(Luận Văn Thạc Sĩ) Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Galerkin Yếu Cho Hệ Phương Trình Navier-Stokes.pdf

Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM o0o NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN YẾU CHO HỆ PHƢƠNG TRÌNH NAVIER STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUY N 2021 ĐẠI H[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM … o0o…… NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN YẾU CHO HỆ PHƢƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUY N -2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM … o0o… NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN YẾU CHO HỆ PHƢƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES T Chuyên n G ải tích M số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn ho học TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUY N - 2021 Lờ cảm Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn củ TS.Phạm Thị Thủy Do iến thức há mẻ hoảng thời gi n nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn hơng tránh hỏi s i sót.Tơi mong nhận đƣợc ý iến đóng góp củ q thầy ngƣời để luận văn đƣợc hồn thiện Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy trực tiếp gi o đề tài, hƣớng dẫn giúp đỡ tận tình suốt trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn B n chủ nhiệm Khoa Toán quý thầy cô qu n tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gi đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn! i Lờ cam đ a Tôi xin c m đo n nội dung trình bày luận văn trung thực hông trùng lặp với đề tài hác Tôi xin c m đo n giúp đỡ cho việc thực luận văn đƣợc cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn đƣợc rõ n guồn gốc Nếu phát bất ỳ gi n lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn củ Thái Nguyên, tháng năm 2021 N ƣời viết luậ vă N uyễ T ị Hồ X c Trƣở ậ k X c aT ƣờ T ắm ậ ƣớ dẫ k TS Phạm Thị Thủy ii a ọc Mục lục LỜI CẢM ƠN………… …………………………………………………… i LỜI CAM ĐOAN………………………………………………………………ii MỤC LỤC………………………………………………………………… iii Lời nói đầu ……………………………………………………………………1 C ƣơ Kiến thức chuẩn bị …………………………………… …….… 1.1 Phƣơng trình N vier – Sto es ……………………………………….… 1.2 Một số bổ đề …………………………………………………………….5 1.3 Không gian hàm suy rộng …………………………………………………6 1.3.1 Hàm suy rộng …… ………………….….…………………….… 1.3.2 Không gi n Sobolev …………….…….……………….…… .12 1.3.3 Không gian Lq ………….……………………………….………12 C ƣơ Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin cho hệ phƣơng trình N vier – Sto es ……………………………………………………………………….14 2.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu…………………………… 14 2.1.1.Bài toán …………….…………………………………………….14 2.1.2 Lƣới phần tử hữu hạn Galerkin yếu …………………………… 14 2.2 Sự tồn tính nghiệm WG.………………………… … 16 2.3 Một số ví dụ………………………………………………………………26 Kết luận……………………………………………………………… ….… 30 Tài liệu tham khảo……………….