Skkn mối liên hệ giữa một số bài toán liên quan giữa hình học không gian và hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ LỢI  TÊN ĐỀ TÀI MỐI LIÊN HỆ GIỮA MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÀ HÌNH HỌC PHẲNG Lĩnh vực: Toán Người thực hiện: Trần Thị Ngọc Hà Tổ mơn: Tốn - Tin Năm thực hiện: 2021-2022 Số điện thoại: 0977.848.162 skkn MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài B NỘI DUNG Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1Các kiến thức hình học khơng gian 1.2 Các kiến thức hình học phẳng 1.3 Cơ sở thực tiễn Một số giải pháp 10 2.1 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề quỹ tích điểm 10 2.2 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề khoảng cách lớn hai điểm 12 2.3 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề diện tích tam giác, tứ giác 13 2.4 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề tiếp tuyến 16 2.5 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề trọng tâm tam giác, tứ giác 18 2.6 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề trực tâm 19 2.7 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề bán kính đường trịn 20 2.8 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề hệ thức lượng 23 2.9 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề đường tròn ngoại tiếp 26 2.10 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề Vec-tơ 31 C KẾT LUẬN 34 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 skkn A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xu dạy học đại dạy học theo phương pháp kiến tạo, trải nghiệm thông qua hoạt động Trong hoạt động dựa vào tri thức biết để xây dựng tri thức kiểu giải tập tương tự hoạt động phù hợp cần thiết học sinh Khi dạy học sinh lớp 11 12 giải tốn hình học khơng gian tơi thường gặp tốn tương tự hình học phẳng thực tế có nhiều tốn hình học khơng gian để dễ hiểu phải quy mặt phẳng để tìm lời giải minh họa cho học sinh dễ hiểu Trong trình giảng dạy thường xuyên đưa gợi ý tìm tốn liên quan hình học khơng gian hình học phẳng giúp học sinh dễ hiểu tốn hình học khơng gian hơn, từ dần hình thành cho học sinh phương pháp “tương tự hóa” Muốn giải toán ta thường thực bước: Huy động kiến thức tổ chức kiến thức Huy động kiến thức thao tác tư nhằm tái kiến thức có liên quan với toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, tốn gặp Do đó, học sinh phải biết cần phân tích ý tưởng: ta gặp tốn gần gũi với kiểu toán hay chưa? Polia viết sách với nội dung “Giải tốn nào”, ơng có đề cập đến nội dung điều kiện thiết yếu Nhằm giúp em học sinh lớp 11 12 có cách nhìn tồn diện hơn, chất tốn hình học khơng gian, từ nâng cao hiệu học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học để có kết tích cực kỳ thi THPT quốc gia bồi dưỡng học sinh - giỏi Với lí trên, chọn đề tài: “Mối liên hệ số tốn hình học khơng gian tốn hình học phẳng” Mục đích nghiên cứu Tìm mối liên hệ tốn hình học khơng gian hình học phẳng học THPT skkn Tìm phương pháp dạy phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh, từ nâng cao kiến thức chất lượng học tập tiết học Đối tượng nghiên cứu Một số tốn hình học khơng gian hình học phẳng THPT Phạm vi nghiên cứu Tập trung vào tốn hình học khơng gian hình học phẳng lớp 11 Nhiệm vụ nghiên cứu Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt mơn hình học lớp 11, 12 Rút kết luận đề xuất số biện pháp tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nhà trường Trung học phổ thông Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: • Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài • Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên học sinh) • Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn) • Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên học sinh thông qua trao đổi trực tiếp) • Phương pháp thực nghiệm Đóng góp đề tài Đề tài góp phần mang tới cho giáo viên phần giải pháp giúp em học sinh học tốt mơn tốn, đặc biệt tốn hình học phẳng hình học khơng gian Đồng thời, giáo viên biết trạng em Bố cục 1, Cơ sở lý luận thực tiễn 2, Một số giải pháp 3, Tổ chức thực vào toán skkn B NỘI DUNG Cơ sở lý luận thực tiễn Mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông Việt Nam hình thành sở ban đầu trọng yếu người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu điều kiện hoàn cảnh đất nước người Việt Nam Trong giai đoạn nay, mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông Việt Nam cụ thể hoá văn kiện Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam kết luận hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu gắn với sách chung giáo dục đào tạo “ Giáo dục đào tạo gắn liền với phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng văn hoá người mới” “Chính sách giáo dục hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề” Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng mơn học cơng cụ học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc tốn trở thành cơng cụ để học tốt mơn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Một mơn học cung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng, đức tính, phẩm chất người lao động mơn hình học không gian Để học môn học sinh cần có trí tưởng, kỹ trình bày, vẽ hình khơng gian giải Như người biết, hình học khơng gian mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú so với hình học phẳng Trong trình dạy học trường phổ thơng để giải vấn đề hình học không gian nhiều giáo viên chuyển vấn đề hình học phẳng chia kiến thức hình khơng gian thành Rèn luyện tư giải tốn hình học khơng gian thơng qua mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian phần đơn giản mà có skkn thể giải tốn phẳng Đó việc làm đắn, nhờ làm cho q trình nhận thức, rèn luyện lực lập luận, sáng tạo, tính linh hoạt khả liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học khơng gian học sinh Trong mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian, với sở mặt phẳng phận không gian ta trọng tách phận phẳng khỏi khơng gian hình vẽ (các phần tách thường thiết diện, giao tuyến.) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến tốn hình học phẳng để từ giải tốn ban đầu Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phần giáo viên củng gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Trong chương trình tốn phổ thơng, hình học khơng gian phần kiến thức tương đối khó với hầu hết em học sinh, kể học sinh giỏi Bởi để giải tốt tốn hình học khơng gian, học sinh nắm vững kiến thức hình học khơng gian, hình học phẳng mà cịn phải có trí tưởng tượng phong phú, biết cách liên hệ hình học phẳng với hình học khơng gian Có nhiều cách để tiếp cận toán mới, phương thức hiệu phương pháp tương tự hóa, tức tìm hiểu xem tốn cần giải có vấn đề tương tự với toán mà ta giải trước chưa, nguồn gốc sáng tạo Học sinh thường lúng túng trước tốn hình học khơng gian mặt: vẽ hình, chưa hiểu rõ khái niệm, định lý liên quan đặc biệt khơng nhớ hay phát tốn tương tự Trong hình học khơng gian có toán toán toán khác Để giải tập hình học khơng gian hình học phẳng cách thành thạo yếu tố quan trọng biết