(Luận Văn Thạc Sĩ) Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Galerkin Yếu Cho Hệ Phương Trình Navier-Stokes.pdf

Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM o0o NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN YẾU CHO HỆ PHƢƠNG TRÌNH NAVIER STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUY N 2021 ĐẠI H[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM … o0o…… NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN YẾU CHO HỆ PHƢƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUY N -2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM … o0o… NGUYỄN THỊ HỒNG THẮM PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN YẾU CHO HỆ PHƢƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES T Chuyên n G ải tích M số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn ho học TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUY N - 2021 Lờ cảm Luận văn đƣợc hoàn thành dƣới hƣớng dẫn củ TS.Phạm Thị Thủy Do iến thức há mẻ hoảng thời gi n nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn hơng tránh hỏi s i sót.Tơi mong nhận đƣợc ý iến đóng góp củ q thầy ngƣời để luận văn đƣợc hồn thiện Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy trực tiếp gi o đề tài, hƣớng dẫn giúp đỡ tận tình suốt trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn B n chủ nhiệm Khoa Toán quý thầy cô qu n tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gi đình, bạn bè giúp đỡ tơi suốt q trình học hồn thành luận văn Trân trọng cảm ơn! i Lờ cam đ a Tôi xin c m đo n nội dung trình bày luận văn trung thực hông trùng lặp với đề tài hác Tôi xin c m đo n giúp đỡ cho việc thực luận văn đƣợc cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn đƣợc rõ n guồn gốc Nếu phát bất ỳ gi n lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn củ Thái Nguyên, tháng năm 2021 N ƣời viết luậ vă N uyễ T ị Hồ X c Trƣở ậ k X c aT ƣờ T ắm ậ ƣớ dẫ k TS Phạm Thị Thủy ii a ọc Mục lục LỜI CẢM ƠN………… …………………………………………………… i LỜI CAM ĐOAN………………………………………………………………ii MỤC LỤC………………………………………………………………… iii Lời nói đầu ……………………………………………………………………1 C ƣơ Kiến thức chuẩn bị …………………………………… …….… 1.1 Phƣơng trình N vier – Sto es ……………………………………….… 1.2 Một số bổ đề …………………………………………………………….5 1.3 Không gian hàm suy rộng …………………………………………………6 1.3.1 Hàm suy rộng …… ………………….….…………………….… 1.3.2 Không gi n Sobolev …………….…….……………….…… .12 1.3.3 Không gian Lq ………….……………………………….………12 C ƣơ Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin cho hệ phƣơng trình N vier – Sto es ……………………………………………………………………….14 2.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu…………………………… 14 2.1.1.Bài toán …………….…………………………………………….14 2.1.2 Lƣới phần tử hữu hạn Galerkin yếu …………………………… 14 2.2 Sự tồn tính nghiệm WG.………………………… … 16 2.3 Một số ví dụ………………………………………………………………26 Kết luận……………………………………………………………… ….… 30 Tài liệu tham khảo……………….…………………………… ……………31 iii Lờ ó đầu Hệ phƣơng trình N vier-Stokes lần đƣợc nghiên cứu vào năm 1822 Từ đến nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu hệ phƣơng trình Muốn hiểu đƣợc tƣợng chuyển động dòng chảy chất lỏng khơng khí tự nhiên, sóng dập s u đuôi tàu chạy mặt nƣớc, tƣợng hỗn loạn hơng hí s u máy bay bay bầu trời chúng t phải tìm cách giải phƣơng trình Navier – Stokes Do đó, việc nghiên cứu tồn nghiệm, tính nghiệm, tính quy nghiệm, đẳng thức lƣợng đánh giá nghiệm cần thiết Việc tìm cách giải hệ phƣơng trình N vier – Stokes đóng v i trò quan trọng lý thuyết phƣơng trình đạo hàm riêng Gần có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu hệ phƣơng trình N vierSto es đạt đƣợc thành tựu quan trọng nhƣ T Buc m ster, Z Liang, A Giorgini, A Miranville, J Shuai, R Tem m,… Đặc biệt, phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu để nghiên cứu giải hệ phƣơng