Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tìm giới hạn trong chương trình toán 11 Trung học phổ thông

Trong nhiều năm giảng dạy môn Toán lớp 11 tôi nhận thấy nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc tính giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Đa số các em không phân biệt được các dạng bài tập giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Vì vậy, việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng của học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực, tổng hợp và phân tích có hệ thống các dạng bài tập.

MỤC LỤCC LỤC LỤCC Trang I MỞ ĐẦU …………………………………………………… 1 Lý chọn đề tài…………………………………………… Mục đích nghiên cứu ……………………………………… Đối tượng nghiên cứu……………………………………… Kế hoạch nghiên cứu ……………………………………… Phương pháp nghiên cứu ………………………………… II NỘI DUNG ……………………………………………… Cơ sở lý luận sáng kiến ……………………………… Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến …………… Các sáng kiến sử dụng để giải vấn đề.……… Hiệu sáng kiến …………………………………… 25 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ………………………… 26 Kết luận …………………………………………………… 26 Kiến nghị ………………………………………………… 26 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………… 27 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ SGK: Sách giáo khoa NXB: Nhà xuất SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Trung học phổ thông THPT QG: Trung học phổ thông Quốc gia PHẦN I - MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường THPT, việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh có vai trị quan trọng Vì giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo, hình thành kỹ vận dụng kiến thức học vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ biết lựa chọn phương pháp tối ưu Trong q trình giảng dạy mơn Tốn, dạng tốn liên quan tới giới hạn, tơi thấy nhiều em học sinh không làm tập làm có tính chất áp dụng cơng thức đơn giản Và phạm vi chương trình THPT, tốn quan trọng đạo hàm, tính biến thiên, tiệm cận… hàm số liên quan chặt chẽ tới tốn tìm giới hạn Trong tốn liên quan tới giới hạn xác định tiệm cận đồ thị hàm số phần kiến thức quan trọng ln có mặt đề thi TN THPT QG năm gần Mặt khác, trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp nhóm chun mơn dạy phần kiến thức này, tơi nhận thấy nhiều học sinh lớp khác mắc sai lầm, khó khăn giống tìm giới hạn dãy số, hàm số khơng có kỹ giải tốn Trên sở kinh nghiệm giảng dạy tiếp thu số kết từ đồng nghiệp phát hiện, xếp cách hệ thống tập tìm giới hạn nhằm giúp học sinh rèn luyện kỹ giải tốn tìm giới hạn chương trình Đại số Giải tích lớp 11 THPT Chính lí mạnh dạn lựa chọn đề tài nghiên cứu cho là: “ Rèn luyện kỹ giải tốn tìm giới hạn chương trình tốn 11 Trung học phổ thơng ’’ Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu khó khăn giải tốn tìm giới hạn - Phân loại dạng tốn tìm giới hạn có định hướng giải rõ ràng, giúp học sinh dễ hiểu dễ nhớ từ có kỹ giải tốt toán tương tự Đối tượng nghiên cứu: - Khách thể: Học sinh lớp 11, trực tiếp hai lớp giảng dạy lớp 11B6 lớp 11B2 Áp dụng thử nghiệm lớp 11B6 lớp đối chiếu 11B2 - Đối tượng nghiên cứu: định nghĩa, tính chất, cơng thức dạng tốn tìm giới