i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Phan Văn Thiện Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả trong luận[.]
i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, hướng dẫn PGS.TS Phan Văn Thiện Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Trần Nam Sinh ii LỜI CÁM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm PGS.TS Phan Văn Thiện Tác giả xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới Thầy, người đưa hướng nghiên cứu, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin gửi lời cám tới GS TSKH Ngơ Việt Trung với góp ý, hướng dẫn cho việc trình bày luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Tốn học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, - Bộ môn Khoa học bản, Trường Cao đẳng Phương Đông-Đà Nẵng, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp người bạn thân thiết giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Trần Nam Sinh iii MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Kiến thức sở 11 1.1 Chỉ số quy tập điểm béo 11 1.2 Một số kết cần dùng 15 1.3 Kết luận chương 18 Chỉ số quy tập s điểm béo không nằm (r − 1)phẳng với s ≤ r + 2.1 19 Chỉ số quy tập s điểm béo vị trí tổng quát nằm r-phẳng với s ≤ r + 20 2.2 Chỉ số quy s điểm béo đồng bội không nằm (r − 1)-phẳng với s ≤ r + 23 2.3 Kết luận chương 38 Chặn Segre cho số quy tập s điểm kép Pn với 2n + ≤ s ≤ 2n + 3.1 39 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép cho khơng có n+1 điểm nằm (n−2)-phẳng Pn 40 3.2 Chặn Segre cho số quy tập 2n + điểm kép khơng suy biến khơng có n + điểm nằm (n − 2)-phẳng Pn 54 3.3 Kết luận chương 65 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 66 DANH MỤC CƠNG TRÌNH 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Kí hiệu Ý nghĩa N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương [a] Phần nguyên số hữu tỷ a k Trường đóng đại số k Pn := Pnk Khơng gian xạ ảnh n-chiều trường k R := k[x0 , , xn ] Vành đa thức theo biến x0 , , xn trường k Z(T ) Tập không điểm tập T ⊂ R phần tử R I(Y ) Iđêan tập điểm Y ⊂ Pn ℘ Iđêan nguyên tố xác định điểm P ∈ Pn dim B Chiều (Krull) vành B Ann(M ) Annihitor môđun M L Md Tổng trực tiếp nhóm Md HM (t) Hàm Hilbert môđun phân bậc M PM (t) Đa thức Hilbert môđun phân bậc M Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Tập điểm béo Z reg(Z) Chỉ số quy Z reg(A) Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford vành tọa độ d A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt không gian xạ ảnh Pn := Pnk , với k trường đóng đại số Gọi ℘1 , , ℘s iđêan nguyên tố vành đa thức R := k[x0 , , xn ] tương ứng với điểm P1 , , Ps Cho m1 , , ms số nguyên dương Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps lược đồ chiều không xác định iđêan I := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘sms gọi Z := m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn Chú ý iđêan I tập điểm béo tập gồm hàm đại số