Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh. Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này. Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh.
A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong năm đây, kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc THCS kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN đại lượng Các tốn gọi chung toán cực trị Các toán cực trị phong phú đa dạng mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn Bài tốn tìm tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài toán Đe hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc sống sau Các toán cực trị Đại số bậc THCS có ý nghĩa quan trọng em học sinh Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải cách giải thơng minh, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức tốn học bậc học để giải loại toán Các toán cực trị Đại số bậc THCS góp phần khơng nhỏ vào việc rèn luyện tư cho học sinh Với ý nghĩa vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm phương pháp giải toán cực trị vấn đề quan trọng Qua thực tế giảng dạy thân rút số phương pháp để giải toán cực trị nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh - giỏi toán II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Áp dụng với học sinh khối 8, Là học sinh giỏi tham gia đội tuyển HSG trường, học sinh thi đồng đội Toán tỉnh III NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Giúp cho học sinh làm quen có số hiểu biết số dạng tốn cực trị thường gặp Đề tài trình bày số phương pháp giải toán cực trị bậc THCS Mỗi phương pháp trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết ví dụ minh hoạ từ tập cụ thể, rút nhận xét tổng quát IV PHẠM VI ĐỀ TÀI: Đề tài đề cập tới số phương pháp giải số loại toán cực trị đại số thường gặp chương trình tốn học THCS, đối tượng mà đề tài nhằm tới học sinh khá, giỏi toán THCS V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tham khảo mơt số tài liệu có liên quan B PHẦN NỘI DUNG L Kiến thức: Cho biểu thức f(x, y ) Ta nói M giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x, y ), kí hiệu max f = M, hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với X, y để f(x, y ) xác định F(x, y ) < M ( M số ) - Tồn x0 , yo , cho f(x0, yo, ) = M Cho biểu thức f(x, y ) Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x, y ), kí hiệu max f = m, hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với X, y để f(x, y ) xác định F(x, y ) > m ( m số ) - Tồn x0 , yo , cho f(x0, y0, ) = m ĨL Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại sổ cách đưa dạng A(x) > { A(x) < } - Đe tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) > k với k số + Chỉ dấu "=" xảy - Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) < k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Ví du 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = (x - l)2 + (x-3)2 (Nâng cao phát trỉến Toán 8) Giải: A(x) = (x-l)2 + (x-3)2 = x -2x+1+x -6x+9=2(x -4x+5)=2(x-2) +2>2 Vì (x-2) > với Vậy Min A(x) = X = Ví du 2: Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) V X = -5x2 - 4x+l (Nâng cao phát trỉến Toán 8) Giải: Từ B(x) = -5x2 - 4x+l ta có B(x)= -5(x2+-x)+l 2> l X+ — 25 2> l X+l5 ( íT + ( í l2 — \5 J ị — C ( — M ( 2' 2„2 X + —X + ì \5 J J ( 2>1 x+l 5) > với VxễR nên -5 Vì Max B(x) =-khi X = —— ■B(x) = -5 X + — 44 V 5, 55 Bài tập vận dụng: Tìm GTLN A= - X + 3x Tìm GTNN B= X - 5x + Cho tam thức bậc hai c= ax2 + bx + c a Tim GTLN c a < b Tìm GTNN c a > ĨĨL Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng > < k k +6 + + 3(x +2 2+ + Vì 3x Ta2(x+1) có + 6x A(x) +>10 =03x2 với r 3x + 1.nên 2x +16x -+(x+l) 3+10 ' r +2>2 j X -3 +với 2x + Vx -+ -1 (x +1)2 + 2 XVx 2 A(x) = - -; -—— X với Vx nên (x- 4)2+6 >6 Nên (x-4)2 +6 Min B(x) = - (x- 4)2 = X = Bài tâp vân (x - 4)2 + 27 -12x X +9 dung: 3x2 - 2x + X2 +1 3x -6x + 17 X - 2x + X6 X4 - +27 3x3 + 6x2 - 9x + Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau (nếu có ): ĨV Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại sổ cách áp dụng bất đẳng thức Cosi - Bất đẳng thức Co si cho số Cho a, b khơng âm, ta có bất đẳng thức > 2-v/ãb Dấu đẳng thức xảy a = b Bất đẳng thức Co si cho n số: Cho n số au a2, ãn không âm, ta có bất đẳng thức: Dấu đẳng thức xảy = a2 = = an + Bài toán: a Chứng minh rằng, hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số b Chứng minh rằng, hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng đạt giá trị lớn hai số (Nâng cao phát trỉến Toán 8) Giải: a Ta cần chứng minh với X >0; y > xy = k (khơng đổi) x+y đạt giá trị nhỏ X = y Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Co si cho hai số dương ta có: X + y > -Jxy mà xy = k (khơng đổi) Nên ta có: x+y > lyỊxỹ = 2-\/k (1) Vậy tổng p = X + y lấy giá trị nhỏ X + y = Vk X = y b Tương tự hai số dương xvàycóx + y = k (hằng số) _ , lc2 Từ (x+y) >4xy =^> xy< — Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn Chúng ta vận dụng kết hai bất đẳng thức để giải tốn cực trị đại số Ví du 5: Tìm giá trị lớn A(x) = (X2 - 3x + 1) (21 + 3x - X2) (Nâng cao phát trỉến Toán 8) Giải: Các biểu thức x2-3x+l 21+3x-x2 có tổng khơng đổi (bằng 22) nên tích chúng lớn X -3 X +1=21+3 X - X X -3 X -10 = X I = ; x = -2 Khi A=ll.ll = 121 Vậy Max A = 121 X = X = -2 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ _ 16X2-4X+1 i„ B(x) = với X > (Nâng cao phát trỉến Toán 8) Giải: Từ B(x) = -4x + l Y rá = 8x + + — Hai số 8x a 2x 2x ...Đề tài đề cập tới số phương pháp giải số loại toán cực trị đại số thường gặp chương trình tốn học THCS, đối tượng mà đề tài nhằm tới học sinh khá, giỏi toán THCS V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tổng... xy lấy giá trị lớn Chúng ta vận dụng kết hai bất đẳng thức để giải tốn cực trị đại số Ví du 5: Tìm giá trị lớn A(x) = (X2 - 3x + 1) (21 + 3x - X2) (Nâng cao phát trỉến Toán 8) Giải: Các biểu thức... định F(x, y ) > m ( m số ) - Tồn x0 , yo , cho f(x0, y0, ) = m ĨL Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại sổ cách đưa dạng A(x) > { A(x) < } - Đe tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x)