kết hợp kiến thức hình học skkn khơng gian hình học phẳng, phải tìm mối liên hệ chúng tương tự hình học phẳng hình học khơng gian, giúp học sinh ghi nhớ lâu kiến thức hình học, vận dụng tốt kiến thức học 1.1 Các kiến thức hình học khơng gian Tất bề mặt mặt bàn, mặt bảng, mặt hồ phản chiếu cho ta thấy hình ảnh mặt phẳng Cũng mặt phẳng khơng có bề dày khơng có giới hạn Để vẽ hình biểu diễn hình khơng gian ta dựa vào quy tắc sau: - Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, tương ứng đoạn thẳng đoạn thẳng - Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, tương tự hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ điểm đường thẳng - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn đường nhìn thấy dùng nét đứt để vẽ đường bị che khuất 1.1.1 Quan hệ song song Hai mặt phẳng song song đáp ứng u cầu khơng có điểm chung ta nói hai mặt phẳng song song với - Nếu đường thẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt a b a, b song song với mặt phẳng (β) (α) (β) song song với - Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ mặt phẳng song song với mặt phẳng cho Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng đồng thời cắt mặt phẳng hai giao tuyến chúng song song với - Định lý Ta-lét: ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn tương ứng tỷ lệ Ví dụ: d, d’ hai cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song  α  , β  ,  γ  điểm A,B,C A',B',C' skkn AB BC AC = = A'B' B'C' A'C' 1.1.2 Vectơ không gian Vector khơng gian đoạn thẳng có hướng định Ký hiệu  điểm đầu điểm cuối đoạn thẳng Các quy tắc việc sử dụng vector không gian bao gồm quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, quy tắc trung tuyến, quy tắc trọng tâm, quy tắc hình hộp Tất kiến thức học sách giáo khoa hình học 11 Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: không gian, ba vectơ gọi đồng phẳng với giá chúng song song với mặt phẳng 1.1.3 Quan hệ vng góc Trong tập quan hệ vng góc cần hiểu kiến thức đường thẳng vng góc với mặt phẳng nào? Những định nghĩa, tính chất lý thuyết chung Cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứng minh 1.1.4 Bài tốn góc Đối với tập góc cần xác định yếu tố góc hai đường thẳng chéo Góc đường thẳng mặt phẳng, góc cạnh bên mặt đáy, cách tính góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao, góc đường cao mặt bên, cơng thức, lý thuyết góc hai mặt phẳng, Nhìn chung tập kiến thức hình học khơng gian rộng bao la Nếu học sách giáo khoa không đủ, học sinh cần phải làm tập thường xuyên nhiều để rèn luyện kỹ phản xạ với hình khơng gian 1.2 Các kiến thức hình học phẳng - Định lý Menelaus Cho tam giác ABC, điểm D, E, F theo thứ tự nằm đường thẳng BC, CA, AB Khi D, E, F thẳng hàng FA DB EC 1 FB DC EA Chú ý : Định lý Menelaus mở rộng cho đa giác lồi n cạnh - Định lý Ceva - Đường thẳng Euler skkn - Đường trịn Euler Với tam giác ABC bất kì, điểm: trung điểm cạnh, chân đường cao, trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm tam giác với đỉnh nằm đường tròn, gọi đường tròn Euler tam giác ABC Đường tròn Euler có bán kính nửa bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác có tâm trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác - Định lý bướm Cho đường tròn (O) I trung điểm dây cung AB Qua I dựng hai dây cung tùy ý MN, PQ cho MP, NQ cắt AB E, F theo thứ tự Khi I trung điểm EF - Định lý Ptolemy Với tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường trịn, ta có đẳng thức AB.CD + AD.BC= AC.BD Tổng quát : (bất đẳng thức Ptolemy) Với tứ giác ABCD bất kì, ta có bất đẳng thức AB.CD + AD.BC  AC.BD Đẳng thức xảy ABCD tứ giác lồi nội tiếp - Định lý Stewart - Đường thẳng Simson Cho tam giác ABC điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi X, Y, Z hình chiếu vng góc M đường thẳng BC, CA, AB Khi X, Y, Z thẳng hàng đường thẳng qua chúng gọi đường thẳng Simson điểm M tam giác ABC Tổng quát: Cho tam giác ABC điểm M mặt phẳng tam giác Gọi X, Y, Z hình chiếu vng góc M đường thẳng BC, CA, AB Khi điều kiện cần đủ để M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC X, Y, Z thẳng hàng - Đường thẳng Steiner skkn Cho tam giác ABC điểm M nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi X, Y, Z điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB Khi X, Y, Z thẳng hàng đường thẳng qua chúng gọi đường thẳng Steiner điểm M tam giác ABC Đường thẳng Steiner qua trực tâm tam giác - Điểm Miquel tam giác, tứ giác toàn phần Cho tam giác ABC ba điểm M, N, P tương ứng nằm đường thẳng BC, CA, AB Khi đường trịn ngoại tiếp tam giác ANP, BPM, CMN đồng quy điểm Miquel X M, N, P tam giác ABC Khi M, N, P thẳng hàng, ta có X điểm Miquel tứ giác toàn phần ABCMNP Khi X nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC - Đường trịn Miquel tứ giác tồn phần Cho tứ giác toàn phần ABCDEF, điểm Miquel M tứ giác tâm ngoại tiếp tam giác AEF, CDE, BDF, ABC nằm đường tròn Miquel tứ giác - Định lý Pascal Cho điểm A, B, C, D, E, F nằm conic Gọi G, H, K theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng (AB,DE), (BC,EF), (CD,FA) Khi G, H, K thẳng hàng - Định lý Pappus Cho hai đường thẳng a, b Trên a lấy điểm A, B, C; b lấy điểm D, E, F Gọi G, H, K giao điểm cặp đường thẳng (AE,DB), (AF,CD), (BF,CE) Khi G, H, K thẳng hàng Định lý Pappus trường hợp suy biến định lý Pascal conic suy biến thành cặp đường thẳng - Bất đẳng thức AM-GM - Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz - Bất đẳng thức Nesbitt 1.3 Cơ sở thực tiễn Trong q trình dạy học mơn Tốn, mơn Hình học q trình học tập học sinh cịn nhiều em học tập chưa tốt Đặc điểm skkn m a m b m c OA OB OC OA1 OB1 OC1 + +  + + + + + hb hc hb hc hb hc Û  1  OA1 OB1 OC1 ma m b mc + +  R + + + + + hb hc hb hc  hb hc  mà 1 a b c a+b+c a+b+c + + = + + = = = h a h b h c 2S 2S 2S 2S (a+b+c).r r 2SOBC 2SOCA 2SOAB S +S +S OA1 OB1 OC1 + + = a + b + c = OBC OCA OAB =1 2S 2S 2S hb hc SABC ABC ABC ABC a b c Vậy ta có: ma mb mc R + +  1+ hb hc r Đẳng thức xảy O trọng tâm tam giác ΔABC  ΔABC Từ toán ta suy nghĩ để tìm bất đẳng thức tương tự tứ diện: để sử dụng bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OA1 , OB1 , OC1 tam giác phải tương tự với trục tam giác mặt tứ diện Khi ta có AA1 tam giác phải tương tự với khoảng cách từ đỉnh đến tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện với đỉnh Ta có tốn tương tự sau: Bài toán 7': Gọi ha, hb, hc, hd ; ma, mb, mc, md; r; R độ dài đường cao; đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đối diện tứ diện; bán kính mặt cầu nội tiếp; bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng: ma m b mc md R + + +  1+ hb hc hd r Giải A O B D A1 C skkn 21 Gọi O, A1, B1, C1, D1 tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp mặt bên BCD , ACD , ABD , ABC tứ diện ABCD AA1 = ma, BB1 = mb, CC1 = mc, DD1 = md Ta có: AA1  OA + OA1  m a OA OA1  + ha (1) Tương tự ta có: m b OB OB1  + hb hb hb (2) m c OC OC1  + hc hc hc (3) m d OD OD1  + hd hd hd (4) Cộng vế với vế bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có: ma mb mc md OA OB OC OD OA1 OB1 OC1 OD1            hb