nội suy tập điểm P1 , , Ps triệt tiêu với số bội m1 , , ms Đề tài tập điểm béo nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác Ví dụ giả thuyết Nagata chặn cho bậc hàm nội suy đến chưa giải (xem [13]) Trong luận án này, quan tâm đến số quy Castelnuovo-Mumford vành R/I Với tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps xác định iđêan I, vành tọa độ Z A := R/I Vành A = ⊕t≥0 At vành phân bậc s P mi +n−1 Cohen-Macaulay 1-chiều có bội e(A) := n i=1 Hàm Hilbert Z xác định HA (t) := dimk At , tăng chặt đạt số bội e(A), dừng Chỉ số quy Z định nghĩa số nguyên bé t cho HA (t) = e(A) ký hiệu reg(Z) Chỉ số quy reg(Z) số quy Castelnuovo-Mumford reg(A) vành tọa độ A Vấn đề tìm chặn cho số quy reg(Z) nhiều người quan tâm có nhiều kết Năm 1961, Segre (xem [19]) chặn cho số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps cho khơng có ba điểm chúng nằm đường thẳng P2 : reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1, với m1 ≥ · · · ≥ ms m1 + · · · + ms , Cho tập điểm béo tùy ý Z = m1 P1 + · · · + ms Ps P2 Năm 1969, Fulton (xem [12]) đưa chặn cho số quy Z sau: reg(Z) ≤ m1 + · · · + ms − Chặn mở rộng cho tập điểm béo tùy ý Pn Davis Geramita (xem [9]) Họ chứng minh dấu xảy tập điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Pn Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn gọi vị trí tổng qt khơng có j + điểm P1 , , Ps nằm j -phẳng với j < n Năm 1991, Catalisano (xem [6], [7]) mở rộng kết Segre cho tập điểm béo vị trí tổng quát P2 Vào năm 1993, Catalisano, Trung Valla (xem [8]) mở rộng kết cho tập điểm béo vị trí tổng quát Pn , họ chứng minh được: ( " m1 + · · · + ms + n − m1 + m2 − 1, n reg(Z) ≤ max #) , với m1 ≥ · · · ≥ ms Năm 1996, N.V Trung đưa giả thuyết sau (xem [24]): Giả thuyết: Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo tùy ý Pn Khi n o reg(Z) ≤ max Tj j = 1, , n , (" P Tj = max q l=1 mil j +j−2 # ) 12 M= M Mn , n∈Z Mn nhóm aben cho với số nguyên m, n Sn Mm ⊆ Mn+m Các phần tử Mn gọi phần tử bậc n Ta biết R = k[x0 , , xn ] vành phân bậc Lúc R R-mơđun L phân bậc với R = Rd d≥0 Do R đại số phân bậc Noether sinh phần tử bậc trường R0 = k M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh nên Mt k -không gian véc tơ hữu hạn chiều với t ∈ Z Vì ta xét hàm HM (t) = dimk Mt , t ∈ Z Hàm gọi hàm Hilbert M Với R = k[x0 , , xn ] t ∈ N, hàm Hilbert R HR (t) = dimk Rt = n+t n Một đa thức số đa thức P (z) ∈ Q[z] cho P (n) ∈ Z với n đủ lớn, n ∈ Z Với M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, có đa thức số PM (z) ∈ Q[z] cho HM (t) = PM (t) với số nguyên t đủ lớn Đa thức PM gọi đa thức Hilbert M Cho B vành khác Ta gọi tập iđêan nguyên tố B phổ B, ký hiệu Spec(B) Với chuỗi tăng iđêan nguyên tố ℘0 ℘1 ··· ℘d B ta gọi d độ dài chuỗi Chiều (Krull) B xác định cận độ dài chuỗi tăng iđêan nguyên tố B, ký hiệu dim B Chiều (Krull) vành đa thức R = k[x0 , , xn ] dim R = n + Cũng giống khái niệm chiều vành, người