bài toán cực trị vật lý trung học phổ thông

Vận dụng công cụ toán học để giải các bài toán cực trị trong vật lý THPT Vận dụng công cụ toán học để giải các bài toán cực trị trong vật lý THPT 1 MỞ ĐẦU 1 1 Lí do chọn đề tài Cực trị là bài toán rất.

Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Cực trị toán hay gặp đề thi học sinh giỏi câu khó kì thi THPT quốc gia Có nhiều dạng cực trị xuyên suốt từ phần học lớp 10, đến phần nhiệt học, điện học lớp 11 12, quang học, dạng ta phải sử dụng cơng cụ tốn học riêng để giải mà lại khơng có tài liệu tham khảo viết riêng vấn đề cực trị Do q trình dạy học phần kiến thức gặp nhiều khó khăn Tốn học vật lý mơn học có quan hệ gắn bó khăng khít với Tốn học cơng cụ hữu ích để ta giải nhiều tập, đặc biệt tập cực trị vận dụng nhiều kiến thức toán Tuy nhiên gặp tốn cực trị phần lớn học khơng biết phải đâu, áp dụng cơng cụ tốn học để làm Nhằm giúp học sinh giải đúng, giải nhanh tốn dạng tơi định nghiên cứu sâu dạng tốn cực trị Qua đó, tơi đúc rút kinh nghiệm thân, tham khảo nhiều tài liệu để tổng hợp nên phương pháp áp dụng cho dạng toán cực trị Từ lý trên, định chọn nội dung “ Vận dụng hiệu toán học để giải tập cực trị vật lý THPT ” làm đề tài nghiên cứu Trong đề tài tổng hợp phần lớn dạng toán cực trị đồng thời nêu phương pháp lựa chọn cơng cụ tốn học để giải cho dạng Ngồi cịn giới thiệu phương pháp tìm cực trị mà tài liệu chưa có sử dụng chức table máy tính cầm tay FX 570 Hy vọng tập tài liệu giúp ích cho quí đồng nghiệp trình giảng dạy cho em học sinh q trình học tập kiểm tra 1.2 Mục đích nghiên cứu - Việc nghiên cứu toán cực trị giúp giảm bớt khó khăn cho học sinh giáo viên trình dạy học phần kiến thức liên quan đến cực trị toán khó q trình bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc Gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu học sinh trường THPT Ba Đình- Nga Sơn qua số năm học từ năm học 2014-2015 đến 2018-2019 - Phạm vi nghiên cứu: + Các dạng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng vật lý chương trình vật lý THPT Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT + Kiến thức tốn học bất đẳng thức Cơsi, Bu-nhi-a-Cốp-xki, hàm lượng giác tốn học, phương pháp đạo hàm tìm cực trị ứng dụng máy tính cầm tay FX 570 giải toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong sáng kiến sử dụng số phương pháp như: - Phương pháp chính là: tổng kết đúc rút kinh nghiệm từ thực tế dạy học - Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, mạng internet - Phương pháp hỗ trợ trao đổi kinh nghiệm từ các giáo viên bên mơn tốn học - Phương pháp điều tra từ đối tượng học sinh 1.5 Những điểm SKKN - Sáng kiến có sử dụng phương pháp chưa có tài liệu viết sử dụng máy tính cầm tay với chức table (mode 7) để tìm cực trị, cho kết nhanh xác Phương pháp q trình giảng dạy, tơi tổng kết từ phía học sinh tìm hiểu thêm từ đồng nghiệp bên mơn tốn Đặc biệt học sinh sử dụng máy tính cầm tay thành thạo nên em