xựng Vợi måi ∀z, w ∈ X ∪ P gi£ sû zσw v wσz N¸u z, w ∈ X ta câ zϕw v wϕz K²o theo zσz hay z ∈ A = A \ X , vổ lỵ Tữỡng tỹ c¡c tr÷íng hđp kh¡c ta câ z = [x] ∈ P, w = [y] ∈ P V¼ zσz v wσz nản xy v yx Ko theo [x] = [y] Vêy σ ⊆ Ta∗ (X ∪ P) °t f (ϕ) = Ta cõ f l Ănh xÔ GiÊ sỷ ϕ, ϕ ∈ T (A), f (ϕ) = σ = f (ϕ = σ vỵi (x, y) ∈ ϕ °t X = A \ Aϕ, X = A \ Aϕ Gi£ sû x, y ∈ X , ta câ x ∈ X, y ∈ Aϕ , ta câ (x; [y]) ∈ σ = σ K²o theo x ∈ X , y ∈ Aϕ v xϕ y Ti¸p tưc x²t c¡c tr÷íng hđp ta câ (x, y) ∈ ϕ Suy ϕ ⊆ ϕ T÷ìng tü ta câ ϕ = ϕ i·u n y chùng minh f l ỡn Ănh Vợi mồi thuởc têp ẵch Tỗn tÔi X A, P l phƠn hoÔch cừa A \ X cho σ ∈ Ta∗(X ∪ P) Vỵi méi (z, w) ∈ σ, n¸u z, w ∈ X lĐy (z, w) Náu z = [x] P, w ∈ X l§y (u, w) ∈ ϕ, ∀u ∈ [x], N¸u z ∈ X, w = [y] ∈ P, lĐy (z, ) , [y], Náu z = [x], w = [y] ∈ P, l§y (u, θ) ∈ ϕ, ∀u ∈ [x], ∀θ ∈ [y] D¹ th§y ϕ ∈ T (A) v f (ϕ) = σ Do â f l to n ¡nh Vªy f l song Ănh Bờ à 2.4.6 Tỗn tÔi song Ănh 0 0 0 0 0 0 f : Ta∗ (X ∪ P) → P (X ∪ P) Chùng minh Vỵi méi σ ∈ Ta∗(X ∪ P), °t f (σ) = σ∪4X∪P â 4X∪P = {(z, z)|z ∈ X ∪ P} Ta câ f l song Ănh Vẵ dử sau minh hồa cĂc kát quÊ trản Vẵ dử 2.4.7 Xt A = {a, b, c, d, e, f } v quan h» bc c¦u ϕ = {(a, a), (b, b), (d, d), (e, e), (f, f ), (a, b), (b, a), (a, c), (b, c)} [ {(d, e), (e, d), (d, c), (e, e), (d, f ), (e, f )} tr¶n A Ta câ Aϕ = {a, b, c, d, e, f }, X = {c} Quan h» t÷ìng ÷ìng ∼ l {[a, a], [b, b], [d, d], [e, e], [f, f ], [a, b], [b, a], [d, e], [e, d]}, 36 P = Aϕ/∼ = {[a] = [b] = {a, b}, [d] = [e] = {d, e}, [f ] = {f }}, X ∪ P = {c, {a, b}, {d, e}, {f }}, σ = {({a, b}, {a, b}), ({d, e}, {d, e}), ({f }, {f })} [ {({a, b}, c), ({d, e}, c), ({d, e}, {f })} Quan h» σ l ph£n èi xựng v bưc cƯu khổng phÊn xÔ ta cõ σ∪4X∪P l quan h» thù tü tr¶n X ∪ P Tứ õ ta cõ kát quÊ chẵnh cừa mửc nh lỵ 2.4.8 GiÊ sỷ n l số nguyản dữỡng Khi â Tn = n X Nk (n)Pk , k=1 â Pk n Nk (n) = s=0 S(n − s, k − s) s Chùng minh Theo Bê · 2.1.2 v Bê · 2.1.3, ta câ Tn = |T (A)| = | [ ( X∈2A [ P (X ∪ P))| P∈P (A\X) V¼ X ∩ P = ∅ n¶n ta câ Tn = n X n−k X n k=0 k S(n − k, m)Pk+m m=0 Rót nh¥n tû Pk , ta câ n n X k X X n )Pk = Nk (N )Pk S(n − s, k − s) Tn = ( s k=1 s=0 k=1 H» qu£ 2.4.9 Cho n l số nguyản dữỡng ta cõ Chựng minh Ta cõ n X s=0 n−1 X Pn = n (Tn − Nk (n)Pk ) k=1 X n n n S(n − s, n − s) = = 2n s s s=0 Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh 37 V½ dư 2.4.10 Trong v½ dử ny ta tẵnh T4 Sỷ dửng tẵnh chĐt cừa số Stirling loÔi ta cõ N1(4) = 1, N3(4) = 24 v N4(4) = 16 Theo [1], P1 = 1, P2 = 3, P4 = 219 Tø â ta câ T4 = P1 + 11P2 + 24P3 + 16P4 = + 33 + 456 + 3504 = 3994 B£ng sau cho ta sè Pn v Tn vỵi n 14 Tẵnh tợi thới im bi bĂo T14 l giĂ tr lợn nhĐt cừa dÂy trản Theo hiu biát cừa tĂc giÊ án ngữới ta tẳm ữủc Tn, n ≤ 18 P1 = P2 = P3 = 19 P4 = 219 P5 = 4231 P6 = 130023 P7 = 6129859 P8 = 431723379 P9 = 44511042511 P10 = 6611065248783 P11 = 13962816771058999 P12 = 414864951055853499 P13 = 171850728381587059351 P14 = 98484324257128207032183 T2 = T2 = 13 T3 = 171 T4 = 3994 T5 = 154303 T6 = 9415189 T7 = 878222530 T8 = 122207703623 T9 = 24890747921947 T10 = 7307450299510288 T11 = 3053521546333103057 T12 = 1797003559223770324237 T13 = 1476062693867019126073312 T14 = 1679239558149570229156802997 38 Kát luên Luên vôn Quan hằ hai ngổi v mởt số bi toĂn liản quan  Ôt ữủc cĂc kát quÊ sau: - Tẳm hiu hằ thống kián thực và quan hằ hai ngổi, lỵ thuyát tờ hủp - Tẳm hiu viằc ám số têp cừa mởt têp v ựng dửng, tẳm hiu ám số quan hằ hai ngổi phÊn xÔ (reflexive), èi xùng (symmetric), b§t èi xùng (asymmetric), ph£n èi xựng (antisymmetric), bĐt phÊn xÔ (irreflexive) - Tẳm hiu bi toĂn ám số Ănh xÔ v ám cĂc Ănh xÔ °c bi»t ( ìn ¡nh, song ¡nh, to n ¡nh) - T¼m hiu số Stirling loÔi v bi toĂn phƠn hoÔch têp hủp - Tẳm hiu ám số quan hằ tữỡng ữỡng, số Bell, ám số quan hằ bưc cƯu liản h» vỵi sè quan h» thù tü 39 T i li»u tham khÊo Tiáng Viằt [1] TrƯn Nguyản An v Nguyạn Vôn Hong (2016), Têp hủp v logic ToĂn, NXB Ôi hồc ThĂi Nguyản [2] Ngổ ưc TƠn (2003), Lỵ thuyát tờ hủp v ỗ th, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nëi Ti¸ng Anh [3] G Brinkmann and B D McKay (2002), Posets on up to 16 points, Order, 19 (2), 147-179 [4] M Erne and K Stege (1991), Counting finite posets and topologies, Oder 8(3), 247-265 [5] J.W Evans, F Harary and M S Lynn (1967), On the computer enumeration of finite topologies, Coom ACM 10, 295-298 [6] J Klaska (1997), "Transitivity and partial order", Math Bohem 122(1), 75-82 [7] K H Rosen (2007), "Discrete Mathematics and Its Applications", 6th Edition, McGraw Hill