BÁO cáo bài tập lớn PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề tài 6

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI GVHD: Nguyễn Đình Dương Nhóm: L11 – 06 TP HCM, tháng năm 2021 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM Đề tài: Sử dụng nội suy Lagrange giải tập Exercise Set 3.1 (trang 114): 1, 3, 5, 11, 15, 18, 20 Danh sách thành viên: STT Tên MSSV Dương Anh Khoa 2010336 Nguyễn Tiến Lộc 2011576 Nguyễn Long Nhật 1914479 Phan Nhất Thuận 2014656 Nguyễn Thị Thủy Tiên 2012187 Nguyễn Tấn Trình 2012294 Võ Quốc Trình 2012295 Dương Quang Tú 2014967 Nguyễn Xuân Tùng 1915837 10 Lê Công Danh 2012778 11 Lường Anh Duy 2012821 12 Trần Văn Huy 1911265 GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM BẢNG PHÂN CƠNG STT Tên MSSV Công việc Dương Anh Khoa 2010336 Lê Công Danh 2012778 Lường Anh Duy 2012821 Nguyễn Tấn Trình 2012294 Dịch + Làm 18 Dịch + Làm 3, Làm 5,15 + Code Làm 1,3,11 Nguyễn Xuân Tùng 1915837 Code Nguyễn Long Nhật 1914479 Code Trần Văn Huy 1911265 Code 11 Nguyễn Tiến Lộc 2011576 Code 15 Dương Quang Tú 2014967 Code 18 10 Nguyễn Thị Thủy Tiên 2012187 11 Phan Nhất Thuận 2014656 Dịch + Viết báo cáo Viết power point 12 Võ Quốc Trình 2012295 Viết power point GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM Mục lục I II III TÓM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT Phép nội suy đa thức Larange .5 Định lý xấp xỉ Weierstrass Phép nội suy đa thức Larange Sai số phép nội suy .8 BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài Bài 12 Bài 14 Bài 11 .20 Bài 15 .21 Bài 18 .22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM I TĨM TẮT NỘI DUNG LÝ THUYẾT Phép Nội Suy Xấp Xỉ Đa Thức Phép nội suy đa thức Larange Các đa thức đại số lớp hàm phổ biến hữu ích nhất, ánh xạ tập số thực thành nó, tập hàm có dạng: 𝑷𝒏 (𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎 , Trong n số ngun khơng âm 𝒂𝟎 , … , 𝒂𝒏 số thức không đổi Một lý khiến chúng quan trọng chúng xấp xỉ cách khơng đồng hàm liên tục Tức với hàm biết, xác định liên tục khoảng đóng, có đa thức gần với hàm cần xấp xỉ Điều thể rõ qua định lý xấp xỉ Weierstrass Định lý xấp xỉ Weierstrass: Cho 𝒇 xác định liên tục [𝒂, 𝒃] Với 𝝐 > 𝟎, có đa thức 𝑷(𝒙), có tính chất: |𝒇(𝒙) − 𝑷(𝒙)| < 𝝐, với 𝒙 thuộc [𝒂, 𝒃] Một lý khác khiến cho kiểu hàm chọn phép xấp xỉ phương trình đạo hàm tích phân khơng xác định đa thức dễ dàng tính chúng đa thức trục 𝑶𝒙𝒚 Vì lý mà đa thức sử dụng để làm hàm xấp xỉ liên tục Các đa thức Tay-lor giới thiệu phần 1.1, mà chúng miêu tả khối kiến tạo cho phương pháp tính Với bật này, bạn mong đợi phép nội suy đa thức sử dụng hàm Tuy