hạn dãy số giới hạn hàm số chương trình tốn 11 THPT Kế hoạch nghiên cứu: TT Thời gian ` từ …đến… Sản phẩm Từ 5/9/2021 đến Chọn tên sáng kiến, viết Bản đề cương nghiên 30/9/2021 Nội dung công việc đề cương nghiên cứu cứu Từ 1/10/2021 đến - Đọc tài liệu lý thuyết Tập tài liệu lí thuyết 30/11/2021 sở lý luận Những khó khăn - Khảo sát thực trạng, học sinh làm tổng hợp số liệu thực tế Từ 1/12/2021 đến Trao đổi với đồng nghiệp, Phân dạng 25/12/2021 đề xuất dạng tốn dạng tốn tìm giới hạn Từ 26/12/2021 đến Hệ thống hóa dạng Bản chi tiết dạng 30/4/2022 toán, viết chi tiết toán, nêu rõ phương Áp dụng thử nghiệm pháp, tập ví dụ, tập áp dụng lớp 11B6 Đánh giá so sánh với lớp 11B2 Từ 1/5/2022 đến Hồn 21/5/2022 thiện nội dung Bản SKKN thức SKKN, nộp Hội đồng sáng kiến cấp sở Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, đề thi TN THPT QG năm trước, tài liệu liên quan khác, khai thác mạng Internet - Phương pháp quan sát: Khảo sát thực tế, thu thập thông tin qua hoạt động dạy học, trao đổi với đồng nghiệp chuyên môn, giảng dạy khối lớp học trường THPT Đông Thọ - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh lớp 11B2 lớp 11B6 - Tổng hợp thống kê số liệu, so sánh kết quả, xin ý kiến nhận xét đồng nghiệp, rút học kinh nghiệm PHẦN II - NỘI DUNG Cơ sở lý luận sáng kiến: Trong nhiều năm giảng dạy môn Tốn lớp 11 tơi nhận thấy nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn việc tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số Đa số em không phân biệt dạng tập giới hạn dãy số giới hạn hàm số Vì vậy, việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kỹ học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Việc cần thực tiết học biện pháp rèn luyện tích cực, tổng hợp phân tích có hệ thống dạng tập Khi đó, người học cần phải trang bị kiến thức lí thuyết kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tiết dạy luyện tập chương cần phải thiết kế theo hệ thống tập đưa xếp logic phù hợp với đại đa số học sinh tăng dần mức độ kiến thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Từ giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải tốn trình bày lời giải, phát triển kiến thức theo chiều rộng chiều sâu Từ tạo động cơ, hứng thú học tập cho học sinh Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn lớp 11 trường THPT tơi thấy: Khi làm tốn tìm giới hạn học sinh thường hay mắc sai lầm sau: - Hiểu không đầy đủ xác khái niệm giới hạn dẫn đến trình bày dùng sai kí hiệu giới hạn, dùng thiếu kí hiệu giới hạn hàm số, khơng có kí hiệu lim Giới hạn bên thường thiếu kí hiệu tiến tới bên trái hay bên phải - Sử dụng phép biến đổi đại số sai, tính tốn sai - Khơng nắm vững phương pháp tìm giới hạn dạng vơ định dẫn đến thực phép tốn dạng vơ định phép tốn đại số - Hệ thống tập đơi với lí thuyết SGK cịn ít, số chưa phù hợp với đối tượng học sinh Do hiệu hệ thống tập SGK chưa cao - Đa số học sinh thấy khó khăn gặp tốn tìm giới hạn khơng biết giải nào, đâu Các sáng kiến sử dụng để giải vấn đề Từ khó khăn học sinh tơi nghiên cứu, tìm tịi, sưu tầm phân dạng dạng tốn “Tìm giới hạn dãy số giới hạn hàm số” nhằm giúp học sinh học hệ thống, rèn luyện kỹ giải tốn tìm giới hạn