Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Đào Quang Khải THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Đào Quang Khải Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa công bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020 Tác giả Hoàng Thành Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Đào Quang Khải i Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, TS Đào Quang Khải Tôi muốn gửi lời cảm ơn mơn Giải tích, Khoa Tốn, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020 Tác giả Hoàng Thành ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm hàm suy rộng 1.1.1 Một số ký hiệu 1.1.2 không gian hàm D(Ω) khơng gian hàm suy rộng 1.1.3 1.1.4 1.2 có giá compact E ′ (Ω) Không gian hàm E(Ω) không gian hàm suy rộng Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) khơng gian Tích chập 13 1.2.2 1.4 hàm tăng chậm S ′ (Rn ) 10 1.2.1 1.3 D′ (Ω) Tích chập hàm Lp (Rn ), ≤ p ≤ ∞ 13 Tích chập hàm suy rộng hàm 14 Phép biến đổi Fourier S(Rn ) S ′ (Rn ) 14 Không gian Sobolev 17 1.4.1 Không gian Sobolev cấp nguyên không âm 17 1.4.2 Không gian Sobolev cấp thực 18 1.4.3 Không gian Sobolev 19 iii 1.5 Một số khái niệm phương trình Navier-Stokes 20 1.5.1 Phương trình Navier-Stokes 20 1.5.2 Nghiệm yếu phương trình Navier-Stokes 22 1.5.3 Nghiệm mềm 25 Sự suy giảm L2 theo thời gian nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes 27 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Những lập luận hình thức 29 2.3 Sự suy giảm Nghiệm Leray-Hopf 36 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 48 iv Lời mở đầu Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình Navier-Stokes quan trọng phương trình học chất lỏng dùng để mô tả chuyển động chất lỏng chất khí Chúng sử dụng để nghiên cứu thời tiết, thiết kế hình dáng động học máy bay, ô tô, nghiên cứu chuyển động máu, phân tích nhiễm, dự báo thời tiết, dịng chảy đại dương nhiều vấn đề khoa học khác Phương trình Navier-Stokes nhận quan tâm lớn mặt tốn học t, chúng có vai trò đặc biệt quan trọng phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại Mặc dù lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trải qua phát triển to lớn kỷ 20 số vấn đề phương trình Navier-Stokes chưa giải quyết, tồn nghiệm dáng điệu nghiệm Cụ thể cho giá trị thời điểm ban đầu trơn phương trình Navier-Stokes có tiếp tục trơn theo tất thời gian sau không, câu hỏi nêu vào năm 1934 J Leray chưa có câu trả lời khẳng định phủ định Tính nghiệm yếu tốn vấn cịn câu hỏi mở Nội dung đề tài Mục đích đề tài nghiên cứu dáng điệu nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Navier-Stokes khơng nén không gian ba chiều ut = ∆u − u · ∇u − ∇p + f ∇·u=0 u(x, 0) = u (x) f giả thiết tiến tới t → ∞ Luận văn trình bày vài kết nghiên cứu suy giảm nghiệm yếu Leray-Hopf L2 theo thời gian thời gian tiến vô cùng, dựa báo Maria Elena Schonbek [2] Luận văn gồm lời mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Cụ thể là: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Sự suy giảm L2 nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes Chương Kiến thức chuẩn bị Các mục 1.1, 1.2 1.3 chương chúng tơi tham khảo tài liệu [1], cịn mục 1.4 1.5 tham khảo tài liệu [3] [5] 1.1 Không gian hàm hàm suy rộng 1.1.1 Một số ký hiệu Cho Ω tập mở Rn ta định nghĩa sau: C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω)| supp u tập