có khả áp dụng tốt phương pháp - Tuy nhiên, phương pháp sử dụng máy tính cầm tay hữu hiệu với có khoảng giới hạn xác định Thực tế ta cịn gặp nhiều mà điều kiện tốn khơng rõ ràng ta khơng thể dùng máy tính cầm thay Vậy nên, gặp ta phải sử dụng phương pháp khác, tơi giới thiệu phương pháp làm, cách lựa chọn cơng cụ tốn học hữu ích, đặc trị loại tốn Từ đó, giúp học sinh hiểu chất biết cách vận dụng gặp tương tự Đồng thời tài liệu tham khảo bổ ích cho đồng nghiệp Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Bài tốn cực trị vật lý tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng vật lí Nó liên hệ chặt chẽ với toán học Để giải loại tập ta phải khai thác triệt để bất đẳng thức (BĐT) Cô-si, BĐT Bu-nhia-côpxki, tam thức bậc hai, định lí hàm số sin, cosin tam giác khảo sát hàm số, sử dụng đạo hàm Ngồi với kiểu hình thức thi trắc nghiệm, máy tính cầm tay tích hợp nhiều chức Trong có chức table tìm giá trị lớn nhỏ khoảng nghiệm từ a đến b nên ta sử dụng cách toán học để làm tập cực trị 2.1.1 Sử dụng chức table máy tính cầm tay Casio FX 500 Chức table máy Casio FX 570 giúp giải nhanh toán cực trị máy tính, hiệu sử dụng với tốn có khoảng giới hạn xác định - Ban đầu ta có hàm số f(x) với x số nguyên dương nằm a≤x≤b khoảng Khi thay x vào hàm số f (x), ứng với giá trị x ta có hàm f(x) tương ứng - Các thao tác với máy tính + Bấm mode để mở chức table Màn hình hiển thị f (x)= + Nhập hàm f(x) tương ứng với đại lượng vật lý cần tìm giá trị min, max + Bấm = hình hiển thị start ? Ta nhập giá trị đầu a giới hạn biến số x + Bấm = hình hiển thị end ? Ta nhập giá trị cuối b biến số x bấm = + Màn hình hiển thị Step ( bước nhảy ) ta nhập = (b - a)/19 hình hiển thị bảng giá thị tương ứng x f(x) + Dùng phím di chuyển lên xuống để dò kết max hàm f(x) 2.1.2 Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) - Nội dung: (a,b dương ) ( a, b, c dương) Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT ( a, b, c….là số dương) Dấu xảy số 2.1.3 Bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki (Bunyakovsky) Nội dung: Cho a1, a2, b1, b2 Dấu xảy a / a2 =b / b2 2.1.4 Tam thức bậc hai: Xét tam thức bậc hai + Nếu a > ymin đỉnh pa rabol + Nếu a < ymax đỉnh parabol + Tọa độ đỉnh: ; ( 2.1.5 Định lí hàm số sin tam giác ) A b Xét tam giác ABC có cạnh tương ứng a,b,c c Định lý hàm số sin tam giác: a b c = = =2 R sin A sin B sin C B C a 2.1.6 Khảo sát hàm số - Xét hàm số f(x) ' f ( x )=0 - Tính đạo hàm Cho - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu 2.2 Thực trạng việc giải toán cực trị - Các toán cực trị lâu tốn khó vật lý, khơng đơn chất vật lý mà phải vận dụng toán học để giải Bằng kiến thức vật lý em cần thiết lập biểu thức đại lượng cực trị mà đề yêu cầu sau vận dụng kĩ tốn học để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đại lượng Thực tế với nhiều học sinh, việc kết hợp kiến thức vật lý lẫn tốn học khó khăn Đa số em thường khơng làm được, số làm dc chưa đến kết cuối - Từ thực tế vậy, tơi phân tích dấu hiệu toán để học sinh định hướng cần phải dùng cơng cụ tốn học để làm hiệu Ví dụ Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT toán điện thường hay dùng bất đẳng si, cịn tốn khoảng cách chuyển động thường hay dùng tam thức bậc hai, với có khoảng giới hạn xác định nên dùng chức table máy tính cầm tay cho kết nhanh xác… 2.3 Sử dụng tốn học để giải toán cực trị 2.3.1 Sử dụng chức table máy tính FX 570 để tìm cực trị Phạm vi sử dụng: Thường áp dụng cho tốn tìm cực trị đại lượng vật lý mà biến số xác định khoảng giới hạn Ví dụ (Chun sư phạm hà nội lần năm 2019): Cho hai lắc lò xo nằm ngang ( k 1, m) (k2, m) hình vẽ Trục dao động M N cách 9cm Lị xo k1 có độ cứng 100N/m, chiều dài tự nhiên l1= 35 cm Lò xo k2 có độ cứng 25 N/m chiều dài tự nhiên l2= 26 cm Hai vật có khối lượng m Thời điểm ban đầu t=0, giữ lò xo k dãn đoạn 3cm, lò xo k2 nén đoạn 6cm đồng thời thả nhẹ để hai vật dao động điều hòa Bỏ qua ma sát Khoảng cách nhỏ hai vật trình dao động bao nhiêu? Giải: Phân tích tốn: (−1→1 ) Hàm dao động điều hòa sin cosin xác định khoảng giới hạn nên sử dụng chức table sau lập phương trình khoảng cách hai vật Ta có: ω 1= √ √ √ √ k1 k 100 25 = ω 2= = m m m m ω 1=2 ω ; nên VTCB lò xo cách theo phương ngang đoạn 35-26= 9cm Tại t=0, lò xo k1 dãn cm, lò xo k2 nén 6cm nên phương trình dao động hai vật x =−9+6 cos ( ω2 t + π ) =−9−6 cos ( ω t ) x 1=3cos ω1 t =3 cos ω t Khoảng cách hai vật là: ¿|6 cos ωt +6 cos ωt+6| Do −1≤cos x≤1 x O2 Δx=|x −x2|=|3 cos ( ωt )+6 cosωt +9| 9cm nên ta thao tác Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page O1 x1 Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT máy tính sau: + Bấm Mode hình hiển thị f(x)= + Nhập f (x)=6X2+6X+6 bấm = + Start -1= + end 1= + Step 2/19 = + Dùng phím di chuyển lên xuống tìm giá trị f (x) nhỏ ta thấy Λx =4 , 504 ( cm ) - Khoảng cách nhỏ vật d =√ Δx +MN = √ , 5042 + 92≈10 ( cm ) x f(x) -1 -0,894 5,4349 0,789 5,0027 - 0,684 4,7036 -0,578 4,5373 -0,473 4,5041 -0,368 4,6038 Ví dụ ( Thi THPT quốc gia 2017) Trong thí nghiệm Yâng giao thoa ánh sáng, hai khe chiếu ánh sáng trắng có bước sóng từ 0,38 μm μm đến 0, 76 μm Tại vị trí vân sáng bậc ánh sáng đơn sắc có bước sóng 0,76 cịn có vân sáng ánh sáng đơn sắc khác nhau? Bức xạ có bước sóng lớn nhất? Giải: Phân tích tốn: Bước sóng ánh sáng trắng có giới hạn xác định khoảng từ 0,38 đến 0,76 μm nên ta sử dụng chức table để tìm cực trị sau lập biểu thức bước sóng Xuất ⇒ λ2 = phát μm từ điều k λ1 ,76 , 04 = = k2 k2 k2 λ2 kiện Đặt hai f ( x )= vân , 04 X với + Bấm mode để mở chức table hình hiển thị f(x)= , 04 f ( x )= X + Nhập + Start 1= Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page sáng trùng nhau: k λ1 =k λ , 38 μm≤f ( x )≤0 , 76 μm x f(x) 3,04 1,52 1,0133 Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT + end 10 = + Step 1= ( k số nguyên nên bước nhảy 1) + Bấm phím lên xuống để dị tìm kết thỏa mãn u cầu