trình N vier – Stokes đƣợc nhiều nhà khoa học quan tâm Luận văn “Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phƣơng trình Navier – Stokes ” nghiên cứu trình bày phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho việc giải hệ phƣơng trình N vier – Sto es đ giác, đ diện Luận văn đƣợc bố cục thành chƣơng với lời nói đầu, ết luận danh mục tài liệu tham khảo Trong đó, Chƣơng nội dung luận văn C ƣơ 1: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng trình bày hái niệm kết sở cần thiết đƣợc sử dụng Chƣơng C ƣơ Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu cho hệ phƣơng trình Navier – Stokes Trình bày phƣơng pháp phần tử hữu hạn Galerkin yếu, giới thiệu vi phân yếu công thức WG cho phƣơng trình N vier – Stokes Từ tồn nghiệm WG Đặc biệt lấy đƣợc ƣớc lƣợng sai số xấp xỉ WG trình bày số thí nghiệm số để chứng minh cho hiệu xấp xỉ WG C ƣơ K ế t ức c uẩ bị Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày phƣơng trình N vier-Sto es, số hơng gi n hàm tính chất, vài hái niệm hác để bổ trợ cho việc nghiên cứu chƣơng Tài liệu đƣợc trích dẫn từ [1], [3],[5], [6], [8], [11] 1.1 P ƣơ trì Nav er – Stokes Cho   Rn miền tổng quát, hông rỗng với biên  Cho u  t , x    u1  t , x  , u2  t , x  , , un t , x   vận tốc củ chất lỏng điểm t, x   t, x1, x2 , , xn  , t [0,T ), x  cho p t, x  áp suất củ chất lỏng  t, x  ngoại lực f t, x    f1 t , x  , f2 t , x  , , f n t , x  Trong vật lý đại chúng t giả sử chuyển động củ dòng chảy đƣợc miêu tả hệ phƣơng trình ut  vu  u.u  p  f   div  u     (1.1) với t 0,T  , x  , hệ phƣơng trình đƣợc gọi hệ phƣơng trình N vier – Sto es Phƣơng trình mô tả cân củ lực theo định luật Newton Điều iện div  u   thể dòng chảy đồng hông nén đƣợc Hằng số v > đƣợc gọi độ nhớt củ dịng chảy, phụ thuộc vào tính chất vật lý củ dịng chảy ln số cố định ut nghĩ đạo hàm theo hƣớng thời gi n, chúng t viết ut  u   d u  u t dt     Số hạng u1  u.u  u1   u1   un  u miêu tả gi tốc củ hạt   x x n   nhỏ dòng chảy   Số hạng vu  v D12   Dn2 u miêu tả lực m sát giữ hạt nhỏ củ dòng chảy p   D1 , D2 , , Dn  p g r dien củ áp suất p Hệ phƣơng trình N vier – Stokes hệ thống gồm n+1 phƣơng trình đạo hàm riêng với n + biến  t , x1, , xn  n + hàm chƣ biết  p, u1, , un  Đề nghiên cứu hệ phƣơng trình t thêm điều iện biên u   (1.2) Nếu    , điều có nghĩ u  t , x   với t  0, T  x  T thêm điều iện b n đầu u    u0 (1.3) vận tốc b n đầu thời điểm t = 0, điều có nghĩ u  0, x   u0  x  , x  Hệ phƣơng trình (1.1) với điều iện (1.2),(1.3) đƣợc gọi toán với điều iện hỗn hợp b n đầu f , u0 cho hệ phƣơng trình N vier – Stokes Trong (1.1) bỏ qu số hạng phi tuyến u.u t đƣợc hệ phƣơng trình N vierSto es tuyến tính ut  vu  p  f , divu  0,   u   0, u (0)  u0   gọi hệ Sto es hông dừng Nếu f , u, p hông phụ thuộc vào t t đƣợc hệ Sto es dừng vu  p  f , divu   u    bỏ qu ut , (1.1) t đƣợc hệ N vier- Sto e dừng 1.2 Một số Bổ đề  Bổ đề 1.2.1 Giả sử Vh  v  v0 , vb  : v0 T   Pk T  , e  T , T  Th d v, w Vh ta có  với aw  v,     v  , (1.4) aw  v,    v (1.5) Bổ đề 1.2.2 Toán tử chiếu Qh , Qh , Qh thỏa mãn tính chất giao hốn sau w  Qhv   Qh  v  , v [H    ]d w  Qhv   Qh  .v  , (1.6) v  H  div,   (1.7) H  div,   khơng gian hàm vectơ bình phương khả tích độ phân kỳ ln bình phương khả tích Bổ đề 1.2 Tồn số dương B độc lập với h cho sup vVh0 bw  v, p    p , p  Wh , v  (1.8)  Vh  v  v0 , vb  : v0 T   Pk T  , e  T , T  Th d Dễ thấy có BĐT s u ( xem [5]), s  v, v    hT1 v0  vb T Th  T he1 v0  e  e h (1.9) Trong [6], t có với v  v0 , vb  Vh  T Th v0 2 C v (1.10) T Định nghĩ chuẩn hác v Vh cho v  v0 , vb  nhƣ s u v   v0 T Th T   he1 v0  e (1.11) v  Vh (1.12) e h Khi từ ( 1.9) (1.10) suy ra, v C v , Bổ đề s u đƣợc chứng minh [3], đƣ r chặn cho dạng 3-tuyến tính ask .,.,. chuẩn Bổ đề 1.2 Cho  , v,  Vh Định nghĩa (1.11) Khi ta có