…………………………… ……………31 iii Lờ ó đầu Hệ phƣơng trình N vier-Stokes lần đƣợc nghiên cứu vào năm 1822 Từ đến nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu hệ phƣơng trình Muốn hiểu đƣợc tƣợng chuyển động dòng chảy chất lỏng khơng khí tự nhiên, sóng dập s u đuôi tàu chạy mặt nƣớc, tƣợng hỗn loạn hơng hí s u máy bay bay bầu trời chúng t phải tìm cách giải phƣơng trình Navier – Stokes Do đó, việc nghiên cứu tồn nghiệm, tính nghiệm, tính quy nghiệm, đẳng thức lƣợng đánh giá nghiệm cần thiết Việc tìm cách giải hệ phƣơng trình N vier – Stokes đóng v i trò quan trọng lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng Gần có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu hệ phƣơng trình N vierSto es đạt đƣợc thành tựu quan trọng nhƣ T Buc m ster, Z Liang, A Giorgini, A Miranville, J Shuai, R Tem m,… Đặc biệt, phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu để nghiên cứu giải hệ phƣơng trình N vier – Stokes đƣợc nhiều nhà khoa học quan tâm Luận văn “Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phƣơng trình Navier – Stokes ” nghiên cứu trình bày phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho việc giải hệ phƣơng trình N vier – Sto es đ giác, đ diện Luận văn đƣợc bố cục thành chƣơng với lời nói đầu, ết luận danh mục tài liệu tham khảo Trong đó, Chƣơng nội dung luận văn C ƣơ 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng trình bày hái niệm kết sở cần thiết đƣợc sử dụng Chƣơng C ƣơ Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phƣơng trình Navier – Stokes Trình bày phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu, giới thiệu vi phân yếu công thức WG cho phƣơng trình N vier – Stokes Từ tồn nghiệm WG Đặc biệt lấy đƣợc ƣớc lƣợng sai số xấp xỉ WG trình bày số thí nghiệm số để chứng minh cho hiệu xấp xỉ WG C ƣơ K ế t ức c uẩ bị Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày phƣơng trình N vier-Sto es, số hơng gi n hàm tính chất, vài hái niệm hác để bổ trợ cho việc nghiên cứu chƣơng Tài liệu đƣợc trích dẫn từ [1], [3],[5], [6], [8], [11] 1.1 P ƣơ trì Nav er – Stokes Cho   Rn miền tổng quát, hông rỗng với biên  Cho u  t , x    u1  t , x  , u2  t , x  , , un t , x   vận tốc củ chất lỏng điểm t, x   t, x1, x2 , , xn  , t [0,T ), x  cho p t, x  áp suất củ chất lỏng  t, x  ngoại lực f t, x    f1 t , x  , f2 t , x  , , f n t , x  Trong vật lý đại chúng t giả sử chuyển động củ dòng chảy đƣợc miêu tả hệ phƣơng trình ut  vu  u.u  p  f   div  u     (1.1) với t 0,T  , x  , hệ phƣơng trình đƣợc gọi hệ phƣơng trình N vier – Sto es Phƣơng trình mô tả cân củ lực theo định luật Newton Điều iện div  u   thể dòng chảy đồng hông nén đƣợc Hằng số v > đƣợc gọi độ nhớt củ dịng chảy, phụ thuộc vào tính chất vật lý củ dịng chảy ln số cố định ut nghĩ đạo hàm theo hƣớng thời gi n, chúng t viết ut  u   d u  u t dt     Số hạng u1  u.u  u1   u1   un  u miêu tả gi tốc củ hạt   x x n   nhỏ dòng chảy   Số hạng vu  v D12   Dn2 u miêu tả lực m sát giữ hạt nhỏ củ dòng chảy p   D1 , D2 , , Dn  p g r dien củ áp suất p Hệ phƣơng trình N vier – Stokes hệ thống gồm n+1 phƣơng trình đạo hàm riêng với n + biến  t , x1, , xn  n + hàm chƣ biết  p, u1, , un  Đề nghiên cứu hệ phƣơng trình t thêm điều iện biên u   (1.2) Nếu    , điều có nghĩ u  t , x   với t  0, T  x  T thêm điều iện b n đầu u    u0 (1.3) vận tốc b n đầu thời điểm t = 0, điều có nghĩ u  0, x   u0  x  , x  Hệ phƣơng trình (1.1) với điều iện (1.2),(1.3) đƣợc gọi toán với điều iện hỗn hợp b n đầu f , u0 cho hệ phƣơng trình N vier – Stokes Trong (1.1) bỏ qu số hạng phi tuyến u.u t đƣợc hệ phƣơng trình N vierSto es tuyến tính ut  vu  p  f , divu  0,   u   0, u (0)  u0   gọi hệ Sto es hông dừng Nếu f , u, p hông phụ thuộc vào t t đƣợc hệ Sto es dừng vu  p  f , divu   u    bỏ qu ut , (1.1) t đƣợc hệ N vier- Sto e dừng 1.2 Một số Bổ đề  Bổ đề 1.2.1 Giả sử Vh  v  v0 , vb  : v0 T   Pk T  , e  T , T  Th d v, w Vh ta có  với aw  v,     v  , (1.4) aw  v,    v (1.5) Bổ đề 1.2.2 Toán tử chiếu Qh , Qh , Qh thỏa mãn tính chất giao hốn sau w  Qhv   Qh  v  , v [H    ]d w  Qhv   Qh  .v  , (1.6) v  H  div,   (1.7) H  div,   khơng gian hàm vectơ bình phương khả tích độ phân kỳ ln bình phương khả tích Bổ đề 1.2 Tồn số dương B độc lập với h cho sup vVh0 bw  v, p    p , p  Wh , v  (1.8)  Vh  v  v0 , vb  : v0 T   Pk T  , e  T , T  Th d Dễ thấy có BĐT s u ( xem [5]), s  v, v    hT1 v0  vb T Th  T he1 v0  e  e h (1.9) Trong [6], t có với v  v0 , vb  Vh  T Th v0 2 C v (1.10) T Định nghĩ chuẩn hác v Vh cho v  v0 , vb  nhƣ s u v   v0 T Th T   he1 v0  e (1.11) v  Vh (1.12) e h Khi từ ( 1.9) (1.10) suy ra, v C v , Bổ đề s u đƣợc chứng minh [3], đƣ r chặn cho dạng 3-tuyến tính ask .,.,. chuẩn Bổ đề 1.2 Cho  , v,  Vh Định nghĩa (1.11) Khi ta có Tiếp theo t chứng minh hàm (2.19) thặng dƣ củ thành phần đối lƣu Bổ đề 2.2.4 Cho lu ,u  v  thỏa mãn (2.19) eh định nghĩa (2.18) Khi h u.u, v  Th  ask ,  uh , uh , v   lu ,u  v  (2.20) h Chứng minh .u  , phƣơng trình s u đƣợc kiểm tra dễ cho v Vh0 ,  u.u, v  Th u , n. u T v0  T =ask  u, u, v0   v , n. u T u  , T  ask  u , u , v0   h (2.21) h =ask  u, u, v0   v0  vb , n. u T u  Th Với    , b  , v  v0 , vb    0 , b  Vh , theo định nghĩ gr dient (2.4), ta có   v,  T    v, 0 T    mv, 0T 0 T   =- v0 , .Qh  0T 0  + vb , n.Qh  0T 0  T =  v0 ,0 T - v0  vb , n.Qh  T0 0  T T Do t có ask  Qhu,Qh u, v   ask  Q0u, Q0u, v0   + Q0u  Qbu, n.Qh Q0u T v0  v0  vb , n.Qh  Q0u T Q0u  Dễ thấy 20 Th Th (2.22) ask  u, u, v0   ask  Q0u, Q0u, v0   ask u, u  Q0u, v0   ask u  Q0u, Q0u, v0  (2.23) ask ,  Qhu,Qh u, v   ask ,  uh , uh , v   ask Qhu,eh ,v   ask ,  eh , uh , v  (2.24) Dùng (2.21),(2.22),(2.23) (2.24), ta có  u.u, v  Th  ask ,  uh , uh , v    u.u, v0 T  ask ,  Qhu , Qhu , v  h +a sk ,  Qhu, Qhu, v   ask ,  uh , uh , v  =ask  u, u, v   a sk  Q0u, Q0u, v0  +ask ,  