compact}, k ∞ ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), supp u = {x ∈ Ω|u(x) 6= 0} Ký hiệu: Lp (Ω) = {u : Ω → C|u đo được, R Ω |u(x)|p dx < ∞} với ≤ p < ∞ L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess sup |u(x)| < ∞} x∈Ω et∆ t ∈ ET } Chúng ta đạt kết sau Định lý 1.37 (Nguyên lý co Picar) Cho ET ⊆ L2uloc,x L2T ((0, T ) × Rn ) thỏa mãn toán tử B song tuyến tính liên tục (ET )d Thì 25 (i) Nếu u ∈ ETn nghiệm yếu phương trình Navier-Stokes giá trị ban đầu u0 thuộc ETn (ii) Ngược lại tồn số dương C > cho với u0 ∈ ETn thỏa mãn ∇ · u = ket∆ u0 kET < C , phương trình Navier-Stokes có nghiệm u ∈ (ET )n với giá trị ban đầu u0 thỏa mãn u = et∆ u0 − Zt e(t−s)∆ P∇ · (u ⊗ u)ds 26 Chương Sự suy giảm L2 theo thời gian nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes Chương chúng tơi trình bày nội dung dựa tài liệu [2] [4] 2.1 Giới thiệu Chúng ta nghiên cứu dáng điệu thời gian tiến vơ nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Navier-Stokes khơng nén khơng gian ba chiều: i i i i ut + u · ∇u − ∆u + ∇i p = f , i = 1, 2, ∇·u=0 (2.1) u(x, 0) = u (x) f = (f , f , f ) giả thiết tiến tới t → ∞ Ta đặt vấn đề xác định có hay không suy giảm nghiệm yếu phương trình (2.1) chuẩn L2 t → ∞ Trong luận văn này, ta chứng minh nghiệm Leray-Hopf phương trình (2.1) xây dựng Caffarelli, Kohn Nirenberg [4] phương pháp hiệu chỉnh trễ, suy giảm L2 với tốc độ đại số Phần luận văn nghiệm phương 27 trình Navier-Stokes n chiều, n ≥ , với liệu tùy ý bị chặn L1 L2 thỏa mãn: ku(·, t)k2L2 (Rn ) ≤ C(t + 1)−n/2+1 , (2.2) với số C phụ thuộc vào chuẩn liệu L1 L2 Chứng minh dựa vào giải tích phổ tốn phi tuyến khơng cần tới tính chất toán tử Stokes Phương pháp phát triển để nghiệm luật bảo toàn parabolic theo dạng: ut + n X ∂ j=1 ∂xj f j (u) = ∆u, suy giảm L2 tốc độ đại số theo thời gian t → ∞ Phương pháp áp dụng cho phương trình Navier-Stokes n chiều bất kì, n ≥ Theo giả thiết u bị chặn theo thời gian L1 (Rn ), tốc độ suy giảm công thức (2.2) cải tiến với: ku(·, t)k2L2 (Rn ) ≤ C(t + 1)−n/2 , với ∀n ≥ Do uN hội tụ đủ mạnh L2 (R3 × [0, T ]) với ∀T > tới nghiệm LerayHopf phương trình Navier-Stokes (2.1), suy giảm L2 hàm uN kéo theo suy giảm L2 nghiệm u Hằng số liên quan phụ thuộc vào chuẩn liệu L1 L2 Kết sau thiết lập: Định lý 2.1 Nếu u0 ∈ L1 (R3 ) ∩ L2 (R3 ), tồn nghiệm Leray-Hopf phương trình Navier-Stokes chiều (2.1) với f = cho: ku(·, t)kL2 (R3 ) ≤ C(t + 1)−1/2 số C phụ thuộc vào chuẩn liệu ban đầu L1 L2 Định lý với tốc độ suy giảm thu cho nghiệm (2.1) với lực f khác không thỏa mãn f phân kì tự suy giảm 28 tốc độ đại số thích hợp L2 (R3 ) Ta lưu ý suy giảm cải tiến tới (1 + t)−3/2 với giả thiết nghiệm xấp xỉ xây dựng Caffarelli, Kohn Nirenberg bị chặn L1 (R3 ) Ta mong lập luận hình thức với điều chỉnh thích hợp dùng để thiết lập suy giảm L2 cho nghiệm Leray-Hopf tùy ý Sự suy giảm tốc độ đại số thích hợp với số suy giảm C phụ thuộc vào chuẩn liệu ban đầu L1 L2 Đó lý dẫn thảo luận đến phần "những lập luận hình thức" 2.2 Những lập luận hình thức Ta nêu lập luận hình thức để thiết lập suy giảm nghiệm L2 tốn Cauchy n-chiều cho phương trình Navier-Stokes, với n ≧ 3: i i i i ut + u · ∇u − ∆u + ∇i p = f , i = 1, , n ∇ · u = 0, (2.3) u(x, 0) = u (x), x ∈ Rn với f = (f , , f n ) suy giảm L2 với tỉ lệ thích hợp Chúng ta dùng kí hiệu: kg(·, t)kp = Z p |g(x, t)| dx Rn 1/p , p ≧ Đầu tiên, ta xét trường hợp f = Định