toán 0,76 0,608 0,5066 0,4342 0,38 0,3377 10 0,304 , 38 μm≤f ( x )≤0 , 76 μm Ta thấy khoảng từ có giá trị thỏa mãn k= 5,6,7,8( k=4 trùng với xạ đề khơng tính) tức có xạ cho vân sáng + Nhìn giá trị ta nhận thấy giá trị lớn với X= f ( x )= λ2 =0 , 608 μm 2.3.2 Sử dụng bất đẳng thức Côsi Phạm vi áp dụng: Thường áp dụng cho toán điện chiều lớp 11 điện xoay chiều lớp 12 Ví dụ 1: (phần Điện trường, Vật lí 11) Hai điện tích q1 = q2 = q > đặt A B khơng khí Biết AB = 2a a Xác định cường độ điện trường điểm M đường trung trực AB cách AB đoạn h b Xác định h để EM cực đại Tính giá trị cực đại Giải: Phân tích tốn: Biểu thức cường độ điện trường M hệ điện tích gây ta chứa  số hạng dương nên ta áp dụng bất đẳng thức si a Xác định Ta có EM :  với Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page E2 q1 A   M h O 2a E1 q2 B Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT Độ lớn: b Trong biểu thức EM số hạng dương, nên áp dụng BĐT Cô-si ta được: Nên EM đạt giá trị cực đại khi: Khi đó: Ví dụ 2: (phần Điện học, Vật lí 11) Cho mạch điện hình vẽ Cho biết: , r = , R biến trở Tìm giá E, r trị R để cơng suất mạch ngồi đạt giá trị cực đại Giải: Phân tích tốn: R Sau lập biểu thức cơng suất mẫu số có dạng tổng số hạng dương, mà tích chúng khơng đổi nên áp dụng BĐT Cơ si cho mẫu số để tìm giá trị nhỏ - Dịng điện mạch: Công suất: P = I2.R = P= Đặt Nhận xét: Để Pma x ymin Theo BĐT Cơ-si: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ hai số => ymin R=r=4 Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT Ví dụ 3: (phần Điện học, Vật lí 11) E,r Một nguồn điện có: E = 15 V; r = , nối với mạch gồm R1 =  v R2 mắc song song với Tìm R để R1 cơng suất tiêu thụ cực đại Tính giá trị cực đại A B Giải : R2 Phân tích tốn: + Biết giá trị điện trở không âm nên ta chuyển hàm P2 = f(R2) dạng bất đẳng thức Cơsi để tìm cực trị E 2 + R  R1R 2R E ⇒ Rn = R  R =  R I = R n + r = + 3R E 2 + R  2R 2E R ⇒ U1 = U2 = Un = IRn = + 3R  R = + 3R ; 4E   4E R U 22 + R2    + 3R   R ⇒  P2 = R =  = Đặt y = Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: y  ⇒ 3 R R2  R2 R2 R R2 để P2max ymin =2 4E E2 2  R2 = ; Khi đó: P2max = A = = 37,5 W Amin =  Ví dụ 4: (phần Điện học, Vật lí 11) E,r Cho mạch điện có sơ đồ hình bên Biết: E = 12 V; r = ; R1 = ; R2 =  Tìm R3 để cơng suất tiêu thụ R3 đạt cực đại R1 A R2 Giải: B R3 Phân tích tốn: + Mạch cho kín nên ta áp dụng định luật Ơm cho tồn mạch Ta lập biểu thức công suất phụ thuộc vào R3.Biết giá trị điện trở không âm hàm P3 = f(R3) dạng bất đẳng thức Côsi để lập luận Giải: Sơ đồ mạch ngoài: (R2 nt R3) // R1 Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT R1R 23 R23 = R2 + R3 = + R3; Rn = R1  R 23 E E 6 + R  4(2  R ) 4(2 + R ) +2 ⇒ =  R3 I = + R3 = 20 + 6R E 6 + R  4(2  R ) 4E 2 + R  U 23 2E ⇒ ⇒ Un = IRn = 20 + 6R  R = 20 + 6R I3 = I23 = R 23 = 10 + 3R 4E 2  10  10 + R   + R3  ⇒ 10 + 3R   R R   Đặt A = P3 = I3 R3 = = 4E R 10 R R3 Để P3max  ymin Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: y  10 = R3 ⇒ R3 ⇒ 4E 10 R3 =  Khi đó: P3max = A = 4,8 W Amin = 30  Ví dụ 5: (phần Dịng điện xoay chiều, Vật lí 12) Cho mạch điện hình vẽ Cho biết: , = 30 , A R L,r C B R thay đổi Tìm R để cơng suất R cực đại r = 50 Giải: Phân tích tốn: + Để biện luận giá trị cực đại công suất ta viết biểu thức r + ( Z L−ZC ) công suất P= Do giá trị R và tích khơng đổi nên ta áp dụng bất đẳng thức cơsi R dương Công suất = Đặt Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Để Pmax Page 10 Vận dụng cơng cụ toán học để giải toán cực trị vật lý THPT Chiếu lên trục Ox: Chiếu lên Oy: Ta có: Khi vật trượt Nhận xét: Fmin ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski: Vậy Lúc đó: Ví dụ 3: (phần Động lực học chất điểm, Vật lí 10) Người ta quấn sợi dây không giãn khối lượng không đáng kể quanh khối trụ khối lượng m Hỏi phải kéo dây lực Fmin, góc α để khối trụ quay chỗ Cho biết hệ số ma sát khối trụ sàn k Giải: Phân tích tốn: Ta tìm biểu thức F để m thoát khỏi M là: F= kmg cos α +k sin α Trên tử số số để F nhỏ mẫu lớn Ta áp dụng bất đẳng thức bunhia- Cốp-xki ví dụ y  F  x N O   P Fms Các lực tác dụng biểu hình Do khối trụ khơng chuyển động tịnh tiến nên tổng hình chiếu lực phương Ox, Oy Tức là: Trong : Fms =k.N Từ hệ phương trình ta có: Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page 14 Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT => F đạt y đạt max Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki ta có: Dấu ‘=’ xảy Vậy Ví dụ 4: Hai chuyển động AO BO hướng O với Khi khoảng cách hai vật cực tiểu d khoảng cách từ vật đến O Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O Giải Phân tích tốn: Sau q trình lập luận tút biểu thức tính khoảng cách từ vật đến O ta + ⇒ y = Gọi d1, d2 khoảng cách từ vật vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = ) Áp dụng định lý hàm sin ta có: A Vì Áp dụng tính chất phân thức ta có: Mặt khác, tacó: Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình d1’ d nên ta có: Page 15 B d2’ O Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT Vậy Khoảng cách hai vật dmin ymax với y = Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: ⇒ ymax= ⇒ Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc là: d2’ = 90(m) 2.3.4 Sử dụng tam thức bậc hai Phạm vi áp dụng: Thường dùng tập chuyển động có liên quan đến phương trình chuyển động dạng tam thức bậc hai Ví dụ 1: Hai xe mơtơ chạy theo hai đường vng góc với nhau, tiến phía ngã tư (giao điểm hai đường), xe A chạy từ hướng Đông sang hướng Tây với vận tốc 50 km/h; xe B chạy từ hướng Bắc hướng Nam với vận tốc 30 km/h Lúc sáng, A B cách ngã tư 4,4 km km Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe nhỏ Tính khoảng cách Giải: Phân tích tốn: - Chuyển động hai xe chuyển động thẳng nên phương trình chuyển động có dạng hàm bậc theo thời gian t Hai xe chạy theo hai hướng vng góc với nên khoảng cách hai xe xác định theo định lí pitago