Qhu, Qhu, v   ask , uh , uh , v  + v0  vb , n. u T u  Th -  Q0u  Qbu , n.Q h  Q0u T v0  v0  vb , n.Qh  Q0u T Q0u  Th Th  lu ,u  v  h Bổ đề đƣợc chứng minh Bổ đề 2.2.5 Cho eh  h định nghĩa (2.18) ta có a  eh , v   b  v, eh   u , p  v   lu ,uh  v  , v  Vh0 , b  eh , q   0, (2.25) q  Wh , (2.26) u , p  v    v0  vb , u.n  Qh  u  n Th , + s  Qhu , v   v0  vb ,  p  Qh p  n C ứ m Th ( 2.27) Cho v  v0 , vb  Vh0 với v0 từ (2.1) t suy   u, v0   u.u, v0    p , v0    f , v0  (2.28) Theo [10] suy    u, v0       Qhu  ,  v T   v0  vb ,  u  Qh  u  n  v ,      p  h v, Q h p T  v0  vb ,  p  Qh p  n h 21 Th Th , Khi (2.28) trở thành     Qhu  ,  v T   u.u, v0     v, Qh p    f , v0  h + v0  vb , u.n  Qh  u  n Th  v0  vb ,  p  Qh p  n Th Cộng  s  Qhu, v  vào vế củ phƣơng trình t có a  Qhu, v    u.u, v0   b  v,Q p    f , v0   u , p  v  (2.29) Trừ (2.29) (2.6) , áp dụng (2.29) từ Bổ đề (2.2.4) ta có a  eh , v   b  v,  h   u , p  v    u.u, v0   ask ,  uh , uh ,v  = u , p  v  - u ,uh (2.30)  v  Từ suy r (2.25) Để có (2.26), ta dùng q  Wh để iểm tr (2.2) dùng (1.7) để suy r  .u, q    Qhu, q  (2.31) Trừ (2.31) (2.7) ta có (2.26), Bổ đề đƣợc chứng minh Dự Phƣơng trình lỗi Bổ đề 2.2.5, t suy r ƣớc lƣợng lỗi cách tự nhiên Cho K phần tử với e cạnh Bất đẳng thức s u biết, tức tồn số C s o cho với hàm g  H  K   g e  C hK1 g Bổ đề 2.2.6 Cho u ,uh K  v  Định nghĩ lu ,u  eh   Ch k u h C ứ u , uh m  hK  g K  (2.32) (2.19) Khi k 1 eh  Nh f  *, h eh (2.33) Vì ask ,  Q0u, eh   ta có  e   a  u, u  Q u, e   a  u  Q u, Q u, e  h sk 0 sk 0 e0  eb , n. u T u  T 1  Q0u  Qbu , n.Qh  Q0u T e0   e0  eb , n.Qh  Q0u T Q0u  T 2  ask ,  eh , uh , eh   h h Th Tiếp theo, t đánh giá thành phần củ vế phải, với hạng tử , từ 22 (1.14), (1.12) định nghĩ củ Q0 ta có ask  u, u  Q0u, e0   C u u  Q0u e  Ch k u u k 1 e Tƣơng tự, với hạng tử thứ t có đánh giá s u ask  u  Q0u, Q0u, e0   Chk u u e k 1 với thành phần thứ 3, từ (2.9) (2.15) suy ask ,  eh , uh , eh    h uh eh f  h eh *, h  Dùng bất đẳng thức vết (2.32) Bất đẳng thức ngƣợc, (1.13) (1.12) ta có đánh giá s u cho thành phần thứ Q0u  Qbu, n.Qh  Q0u T e0  Th 1    h 1 Q0u  u  TT h   h Qh  Q0u T e0  T      T T h 1/2  T   1/2   T Q u e  0 k 1  T   T T  k  Ch u k 1 Q0u L   e0  Ch k u h  Ch k u  Ch k u k 1 u u k 1 L4    eh eh Với thành phần thứ cuối, t đánh giá chúng nh u dùng phƣơng pháp tƣơng tự dự bất đẳng thức vết (2.32), bất đẳng thức ngƣợc (1.13) (1.12) Ta có   e0  eb , n. u T u   e0  eb , n.Qh  Q0u T Q0u   T T TT   e0  eb , n. u T u  Qhu T u   e0  eb , n.Qh  Q0u T Q0u  u T u  T TT h  h   C   hT1 e0  eb  TT h     hT1 e0  eb  TT h 1/2   hT u T u  Qhu T u   T T   T h 1/2 1/2   T    hT Qh  Q0u T Q0u  u T u   T T    T h 23 1/2   T     T    1/2   T T T T  C eh   u u  Qhu u T  hT   u u  Qhu u   T   T T 1/2    T T    Q0u Q0u  u u T    T T   h h   Ch k u T u k  u  Chk u k 1 e h eh k 1 Khi (2.33) đƣợc suy r cách ết hợp đánh giá