dãy số giới hạn hàm số Nhằm giúp em phát triển tư duy, rèn luyện kỹ giải tốn tìm giới hạn tơi thực sau: Một là: trang bị đầy đủ, xác kiến thức khái niệm, định nghĩa, định lý giới hạn cho học sinh Hai là: chia tốn tìm giới hạn theo dạng nêu phương pháp giải cho dạng Ba là: thông qua dạng toán nêu, đưa tập tương tự giúp học sinh rèn luyện tư duy, hình thành kỹ tính tốn, thành thạo giải tốn tìm giới hạn Cụ thể: PHẦN I GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIỀN THỨC CƠ BẢN I - GIỚI HẠN HỮU HẠN Giới hạn hữu hạn Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vô cực un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở un 0 hay un  n   Kí hiệu: nlim   Định nghĩa 2: Ta nói dãy số   có giới hạn số a (hay dãy số   dần tới   a  0 a) n   , nlim   a hay  a n   Kí hiệu: nlim   Lưu ý: Ta viết gọn: lim un 0, lim a Giới hạn đặc biệt n • lim 0 • lim 0 n 0 n • lim • lim C C , C   • lim q n 0 (nếu q  ) • lim 0, k   * nk Định lí giới hạn a) Nếu lim un a lim b • lim  un   a  b • lim  un   a  b • lim  un  a.b • lim un a   b 0  b b) Nếu un 0 với n lim un a a 0 lim un  a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Một cấp số nhân có cơng bội q với | q | gọi cấp số nhân lùi vô hạn u Ta có : S u1  u1q  u1q  1  q (với | q | ) II - GIỚI HẠN VƠ CỰC Định nghĩa • Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  n   un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un  hay un   n   • Dãy số (un ) gọi có giới hạn   n   lim( un )  Kí hiệu: lim un   hay un    n   Chú ý: lim un   lim( un )   Một vài giới hạn đặc biệt a) lim n k  với k nguyên dương; b) lim q n  (nếu q  ) Định lí u n a) Nếu lim un a 0 lim  lim v 0 n u n b) Nếu lim un a  , lim 0 v n  với n lim v  n c) Nếu lim un  lim a  lim  un   B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Khử dạng vơ định   Phương pháp: a0 n m  a1n m   am , a0 0, b0 0 chia tử lẫn mẫu  Đối với dãy un  k b0 n  b1n k    bk phân thức cho n có bậc lớn tử n m mẫu n k , việc đặt thừa số chung cho n m mẫu n k rút gọn, khử dạng vô định Kết quả:  0 m  k  lim un  m  k a  m k  b0 a (dấu    tùy theo dấu b )  Đối với biểu thức chứa bậc hai, bậc ba đánh giá bậc tử mẫu để đặt thừa số chung đưa thức, việc chia tử mẫu cho n có bậc lớn tử mẫu  Đối với biểu thức có lũy thừa chia tử mẫu cho lũy thừa có số lớn mũ tử mẫu, việc đặt thừa số chung cho tử mẫu số hạng Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: 1) lim n ; n3  2) lim 3n  ; n 3 3) lim n3  3n n  5n  4) lim 4n   n  ; 2n  5) lim n3  2n ; 3n  n  6) lim 2n  2.2n  Giải 1  n n n  0 1) lim lim n 3 1 n 3 3n  n 3 lim 2) lim n 3 1 n 1  n3    3 n  n  3n  n lim lim  3) lim 5 2  2n  5n  2  n3     n n n n   4) lim 4n   n  lim 2n  4  n2  n n   1 2 n 1 n3  2n n lim  5) lim 3n  n    n n n3 n 1 1   n 1   1  1 lim 6) lim n n 2.2  20 1     2 Bài tập tương tự Bài tập 1: Tính giới hạn sau: 1) lim n  2n3  ; 3n3  2n  4) lim 6n  n  ; 2n  2) lim 8n5  2n3  ; 4n  2n  3) lim  ; n 1  6) lim  5) lim  n   Dạng 2: Khử dạng vô định    4n   n 4n  n2 1 3.2n 1  2.3n 1  3n  4) lim  2n3  3n   lim  n3     3     n n3     lim n3  lim     2  n n   Bài tập tương tự Bài tập 2: Tính giới hạn sau: 1) lim  n  14n   ; 2) lim  4) lim  