tọa độ hai xe Nghĩa là, khoảng cách L hai xe biểu diễn thông qua hàm bậc hai thời gian t y - Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với + trục Ox theo hướng từ Đông sang Tây;  vA + trục Oy theo hướng từ Bắc Nam; O x x0  + gốc tọa độ O ngã tư vB - Chọn mốc thời gian lúc sáng y0 - Phương trình chuyển động xe Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page 16 Vận dụng cơng cụ toán học để giải toán cực trị vật lý THPT + xe A: x = x0 + vAt = - 4,4 + 50t (km); + xe B: y = y0 + vBt = - + 30t (km) 2 - Khoảng cách hai xe: L = x  y = 3400t  680t  35,36 (km) Biểu thức: 2 L =3400 t −680 t+35 , 36 b 680 x=− ⇒ t = =0,1 h 2a 3400 tam thức bậc hai có hệ số a>0 nên đạt cực ⇒ tiểu Lmin = 1166 m Vậy: Lúc 8h 6phút sáng, khoảng cách hai xe đạt nhỏ 1166 m Ví dụ 2: Một cầu thủ ghi bàn thắng phạt đền 11 m; bóng bay vơ chạm vào mép xà ngang bay vô gôn Biết xà ngang cao 2,5 m; khối lượng bóng 0,5 kg Hỏi góc bay bóng so với mặt sân cỏ phải để lượng mà cầu thủ truyền cho bóng nhỏ Bỏ qua sức cản khơng khí Lấy g = 10 m/s2 Giải: Phân tích tốn: Phương trình quĩ đạo bóng có dạng ném xiên y = f(x) biểu diễn theo hàm bậc hai tan, với  góc tạo vận tốc ban đầu bóng so với mặt sân cỏ Khi bóng chạm xà ngang ta có được: y = h = 2,5 m x = L=11 m; Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với: y  + trục Ox nằm ngang hướng phía gơn;  X v v 0y + trục Oy thẳng đứng hướng lên; + Gốc tọa độ vị trí phạt 11 m x G O Chọn mốc thời gian lúc bóng bắt đầu bay 0x Phương trình chuyển động bóng theo hai trục tọa độ là: + theo phương Ox: x = x0 + v0x.t = (v0cos)t; + theo phương Oy: y = y0 + v0y.t + ½ ay.t2 = (v0sin)t – ½ gt2  v gx 2 Phương trình quĩ đạo bóng có dạng: y = f(x) = (tan)x – 2v0 cos α g Hay: y = (tan)x - 2v (1 + tan2)x2 Khi bóng chạm xà ngang bay vơ gơn, x = L = 11 m; y = h = 2,5 m Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page 17 Vận dụng cơng cụ tốn học để giải tốn cực trị vật lý THPT gL2 (1  tan α) gL2 gL2 (1  tan α) 2 L tan α  h  2v 02 Ta có: h = L.tan  v0 =  = a >   tan α   L tan α  h a   phải có nghiệm tan  để tồn giá trị  phương trình  h L ⇒ Khi đó, tan2 - L.a.tan + + h.a = tan2 - 11a.tan + + 2,5a = Để thỏa mãn điều kiện thì:  = 121a2 – 4(1 + 2,5a)   121a2 – 10a –   509  a   121  - 121   a   121  509  121 a  - 509  121 < (loại) 509  11a  amin = 121   =  tan =   = 51024’ 509  Ta lại nhận thấy: Wđ0min  v0min  amin = 121 gL2 Vậy,  = 51024’ Wđ0min = ½ m v0min = ½ m amin  34,5 J Ví dụ 3: Hai chiếc tàu biển chuyển động với cùng vận tốc hướng tới điểm O hai đường thẳng hợp với một góc α = 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai tàu Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng cách là d = 60km và d2 = 40km Giải: Phân tích tốn: Chuyển động vật có dạng phương trình bậc khoảng cách vật thành hàm bậc theo biến thời gian t Nên ta áp dụng cách tìm cực trị tam thức bậc hai Chọn hệ trục tọa độ không vuông góc hình vẽ Giả sử tàu A chuyển động Oy về O ,tàu