(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phương trình NavierStokes
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM … o0o…… NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN YẾU CHO HỆ PHƢƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUY N -2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM … o0o… NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN YẾU CHO HỆ PHƢƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES T Chuyên n G ải tích M số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn ho học TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUY N - 2021 Lờ cảm Luận văn đƣợc hoàn thành dƣớisự hƣớng dẫn củ TS.Phạm Thị Thủy Do iến thức há mẻ hoảng thời gi n nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn hơng tránh hỏi s i sót.Tơi mong nhận đƣợc ý iến đóng góp củ q thầy ngƣời để luận văn đƣợc hồn thiện Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy trực tiếp gi o đề tài, hƣớng dẫn giúp đỡ tận tình suốt trình nghiên c ứu hồn thành luận văn Tơi xin chân nh cảm ơn B n chủ nhiệm Khoa Tốn q thầy qu n tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gi đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn! i Lờ cam đ a T ôi xin c m đo n nội dung trình bày luận văn trung thực hông trùng lặp với đề tài hác Tôi xin c m đo n giúp đỡ cho việc thực luận văn đƣợc cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn đƣợc rõ n guồn gốc Nếu phát bất ỳ gi n lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn củ Thái Nguyên, tháng năm 2021 N ƣời viết luậ vă N uyễ T ị Hồ X c Trƣở ậ k X c aT ƣờ T ắm ậ ƣớ dẫ k TS Phạm Thị Thủy ii a ọc Mục lục LỜI CẢM ƠN………… …………………………………………………… i LỜI CAM ĐOAN………………………………………………………………ii MỤC LỤC………………………………………………………………… iii Lời nói đầu ……………………………………………………………………1 C ƣơ Kiến thức chuẩn bị …………………………………… …….… 1.1 Phƣơng trình N vier – Sto es ……………………………………….… 1.2 Một số bổ đề …………………………………………………………….5 1.3 Không gian hàm suy rộng …………………………………………………6 1.3.1 Hàm suy rộng …… ………………….….…………………….… 1.3.2 Không gi n Sobolev …………….…….……………….…… .12 1.3.3 Không gian Lq ………….……………………………….………12 C ƣơ Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin cho hệ phƣơng trình N vier – Sto es ……………………………………………………………………….14 2.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu…………………………… 14 2.1.1.Bài toán …………….…………………………………………….14 2.1.2 Lƣới phần tử hữu hạn Galerkin yếu …………………………… 14 2.2 Sự tồn tính nghiệm WG.………………………… … 16 2.3 Một số ví dụ………………………………………………………………26 Kết luận……………………………………………………………… ….… 30 Tài liệu tham khảo……………….