BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES ZARATI MODULO p LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS TS LÊ MINH HÀ Phản biện 2: TS NGUYỄN LÊ CHÍ QUYẾT Phản biện 3: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN HỒNG CHƠN PGS TS NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Phan Hoàng Chơn PGS TS Nguyễn Sum Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả thầy hướng dẫn cho phép sử dụng đưa vào luận án chưa công bố trước TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Phan Hoàng Chơn PGS TS Nguyễn Sum i Tác giả Phạm Bích Như Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn tận tình hướng dẫn giúp đỡ PGS TS Phan Hoàng Chơn, PGS TS Nguyễn Sum nhiều người khác Nhân dịp xin gửi lời tri ân đến tất người giúp đỡ Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Phan Hoàng Chơn, người thầy, người anh người bạn đồng hành động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu sinh Mặc dù bận rộn thầy kiên trì giảng dạy, hướng dẫn cho tơi kiến thức Tôpô đại số tuần suốt năm Nếu khơng có thầy tơi khơng thể có tâm để theo đuổi việc học tập nâng cao trình độ Tơi xin bày tỏ lời tri ân sâu sắc PGS TS Nguyễn Sum, thầy giảng dạy, hướng dẫn cho nhiều ý kiến đóng góp q báu chun mơn định hướng nghiên cứu Thầy người nghiêm túc học thuật lại gần gũi, giản dị sống nhân duyên để trở thành nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn Lời cảm ơn chân thành gửi đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy ln động viên hướng dẫn thủ tục cần thiết để tơi hồn thành chương trình học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau đại học q Thầy, Cơ Khoa Tốn tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt việc học tập trường Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Cần Thơ, Khoa Khoa học Tự nhiên, q thầy Bộ mơn Tốn chia sẻ công việc, động viên giúp đỡ tơi nhiều để tơi thuận lợi hồn thành việc học tập nâng cao trình độ Cảm ơn chị Dương Thị Tuyền thấu hiểu cho em lời khuyên chân thành ii Xin cảm ơn anh, chị, em học nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt hai cô em gái dễ thương TS Dư Thị Hịa Bình TS Lưu Thị Hiệp, sát cánh động viên, giúp đỡ nhiều cho từ ngày đầu Quy Nhơn học tập để vượt qua khó khăn có thêm động lực hồn thành tốt chương trình nghiên cứu sinh Lời cuối cùng, muốn cảm ơn đến đại gia đình tơi ln chia sẻ, động viên tơi lúc khó khăn, đặc biệt tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến mẹ tơi, người sinh tôi, suốt đời hy sinh cho chị em tơi Cảm ơn mẹ chăm sóc cháu để yên tâm học tập Cảm ơn chồng ủng hộ định em Cảm ơn hai cho mẹ thêm động lực để mẹ không ngừng cố gắng Bình Định, 2021 Tác giả, Phạm Bích Như iii Các ký hiệu dùng luận án D[s]: Không gian tất bất GLs : Nhóm tuyến tính tổng qt, 17 H n (X, F2 ): Đối đồng điều thứ n X biến tác động GLs Fp [y1 , , ys ], 18 lấy hệ số F2 , 12 Es = (Z/p)s : Không gian véctơ s chiều Hs (M ): Đồng điều thứ s M , 20 hay p-nhóm abel sơ cấp hạng s, N # : Đối ngẫu N , 4, 15, 17, 28 P i : Lũy thừa Steenrod bậc i Fp , 1, P (F2 ⊗GLs H∗ (BEs )): Đối ngẫu 12 đại số Dickson F2 ⊗A D[s], 44 QX: Khơng gian vịng lặp vơ hạn Ps = H ∗ BEs : Đối đồng điều không X, gian phân loại BEs , 15, 17 Ss : Lũy thừa toàn thể ổn định , 20 Sq i : Toán tử Steenrod bậc i F2 , 1, Sq : Toán tử squaring, 77 TorA ∗,∗ (Fp , M ): Đồng điều đại số 11 Steenrod lấy hệ số A -môđun Sts : Lũy thừa tồn thể (khơng ổn định) M , 16, 20, 22, 35 , 29, 31, 35 ∗,∗ A : Đại số Steenrod trường Fp , 1, ExtA (M, Fp ): Đối đồng điều đại số Steenrod lấy hệ số A - 13, 14 A∗ : Đối ngẫu đại số Steenrod mô đun M , 4, 17 Ext∗,∗ (F2 , F2 ): Đối đồng điều đại A trường Fp , 14 Ds (−): Dẫn xuất thứ s hàm tử D , số Steenrod lấy hệ số trường 16, 35, 36 F2 , 10, 77 Ext∗,∗ (Fp , Fp ): Đối đồng điều đại A Ds : Dẫn xuất thứ s hàm tử D , 15 e ∗ (BZ/p): Đối đồng điều thu gọn H số Steenrod lấy hệ số trường khơng gian phân loại p-nhóm Fp , 2, 4, 51, 52 e ∗ (BZ/p), Fp ): Đối đồng điều ExtA (H ∗,∗ abel sơ cấp, 4, 6, 75 e : Biểu diễn mức độ dây