nhiên, khơng phải Đa thức Tay-lor hồn tồn xác định với phương trình điểm định, GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM tập chung độ xác xoay quanh điểm Một hàm xấp xỉ đa thức tốt cần phải độ xác nhật định điểm xác định, đa thức Tay-lor khơng Ví dụ: Chúng ta khai triển Tay-lor bậc 𝒙𝟎 = 𝟎 cho 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 Vì đạo hàm 𝒇(𝒙) 𝒆𝒙 , với 𝒙𝟎 = 𝟎 cho 𝟏, đa thức Tay-lor 𝑷𝟎 (𝒙) = 𝟏, 𝑷𝟏 (𝒙) = 𝟏 + 𝒙, 𝑷𝟐 (𝒙) = 𝟏 + 𝒙 + 𝑷𝟑 (𝒙) = 𝟏 + 𝒙 + 𝑷𝟒 (𝒙) = 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝑷𝟓 (𝒙) = 𝟏 + 𝒙 + , + + 𝒙𝟐 𝟐 𝒙𝟑 𝟔 𝒙𝟑 𝟔 + , + 𝒙𝟑 𝟔 𝒙𝟒 , 𝟐𝟒 + 𝒙𝟒 𝟐𝟒 + 𝒙𝟓 𝟏𝟐𝟎 Đồ thị đa thức thể hình 3.2 (Chú ý kể với đa thức bậc cao hơn, sai số trở nên tệ tiến xa khỏi 0.) Mặc dù hàm xấp xỉ đa thức tốt dùng để thể 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 đa thức Taylor bậc cao hơn, khơng với hàm Cho rằng, với ví dụ thiết thực GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM 𝟏 hơn, dùng đa thức Tay-lor với nhiều góc độ khác cho 𝒇(𝒙) = với 𝒙𝟎 = 𝟏 𝒙 𝟏 để xấp xỉ 𝒇(𝟑) = Bởi 𝟑 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟏, 𝒇′ (𝒙) = −𝒙−𝟐 , 𝒇′′ (𝒙) = (−𝟏)𝟐 𝟐 𝒙−𝟑, và, tổng quát, 𝒇(𝒌) (𝒙) = (−𝟏)𝒌 𝒌! 𝒙−𝒌−𝟏, đa thức Tay-lor 𝑷𝒏 (𝒙) = ∑𝒏𝒌=𝟎 𝒇(𝒌) (𝟏) 𝒌! (𝒙 − 𝟏)𝒌 = ∑𝒏𝒌=𝟎(−𝟏)𝒌 (𝒙 − 𝟏)𝒌 𝟏 Để xấp xỉ 𝒇(𝟑) = 𝑷𝒏 (𝟑) với việc tăng giá trị n, thu nghiệm 𝟑 thể (bảng 3.1) – nói thất bại thảm hại! Khi xấp 𝟏 𝒇(𝟑) = 𝑷𝒏 (𝟑) với giá trị n lớn dần, độ xác bị giảm xuống cách đáng kể 𝟑 Đối với phép khai triển Taylor, tất thông tin dùng để xấp xỉ tập trung vào số x0, nên đa thức Taylor thường cho kết xấp xỉ khơng xác tính tốn số xa số x0 Việc tính xấp xỉ đa thức Taylor giới hạn trường hợp mà ta cần tính số gần số x0 Vậy nên việc tính tốn thơng thường có hiệu ta cần dụng phương pháp mà ta bao hàm thơng tin nhiều điểm thay điểm đa thức Taylor Ứng dụng đa thức Taylor phân tích số khơng phải để xấp xỉ mà để tính đạo hàm ước lượng sai số Phép nội suy đa thức Lagrange Vấn đề việc tính tốn đa thức bậc qua hai điểm rời rạc (x0, y0) (x1, y1) giống việc xấp xỉ hàm số f với f(x0) = y0 f(x1) = y1 cách sử dụng nội suy đa thức bậc điểm cho trước Sử dụng đa thức để tính xấp xỉ giá trị khoảng cho điểm nút gọi nội suy đa thức Ta định nghĩa hàm đa thức mội suy Lagrange sau: 𝑳𝟎 (𝒙) = 𝒙−𝒙𝟏 𝒙𝟎 −𝒙𝟏 𝑳𝟏 (𝒙) = 𝒙−𝒙𝟎 𝒙𝟏 −𝒙𝟎 Vậy, đa thức nội suy Lagrange tuyến tính qua điểm (x0, y0) (x1, y1) có dạng: GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM 𝑷(𝒙) = 𝑳𝟎 (𝒙) ∗ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝑳𝟏 (𝒙) ∗ 𝒇(𝒙𝟏 ) = 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟎 ∗ 𝒇(𝒙𝟎 ) + ∗ 𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒙𝟎 − 𝒙𝟏 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 Chú ý: 𝑳𝟎 (𝒙𝟎 ) = 𝟏, 𝑳𝟎 (𝒙𝟏 ) = 𝟎, 𝑳𝟏 (𝒙𝟎 ) = 𝟎, 𝑳𝟏 (𝒙𝟏 ) = 𝟏 Điều có nghĩa là: 𝑷(𝒙𝟎 ) = 𝟏 ∗ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟎 ∗ 𝒇(𝒙𝟏 ) = 𝒇(𝒙𝟎 ) = 𝒚𝟎 𝑷(𝒙𝟏 ) = 𝟎 ∗ 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝟏 ∗ 𝒇(𝒙𝟏 ) = 𝒇(𝒙𝟏 ) = 𝒚𝟏 Và Do , P đa thức bậc qua hai điểm (x0, y0) (x1, y1) a Định lý 3.2: Nếu x0, x1, x2,…, xn n+1 số rời rạc f hàm có giá trị xác định số tồn đa thức có bậc n thỏa: 𝒇(𝒙𝒌 ) = 𝑷(𝒙𝒌 ) với k = 0,1,2,…,n Có dạng: 𝒏 𝑷(𝒙) = 𝑳 𝟎 (𝒙) ∗ 𝒇(𝒙𝟎 ) + ⋯ + 𝑳𝒏 (𝒙𝒏 ) ∗ 𝒇(𝒙𝒏 ) = ∑ 𝑳 𝒌 (𝒙) ∗ 𝒇(𝒙𝒌 ) 𝒌=𝟎 Với k = 0, 1, …, n 𝑳 𝒌 (𝒙) = (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 ) … (𝒙 − 𝒙𝒌−𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝒌+𝟏 ) … (𝒙 − 𝒙𝒏 ) (𝒙𝒌 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝒌 − 𝒙𝟏 ) … (𝒙𝒌 − 𝒙𝒌−𝟏 )(𝒙𝒌 − 𝒙𝒌+𝟏 ) … (𝒙𝒌 − 𝒙𝒏 ) b Định lý 3.3: Giả sử x0, x1, x2,…,xn số phân biệt thuộc đoạn [a,b] Khi đó, với x xkhoảng [a,b] tồn số 𝝐(𝒙) x0, x1, x2,…,xn khoảng (a,b) tồn tại: 𝒇(𝒙) = 𝑷(𝒙) + 𝒇(𝒏+𝟏) 𝝐(𝒙) (𝒏+𝟏)! (𝒙 − 𝒙𝟎 )( 𝒙 − 𝒙𝟏 ) …( 𝒙 − 𝒙𝒏 ), Với 𝑷(𝒙) đa thức nội suy Sai số phép nội suy: Giả sử 𝑷𝒏 (𝒙) đa thức nội suy 𝒇(𝒙), tức 𝑷𝒏 (𝒙𝒊 ) = 𝒇(𝒙𝒊 ) (i=0,1,2…n) M= 𝐦𝐚𝐱 |𝒇(𝒏+𝟏) (𝒙)| 𝒂≤𝒙≤𝒃 GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM |𝒇(𝒙∗ ) − 𝑷(𝒙∗ )| ≤ 𝑴 |𝒘(𝒙∗ )| (𝒏 − 𝟏)! II BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Cho giá trị x0=0, x1=0,6 x2=0.9 Hãy xây dựng đa thức nội suy cho hàm với bậc bậc hai để xấp xỉ f(0,45), tìm sai số tuyệt đối a f(x)= cosx c f(x)= ln(x+1) b f(x)=√𝟏 + 𝒙 d f(x)= tanx Giải: Đa thức nội suy Lagrange bậc tuyến tính qua điểm (x0,f(x0)) (x1,f(x1)) cho là: 𝒙−𝒙𝟏 Bậc 1: P1(x)= L0(x)f(x0)+ L1(x)f(x1)= 𝒙𝟎 −𝒙𝟏 f(x0) + 𝒙−𝒙𝟎 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 f(x1) Bậc 2: P2(x)= L0(x)f(x0)+ L1(x)f(x1)+ L2(x) f(x2) = (𝒙−𝒙𝟏 )(𝒙−𝒙𝟐 ) f(x0) + (𝒙𝟎 −𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟐 ) (𝒙−𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟐 ) f(x1)+ (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 ) (𝒙−𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟏 ) f(x2) (𝒙𝟐 −𝒙𝟎 )(𝒙𝟐 −𝒙𝟏 ) a Tại điểm x0=0, x1=0,6 x2=0.9 ta có f(x0)=cos(0)=1 f(x1)=cos(0,6)= 0,825336 f(x2)=cos(0,9)=0,621610 Do đa thức xác định sau: P1(x)= = 𝒙−𝟎,𝟔 𝒙−𝟎 𝟎−𝟎,𝟔 𝟎,𝟔−𝟎 −𝟏 f(0) + (x-0,6)+ f(0,6) 𝟎,𝟖𝟐𝟓𝟑𝟑𝟔 𝟎,𝟔 𝟎,𝟔 x = 1- 0,291107x Tương tự thay số vào công thức ta đa thức bậc hai: GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM P2(x)= 1- 0,0324534x- 0,431089x2 Giá trị gần f(0,45)=cos(0,45)= 0,900447 P1(0,45)= 1- 0,291107.0,45 = 0,869002 