hc hd hb hc hd hb hc hd  mà  1 1  OA OB OC1 OD1 ma mb mc md     R        hb hc hd hb hc hd  hb hc hd  OA1 OB1 OC1 OD1 1 1        1 hb hc hd r hb hc hd Suy ra: ma mb mc md R     1 (đpcm) hb hc hd r Nhận xét: Từ toán ta thấy ta xét tính tương tự: đường trung tuyến tam giác tương tự đường trọng tuyến tứ diện cho ta tốn tương tự khơng khơng gian, ta nhìn vào cách giải tốn cho ta kết tốn tương tự 7' Thơng thường ta nhìn vào chất vấn đề, tạm thời bỏ qua yếu tố bên ngồi dễ đưa ta đến kết tương tự Vì dạy học, người thầy cần hướng dẫn học sinh đề xuất giải toán tương tự với toán hình học phẳng biết khơng phải dựa vào yếu tố tương tự hình học phẳng hình học khơng gian mà cịn phải quan tâm đến cách giải tốn, nhìn vào chất vấn đề ta thu kết tốt skkn 22 2.8 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề hệ thức lượng Bài tốn 8: Cho ΔABC vng A, M điểm BC AM tạo với 2 AB, AC góc theo thứ tự   Chứng minh cos α + cos β = Giải: A C’ B M C B’ Qua M dựng đường thẳng vng góc với AM, cắt AB, AC B’ C’ Khi đó: cos α= AM ; AB' cos β = AM AC'  cos α+cos β = AM ( 2 1 + ) AB'2 AC'2 = AM AM =1 (Do ΔAB'C' vuông A, AM đường cao) Bài tốn 8’: Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S, M điểm thuộc miền ΔABC SM hợp với cạnh SA, SB, SC góc theo thứ tự  ,  ,  2 Chứng minh cos α + cos β + cos γ= 1 Giải: skkn 23 S C C’ A’ M A B’ B Sử dụng cách giải tương tự cách giải với toán mặt phẳng Dùng mặt phẳng qua M vng góc với SM cắt hình chóp A’, B’, C’ Khi đó: cosα= SM SM SM ; cosβ= ; cosγ= SA' SB' SC' Nên: cos2α+cos2β+cos2 γ = SM ( + + ) SA' SB' SC' =1 (Theo tính chất tứ diện vng) 2 Vậy cos α + cos β + cos γ= 1 Bài toán 9: Trong tam giác ABC gọi G giao điểm đường trung tuyến Chứng minh GA  GB  GC  Giải : A N G B C M skkn 24 Gọi M, N trung điểm BC AC GM MN 1    GM   GA GA AB 2 Ta có: Lại có: GB  GC  2GM  GA  GB  GC =  2GM  2GM Hay: GA+GB+GC=0 Bài toán 9’: Cho tứ diện ABCD Gọi G giao điểm đường trọng tuyến tứ diện Chứng minh GA+GB+GC+GD=0 Giải: A G1 G D B G2 E C Gọi E trung điểm CD; G1, G2 trọng tâm tam giác ΔBCD ΔADC Khi đó: GB+GD+GC=3GG1 Trong ΔABE , ta có: EG1 EG = = EB EA  GG1 GG = = GA GB  GA=- 3GG1 Từ đó: GA+GB+GD+GC=-3GG1 +3GG1 =0 skkn 25 2.9 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề đường trịn ngoại tiếp Bài tốn 10: Chứng minh tam giác ABC bất kì, trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng GO  GH (Đường thẳng Ơle) Giải: A P H N G O B C M Thẳng hàng bất biến phép vị tự nên ta nghĩ đến việc dùng phép vị tự để giải toán Yêu cầu toán chứng minh hệ thức GO  GH làm ta nghĩ đến phép vị tự tâm G biến O thành H ngược lại 2 Dựa vào hình vẽ ta dự đoán tỉ số 2 (  ) H trực tâm ABC O trực tâm tam giác có đỉnh chân đường trung tuyến Với định hướng ta giải toán sau Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB 1 GB ; GP=- GC 2 Ta có: GM=- GA ; GN=- Do đó: VG : A M B N C P ( VOk phép vị tự tâm O tỉ số k ) Phép vị tự bảo tồn tính vng góc nên biến trực tâm ABC thành trực tâm MNP skkn 26 Theo giả thiết, H trực tâm tam giác ABC dễ dàng chứng minh O trực tâm tam giác ABC - Suy ra: VG : H O hay GO=- GH 2 Từ ta có H, G, O thẳng hàng GO  GH Chuyển toán sang tốn khơng gian, khơng phải tứ diện có đường cao đồng quy điểm nên ta xét tứ diện có tính chất Bài tốn 10’: Trong khơng gian, cho tứ diện trực tâm ABCD Chứng minh, trọng tâm G, trực tâm H tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thẳng hàng GH = GO Giải: Ta dùng phép vị tự để giải tốn khơng gian Yêu cầu chứng minh GH=GO gợi ý cho ta nghĩ đến phép vị tự tâm G tỉ số -1 Lần