ta đưa khái niệm chiều môđun để đặc trưng cho độ lớn mơđun Cho M B -mơđun, ta ký hiệu Ann(M ) linh tử M xác định Ann(M ) = b ∈ B bM = 13 Ann(M ) iđêan B Chiều (Krull) môđun M định nghĩa dim M := dim(B/ Ann(M )) Nếu M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh khác khơng, có chiều d đa thức Hilbert PM (t) M có bậc d − viết dạng PM (t) = d−1 X i (−1) ei i=0 t+d−i−1 , d−i−1 với e0 , , ed−1 ∈ Z Trong phần giới thiệu lại khái niệm số ví dụ liên quan đến tập điểm béo số quy tập điểm béo Cho Y tập Pn Nếu tồn tập T phần tử R = k[x0 , , xn ] cho Y = Z(T ) Y gọi tập đại số Ta định nghĩa iđêan tập W ⊆ Pn , ký hiệu I(W ), xác định I(W ) = f ∈ R f đa thức f (P ) = 0, ∀P ∈ W gọi iđêan W Cho X = {P1 , , Ps } tập hợp điểm phân biệt Pn ℘1 , , ℘s iđêan R xác định điểm P1 , , Ps tương ứng Cho m1 , , ms ∈ N∗ Ta ký hiệu m1 P1 + · · · + ms Ps lược đồ chiều không xác định ms iđêan I := ℘m ∩ · · · ∩ ℘s gọi Z := m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn Nếu m1 = m2 = · · · = ms = m, Z gọi tập điểm béo đồng bội Pn Nếu m1 = m2 = · · · = ms = 2, Z gọi tập điểm kép Pn Nếu mi ∈ {m − 1, m} với i = 1, , s m ≥ 2, Z gọi tập điểm béo hầu đồng bội Pn Một tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn gọi không suy biến tập điểm P1 , , Ps không nằm siêu phẳng Pn 14 Vành A := R/I gọi vành tọa độ Z Do R = k[x0 , , xn ] vành phân bậc nên vành tọa độ A = R/I s L P mi +n−1 At Số e(A) = vành phân bậc, A = gọi số bội A n t≥0 i=1 Xét hàm Hilbert HA (t) = dimk At Người ta chứng minh hàm Hilbert HA (t) = dimk At tăng chặt cho s P mi +n−1 đến đạt số bội e(A) = dừng Số nguyên t bé n i=1 cho HA (t) = e(A) gọi số quy tập điểm béo Z , ký hiệu reg(Z) Ta thấy số quy tập gồm điểm béo mP không gian xạ ảnh Pn , với m ∈ Z+ , reg(mP ) = m − Thật vậy, gọi ℘ iđêan nguyên tố xác định P, đặt A = R/℘m Khi hàm Hilbert HA (t) = dimk At tăng chặt đạt đến số bội m+n−1 n e(A) = Do reg(mP ) số nguyên t bé cho HA (t) = e(A) Ta có n+t n HA (t) = dimk At = dimk Rt − dimk [℘m ]t = Với t ≤ m − 2, dimk [℘m ]t = 0, suy HA (t) = n+t n < m+n−1 n = e(A) Với t = m − 1, HA (m − 1) = Vậy reg(mP ) = m − − dimk [℘m ]t m+n−1 n = e(A) 15 Với A = R/I vành tọa độ tập điểm béo Z không gian xạ ảnh Pn , ta thấy R = k[x0 , , xn ] đại số phân bậc chuẩn A R-môđun phân bậc Với i ≥ 0, đặt: max{n ∈ N | H i (A)n 6= 0} H i (A) 6= R+ R+ (A) = −∞ HRi + (A) = số quy Castelnuovo-Mumford vành tọa độ A định nghĩa reg(A) := max{ai (A) + i | i ≥ 0} Ta có mối quan hệ số quy reg(Z) tập điểm béo reg(A) sau: reg(A) = reg(Z) 1.2 Một số kết cần dùng Trong trình chứng minh kết mới, cần sử dụng bổ đề sau, bổ đề tìm thấy [2], [8], [9], [25] Đầu tiên, sử dụng bổ đề sau để đánh giá số quy quy nạp Bổ đề 1.2.1 ([8, Lemma 1]) Cho P1 , , Pr , P điểm phân biệt Pn cho ℘ iđêan nguyên tố xác định P Nếu m1 , , mr a a r số nguyên dương, J := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘m r I = J ∩ ℘ , n o reg(R/I) = max a − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘a )) Để đánh giá reg(R/(J + ℘a )), cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề 1.2.2 ([8, Lemma 3]) Cho P, P1 , , Pr điểm phân biệt Pn r a, m1 , , mr số nguyên dương Đặt J := ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘m r ℘ = (x1 , , xn ) Khi reg(R/(J + ℘a )) ≤ b a xb−i M ∈ J + ℘ với đơn thức M có bậc tổng thể i theo biến x1 , , xn , i = 0, , a − 16 Từ trở sau, chúng tơi đồng siêu phẳng với dạng tuyến tính Để đánh giá reg(R/(J + ℘a )), chúng tơi tìm t siêu phẳng L1 , , Lt tránh P cho L1 · · · Lt M ∈ J Cho j = 1, , t, ta viết Lj = x0 + Gj với Gj ∈ ℘ dạng tuyến tính, ta có xt0 M ∈ J + ℘i+1 Do ta có nhận xét sau: Nhận xét 1.2.3 Giả sử L1 , , Lt siêu phẳng tránh P cho L1 · · · Lt M ∈ J với đơn thức M có bậc tổng thể i theo biến x1 , , xn , i = 0, , a − Đặt δ = max t + i ≤ i ≤ a − Khi reg(R/(J + ℘a )) ≤ δ Trong số trường hợp sử dụng bổ đề sau để tìm siêu phẳng Li Bổ đề 1.2.4 ([8, Lemma 4]) Cho P1 , , Pr , P điểm phân biệt nằm vị trí tổng quát Pn , cho m1 ≥ · · · ≥ mr số nguyên dương J = Pr mr ℘m ∩ · · · ∩ ℘r Nếu t số nguyên cho nt ≥ i=1 mi t ≥ m1 , ta tìm t siêu phẳng, gọi L1 , , Lt , tránh P cho với Pl , l = 1, , r, tồn ml siêu phẳng {L1 , , Lt } qua Pl Bổ đề sau kết [8] Bổ đề 1.2.5 ([8, Theorem 6]) Cho s ≥ 2, P1 , , Ps điểm phân biệt vị trí tổng quát Pn m1 ≥ · · · ≥ ms số nguyên dương Đặt I = ms ℘m ∩ · · · ∩ ℘s Khi X s reg(R/I) ≤ max m1 + m2 − 1, ( mi + n − 2)/n i=1 Kết sau E.D Davis A.V Geramita [9] giúp chúng tơi tính số quy tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps với điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Bổ đề 1.2.6 ([9, Corollary 2.3]) Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo tùy ý Pn Khi reg(Z) = m1 + · · · + ms − 17 điểm P1 , , Ps nằm đường thẳng Xét tập điểm béo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps Pn B Benedetti, G Fatabbi A Lorenzini [2] tính chất cho reg(Z) P1 , , Ps nằm khơng gian tuyến tính thực Pn Bổ đề 1.2.7 ([2, Lemma 4.4]) Cho Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo Pn mà P1 , , Ps nằm r-phẳng α ∼ = Pr Chúng ta xét r-phẳng α không gian xạ ảnh r-chiều Pr chứa điểm P10 := P1 , , Ps0 := Ps Zα = m1 P10 + · · · + ms Ps0 tập điểm béo Pr Nếu có số ngun dương khác khơng t cho reg(Zα ) ≤ t Pr , reg(Z) ≤ t Pn Các bổ đề sau kết [25] Bổ đề 1.2.8 ([25, Lemma 3.3]) Cho X = {P1 , , Ps } tập điểm phân biệt s Pn m1 , , ms số nguyên dương, đặt I = ℘1m1 ∩ · · · ∩ ℘m s Nếu m m Y = {Pi1 , , Pir } tập X J = ℘i1 i1 ∩ · · · ∩ ℘ir ir , reg(R/J) ≤ reg(R/I) Điều suy Z = m1 P1 + · · · + ms Ps tập điểm béo xác định I U = mi1 Pi1 + · · · + mir Pir tập điểm béo xác định J, reg(U ) ≤ reg(Z) Bổ đề 1.2.9 ([25, Theorem 3.4]) Cho P1 , , Ps+2 điểm phân biệt không nằm (s − 1)-phẳng Pn với s ≤ n m1 , , ms+2 số nguyên ms+2 dương Đặt P = ℘m ∩ · · · ∩ ℘s+2 , A = R/I Khi reg(A) = max Tj j = 1, , n , Pq Tj = max j = 1, , n l=1 mil j + j −