P2(0,45)= - 0,0324534.0,45 - 0,431089.0,452 = 0,8981 Vậy sai số tuyệt đối : Δa1= | 0,900447- 0,869002 | = 0,031445 Δa2= | 0,900447- 0,8981 | = 0,02347 ĐOẠN CODE Tương tự câu b, c, d ta tìm đa thức : b P1(x)= 1+ 0,441518x Δa1=0,005476 P2(x)= 1+ 0,483655x-0,0702778x2 Δa2=0,000735 ĐOẠN CODE GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 10 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM Δa1=0,019061 Δa2=0,003273 c P1(x)= 0,783339x P2(x)=0,923678x-0,233896x2 ĐOẠN CODE d P1(x)= 1,140228x P2(x)=0,620334x+ 0,866492x2 Δa1=0,030048 Δa2=0,02844 ĐOẠN CODE GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 11 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM Bài 3: Dùng định lí 3.3 để giải tìm biên sai số cho Ta có cơng thức biên sai số theo định lí 3.3: 𝒇(𝒏+𝟏)(𝝃(𝒙)) (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 ) … (𝒙 − 𝒙𝒏 ) (𝒏 + 𝟏)! Với 𝐟 (𝐧+𝟏)(𝛏(𝐱)) GTLN 𝐟 (𝐧+𝟏)(𝐱) với 𝑥=𝐱 𝟎 , 𝐱 𝟏 ,…, 𝐱 𝐧 Ở ta có nút: 𝒙𝟎 = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝟎 𝟔 n = tức bậc 𝒙𝟎 = 𝟎, 𝒙𝟏 = 𝟎 𝟔 𝒙𝟐 = 𝟎 𝟗 n = tức bậc Đặt: 𝝎(𝒙) = (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 ) … (𝒙 − 𝒙𝒏 ) Khi đó: Bậc 1: 𝝎𝟏 (𝟎 𝟒𝟓) = (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 ) = (𝟎 𝟒𝟓 − 𝟎)(𝟎 𝟒𝟓 − 𝟎 𝟔) = −𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓 Bậc 2: 𝝎𝟐 (𝟎 𝟒𝟓) = (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) = (𝟎 𝟒𝟓 − 𝟎)(𝟎 𝟒𝟓 − 𝟎 𝟔)(𝟎 𝟒𝟔 − 𝟎 𝟗) = 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓 a 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 12 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM Ta có đạo hàm: 𝒇′ (𝒙) = −𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝒇′′ (𝒙) = − 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒇′′ (𝟎) = −𝐜𝐨𝐬(𝟎) = −𝟏 𝒇′′ (𝟎 𝟔) = 𝐜𝐨𝐬(𝟎 𝟔) = 𝟎 𝟖𝟐𝟓𝟑𝟒 Vậy GTLN 𝒇′′ (𝒙) với x thuộc [0, 0.6] 𝒇′′ (𝟎) = −𝐜𝐨𝐬(𝟎) = −𝟏 𝒇(𝟑) (𝒙) = 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝒇(𝟑)(𝟎) = 𝐬𝐢𝐧(𝟎) = 𝟎 𝒇(𝟑) (𝟎 𝟗) = 𝐬𝐢𝐧(𝟎 𝟗) = 𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑 Vậy GTLN 𝒇(𝟑) (𝒙) với x thuộc [0, 0.9] 𝒇(𝟑) (𝟎 𝟗) = 𝐬𝐢𝐧(𝟎 𝟗) = 𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑 Từ đó, ta có biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: | 𝒇′′(𝝃) 𝟏 ∗ 𝝎𝟏 (𝒙)| = |− ∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟕𝟓 𝟐! 𝟐! Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: 𝒇(𝟑) (𝝃) 𝟎 𝟕𝟖𝟑𝟑𝟑 | ∗ 𝝎𝟐 (𝒙)| = | ∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟗𝟕 𝟑! 𝟑! ĐOẠN CODE b Tương tự câu b,c,d Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: −𝟏 𝒇′′(𝝃) | ∗ 𝝎𝟏 (𝒙)| = | 𝟒 ∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟎𝟖𝟒𝟒 𝟐! 