…………………………… ……………31 iii Lờ ó đầu Hệ phƣơng trình N vier-Stokes lần đƣợc nghiên cứu vào năm 1822 Từ đến nay, có nhiều cơng trình nghiên c ứu hệ phƣơng trình Muốn hiểu đƣợc tƣợng chuyển động dịng chảy chất lỏng khơng khí tự nhiên, sóng dập s u tàu chạy mặt nƣớc, tƣợ ng hỗn loạn hơng hí s u đuôi máy bay bay bầu trời chúng t phải tìm cách giải phƣơng trình Navier – Stokes Do đó, việc nghiên cứu tồn nghiệm, tính nghiệm, tính quy c nghiệ m, đẳng thức lƣợng đánh giá nghiệm cần thiết Việc tìm cách giải hệ phƣơng trình N vier – Stokes đóng v i trị quan trọng lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng Gần có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu hệ phƣơng trình N vierSto es đạt đƣợc thành tựu quan trọng nhƣ T Buc m ster, Z Liang, A Giorgini, A Miranville, J Shuai, R Tem m,… Đặc biệt, phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu để nghiên cứu giải hệ phƣơng trình N vier – Stokes đƣợc nhiều nhà khoa học quan tâm Luận văn “Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phƣơng trình Navier – Stokes ” nghiên cứu trình bày phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho việc giải hệ phƣơng trình N vier – Sto es đ giác, đ diện Luận văn đƣợc bố cục thành chƣơng với lời nói đầu, ết luận danh mục tài liệu tham khảo Trong đó, Chƣơng nội dung luận văn C ƣơ 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng trình bày hái niệm kết sở cần thiết đƣợc sử dụng Chƣơng C ƣơ Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phƣơng trình Navier – Stokes Trình bày phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu, giới thiệu vi phân yếu công thức WG cho phƣơng trình N vier – Stokes Từ tồn tạ i nghiệm WG Đặc biệt lấy đƣợc ƣớc lƣợng sai số xấp xỉ WG trình bày số thí nghiệm số để chứng minh cho hiệu xấp xỉ WG C ƣơ K ế t ức c uẩ bị Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày phƣơng trình N vier -Sto es, số hông gi n hàm tính chất, vài hái niệm hác để bổ trợ cho việc nghiên cứu chƣơng Tài liệu đƣợc trích dẫn từ [1], [3],[5], [6], [8], [11] 1.1 P ƣơ Cho trì Nav er – Stokes miền tổng qt, hơng rỗng với biên ¶W Cho u t , x = u1 t , x , u2 t , x , , un t , x vận tốc củ chất lỏng điểm t , x = t , x1, x2 , , xn , t Î[0,T ), x ÎW cho p t , x áp suất củ chất lỏng t, x ngoại lực f t , x = f1 t , x , f t , x , , f n t , x Trong vật lý đại chúng t giả sử chuyển động củ dòng chảy đƣợc miêu tả hệ phƣơng trình ìïut - vDu + u.Đu + Đp = f í div u = ùợ (1.1) vi t ẻ 0,T , x ÎW , hệ phƣơng trình đƣợc gọi hệ phƣơng trình N vier – Sto es Phƣơng trình mô tả cân củ lực theo định luật Newton Điều iện div u = thể dịng chảy đồng hơng nén đƣợc Hằng số v > đƣợc gọi độ nhớt củ dịng chảy, phụ thuộc vào tính chất vật lý củ dịng chảy ln số cố định ut nghĩ đạo hàm theo hƣớng thời gi n, chúng t viết ut = u¢ = d ¶ u = u dt ¶t ỉ ¶ ¶ ö + + un Số hạng u1 + u.ẹu = u1 + ỗ u1 ữ u miờu t gi tốc củ hạt ¶xn ø è ¶x1 nhỏ dòng chảy Số hạng -vDu = -v D12 + + Dn2 u miêu tả lực m sát giữ hạt nhỏ củ dịng chảy Đp = D1 , D2 , , Dn p g r dien củ áp suất p Hệ phƣơng trình N vier – Stokes hệ thống gồm n+1 phƣơng trình đạo hàm riêng với n + biến t , x1 , , xn n + hàm chƣ biết p, u1 , , un Đề nghiên cứu hệ phƣơng trình t thêm điều iện biên u ¶W = (1.2) Nu ảW ặ , iu ny cú nghĩ u t , x = với t Î 0, T T thêm điều iện b n đầu u = u0 (1.3) vận tốc b n đầu thời điểm t = 0, điều có nghĩ u 0, x = u0 x , x ỴW Hệ phƣơng trình (1.1) với điều iện (1.2),(1.3) đƣợc gọi toán với điều iện hỗn hợp b n đầu f , u0 cho hệ phƣơng trình N vier – Stokes Trong (1.1) bỏ qu số hạng phi tuyến Sto es tuyến tính t đƣợc hệ phƣơng trình N vier - ìïut - vDu + Ñp = f , divu = 0, u ảW = 0, u (0) = u0 ùợ gọi hệ Sto es hông dừng Nếu f , u, p hông phụ thuộc vào t đƣợc hệ Sto es dừng ì-vDu + Đp = f , divu = u ảW = ợ b qu , (1.1) t đƣợc hệ N vier- Sto e dừng 1.2 Một số Bổ đề d Bổ đề 1.2.1 Giả sử Vh = v = v0 , vb : v0 T ẻ ộở Pk T ựỷ , e è ảT , "T Ỵ Th v, w ỴVh ta có với £ aw v, Bổ đề 1.2.2 Toán tử chiếu (1.4) v (1.5) = aw v, , v , Qh thỏa mãn tính chất giao hốn sau , Đw Qhv = Qh Đv , "v Ỵ[H W ]d Ñw Qhv = Qh Ñ.v , "v Î H div, W (1.6) (1.7) H div, W khơng gian hàm vectơ bình phương khả tích độ phân kỳ ln bình phương khả tích Bổ đề 1.2 Tồn số dương B độc lập với h cho sup vỴVh0 bw v, p ³ v p , "p Ỵ Wh , (1.8) d Vh = v = v0 , vb : v0 T Ỵ éë Pk T ùû , e è ảT , "T ẻ Th D thấy có BĐT s u ( xem [5]), s v, v = å hT-1 v0 - vb T ỴTh ảT he-1 v0 eẻ e h (1.9) Trong [6], t có với å T ÎTh Ñv0 2 £C v Định nghĩ chuẩn hác v v (1.10) T = å T ỴTh cho v = v0 , vb nhƣ s u Ñv0 + å he-1 v0 T e h (1.11) Khi từ ( 1.9) (1.10) suy ra, v £C v , "v Ỵ Vh (1.12) Bổ đề s u đƣợc chứng minh [3], đƣ r chặn cho dạng -tuyến tính chuẩn Bổ đề 1.2 Cho , v, ỴVh Định nghĩa (1.11) Khi ta có Tiếp theo t chứng minh hàm (2.19) thặng dƣ củ thành phần đối lƣu Bổ đề 2.2.4 Cho lu ,u v thỏa mãn (2.19) định nghĩa (2.18) Khi h u.Đu, v0 Th - ask , uh , uh , v = lu ,u v (2.20) h Chứng minh Đ.u = , phƣơng trình s u đƣợc kiể m tra dễ cho v ỴVh0 , u.Đu , v0 Th u , n u T v0 u, u, v0 = v , n u T u = ask u, u, v0 = =ask = , b , v = v0 , vb = ¶Th , b (2.21) , v - vb , n u T u =ask u, u, v0 = Vớ i ¶Th ¶Th , theo định nghĩ gr dient (2.4), ta có Đ v, T = Ñ v, = Ñ m v, T =- v0 , Ñ.Qh = Ñv0 , T T T 0 T T T + vb , n.Qh - v0 - vb , n.Qh T 0 T T Do t có ask Qhu,Qh u, v = ask Q0u, Q0u, v0 - + Q0u - Qbu, n.Qh Q0u T v0 v0 - vb , n.Qh Q0u T Q0u Dễ thấy 20 ¶Th ¶Th (2.22) ask u, u, v0 - ask Q0u, Q0u, v0 = ask u, u - Q0u, v0 + ask u - Q0u, Q0u, v0 (2.23) ask , Qhu,Qh u, v - ask , uh , uh , v = ask Qhu,eh , v + ask , eh , uh , v (2.24) Dùng (2.21),(2.22),(2.23) (2.24), ta có u.Đu , v0 Th - ask , uh , uh , v = u.