lượt lấy A′ đối xứng với A, B′ đối xứng với B, C′ đối xứng với C, D′ đối xứng với D qua G Xét phép vị tự VG-1 , ta có: skkn 27 VG- 1: A A' B B' C C' D D' Như vậy, VG-1: (ABCD) (A'B'C'D') nên phép vị tự biến trực tâm tứ diện ABCD thành trực tâm tứ diện A'B'C'D' Theo giả thiết, H trực tâm tứ diện ABCD , ta chứng minh O trực tâm tứ diện A'B'C'D' Thật vậy, trước hết ta chứng minh A'O  mp(BCD) , từ A'O  (B'C'D') mp  BCD //mp  B’C’D’ (các đỉnh khác chứng minh tương tự) Do O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nên O cách đỉnh B, C, D Ta chứng minh A’ cách B, C, D Gọi G1 giao điểm AA’ với mp(BCD) Trong ∆BA’B’ có G trung điểm BB’ 3 G1G= GA= GA' nên G1 trọng tâm ∆BCD Từ đó, BG1 cắt A’B’ trung điểm E A’B’ BG1  2G1E Trong ∆BCD, G1 trọng tâm nên BG1 qua trung điểm E’ CD BG1  2G1E' Suy ra: E  E' hay CD cắt A’B’ trung điểm đường Do A'DB'C hình bình hành Hơn nữa, AB  CD  A'B'  CD nên A'DB'C hình thoi → A’D=A’C=CB’ A’B=B’A Ta chứng minh B’A=CB’ nên suy A’B=A’D=A’C hay A’ cách đỉnh B, C, D Suy ra: VG-1: H O hay GO=- GH Vậy H, G, O thẳng hàng GO=GH Bài toán 11: Chứng minh tam giác bất kì, điểm gồm: chân đường cao, trung điểm cạnh, trung điểm đoạn nối trực tâm với đỉnh thuộc đường tròn (Đường tròn Ơle) Giải: skkn 28 Ta dùng phép vị tự để giải tốn Giả sử tam giác ABC có H1, H2, H3, M1, M2, M3, I1, I2, I3 chân đường cao, trung điểm cạnh, trung điểm đoạn nối trực tâm với đỉnh Gọi E1, E2, E3, F1, F2, F3 điểm đối xứng với H qua H1, H2, H3, M1, M2, M3 Nhận xét: Ta chứng minh điểm A, B, C, H1, H2, H3, M1, M2, M3 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC  Qua phép vị tự VH2 A F1 M1 , F2 M , F3 I1 , B I2 , C I3 , E1 H1 , E H2 , E3 H3 , M3 Do đó, kết hợp với nhận xét ta kết luận điểm H1, H2, H3, M1, M2, M3, I1, I2, I3 thuộc đường tròn ảnh đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC  qua VH2 ( Đpcm) Bài toán 11’: Cho tứ diện trực tâm  ABCD  Gọi H1, H2, H3, H4 , G1, G2, G3, G4, I1, I2, I3, I4 chân đường cao, trọng tâm điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh thỏa mãn I1 H I H I H I H     Chứng I1 A I B I C I D minh 12 điểm thuộc mặt cầu Giải: skkn 29 A I1 H G O D B H1 G1 C F E Ta chứng minh I1, G1, H1 thuộc mặt cầu ảnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD qua phép vị tự tâm H tỉ số (đối với điểm khác hoàn toàn tương tự) Thật vậy, gọi G trọng tâm tứ diện, O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ta có GH  OG Gọi E điểm thuộc AH1 cho HH1  HE F điểm thuộc HG1 cho HG1  HF Ta có: AF=AH+HF  AH+3HG1  AF = AH+3(AG1 -AH) = AG-2AH = 2(2AG-AH) = 2AO (Do G trung điểm HO)  A, O, F thẳng hàng O trung điểm AF Dễ thấy H1G1 // EF AH1  H1G1 nên AE  EF Từ đó, E, F thuộc mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Xét phép vị tự skkn 30 H V :A I1 F G1 E H1 Do điểm A, E, F thuộc mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nên I1 , H1, G1 thuộc H mặt cầu ảnh mặt cầu qua phép vị tự V Hoàn toàn tương tự ta chứng minh điểm lại thuộc mặt cầu (Đpcm) 2.10 Góp phần rèn luyện kĩ học chủ đề Vec-tơ Bài toán 12: Cho tam giác ABC M điểm thuộc miền tam giác Gọi S1, S2, S3 diện tích tam giác MBC,MCA,MAB Chứng minh S1 MA  S MB  S MC  Giải: Gọi S diện tích tam giác ABC, ta biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng AM= S S2 AB+ AC S S Biểu thức biểu diễn vectơ AM qua hai vectơ AB AC nên ta định hướng giải toán theo cách từ M ta dựng hai đường thẳng song song với AB AC, cắt AB B’ AC C’ Ta có: AM=AB+AC=xAB+yAC Ta chứng minh x  S S2 y  S S skkn 31 Gọi H K chân đường vng góc hạ từ B M