𝟐! Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: 𝒇(𝟑)(𝝃) 𝟎 𝟑𝟕𝟓 | ∗ 𝝎𝟐 (𝒙)| = | ∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟖𝟗𝟖 𝟑! 𝟑! GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 13 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM c Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: | 𝒇′′(𝝃) −𝟏 ∗ 𝝎𝟏 (𝒙)| = | ∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟑𝟑𝟕𝟓 𝟐! 𝟐! Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: 𝒇(𝟑)(𝝃) 𝟐 | ∗ 𝝎𝟐 (𝒙)| = | ∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟏𝟎𝟏𝟑 𝟑! 𝟑! d Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: | 𝒇′′(𝝃) 𝟐 𝟎𝟎𝟖𝟔𝟖 ∗ 𝝎𝟏 (𝒙)| = | ∗ (−𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟓)| ≤ 𝟎 𝟎𝟔𝟕𝟕𝟗 𝟐! 𝟐! Biên sai số cho phép nội suy Lagrange bậc là: 𝒇(𝟑) (𝝃) −𝟏𝟗 𝟒𝟖𝟐𝟒𝟑 | ∗ 𝝎𝟐 (𝒙)| = | ∗ 𝟎 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟓| ≤ 𝟎 𝟎𝟗𝟖𝟔𝟑 𝟑! 𝟑! Bài 5: Dùng đa thức nội suy Lagrange đến bậc 1, bậc bậc để tính xấp xỉ sau: a Tính f(8.4) f(8.1) = 16.94410, f(8.3) = 17.56492, f(8.6) = 18.50515, f(8.7) = 18.82091 𝟏 b Tính f(− ) f(−0.75) = −0.07181250, f(−0.5) = −0.02475000, f(−0.25) = 𝟑 0.33493750, f(0) = 1.10100000 c Tính f(0.25) f(0.1) = 0.62049958, f(0.2) = −0.28398668, f(0.3) = 0.00660095, f(0.4) = 0.24842440 d Tính f(0.9) f(0.6) = −0.17694460, f(0.7) = 0.01375227, f(0.8) = 0.22363362, f(1.0) = 0.65809197 Giải: a.Bậc 1: Ta chọn khoảng nút chứa 8.4 là: [8.3, 8.6] Ta lập bảng: x 8.3 8.6 GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 14 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM f(x) 17.56492 18.50515 Theo cơng thức nội suy Lagrange, ta có: L1(x) = f0(x)l0 + f1(x)l1 = 𝒇𝟎 (𝒙) ∗ = 𝟏𝟕 𝟓𝟔𝟒𝟗𝟐 ∗ 𝒙−𝟖.𝟔 𝟖.𝟑−𝟖.𝟔 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙𝟎 − 𝒙𝟏 + 𝟏𝟖 𝟓𝟎𝟓𝟏𝟓 ∗ + 𝒇𝟏 (𝒙) ∗ 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 𝒙−𝟖.𝟑 𝟖.𝟔−𝟖.𝟑 Hay L1(x) = 𝟑 𝟏𝟑𝟒𝟏𝒙 − 𝟖 𝟒𝟒𝟖𝟏𝟏 Thay x = 8.4 vào L1(x), ta được: L1(8.4) = 17.87833 Bậc 2: Ta chọn khoảng nút chứa 8.4 là: [8.3, 8.7] Ta lập bảng: x 8.3 8.6 f(x) 17.56492 18.50515 Theo cơng thức nội suy Lagrange, ta có: 8.7 18.82091 L2(x) = f0(x)l0 + f1(x)l1 + f2(x)l2 = 𝒇𝟎 (𝒙) ∗ (𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙− 𝒙𝟐 ) (𝒙𝟎 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟐 ) + 𝒇𝟏 (𝒙) ∗ (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟐 ) (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 ) (𝒙−𝟖.𝟔)(𝒙−𝟖.𝟕) =𝟏𝟕 𝟓𝟔𝟒𝟗𝟐 ∗ (𝟖.𝟑−𝟖.𝟔)(𝟖.𝟑−𝟖.𝟕) + 𝟏𝟖 𝟓𝟎𝟓𝟏𝟓 ∗ + 𝒇𝟐 (𝒙) ∗ (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟏 ) (𝒙𝟐 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) (𝒙−𝟖.𝟑)(𝒙−𝟖.𝟕) (𝟖.𝟔−𝟖.