lý 2.2 Cho u : Rn × R+ → Rn , p : Rn × R+ → Rn , hàm trơn với u triệt tiêu vô cùng, cho u p thỏa mãn: uit + u · ∇ui − ∆ui + ∇i p = f i , i = 1, , n ∇·u=0 u(x, 0) = u0 (x) 29 (2.4) u0 ∈ L2 (Rn ) ∩ L1 (Rn ) Khi đó: (2.5) ku(·, t)k22 ≤ C(t + 1)−n/2+1 , số C phụ thuộc vào chuẩn u0 L1 L2 n Chứng minh Chúng ta phương trình lượng quen thuộc: d dt Z |u| dx = −2 Z (2.6) |∇u|2 dx Rn Rn Để đạt phương trình (2.6) ta nhân phương trình (2.4) với u lấy tích phân theo khơng gian Tích phân thứ hai ba triệt tiêu ∇ · u = Ứng dụng định lý Plancherel cho (2.6), ta được: d dx Z |ˆ u| dξ = −2 Z |ξ|2 |ˆ u|2 dξ Rn Rn Một phân tích miền tần số thành hai miền phụ thuộc thời gian sinh bất đẳng thức vi phân thứ theo chuẩn riêng L2 biến đổi Fourier nghiệm Những miền phụ thuộc thời gian hình cầu n-chiều S(t), tâm gốc với bán kính phù hợp phụ thuộc vào thời gian phần bù Phân tích cho phép đánh giá số hạng không bất đẳng thức vi phân tích phân |ˆ u(ξ, t)|2 S(t) Do suy giảm L2 phụ thuộc vào đánh giá biến đổi Fourier cho u theo giá trị tần số ξ ∈ S Từ đánh giá nhận bất đẳng thức vi phân với hệ tốc độ suy giảm L2 mong muốn sau Ta viết lại công thức (2.6) dạng: d dt Z Rn |ˆ u| dξ = −2 Z 2 |ξ| |ˆ u| dξ − S(t)c |ξ|2 |ˆ u|2 dξ, S(t) S(t) hình cầu Rn với bán kính: 1/2 r(t) = Z n 2(t + 1) 30 (2.7) Do đó: d dt Z n |ˆ u| dξ ≤ − t+1 Rn Z |ˆ u| dξ − S(t)c n =− t+1 Z Z |ξ|2 |ˆ u|2 dξ S(t) |ˆ u| dξ + Rn Z n u|2 dξ − 2|ξ|2 |ˆ t+1 S(t) d dt Z n |ˆ u| dξ + t+1 Rn Z n |ˆ u| dξ ≤ t+1 Rn Z |ˆ u|2 dξ (2.8) S(t) Ta cần sử dụng bất đẳng thức sau |ˆ u(ξ, t)| ≤ C|ξ|−1 với ξ ∈ S(t), (2.9) số C phụ thuộc vào chuẩn u0 L1 L2 Bất đẳng thức ta chứng minh sau Kết hợp bất đẳng thức (2.9) (2.8) ta được: d dt Z n |ˆ u| dξ + t+1 Rn Z Z C |ˆ u| dξ ≤ t+1 Rn |ξ|−2 dξ S(t) Nhân với thừa số tích phân (t + 1)n ta có: Z Z d n−1 n |ξ|−2 dξ |ˆ u| dξ ≤ C(t + 1) (t + 1) dt Rn S(t) Vế phải biểu diễn dạng: Cw0 (t + 1)n−1 Zr(t) rn−1 r−2 dr, w0 thể tích hình cầu đơn vị n-chiều r(t) đuợc định nghĩa (2.7) Do d (t + 1)n dt Z Rn Cw0 n |ˆ u| dξ ≤ (t + 1)n−1 n−2 2(t + 1) ≤C(t + 1)n/2 31 n/2−1 Lấy tích phân theo thời gian t, ta suy (t + 1) n Z |ˆ u| dξ ≤ Z |ˆ u(ξ, 0)|2 dξ + C[(t + 1)n/2+1 − 1] Rn Rn Do u0 ∈ L2 , từ định lý Plancherel ta có: Z |u|2 dx ≤ C(t + 1)−n/2+1 Rn Để hoàn thiện chứng minh cần thiết lập bất đẳng thức (2.9) Sử dụng biến đổi Fourier cho phương trình (2.4) ta được: (2.10) uˆt + |ξ|2 uˆ = G(ξ, t) đó: G(ξ, t) = −F(u · ∇u) + iξ F(p), Nhân (2.10) với nhân tử e|ξ| t ta được: d |ξ|2 t [e u] = e|ξ| t G(ξ, t) dt Lấy tích phân theo thời gian ta e |ξ|2 t uˆ = uˆ0 + Zt e|ξ| s G(ξ, s)ds Do đó: |ˆ u(ξ, t)| ≤ e |ξ|2 t uˆ0 (ξ) + Zt e|ξ| (t−s) |G(ξ, s)|ds (2.11) Giả sử vào lúc ta có đánh giá phụ trợ sau |G(ξ, t)| ≦ C|ξ|, đánh giá ta chứng minh sau 32 (2.12) Kết hợp (2.11) (2.12) ta được: |ˆ u(ξ, t)| ≤ e−|ξ| t uˆ0 (ξ) + C Zt e−|ξ| (t−s) |ξ|ds (2.13) Do u0 ∈ L1 nên biến đổi Fourier nằm L∞ , nghĩa ta có: (2.14) |uˆ0 (ξ)| ≤ C, với ∀ξ số C Thực phép lấy tích phân phương trình (2.13) áp dụng (2.14) cho ta: |ˆ u(ξ, t)| ≤ Ce−|ξ| t + C (1 − e−|ξ| t ) |ξ| Bất đẳng thức mong muốn (2.9) suy bán kính S(t) bị chặn theo t Chúng ta lưu ý (2.9) thỏa mãn s ∈ K , K tập hợp compac tuỳ ý Để hoàn thành chứng minh cần thiết lập (2.12) Vì mục đích ta phân tích số hạng G(ξ, t) cách tách biệt bắt đầu với số hạng đối lưu Bằng cách tích phần phần để ý div u = ta có XZ Z |uj ui ||ξj |dx, |F(u · ∇u)| =