B chuyển động Ox về O Phương trình chuyển động của y chúng lần lược là : x= 40-v.t y= 60-v.t A Tại thời điểm t khoảng cách giữa hai tàu là y Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page 18 O 600 B x X Vận dụng công cụ toán học để giải toán cực trị vật lý THPT Thay (1),(2)vào(3) ta được Vế phải là một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất là Ví dụ 4: Hai vật nhỏ chuyển động hai trục tọa độ vng góc Ox, Oy qua O lúc Vật thứ chuyển động trục Ox theo chiều dương với gia tốc 1m/s2 vận tốc qua O 6m/s Vật thứ hai chuyển động chậm dần theo chiều âm trục Oy với gia tốc 2m/s vận tốc qua O 8m/s Xác định vận tốc nhỏ vật thứ vật thứ hai khoảng thời gian từ lúc qua O vật thứ hai dừng lại Giải: Phân tích tốn: Chuyển động vật có dạng phương trình bậc khoảng cách vật theo phương vng góc thành bình phương nên trờ thành phương trình bậc theo biến thời gian t Nên ta áp dụng cách tìm cực trị tam thức bậc hai - Chọn mốc thời gian lúc vật qua O - Phương trình vận tốc vật thứ trục Ox: v1 = v01 + a1t = + t - Phường trình vận tốc vật thứ hai trục Oy: y v2 = v02 + a2t = - + 2t - Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v2 = => t = 4s - Vận tốc vật thứ vật thứ hai là: ⃗ v 12=⃗ v −⃗ v Do ⃗ v1 vng góc với ⃗ v2 2 2 => v12 = √ v + v = √ (6+t ) +(−8+2 t ) => v12 = √ t −20 t+100 Vế phải là một tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất O với t = 20 = 2(s) (v12)min = √ 5.2 −20.2+100≈¿ ¿8,94 (m/s) v ,⃗ v 12 )=α với Cosα = v1/v12 = 8/8,94 ¿ 0,895 => α = 26,50 Khi v1 = 8m/s, (⃗ - Vậy v12 đạt giá trị nhỏ 8,94m/s lúc t = 2s hợp với Ox góc 26,50 2.3.5 Sử dụng định lý hàm sin tam giác - Phạm vi áp dụng: Thường sử dụng để tìm giá trị cực đại, cực tiểu biên độ thành phần, biên độ tổng hợp dao động điều hòa lớp 12 Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page 19 x Vận dụng cơng cụ tốn học để giải toán cực trị vật lý THPT Ví dụ 1: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hịa phương có ( x 1= A cos ωt + ) ( ) π π cm x 1=6 cos ωt− cm Để vật dao động với biên phương trình độ nhỏ pha dao động ban đầu bao nhiêu? Giải: Phân tích tốn: Ta dựa vào pha dao động để vẽ giản đồ vectơ Từ hình vẽ thấy  có đủ điều kiện góc cạnh để áp dụng định lý hàm sin tam giác Các A1 sau tương tự ví dụ nên tơi khơng nêu phần phân tích bào tốn ⃗ A1 Áp dụng định lý hàm số sin tam giác ta có:  A2 A sin( π /3) A = ⇒ A= π sin α sin α sin  π π sin α =1 ⇒α = ⇒ ϕ=−   A 3 Amin A2 Ví dụ 2: Một vật có khối lượng không đổi thực đồng thời hai dao động điều x 1=10 cos ( ωt +ϕ ) cm x =A cos ( ωt+ ϕ ) cm hịa , phương trình dao động tổng hợp ( x= A cos ωt− vật ) π cm Để vật cực đại A2 bao nhiêu? Giải: Cơ vật cực đại biên độ dao động tổng hợp cực đại Dựa vào kiện tốn ta vẽ giản đồ biểu diễn dao động hình vẽ Theo định lý hàm số sin tam giác ta có: A1 sin π = A sin α A ⇒ A= ⇒ A max sin α π sin   /3 π π α= ⇒ ⃗ A1 ⊥ ⃗ A ⇒ A 2= A tan =10 √ 3 cm Nguyễn Thị Ngoan- THPT Ba Đình Page 20  A2