8n3  n  n  ; 5) lim   n2  n 1  n ;  n3   n ; 3) lim  n  2n  n 6) lim  n  n3  n  PHẦN II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIỀN THỨC CƠ BẢN I - GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Các giới hạn đặc biệt: x xo • xlim  xo c c với c số • xlim  xo Một số định lí giới hạn hữu hạn Định lý 1: f  x  L lim g  x  M Khi đó: a) Giả sử xlim x x x 0  f  x  g  x   L M * xlim x   f  x  g  x   L.M * xlim x   f  x  L (nếu M 0 )   g  x  M * xlim  x f  x  L lim f  x   L b) Giả sử xlim x x x 0 11   f  x  L thì: L 0 lim f  x   L c) Nếu f  x  0 xlim x x x 0 (Dấu f  x  xác định khoảng tìm giới hạn, với x  x0 ) Giới hạn bên lim f  x  L  lim f  x   lim f  x  L x  x0 x  x0 x  x0 II- GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt c x c c • xlim   0 với c số • xlim   x  • xlim   x k  • xlim   • lim x  x • lim x  x k chẵn k lẻ  x k  • xlim  Các quy tắc tính giới hạn vơ cực a) Quy tắc tìm giới hạn tích f  x  g  x  f  x  L 0 lim g  x   (hoặc   ) lim f  x  g  x  tínhc tính Nếu xlim x x x x x 0 theo quy tắc bảng sau:c bảng sau:ng sau: lim f  x  x  x0 lim g  x  lim f  x  g  x  x  x0 x  x0         L0 L0 f  x b) Quy tắc tìm giới hạn thương g x   12 lim f  x  lim g  x  x  x0 x  x0 L  Dấu g  x  lim x  x0 Tùy ý         L0 L0 f  x g  x Các quy tắc cho trường hợp x  x0 , x  x0 , x  , x    Khi tính giới hạn có dạng vơ định  , ,  ,0. ta phải  tìm cách khử dạng vơ định B CÁC DẠNG TOÁN P( x) P ( x) P( x) ; lim ; lim Dạng 1: xlim  x Q( x) x x Q( x) x x Q( x)  o P( x )  L Dạng 1.1: Q( x )  M ; L 0, M 0 P ( x) P( x) L  Phương pháp: Thay x0 trực tiếp vào biểu thức Q( x) Kết luận : xlim  x Q( x) M Ví dụ 1: Tính giới hạn sau:  3x  x 1 ; a) lim x c) lim x sin x  3cos x  x ; x  cos 3x b) lim x d) lim x  Giải  3x2  x 1 3.12  2.1 1 2 a) lim x b) lim x    x2   1    13    x2  ; x   x2  2x  c) lim x sin x  3cos x  x sin 2.0  3cos   3 x  cos x 2.0  cos(3.0) x   x   1  ( 2)     3 x  2x  2.( 2)  1 d) lim Bài tập tương tự Bài tập 1: Tính giới hạn sau: x  2x  ; x 1  x2  x  7 ; a) xlim 1 b) lim x x  x  2020 c) lim ; x 2x  1  sin x  5cos x lim d) x    sin x  cos x P( x ) 0 Dạng 1.2: Q( x )  M ; M 0 P ( x) Phương pháp: Thay x0 trực tiếp vào biểu thức Q( x) Kết luận : P( x)  0 x  x0 Q ( x ) M lim Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: x2  a) lim ; x 2 x  2 x  3x 1 b) xlim ; 1 4x  Giải a) lim x x  22    0 x  2.2  x  3x  2.( 1)  3.( 1)    0 b) xlim 1 4x  4.( 1)  2 c) lim x sin x sin 0   0 x  3.0  2 Bài tập tương tự Bài tập 2: Tính giới hạn sau: 14 c) lim x sin x 3x  a) lim x x ; x 3 b) lim x  x   ; x c) lim x x P ( x0 ) x3 cos x Dạng 1.3: Q( x )  ; P ( x) Phương pháp: Thay x0 trực tiếp vào biểu thức Q( x) thấy P( x0 ) Q( x0 ) 0 a) Nếu P( x), Q( x) hàm đa thức ta phân tích tử mẫu thành nhân tử làm xuất nhân tử chung ( x  x0 ) rút gọn • Các đẳng thức đáng nhớ: A2  B ( A  B )( A  B ) A3  B ( A  B )( A2  AB  B ) A3  B ( A  B)( A2  AB  B ) b) Nếu P( x), Q( x) hàm chứa thức bậc ta nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp tử thức mẫu thức • Các biểu thức liên hợp thường gặp: 1) a b a b a b 2) 3) a b a b a b 4) 3 a b a3b a b a  ab  b a b a2  ab  b Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: x2  x  ; x  x 1 b) lim x 1  ; x e) lim x a) lim d) lim x x x3  ; x x2  x  ; x  3x  8x  c) lim 1 x ; 2 x  Giải a) xlim 1  x  1  x    lim x   x2  x   lim   x   x  x 1 x 1 15 f) lim x x7  x b) lim x  x  1  x  x 1 lim  x  x  1 3 x3  lim x x  x x c) xlim 1  x  1  x    lim x   x2  x   lim x  x  x   x  1  x   x  x  x d) lim x x   lim x  x  3 x e) lim x   x   x 1 1 x lim lim x  x 1  x  x1 lim x x 1   f) lim x   lim x   1  x 1    x 1 2 ( x   2)( ( x  7)  x   4) x 7  lim x x ( x  1)( ( x  7)  x   4) x ( x  1)( ( x  7)  x   4) lim x 1  ( x  7)  x   12 Bài tập tương tự Bài tập 3: Tính giới hạn sau: a) lim x x3  ; x2  b) lim x 2 d) lim x  x    x ; x x P( x ) x  3x  ; x2  c) lim x x 3  x x ; x1 f) lim x x x2 x 1  e) lim x L Dạng 1.4: Q( x )  ; L 0 P ( x) P( x ) L Phương pháp: Thay x0 trực tiếp vào biểu thức Q( x) xuất Q( x )  Ta thực qua bước sau: P ( x) L (với L 0 ) Bước 1: Tính xlim  x0 Q( x) 0 xét dấu biểu thức Q( x) với x  x Bước 2: Tính xlim  x0 16 Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu quy tắc giới hạn thương để kết luận lim x  x0 P ( x) Q( x) Ví dụ 4: Tính giới hạn sau: a) lim x 3 x  x  4 ; b) lim  x 4x  x Giải 3 x a) lim x  x  4   x    lim  x   0 , ( x  4)2  0; x 4 Ta có: lim x x 3 x   Nên lim x  x  4 b) xlim 1  4x  x x  3 1 , lim  x  1 0 , x   x  1 nên lim x    Ta có xlim 1 x x    x Bài tập tương tự Bài tập 4: Tính giới hạn sau: a) lim x   2x ; x2 b) lim x 1 2x ; x x2 2 c) lim ; x  ( x  2)  x  x  x3 d) lim x x2 Dạng 1.5: P( x0 ).Q( x0 ) 0. Phương pháp: Thay x0 trực tiếp vào biểu thức P( x).Q( x) , ta có P ( x0 ).Q( x0 ) 0. Khi ta biến đổi P ( x).Q( x) đưa dạng Ví dụ 5: Tính giới hạn sau: x  3) a) lim( x x ; x 9 3  x   b) lim x x  Giải 17  a) lim( x  3) x x x  x lim  0 x  x x 3 3  x    lim(2 x  3) 2.0   b) lim x x x   Bài tập tương tự Bài tập 5: Tính giới hạn sau: x  2) a) lim( x x c) lim x 1 x 1  x 3  ; b) lim x  x  x    x ; x 4 Dạng 1.6: P( x0 )  Q( x0 )    Phương pháp: Thay x0 trực tiếp vào biểu thức P( x)  Q( x) , ta có P ( x0 )  Q( x0 )    Khi ta biến đổi P ( x)  Q( x) đưa dạng Ví dụ 6: Tính giới hạn sau: 1    1 ; a) lim  x x x 1      b) lim   x 1  x 1 x   Giải 1 1  1 x  1 x 1   1 lim  lim  a) lim   lim x x x x x  x 1  x  x 1  1 x x x 1 x 1  1 x 1      lim   lim  b) lim    lim 2 x 1  x  x  x   x  x  x 1  x x  1  x  Bài tập tương tự Bài tập 6: Tính giới hạn sau:    a) lim   x 4  x 16  x   P( x) Dạng 2: xlim   Q ( x ) P( x)    b) lim   x 2  x 4 x     Dạng 2.1: xlim   Q ( x )  18 Phương pháp: • Nếu P( x), Q( x) hàm đa thức chia tử mẫu cho x k với k lũy thừa cao tử mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử x k giản ước) • Nếu P( x), Q( x) hàm chứa thức chia tử mẫu cho x k với k lũy thừa cao tử mẫu nhân lượng liên hợp Ví dụ 7: Tính giới hạn sau: a) xlim   3x3  5x ; x3  x 1 d) lim ; x   x  b) xlim   x 1 ; 4x  e) lim x   x2  ; x 3 c) lim x   x2   x  x  1  x  1 f) xlim    2x Giải 3x  x x2 1  lim a) xlim   x  x x   6 x 3 1 x 1 x 1  lim b) xlim   x  x   4 x c) xlim   x 2   lim x   x 2 2  1  x x x  lim 1 x   x 1 x x 1 1 1  lim 0 d) x   x  x   x      x  lim e) lim x   lim x   x   x 3   3 x2 1   x 1  1 x   x  lim x   lim x    x    x 3 x 3 1 x 19