xuống AC, E giao điểm BM AC Ta có: x  AB' MC' EM EM MK S     AB AB EB EB BH S Suy x  S S2 Tương tự ta chứng minh y  S S Từ đó: S1 MA+S2 MB+S3 MC=0 Bài toán 12’: Cho tứ diện ABCD, O điểm thuộc miền tứ diện Gọi V1, V2, V3, V4 thể tích tứ diện OBCD,OCDA,OABD OABC Chứng minh V1 OA+ V2 OB+V3 OC+V4 OD= Giải: Tương tự toán mặt phẳng ta biến đổi đẳng thức cần chứng minh dạng AO = V V2 V AB + AC + AD (Với V thể tích tứ diện) V V V Từ ta định hướng giải toán cách dựng hình hộp nhận AO làm đường chéo Dựng hình hộp MNOQ.APRS nhận AO làm đường chéo chính, ba cạnh kề nằm ba cạnh tứ diện xuất phát từ A (Hình bên) Giả sử AO=xAB+yAC+zAD ta cần chứng minh x  V V2 V , y , z V V V đủ Ta có: x  AM AB Gọi F giao điểm BO mặt phẳng (ACD) skkn 32 Hạ đường cao BH, OK gọi E giao điểm BN AD Hai mặt phẳng (BEF) (ACD) qua hai đường thẳng song song có giao tuyến EF nên EF // NO Ta có: V2 OK OF NE AM = = = = =x V BH BF BE AB Suy x  V2 V Tương tự ta có: y  V3 V , z  (Đpcm) V V Kết luận: Trong dạy học giải tập tốn nói chung dạy học giải tập tốn mối liên hệ hình học khơng gian hình học phẳng nói riêng, việc xây dựng toán riêng lẻ thành hệ thống phát triển toán tương tự giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư học tốn tạo niềm vui hứng thú học toán skkn 33 C KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu viết sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy rút số kết luận sau: - Trong nhiệm vụ môn Toán trường THPT, với truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ giải tập toán cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Để rèn luyện kỹ giải Toán cho học sinh cần đưa hệ thống tập thích hợp, xếp cách hợp lí từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng Toán học vào thực tiễn - Người giáo viên phải người dẫn kỹ giải toán cho học sinh cách định hướng cụ thể qua lời giải tập tốn cho học sinh, qua góp phần tạo niềm tin hứng thú học tập - Đề tài hệ thống kỹ cần phải rèn luyện cho học sinh giải tập toán dạy học phần liên quan Hình học phẳng Hình học khơng gian chương trình hình học 11 - Đề tài xây dựng dạng tập toán nhằm rèn luyện kỹ cho học sinh dạy học phần Hình học khơng gian có mối liên hệ với Hình học phẳng chương trình hình học 11 - Chúng tơi thiết nghĩ đề tài áp dụng để giảng dạy phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh từ học sinh trung bình đến em giỏi Có thể vận dụng cho việc dạy khóa ngoại khóa tiết luyện tập, đề tài sử dụng để dạy làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh bồi dưỡng, tính ứng dụng thực tiễn đề tài Tân Kỳ, tháng 04 năm 2022 Tác giả Trần Thị Ngọc Hà skkn 34 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn năm 2018 Nghị số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo .Polya G (1995), Giải toán Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội SGK Giải tích 12 Sách Bài tập Giải tích 12 Tài liệu từ Internet skkn 35 ... tài: ? ?Mối liên hệ số tốn hình học khơng gian tốn hình học phẳng? ?? Mục đích nghiên cứu Tìm mối liên hệ tốn hình học khơng gian hình học phẳng học THPT skkn Tìm phương pháp dạy phù hợp với học sinh,... khả liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học khơng gian học sinh Trong mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian, với sở mặt phẳng phận không gian ta trọng tách phận phẳng khỏi khơng gian. .. đề hình học phẳng chia kiến thức hình khơng gian thành Rèn luyện tư giải tốn hình học khơng gian thơng qua mối liên hệ hình học phẳng hình học khơng gian phần đơn giản mà có skkn thể giải tốn phẳng