𝟑)(𝟖.𝟔−𝟖.𝟕) + 𝟏𝟖 𝟖𝟐𝟎𝟗𝟏 ∗ (𝒙−𝟖.𝟑)(𝒙−𝟖.𝟔) (𝟖.𝟕−𝟖.𝟑)(𝟖.𝟕−𝟖.𝟔) Thay x = 8.4 vào L2(x), ta được: L2(8.4) = 17.87716 Bậc 3: Ta chọn khoảng nút chứa 8.4 là: [8.1, 8.7] Ta lập bảng: x 8.1 8.3 f(x) 17.56492 17.56492 Theo công thức nội suy Lagrange, ta có: 8.6 18.50515 8.7 18.82091 L3(x) = f0(x)l0 + f1(x)l1 + f2(x)l2 + f3(x)l3 GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 15 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM (𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙− 𝒙𝟐 )(𝒙− 𝒙𝟑 ) =𝒇𝟎 (𝒙) ∗ + 𝒇𝟏 (𝒙) ∗ ) (𝒙𝟎 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟐 )(𝒙𝟎 − 𝒙𝟑 (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟏 )(𝒙−𝒙𝟑 ) + 𝒇𝟑 (𝒙) (𝒙 − 𝒙 )(𝒙 − 𝒙 )(𝒙 − 𝒙 ) 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑 (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟐 )(𝒙− 𝒙𝟑 ) (𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 )(𝒙𝟏 − 𝒙𝟑 ) (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟏 )(𝒙−𝒙𝟐 ) (𝒙𝟑 − 𝒙𝟎 )(𝒙𝟑 − 𝒙𝟏 )(𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 ) (𝒙−𝟖.𝟑)(𝒙−𝟖.𝟔)(𝒙−𝟖.𝟕) =𝟏𝟔 𝟗𝟒𝟒𝟏𝟎 ∗ (𝟖.𝟏−𝟖.𝟑)(𝟖.𝟏−𝟖.𝟔)(𝟖.𝟏−𝟖.𝟕) + 𝟏𝟕 𝟓𝟔𝟒𝟗𝟐 ∗ 𝟏𝟖 𝟓𝟎𝟓𝟏𝟓 ∗ + 𝒇𝟐 (𝒙) ∗ (𝒙−𝟖.𝟏)(𝒙−𝟖.𝟑)(𝒙−𝟖.𝟕) (𝟖.𝟔−𝟖.𝟏)(𝟖.𝟔−𝟖.𝟑)(𝟖.𝟔−𝟖.𝟕) + 𝟏𝟖 𝟖𝟐𝟎𝟗𝟏 ∗ (𝒙−𝟖.𝟏)(𝒙−𝟖.𝟔)(𝒙−𝟖.𝟕) (𝟖.𝟑−𝟖.𝟏)(𝟖.𝟑−𝟖.𝟔)(𝟖.𝟑−𝟖.𝟕) (𝒙−𝟖,𝟏)(𝒙−𝟖.𝟑)(𝒙−𝟖.𝟔) + (𝟖.𝟕−𝟖.𝟏)(𝟖.𝟕−𝟖.𝟑)(𝟖.𝟕−𝟖.𝟔) Thay x = 8.4 vào L3(x), ta được: L3(8.4) = 17.87714 ĐOẠN CODE Tương tự với câu b,c,d: b Bậc 1: x f(x) -0.25 -0.02475000 -0.5 0.33493750 GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 16 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM 𝟏 L1(− ) = 0.21504167 𝟑 Bậc 2: x -0.25 -0.5 f(x) -0.02475000 0.33493750 𝟏 L2(− ) = 0.16988889 0.0 1.10100000 𝟑 Bậc 3: x -0.75 f(x) -0.07181250 𝟏 L3(− ) = 0.17451852 -0.25 -0.02475000 -0.5 0.33493750 0.0 1.10100000 𝟑 ĐOẠN CODE GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 17 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM c.Bậc 1: x 0.2 0.3 f(x) -0.28398668 0.00660095 L1(0.25) = -0.13869287 Bậc 2: x 0.2 0.3 f(x) -0.28398668 0.00660095 L2(0.25) = -0.13259735 0.4 0.24842440 Bậc 3: x 0.1 f(x) -0.62049958 L3(0.25) = -0.13277479 0.2 -0.28398668 0.3 0.00660095 0.4 0.24842440 ĐOẠN CODE GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 18 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM d.Bậc 1: x 0.8 f(x) 0.22363362 L1(0.9) = 0.44086280 0.65809197 Bậc 2: x 0.7 f(x) 0.01375227 L2(0.9) = 0.43841356 0.8 0.22363362 0.65809197 Bậc 3: x 0.6 f(x) -0.17694460 L3(0.9) = 0.44198501 0.7 0.01375227 0.8 0.22363362 0.65809197 ĐOẠN CODE GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 19 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHÓM Bài 11 Sử dụng giá trị làm tròn đến chữ số thứ sau dấu phẩy bên để xấp xỉ đa thức Lagrange bậc ba f(1,09) Với hàm tính gần f(x) = log10(tanx) Hãy dùng kiến thức phần để tìm phạm vi sai số phép tính gần f(1.00) = 0.1924 f(1.05) = 0.2414 f(1.10) = 0.2933 f(1.15) = 0.3492 Giải: Đa thức nội suy Lagrange bậc ba tuyến tính qua điểm (x0,f(x0)) , (x1,f(x1)), (x2,f(x2)) , (x3,f(x3)) cho là: P3(x)= L0(x)f(x0)+ L1(x)f(x1)+ L2(x) f(x2) )+ L3(x) f(x3) Tại điểm x0=1,00 x1=1,05 x2=1,10 x3=1,15 ta tính giá trị Lk(1,09) sau: L0= -0,032 L1= 0,216 L2= 0,864 L3= -0,048 Thay vào đa thức bậc ba: P3(1,09)= L0(1,09)f(1,00)+ L1(1,09)f(1,05)+ L2(1,09) f(1,10)+ L3(1,09) f(1,15) = -0,0322.0,1924+ 0,216.0,2414+ 0,864.0,2933-0,048.0,3492 = 0,2826 Giá trị hàm cho x=1,09: f(1,09)= log10(tan1,09)=0,2826429 Sai số tuyệt đối pp nội suy lagrange: ∆𝒂𝟏 =| f(1,09)- P3(1,09) | = 4,29.10-5 Sai số tuyệt đối theo định lý 3.3: ∆𝒂𝟐 = | f(x)-P3(x) | = | 𝒇(𝟒) (𝝃(𝒙)) 𝟒! ∏𝟑𝒊=𝟎(𝒙 − 𝒙𝒌 )| đó: ∏𝟑𝒊=𝟎(𝒙 − 𝒙𝒌 )=(1,09-1)(1,09-1,05)(1,09-1,10)(1,09-1,15)= 2.16.10-6 f(x)= log10(tanx) GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 20 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM f’(x)= 𝟐 𝐥𝐧 𝟏𝟎.𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) f’’(x)= f(3)( 𝟏 𝒍𝒏𝟏𝟎 x)= f(4)(x)= ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝟐 𝒍𝒏𝟏𝟎 𝟐 𝒍𝒏𝟏𝟎 ( − 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝟏+𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙 ) 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 + ) 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 − 𝟏+𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟒 𝒙 ) giá trị lớn f(4)(x) x=1,15 suy f(4)(1,15)=81,5083 sai số tuyệt đối: ∆𝒂𝟐 = | f(x)-P3(x) | = | = 𝟖𝟏,𝟓𝟎𝟖𝟑 𝟐𝟒 𝒇(𝟒) (𝝃(𝒙)) 𝟒! ∏𝟑𝒊=𝟎(𝒙 − 𝒙𝒌 )| 𝟐, 𝟏𝟔 𝟏𝟎−𝟔 = 7,3357.10-6 Vậy sai số nội suy lagrange là: ∆𝒂𝟏 = 4,29.10-5 sai số theo định lý 3.3 là: ∆𝒂𝟐 = 7,3357.10-6 ĐOẠN CODE Bài 15: Sử dụng số liệu câu 11, dùng Maple để giải đến lần lặp thứ 10: GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 21 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM ĐOẠN CODE Bài 18: a Bảng thống kê dân số Hoa Kỳ từ năm 1950 đến năm 2000 với số liệu ghi bảng sau Sử dụng nội suy Lagrange để xấp xỉ dân số năm 1940, 1975,và 2020 b Dân số năm 1940 khoảng 132.165.000 người Bạn nghĩ số năm 1975 2020 bạn xác đến mức nào? a) Ta có: (𝒙 − 𝟏𝟗𝟔𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟗𝟕𝟎) … (𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟎) (𝟏𝟗𝟓𝟎 − 𝟏𝟗𝟔𝟎)(𝟏𝟗𝟓𝟎 − 𝟏𝟗𝟕𝟎) … (𝟏𝟗𝟓𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎) (𝒙 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟗𝟕𝟎) … (𝒙 − 𝟐𝟎𝟎𝟎) 𝒍𝟏 (𝒙) = (𝟏𝟗𝟔𝟎 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝟏𝟗𝟔𝟎 − 𝟏𝟗𝟕𝟎) … (𝟏𝟗𝟕𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎) 𝒍𝟎 (𝒙) = GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 22 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM … (𝒙 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝒙 − 𝟏𝟗𝟔𝟎) … (𝒙 − 𝟏𝟗𝟗𝟎) 𝒍𝟓 (𝒙) = (𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟓𝟎)(𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟔𝟎) … (𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟗𝟗𝟎) Khi ta nội suy đa thức Larange: 𝒏 𝑳(𝒙) = ∑ 𝒚𝒌 𝒍𝒌 (𝒙) = 𝒚𝟎 𝒍𝟎 (𝒙) + 𝒚𝟏 𝒍𝟏 (𝒙) + ⋯ + 𝒚𝟓 𝒍𝟓 (𝒙) 𝒌=𝟎 Vậy 𝑳(𝟏𝟗𝟒𝟎) = 𝟏𝟎𝟐, 𝟑𝟗𝟕, 𝑳(𝟏𝟗𝟕𝟓) = 𝟐𝟏𝟓, 𝟎𝟒𝟐𝟕, 𝑳(𝟐𝟎𝟐𝟎) = 𝟓𝟏𝟑, 𝟒𝟒𝟑 ĐOẠN CODE b) Sai số 𝑳(𝟏𝟗𝟒𝟎) = |𝒇(𝒙) − 𝑳(𝟏𝟗𝟒𝟎)| ≤ 𝟐𝟗, 𝟕𝟔𝟖, 𝑳(𝟏𝟗𝟕𝟓) = |𝒇(𝒙) − 𝑳(𝟏𝟗𝟕𝟓)| ≤ 𝟎, 𝟗𝟐𝟑, 𝑳(𝟐𝟎𝟐𝟎) = |𝒇(𝒙) − 𝑳(𝟐𝟎𝟐𝟎)| ≤ 𝟏𝟖𝟑, 𝟓𝟔𝟖 Nhận xét: Theo đề bài, dân số US vào năm 1940 khoảng 132 165 000 người Dùng đa thức nội suy Lagrange để tính xấp xỉ dân số US năm 1940 ta 102 396 000 người sai số lớn (chênh lệch khoảng 29 760 000 người) Tính xấp xỉ dân số US năm 1975 ta 215 042 000 người Vì 1975 gần so với mốc nội suy (1970 1980) nên sai số khơng lớn Tính xấp xỉ dân số US năm 2020 ta 513 442 000 người Vì 2020 xa so với mốc nội suy (2000) nên sai số lớn Vậy ta tính xấp xỉ gần mốc nội suy sai số khơng lớn, tin tưởng được; cịn ta tính xấp xỉ xa mốc nội suy sai số lớn, khơng tin tưởng GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 23 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM III TÀI LIỆU THAM KHẢO Numerical Analysis, 9th ed (hcmut.edu.vn) Sách giáo trình Phương Pháp Tính ĐHQGTPHCM – Đại học Bách Khoa Khóa học: Phương pháp tính (MT1009)_Nguyễn Đình Dương (DH_HK202) (hcmut.edu.vn) Oxford | Định nghĩa Từ điển tiếng Anh Cambridge GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 24 Tieu luan ... ĐÌNH DƯƠNG 17 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM c.Bậc 1: x 0.2 0.3 f(x) -0.2839 866 8 0.0 066 0095 L1(0.25) = -0.13 869 287 Bậc 2: x 0.2 0.3 f(x) -0.2839 866 8 0.0 066 0095 L2(0.25) = -0.13259735... c Tính f(0.25) f(0.1) = 0 .62 049958, f(0.2) = −0.2839 866 8, f(0.3) = 0.0 066 0095, f(0.4) = 0.24842440 d Tính f(0.9) f(0 .6) = −0.1 769 4 460 , f(0.7) = 0.01375227, f(0.8) = 0.22 363 362 , f(1.0) = 0 .65 809197... -0 .62 049958 L3(0.25) = -0.13277479 0.2 -0.2839 866 8 0.3 0.0 066 0095 0.4 0.24842440 ĐOẠN CODE GV: NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG 18 Tieu luan BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHĨM d.Bậc 1: x 0.8 f(x) 0.22 363 362