Đánh giá cho u , p  eh  đƣợc chứng minh [10] Vậy Bổ đề đƣợc chứng minh Bổ đề 2.2.7 Cho u , p  eh  định nghĩa (2.19) Khi u , p  eh   Chk  u k 1  p k  eh (2.34) Định lý 2.2.8 Cho  u, p    H 01     H k 1      L20     H k     , k  1, d u , p  V h  h h h f   Wh nghiệm (2.1) – (2.3) (2.6) –(2.7) tương ứng Nếu *, h  1, đánh giá lỗi sau Qhu  uh  Qh p  ph  Chk  u k 1  p k  (2.35) Chứng minh Đặt v  eh (2.25) q   h (2.26) cộng phƣơng trình này, ta có  eh  u , p  eh   u ,uh  e  (2.36) h Từ (2.34) (2.33) ta có  eh  Ch k  u  p k 1 k  eh + Điều suy r (2.35), để đánh giá  h , từ (2.25) ta có 24 f *, h  eh (2.37) b  v,  h   a  eh , v   u , p  v   u ,uh  v  Khi từ (1.4), (2.37), (2.34) (2.33), ta có  b  v,  h   Chk u k 1  p k  Áp dụng điều kiện inf  sup 1.8  t đƣợc  h  Chk  u k 1  p k  Từ suy r đánh giá (2.35) định lí đƣợc chứng minh 2.3 Một số ví dụ Ví dụ 2.3.1 Cho    0,1 thành phần chở f đƣợc chọn cho nghiệm giải tích 2  sin  2 x  sin  2 y  cos  2 y   , u  x, y      sin  2 y 2 sin  2 x  cos  2 x     p  x, y    sin  2 x  cos  2 y  Và Giả sử   Thuật toán Weak Galerkin (2.6) – (2.7) đƣợc thực lƣới đ giác lƣới tứ giác, xem hình 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 25 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 (a) 0.6 0.8 (b) Hình 1: ( ) lƣới đ giác với h = 1/20; (b) lƣới hình chữ nhật với h = 1/20 Mô tả lỗi kết hội tụ đƣợc báo cáo bảng Ở k  , tức phần tử WG tuyến tính đƣợc sử dụng Từ bảng này, ta thấy H  lỗi cho tốc độ L2 - lỗi cho áp lực hội tụ theo cáp O  h  điều khẳng định kết lý thuyết ( 2.35) Hơn nữa, L2 - chuẩn cho tốc độ có tỉ lệ hội tụ O  h2  nhƣ mong muốn Ví dụ 2.3.2 Cho    0,1 thành phần chở f đƣợc chọn cho nghiệm giải tích  0,1x 1  x 2  y  y  y    u  x, y     0,1y 1  y 2  x  x  x     p  x, y   x y  16 Bảng 1: Ví dụ 1: lỗi tỉ lệ hội tụ cho k = 1/h |||uh −Qhu||| Tỉ lệ ku0 − Q0uk Lƣớ đa Tỉ lệ kph − Qhpk Tỉ lệ c 1.4033E+0 10 2.6018E+00 1.5376E-01 20 1.3016E+00 9.99E-01 4.1775E-02 1.88E+00 3.2400E-01 2.11E+00 40 6.4198E-01 1.02E+00 1.0443E-02 2.00E+00 9.2675E-02 1.81E+00 80 3.2166E-01 9.97E-01 2.6264E-03 1.99E+00 4.7188E-02 9.74E-01 160 1.6009E-01 1.01E+00 6.5519E-04 2.00E+00 2.3594E-02 26 1.00E+00 Lƣớ đa 10 3.1723E+00 c 2.0289E-01 9.2295E-01 20 1.6961E+00 9.03E-01 5.8146E-02 1.80E+00 7.9796E-01 2.10E-01 40 8.6848E-01 9.66E-01 1.5322E-02 1.92E+00 1.1864E-01 2.75E+00 80 4.3746E-01 9.89E-01 3.8972E-03 1.98E+00 5.9356E-02 9.99E-01 160 2.1873E-01 1.00E+00 9.7430E-04 2.00E+00 2.9678E-02 1.00E+00 Chú ý thí nghiệm tốc độ u khơng tự phân kì tứ .u  g  Do đó, xấp xỉ WG Vế phải củ (2.7) đƣợc chuyển từ đến  g , q  T Mặt khác chọn   k  ví dụ Thí nghiệm số đƣợc thực lƣới đ giác lƣới hình chữ nhật, xem hình Mô tả lỗi đƣợc báo cáo bảng Kết hội tụ tốc độ áp lực khẳng định kết luận lý thuyết (2.35) Hơn nữa, siêu hội tụ áp lực đo đƣợc L2  lỗi qu n sát đƣợc Bảng 2:Ví dụ 2: lỗi tỉ lệ hội tụ cho k = 1/h |||uh − Qhu||| Tỉ lệ ku0 − Q0uk Lƣớ đa 2.3218E-03 Tỉ lệ kph − Qhpk Tỉ lệ c 10 3.9665E-02 20 2.0759E-02 9.34E-01 6.4369E-04 1.85E+00 9.3476e-03 1.22E+00 40 1.0955E-02 9.22E-01 1.7918E-04 1.85E+00 3.3874e-03 1.46E+00 80 5.2472E-03 1.06E+00 4.1171E-05 2.12E+00 9.8165e-04 1.79E+00 160 2.5867E-03 1.02E+00 9.9757E-06 2.05E+00 2.8741e-04 1.77E+00 27 2.1753e-02 Lƣớ đa 2.9201e-03 c 10 4.4196e-02 20 2.3848e-02 8.90E-01 8.6110e-04 1.76E+00 1.3383e-02 9.43E-01 40 1.2396e-02 9.44E-01 2.3433e-04 1.88E+00 4.4252e-03 1.60E+00 80 6.3004e-03 9.76E-01 6.0742e-05 1.95E+00 1.3712e-03 1.69E+00 160 3.0502e-03 1.05E+00 1.4186e-05 2.10E+00 3.8089e-04 1.85E+00 28 2.5723e-02 Kết luận Luận văn trình bày số kết phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerin yếu cho phƣơng trình Navier – Stokes Duy trì phát triển phƣơng pháp phần tử hữu hạn WG để giải phƣơng trình Navier – Sto es lƣới đ giác Sự tồn tính nghiệm WG : Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.8 Một số ví dụ áp dụng: lỗi tỉ lệ hội tụ 29 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [2] Mu, L., Wang, J., Ye, X., (2015), “A We G ler in Finite Element Method with Polynomi l Reduction”, Journal of Computational and Applied Mathematics 285, 45 – 58 [3] Hu, X., Mu, L., Ye, X., (2018), “ Aweak Galerkin finite element method for the Navier - Stokes equations”, Journal of Computational and Applied Mathematics 154 -172 [4] Wang, J., Ye, X., (2014), “A Weak Galerkin Mixed Finite Element Method for Second Order Elliptic Problems”, Mathematics of Computation 83 (289), 2101 -2126 [5] Mu, L., Wang,J , Ye, X (2017), “ A We G ler in Method for the Reissner – Mindlin Pl te in Prim ry Form”, Journal of Scientific Computing -21 [6] Mu, L., Wang, X., Ye, X., (2015) , “A Modified Weak Galerkin Finite Element Method for the Stokes Equations” Journal of Computational and Applied Mathematics 275, 79 – 90 [7] Wang, C., Wang, J., Wang, R., Zhang, R., “A Locking – free Weak GalerkinFinite Element Method for Elasticity Problems in the Primal Formul tion”, Journal of Computational and Applied Mathematics [8] Wang, J., Ye, X., (2008),” Finite Element Methods for the Navier – Stokes Equations by H(div) Elements”, Journal of Computational Mathematics 410- 436 [9] Wang, J., Ye, X., (2013), “A Weak Glaerkin Finite Element Method Second – order Elliptic Problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics 241, 103 -115 30 [10] Wang, J., Ye, X., (2016) , “A weak Galerkin Finite Element Method for the Stokes Equations”, Advances in Computational Mathematics 42 (1), 155-174 [11] Hu, X., Mu, L., Ye, X., (2017), “Weak Galerkin Method for the Biot’s Consolidation Model”, Computers & Mathematics with Applications 31 XÁC NHẬN CỦA CÁN BỘ HƢỚNG DẪN VỀ VIỆC HỌC VIÊN ĐÃ SỬA CHỮA LUẬN VĂN THEO Ý KIẾN GÓP Ý CỦA HỘI ĐỒNG Thái Nguyên, tháng năm 2021 CÁN BỘ HƢỚNG DẪN TS Phạm Thị Thủy 32 33