chuyền P đại số Steenrod lấy hệ số e ∗ (BZ/p), 8, 47, 60, 73 H P , 44, 45, 48 Γ+ M : Phức dây chuyền A -môđun BEs : Không gian phân loại Es , 15, M , 4, 20, 21 17 iv Λ: Đại số Lambda, 5, 23, 24 Rs : Hàm tử Singer , 15 Λs : Không gian Λ sinh tất Rs M : Xây dựng Singer, 2, 4, 16, 29, đơn thức có độ dài s, 31–33, 35, 36, 76 P : Toán tử lũy thừa, 44, 76 23 π∗S (S0 ): Nhóm đồng luân ổn định Σs M : Treo thứ s M , 14, 15, 36 Σpn : Nhóm đối xứng tác động lên tập mặt cầu, # Ann(N ): Không gian N # bao sở Es , 5, 28 β: Toán tử Bockstein, 1, 12, 45 gồm tất phần tử triệt tiêu F2 : Trường số có phần tử, tác động phần tử bậc Fp : Trường có đặc số p lẻ, 1, 12 dương A , 2, 51, 52 e ∗ RP ∞ : Đối đồng điều thu gọn H Z/p: Σps -môđun tầm thường Z/p, không gian xạ ảnh vô hạn chiều, 28 B [s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối e ∗ RP n : Đối đồng điều thu gọn không H đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều p- gian xạ ảnh n chiều, e ∗ (BZ/p): Đồng điều thu gọn khơng H nhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z/p, 29 gian phân loại p-nhóm abel M: Phạm trù A -mơđun trái sơ cấp, 47, 58 phân bậc, 14 Pˆ : A -môđun mở rộng P1 , 16, 38 R: Đại số Dyer-Lashof modulo p, 3, 5, 24, 47 Rs : Không gian R, 6, 24, 52, 58 U: Phạm trù tất A -môđun không ổn định, 14, 15, 38 Z/p: Σps -môđun Z/p thông qua tác động dấu, 28 B [s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối đồng điều nhóm đối xứng Σpn đến đối đồng điều pnhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z/p, 5, 24, 28, 30, 37, 51, 52 D : Hàm tử bất ổn định hóa, 15, 16 v Mục lục Mục lục vi Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đại số Steenrod 11 1.2 Môđun đại số Steenrod 14 1.3 Đồng cấu Lannes-Zarati 15 1.4 Phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum 17 1.5 Đại số Lambda đại số Dyer-Lashof 22 1.6 Dãy phổ 24 Chương Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 28 2.1 Hàm tử Singer 28 2.2 Biểu diễn mức độ dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 34 2.3 Chứng minh Mệnh đề 2.2.2 38 2.4 Toán tử lũy thừa 44 2.5 Trường hợp p = 49 2.6 Kết luận Chương 50 Chương Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati 51 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p Fp 3.2 3.4 Đối đồng điều đại số Steenrod 58 e ∗ (BZ/p) 75 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo p H e ∗ (BZ/2) 77 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo F2 H 3.5 Kết luận Chương 89 3.3 vi 51 Kết luận 90 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 92 Tài liệu tham khảo 93 vii Mở đầu Các hàm tử đồng điều đối đồng điều kì dị công cụ sử dụng để nghiên cứu tốn phân loại kiểu đồng ln khơng gian tôpô Tuy nhiên công cụ chưa đủ mạnh để giải toán quan trọng Vào năm 1947 Steenrod [61] xây dựng toán tử đối đồng điều sau với số nguyên i ≥ Sq i : H n (X, F2 ) → H n+i (X, F2 ), X khơng gian tơpơ, F2 trường có phần tử 0, H ∗ (X, F2 ) đối đồng điều X trường F2 Toán tử Sq i gọi toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i Tốn tử tác động cách tự nhiên đối đồng điều X với hệ số F2 Đến năm 1952, ông [60] mở rộng kết cho trường hợp p số nguyên tố lẻ Cụ thể với số nguyên không âm i, ông xây dựng toán tử P i : H q (X, Fp ) → H q+2(p−1)i (X, Fp ), P i gọi lũy thừa Steenrod Từ tốn tử đối đồng điều trở thành công cụ quan trọng sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân Các toán tử toán tử đối đồng điều ổn định Đại số sinh toán tử Steenrod Sq i , i ≥ (trường hợp p = 2); lũy thừa Steenrod P i với i ≥ toán tử Bockstein β (trường hợp p > 2) gọi đại số Steenrod, ký hiệu A Sau cơng trình Steenrod, cấu trúc đại số Steenrod Adem [3], Cartan [68], Serre [73] Milnor [47] nghiên cứu cách sâu sắc Một vấn đề quan trọng nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân khơng gian tơpơ xác định nhóm đồng ln, đặc biệt nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Trong [1] Adams xây dựng dãy phổ, sau gọi dãy phổ Adams, hội tụ thành phần p-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu