Báo cáo bài tập lớn phương pháp số đề tài b 10 cho một tấm uranium có chiều dày l và hệ số dẫn nhiệt k = 28 wm °c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -o0o - Báo cáo tập lớn Phương pháp số Đề tài: B-10 Giảng viên hướng dẫn: TS.LÊ THANH LONG Lớp L02-nhóm Danh sách thành viên STT Họ và tên Mã số sinh viên Trần Kiên Hậu 2013126 Nguyễn Xuân Hòa 2013254 Võ Minh Hiếu 2013175 Bùi Thanh Hiền 2013177 Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 10 năm 2021 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài tập lớn lần này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ, quan tâm từ quý thầy cơ, anh chị bè bạn Đặc biệt, nhóm xin gửi đến thầy Lê Thanh Long, người sức truyền đạt, dẫn chúng em đề tài báo cáo lần lời cảm ơn sâu sắc Khơng thể khơng nhắc tới hợp tác, đồn kết thành viên nhóm, xin cảm ơn người góp sức, góp lực để hồn thành tập lớn Vì cịn tồn hạn chế mặt kiến thức, trình trao đổi online, hồn thành tập lớn này, chúng em khơng tránh khỏi sai sót, kính mong nhận đóng góp từ thầy Những góp ý từ thầy động lực để chúng em hoàn thiện Một lần nữa, nhóm – L02 xin gửi lời biết ơn chân thành đến thầy giúp chúng em đạt kết Nhóm thực đề tài ĐỀ B Phương án 10 L(cm) Bài T∞ (°C) 30 h (W/m2) 50 Bài A (mm2) E (Gpa) 4000 300 Bài Cho uranium có chiều dày L hệ số dẫn nhiệt k = 28 W/m.°C (Hình 1) Tốc độ truyền nhiệt không đổi g˙ = 5.106 W/m3 Một bên trì nhiệt độ 0°C nước đá bên lại chịu ảnh hưởng đối lưu với nhiệt độ môi trường T∞ hệ số truyền nhiệt h Xét nút cách bề mặt gồm nút biên nút Tính nhiệt độ nút 1,2 bề mặt với điều kiện ổn định cách sử dụng công thức sai phân hữu hạn Viết chương trình MATLAB vẽ biểu đồ thể nhiệt độ Bài làm I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1/ Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method) Các phương pháp số giải phương trình vi phân dựa việc thay phương trình vi phân phương trình đại số Phương pháp sai phân hữu hạn thay đạo hàm sai phân Rời rạc hóa xấp xỉ (Discrete Approximation) Ta có phương trình vi phân bậc y” = p(x)y’ + q(x)y + r (x), với a ≤ x ≤ b , y(a) = α y(b) = β (1) Chọn N > chia [a,b] thành N+1 phần , với điểm nút xi = a+ih (i = 0,1,…,N+1), h=(b-a)/(N+1) Ta tìm nghiệm xấp xỉ toán cách xử lý khoảng [xi-1,xi+1] Trong phần ta thay đạo hàm cấp phương trình vi phân thành sai phân hướng tâm Sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 1: y’(xi) ≅ Sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 2: y”(xi) ≅ Phương trình (1) điểm x = xi thay đạo hàm sai phân = p(xi) + q(xi)y(xi) + r(xi) Thay y(xi) = wi ( Gía trị gần y(xi)), biến đổi, ta viết – [1 + p(xi)] wi−1 + [2 + h2q(xi)] wi – [1 – p(xi)] wi+1 = − h2r(xi) (2) Để giải nghiệm, ta lập hệ phương trình gồm phương trình (2) cho tất khoảng [xi-1,xi+1] ( a ≤ x ≤ b ) Sau ta sử dụng điều kiện biên y(a) = w0 = α y(b) = wN+1 = β Hệ phương trình mơ tả ma trận NxN có dạng Aw = b, với 2/ Phương trình truyền nhiệt (Heat Conduction Equation) Biến đổi phương trình truyền nhiệt theo phương pháp sai phân Sự truyền nhiệt tuân theo phương trình Fourier-Biot, có dạng tổng quát sau + + + = Với T : Nhiệt độ (°C) ġ : Tốc độ truyền nhiệt(heat generation) (W/m3) t : Thời gian (s) Chúng ta xét toán chiều, ổn định (steady-state) tức khơng có nhiệt theo chiều y z(hàm ẩn), nhiệt không thay đổi theo thời gian (= ).Ta có + = (3) Ta thay công thức sai phân hướng tâm + =0 (4) Điều kiện biên ( Boundary Condition) Định luật Fourier ta có Qcond = – kA (W) (5) Với Qcond thông lượng nhiệt dẫn truyền (Rate of heat conduction) A diện tích bề mặt k hệ số dẫn nhiệt (W/m.°C) Định luật làm mát Newton ( Newton’s law of cooling) ta có Qconv = hAs(Ts – T∞ ) (W) (6) Với Qconv độ đối lưu nhiệt (the rate of convection heat transfer) As diện tích mặt đối lưu nhiệt h hệ số truyền nhiệt đối lưu (W/m2 ) Ở trạng thái ổn định, lượng điểm khơng thay đổi Ta bảo tồn lượng -Qconv + Qcond + ġ(A) = = (7) Kết hợp phương trình (4)(5)(6) thay đạo hàm sai phân ta điều kiện biên đối lưu hAs(T∞ –Ts) – kA + ġ(A) = (8) II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : 1.Phần giải tay Công thức sai phân hữu hạn toán truyền nhiệt cho nút giữa: T m −1 −2T m +T m+1 ∆x g˙ + k =0 Thay m = vào công thức ta được: T −2T +T ∆x => 0−2 T 1+T 0,042 g˙ L 0,08 + k = 0, với ∆ x = = = 0,04 m ˙ 5.10 + = => 2T – T = 285,7 (9) 28 Áp dụng công thức điểu kiện biên đối lưu nút 2: h(T ∞ −T ) + k T 1−T ∆x + g˙ = ∆x => 50.(30 - T 2) + 28 T 1−T 0,04 + 5.106 = 0,04 => 700T - 750T = -101500 (10) T T Từ (9) (10) => = 394,72 C, = 503,740C 2.Phần giải bằng phần mềm Mathlab: Cách (FDM) : Tính nhiệt độ gần của các nút và vẽ biểu đồ gần đúng bằng thuật toán sai phân hữu hạn đã trình bày ở Code mathlab : %%% %%% %%% KHAI BAO DU LIEU DE BAI %%% %%% %%% L = input('L='); %nhap day cua tam T_unlimit = input('Tvc='); %nhap nhiet moi truong h= input('h='); %nhap he so truyen nhiet doi luu N=input('so_nut='); %nhap so nut g = 5*10^6; %toc truyen nhiet va he so dan nhiet khong doi k = 28; %he so dan nhiet n=101; dx=L/(n-1); % dai cua phan tu %%% %%% %%% TAO MA TRAN A %%% %%% %%% A=zeros(n-1,n); for i=1:n-2 for j=1:n if j==i A(i,j)=1; elseif j==i+1 A(i,j)=-2; elseif j==i+2 A(i,j)=1; else A(i,j)=0; end end end for j=1:n if j==n-1 A(n-1,j)=1; elseif j==n A(n-1,j)=-(1+h*dx/k); else A(n-1,j)=0; end end %%% %%% %%% TAO MA TRAN B %%% %%% %%% B=zeros(n-1,1); for i=1:n-2 B(i,1)=-g*dx^2/k; end B(n-1,1)=-g*dx*dx/(2*k)-h*T_unlimit*dx/k; A=A(:,2:n); T = linsolve(A,B); T = [0;T]; %%% %%% %%% TAO MA TRAN X %%% %%% %%% x=zeros(n,1); x(1,1)=0; for i=2:n x(i,1)=x(i-1,1)+dx; end disp('T1 = '); disp(T(51,1)); disp('T2 = '); disp(T(101,1)); plot(x,T) title('Bieu phan bo nhiet cua tam bang phuong phap sai phan huu han ') xlabel('x(m)'); ylabel('T(do C)') grid on Ta nhập L=0.08, Tvc = 30, h = 50,N=3 Ta nhiệt độ tại nút và biểu đồ hình bên dưới Cách (Analys): Tính nhiệt độ gần của các nút và vẽ biểu đồ cách giải phương trình nhiệt(4) với điều kiện biên đối lưu(8) T0 = 0.Ta hàm : T(x) = Code mathlab: x– %%% %%% %%% KHAI BAO DU LIEU DE BAI %%% %%% %%% L = input('L='); %nhap day cua tam Tvc = input('Tvc='); %nhap nhiet moi truong h= input('h='); %nhap he so truyen nhiet doi luu N=input('so_nut='); %nhap so nut g = 5*10^6; %toc truyen nhiet va he so dan nhiet khong doi k = 28; %he so dan nhiet dentaX=L/(N-1); % (m) % Ma tran cua he phuong trinh dung de giai nhiet M=[2 -1 ; -(1+(h*dentaX)/k)]; E=[(g*dentaX^2)/k;(-h*dentaX*Tvc)/k-(g*dentaX^2)/(2*k)]; % Giai nhiet tai cac nut : T12=M^(-1)*E; disp('Nhiet tai cac nut lan luot T1, T2 = ') disp(T12); % Ve thi bieu thi nhiet x=linspace(0,L,1000); Y=((0.5*g*h*L.^2)/k+g*L+Tvc*h)*(x)/(h*L+k)-(g*x.^2)/(2*k); plot(x,Y); grid on; xlabel('x(m)'); ylabel('T(do C)') title('Bieu the hien nhiet cua tam bang phuong phap giai tich ') Ta nhập L=0.08, Tvc = 30, h = 50,N=3 Ta nhiệt độ tại nút và biểu đồ hình bên dưới 10 Đặt điều kiện biên và tải trọng đề đã cho : 21 Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 Fx3 Fy3 Fx4 Fy4 Fx5 Fy5 Fx6 Fy6 Fx7 Fy7 0 -210 0 -280 0 -360 -280 0 Giải phương trình ta thu chuyển vị nút: U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 1.6802 0.4042 0.8621 1.2523 -0.0258 1.6969 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 -1.8972 -3.5678 -3.9196 -3.7876 -2.2011 (mm) (mm) Ứng suất tại các nút: Sử dụng cơng thức Ta được: Giải tốn phần mềm ANSYS: Đầu tiên ta thiết lập thông số đề đề B-9 ta có : +Modun đàn hồi(young’s modulus) Ethep=300GPA=300000N/mm2 22 (kN) +Hệ số poisson (poission’s ratio)của thép 0.3 +Tiết diện vật liệu giống :A=4000mm2 +Đơn vị độ dài của toàn bài là (mm) Bài làm Bước 1: Sau khởi động phần mềm ta vào thẻ Preferences,khu vực làm việc hiện lên một bảng làm việc ta chọn Structural và nhấn OK Bước 2: Vào tiền xử lý ta chọn thẻ Preprocessor ,tiếp theo ta chọn thẻ Element Type sau đó ta chọn thẻ Add/Edit/Delete và Ansys sẽ hiện lên một bảng ta nhấn vào Add Link3D finit stn 180 và nhấn OK 23 Bước 3: Trong thẻ Preprocessor ta chọn ModelingCreate sau đó ta chọn Keypoint In Active CS Ta thiết lập điểm đầu tiên với tọa độ x=0;y=0;z=0 và nhấn OK 24 Tương tự các nút khác cũng vậy ta đều thực hiện giống ở bước lần lượt các nút có tọa độ bảng bên dưới Nút Tọa độ x Tọa độ y Tọa độ z Đơn vị 1800 3118 mm 3600 0 mm 5400 3118 mm 7200 0 mm 9000 3118 mm 10800 0 mm Sau ta thực hiện các bước ta được Bước 4: Trong mục Create  Lines Lines  Straight Line Ta nhấn điểm để nối điểm lại nhấn OK ta hình bên 25 Bước 5: Vào thẻ Material Props  Material Model  Structural Linear Isotropic Nhập module đàn hồi E hệ số Poison nhấn OK 26 Bước 6: Vào mục Sections LinkAdd Sau ANSYS lên cửa sổ Add Link Section điền vào số sau nhấn OK cửa sổ bên ta điền vào diện tích A=4000mm2 sau nhấn OK Bước 7: Chia lưới  Trong Preprocessor  Meshing Size Cntrls ManualSizeLines All Lines Nhập vào hình bên nhấn OK 27  Vào Mesh  Lines , sau nhấn vào bên nhấn OK Bước 8: Đặt điều kiện biên lực  Đặt điều kiện biên: Trong LoadsDefine Loads Apply StructuralDisplacement On Keypoints, sau nhấn vào ux , uy nhấn OK cho nút số Tiếp tục đặt điều kiện biên cho nút số , ta hình bên 28  Đặt lực: Trong LoadsDefine Loads Apply Structural Force/MomentOn Keypoints, sau chọn lực Fy nhập lực đề cho nhấn OK Bước 9: Trong mục Solution Solve  Current LS, sau nhấn Close 29 Bước 10: Vào mục General Postproc Plot ResultsDeformed Shape sau đó Ansys sẽ xuất hiện bảng và ta chọn Def+ undeformed nhấn OK ta hình chuyển vị nút hình bên Và kết hình Bước 11: Vào mục General Postproc Element Table  Define Table  Add sau bảng hình bên chọn hình bên nhấn OK 30 31 Kết quả: Hình dạng biến dạng nút Bảng chuyển vị nút 32 Hình biểu diễn ứng suất Bảng ứng suất 33 Nhận xét: Dựa vào kết cách tính tay tính phần mềm ta thấy kết thu dù có sai số chúng chấp nhận Về tượng đề ta thấy: +Chuyển vị tại ba nút 2,nút 3,nút chuyển vị nhiều nhất điều này là hiển nhiên vì ở nút này phần lớn tải đặt vào đề bài đều tác dụng vào.Tuy nhiên chuyển vị ở rất nhỏ có thể chấp nhận được và vẫn đảm bảo được mức độ an toàn +Về mặt ứng suất số 10 ứng suất bé nhất này chịu nén lớn nhất.Ba 2,thanh 7,thanh chịu ứng suất lớn ba này chịu kéo Nếu muốn tăng độ an toàn có thể gua cố thêm vật liệu để được an toàn 34 Tài liệu tham khảo : 1.Phương pháp phần tử hữu hạn (Tác giả : Trần Ích Thịnh -Ngô Như Khoa) Numerical Methods in Heat, Transfer(Instructor: Jayathi Y Murthy) Mass, and Momentum