Ñu , v0 Th - ask , Qhu , Qhu , v +a sk , Qhu , Qhu , v - ask , uh , uh , v =ask u, u, v - a sk Q0u, Q0u, v0 +ask , Qhu, Qhu, v - ask , uh , uh , v + v0 - vb , n u T u ¶Th - + Q0u - Qbu , n.Q h Q0u T v0 v0 - vb , n.Q h Q0u T Q0u ¶Th ¶Th = lu ,u v h Bổ đề đƣợc chứng minh Bổ đề 2.2.5 Cho a eh , v - b v, eh = u, p định nghĩa (2.18) ta có v - lu ,uh v , "v Î Vh0 , b eh , q = 0, (2.25) "q Ỵ Wh , (2.26) ( 2.27) C ứ m Cho v = v0 , vb ÎVh với từ (2.1) t suy (2.28) Theo [10] suy - Du , v0 = Ñ Qhu , Ñ v v0 , Ñ p = - Ñ v, Q h p Th Th - v0 - vb , Ñu - Qh Ñu n + v0 - vb , p - Qh p n 21 ¶Th ¶Th , Khi (2.28) trở thành Đ Qhu , Đ v Th + u.Du , v0 - Ñ v, Q h p = f , v0 v0 - vb , Ñu.n - Qh Đu n + Cộng ¶Th - v0 - vb , p - Qh p n ¶Th s Qhu, v vào vế củ phƣơng trình t có a Qhu, v + u.Đu, v0 - b v,Q p = f , v0 + v u, p (2.29) Trừ (2.29) (2.6) , áp dụng (2.29) từ Bổ đề (2.2.4) ta có a eh , v - b v, = h = u, p u, p v - u.Ñu, v0 + ask , uh , uh ,v v - u ,u h (2.30) v Từ suy r (2.25) Để có (2.26), ta dùng q Ỵ Wh để iểm tr (2.2) dùng (1.7) để suy r = Ñ.u, q = Ñ Qhu, q (2.31) Trừ (2.31) (2.7) ta có (2.26), Bổ đề đƣợc chứng minh Dự Phƣơng trình lỗi Bổ đề 2.2.5, t suy r ƣớc lƣợng lỗi cách tự nhiên Cho K phần tử với e cạnh Bất đẳng thức s u biết, tức tồn số C s o cho với hàm g Ỵ H K g e £ C hK-1 g Bổ đề 2.2.6 Cho K h u ,u h m K (2.32) v Định nghĩ (2.19) Khi u ,u h lu ,u eh £ Chk u C ứ + hK Ñ g k +1 eh + Nh f *, h eh (2.33) Vì ask , Q0u, eh = ta có eh = ask u, u - Q0u, e0 + ask u - Q0u , Q0u, e0 e0 - eb , n u T u ¶T 1 + Q0u - Qbu , n.Qh Q0u T e0 - e0 - eb , n.Qh Q0u T Q0u ¶T 2 + ask , eh , uh , eh + h h ¶Th Tiếp theo, t đánh giá thành phần củ vế phải, với hạng tử , từ 22 (1.14), (1.12) định nghĩ củ ta có ask u, u - Q0u, e0 £ C u u - Q0u e £ Ch k u u k +1 e Tƣơng tự, với hạng tử thứ t có đánh giá s u với thành phần thứ 3, từ (2.9) (2.15) suy ask , eh , uh , eh £ N h uh eh f £ Nh *, h eh Dùng bất đẳng thức vết (2.32) Bất đẳng thức ngƣợc, (1.13) (1.12) ta có đánh giá s u cho thành phần thứ Q0u - Qbu , n.Qh Q0u T e0 ảTh 1ổ Ê ỗ h -1 Q0u - u è T ỴT h ư2 ổ h Qh Q0u T e0 ảT ữ ỗ ứ ố T ẻT h 1/2 ảT ữ ø 1/ £ Ch k u k +1 ổ Q0u T e0 T ữ ỗ Tồ è ỴT ø Q0u L W e0 h £ Ch u k k +1 £ Ch k u k +1 £ Ch k u u L4 W u k +1 eh eh Với thành phần thứ cuối, t đánh giá chúng nh u dùng phƣơng pháp tƣơng tự dự bất đẳng thức vết (2.32), bất đẳng thức ngƣợc (1.13) (1.12) Ta có e0 - eb , n u T u - e0 - eb , n.Qh Q0u T Q0u T ảT ả T ẻT = e0 - eb , n u T u - Qhu T u - e0 - eb , n.Qh Q0u T Q0u - u T u ảT T ẻT h h ộổ Ê C ờỗ hT-1 e0 - eb ờởố T ẻT h ổ + ỗ hT-1 e0 - eb è T ỴT h 1/ ỉ hT u T u - Qhu T u ỗ Tồ ảT ữ ứ ố ẻT h 1/2 1/ ảT ữ ứ ổ hT Qh Q0u T Q0u - u T u ỗ Tồ ảT ữ ứ ố ẻT h 23 1/ ảT ÷ ø ù ú úû ¶T éỉ £ C eh ờỗ u T u - Qhu T u T + hT2 Ñ u T u - Qhu T u ờởố T ẻT 1/ ữ ứ T h 1/2 ù ỉ T T + ỗ Q0u Q0u - u u T ữ ú è T ỴT ø úû h £ Ch k u T u k + u eh k +1 Khi (2.33) đƣợc suy r cách ết hợp đánh giá Đánh giá cho u, p eh đƣợc chứng minh [10] Vậy Bổ đề đƣợc chứng minh Bổ đề 2.2.7 Cho u, p eh định nghĩa (2.19) Khi u, p eh £ Chk u + p k +1 k eh (2.34) d Định lý 2.2.8 Cho u, p Ỵ éë H 01 W Ç H k +1 W ùû ´ L20 W Ç H k W , k ³ 1, uh , ph ỴVh ´ Wh nghiệm (2.1) – (2.3) (2.6) –(2.7) tương ứng Nếu º Nh f *, h < 1, đánh giá lỗi sau Qhu - uh + Qh p - ph £ Ch k u k +1 + p k (2.35) Chứng minh Đặt v = eh (2.25) q = h (2.26) cộng phƣơng trình này, ta có eh = u, p eh - u ,uh eh (2.36) Từ (2.34) (2.33) ta có eh £ Ch k u Điều suy r (2.35), để đánh giá h + p k +1 k eh +N , từ (2.25) ta có 24 f *, h eh (2.37) b v, = a eh , v - h u, p v + u ,uh v Khi từ (1.4), (2.37), (2.34) (2.33), ta có b v, £ Ch k u h Áp dụng điều kiện k +1 + p k t đƣợc h £ Chk u k +1 + p k Từ suy r đánh giá (2.35) định lí đƣợc chứng minh 2.3 Một số ví dụ Ví dụ 2.3.1 Cho thành phần chở đƣợc chọn cho nghiệm giải tích ỉ sin x sin y cos y u x, y = ỗ ỗ - sin y sin x cos x è p x, y = Và Giả sử ÷, ÷ ø sin x cos y = Thuật toán Weak Galerkin (2.6) – (2.7) đƣợc thực lƣới đ giác lƣới tứ giác, xem hình 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 25 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 (a) 0.6 0.8 (b) Hình 1: ( ) lƣới đ giác với h = 1/20; (b) lƣới hình chữ nhật với h = 1/20 Mô tả lỗi kết hội tụ đƣợc báo cáo bảng Ở k = , tức phần tử WG tuyến tính đƣợc sử dụng Từ bảng này, ta thấy H - lỗi cho tốc độ L2 - lỗi cho áp lực hội tụ theo cáp O h điều khẳng định kết lý thuyết ( 2.35) Hơn nữa, L2 - chuẩn cho tốc độ có tỉ lệ hội tụ O h nhƣ mong muốn Ví dụ 2.3.2 Cho thành phần chở f đƣợc chọn cho nghiệ m giải tích ỉ 0,1x - x u x, y = ỗ ỗ 0,1 y - y è p x, y = x y - 2 y3 - y + y ÷ x - x + x ÷ø 16 Bảng 1: Ví dụ 1: lỗi tỉ lệ hội tụ cho k = 1/h |||uh −Qhu||| Tỉ lệ ku0 − Q0uk Lƣớ đa Tỉ lệ kph − Qhpk Tỉ lệ c 1.4033E+0 2.6018E+00 1.5376E-01 1.3016E+00 4.1775E-02 1.88E+00 3.2400E-01 2.11E+00 1.02E+00 1.0443E-02 2.00E+00 9.2675E-02 1.81E+00 2.6264E-03 1.99E+00 4.7188E-02 1.01E+00 6.5519E-04 2.00E+00 26 2.3594E-02 1.00E+00 Lƣớ đa c 3.1723E+00 2.0289E-01 9.2295E-01 1.6961E+00 5.8146E-02 1.80E+00 7.9796E-01 1.5322E-02 1.92E+00 1.1864E-01 2.75E+00 3.8972E-03 1.98E+00 5.9356E-02 1.00E+00 9.7430E-04 2.00E+00 2.9678E-02 1.00E+00 Chú ý thí nghiệm tốc độ u khơng tự phân kì tứ Đ.u = g ¹ Do đó, xấp xỉ WG Vế phải củ (2.7) đƣợc chuyển từ đến Mặt khác chọn k = ví dụ Thí nghiệ m số đƣợc thực lƣới đ giác lƣới hình chữ nhật, xem hình Mơ tả lỗi đƣợc báo cáo bảng Kết hội tụ tốc độ áp lực khẳng định kết luận lý thuyết (2.35) Hơn nữa, siêu hội tụ áp lực đo đƣợc lỗi qu n sát đƣợc Bảng 2:Ví dụ 2: lỗi tỉ lệ hội tụ cho k = 1/h |||uh − Qhu||| Tỉ lệ ku0 − Q0uk Lƣớ đa Tỉ lệ kph − Qhpk Tỉ lệ c 2.1753e-02 1.85E+00 9.3476e-03 1.22E+00 1.85E+00 3.3874e-03 1.46E+00 1.06E+00 2.12E+00 9.8165e-04 1.79E+00 1.02E+00 2.05E+00 2.8741e-04 1.77E+00 27 Lƣớ đa c 2.5723e-02 1.76E+00 1.3383e-02 1.05E+00 28 1.88E+00 4.4252e-03 1.60E+00 1.95E+00 1.3712e-03 1.69E+00 2.10E+00 3.8089e-04 1.85E+00 Kết luận Luận văn trình bày số kết phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerin yếu cho phƣơng trình Navier – Stokes Duy trì phát triển phƣơng pháp phần tử hữu hạn WG để giải phƣơng trình Navier – Sto es lƣới đ giác Sự tồn tính nghiệm WG : Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.8 Một số ví dụ áp dụng: lỗi tỉ lệ hội tụ 29 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội TIẾNG ANH [2] Mu, L., Wang, J., Ye, X., (2015), “A We G ler in Finite Element Method with Polynomi l Reduction”, Journal of Computational and Applied Mathematics 285, 45 – 58 [3] Hu, X., Mu, L., Ye, X., (2018), “ Aweak Galerkin finite element method for the Navier - Stokes equations”, Journal of Computational and Applied Mathematics 154 -172 [4] Wang, J., Ye, X., (2014), “A Weak Galerkin Mixed Finite Element Method for Second Order Elliptic Problems”, Mathematics of Computation 83 (289), 2101 -2126 [5] Mu, L., Wang,J , Ye, X (2017), “ A We G ler in Method for the Reissner – Mindlin Pl te in Prim ry Form”, Journal of Scientific Computing -21 [6] Mu, L., Wang, X., Ye, X., (2015) , “A Modified Weak Galerkin Finite Element Method for the Stokes Equations ” Journal of Computational and Applied Mathematics 275, 79 – 90 [7] Wang, C., Wang, J., Wang, R., Zhang, R., “A Locking – free Weak GalerkinFinite Element Method for Elasticity Problems in the Primal Formul tion”, Journal of Computational and Applied Mathematics [8] Wang, J., Ye, X., (2008),” Finite Element Methods for the Navier – Stokes Equations by H(div) Elements”, Journal of Computational Mathematics 410- 436 [9] Wang, J., Ye, X., (2013), “A Weak Glaerkin Finite Element Method Second – order Elliptic Problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics 241, 103 -115 30 [10] Wang, J., Ye, X., (2016) , “A weak Galerkin Finite Element Method for the Stokes Equations”, Advances in Computational Mathematics 42 (1), 155-174 [11] Hu, X., Mu, L., Ye, X., (2017), “Weak Galerkin Method for the Biot’s Consolidation Model”, Computers & Mathematics with Applications 31 XÁC NHẬN CỦA CÁN BỘ HƢỚNG DẪN VỀ VIỆC HỌC VIÊN ĐÃ SỬA CHỮA LUẬN VĂN THEO Ý KIẾN GÓP Ý CỦA HỘI ĐỒNG Thái Nguyên, tháng năm 2021 CÁN BỘ HƢỚNG DẪN TS Phạm Thị Thủy 32 33 ... phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu để nghiên cứu giải hệ phƣơng trình N vier – Stokes đƣợc nhiều nhà khoa học quan tâm Luận văn “Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phƣơng trình. .. ƣơ p p p ần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ p ƣơ trì Nav er – Stokes Trong Chƣơng 2, trình bày ết sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu để tồn nghiệ m tính cho hệ phƣơng trình Navier... ………….……………………………….………12 C ƣơ Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin cho hệ phƣơng trình N vier – Sto es ……………………………………………………………………….14 2.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu? ??………………………… 14 2.1.1.Bài