Báo cáo bài tập lớn phương pháp số đề tài b 10 cho một tấm uranium có chiều dày l và hệ số dẫn nhiệt k = 28 wm °c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -o0o - Báo cáo tập lớn Phương pháp số Đề tài: B-10 Giảng viên hướng dẫn: TS.LÊ THANH LONG Lớp L02-nhóm Danh sách thành viên STT Họ tên Mã số sinh viên Trần Kiên Hậu 2013126 Nguyễn Xuân Hòa 2013254 Võ Minh Hiếu 2013175 Bùi Thanh Hiền 2013177 Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 10 năm 2021 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài bài tập lớn lần này, trước hết nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ, quan tâm từ quý thầy cơ, anh chị và bè bạn Đặc biệt, nhóm xin gửi đến thầy Lê Thanh Long, người sức truyền đạt, dẫn chúng em đề tài báo cáo lần này lời cảm ơn sâu sắc Không thể không nhắc tới hợp tác, đoàn kết thành viên nhóm, xin cảm ơn người góp sức, góp lực để hoàn thành bài tập lớn này Vì cịn tồn hạn chế về mặt kiến thức, trình trao đổi online, hoàn thành bài tập lớn này, chúng em không tránh khỏi sai sót, kính mong nhận đóng góp từ thầy Những góp ý từ thầy là động lực để chúng em hoàn thiện Một lần nữa, nhóm – L02 xin gửi lời biết ơn chân thành đến thầy giúp chúng em đạt kết này Nhóm thực đề tài ĐỀ B Phương án 10 L(cm) Bài T∞ (°C) 30 h (W/m ) 50 Bài A (mm ) E (Gpa) 4000 300 Bài Cho uranium có chiều dày L và hệ số dẫn nhiệt k = 28 W/m.°C (Hình 1) Tốc độ truyền nhiệt không đổi ´g = 5.106 W/m3 Một bên trì nhiệt độ 0°C nước đá và bên lại chịu ảnh hưởng đối lưu với nhiệt độ môi trường T∞ và hệ số truyền nhiệt h Xét nút cách đều bề mặt gồm nút biên và nút Tính nhiệt độ nút 1,2 bề mặt với điều kiện ổn định cách sử dụng công thức sai phân hữu hạn Viết chương trình MATLAB và vẽ biểu đồ thể nhiệt độ Bài làm I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1/ Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method) Các phương pháp số giải phương trình vi phân dựa việc thay phương trình vi phân phương trình đại số Phương pháp sai phân hữu hạn thay đạo hàm sai phân Rời rạc hóa xấp xỉ (Discrete Approximation) Ta có phương trình vi phân bậc y” = p(x)y’ + q(x)y + r (x), với a ≤ x ≤ b , y(a) = α và y(b) = β (1) Chọn N > và chia [a,b] thành N+1 phần , với điểm nút xi = a+ih (i = 0,1,…,N+1), h=(b-a)/(N+1) Ta tìm nghiệm xấp xỉ bài tốn cách xử lý khoảng [xi-1,xi+1] Trong phần này ta thay đạo hàm cấp và phương trình vi phân thành sai phân hướng tâm Sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 1: y’(xi) ≅ Sai phân hướng tâm cho đạo hàm cấp 2: y”(xi) ≅ Phương trình (1) điểm x = xi và thay đạo hàm sai phân = p(xi) + q(xi)y(xi) + r(xi) Thay y(xi) = wi ( Gía trị gần y(xi)), và biến đổi, ta viết – [1 + p(xi)] wi−1 + [2 + h2q(xi)] wi – [1 – p(xi)] wi+1 = − h2r(xi) (2) Để giải nghiệm, ta lập hệ phương trình gồm phương trình (2) cho tất khoảng [xi-1,xi+1] ( a ≤ x ≤ b ) Sau ta sử dụng điều kiện biên y(a) = w0 = α và y(b) = wN+1 = β Hệ phương trình mơ tả ma trận NxN có dạng Aw = b, với 2/ Phương trình truyền nhiệt (Heat Conduction Equation) Biến đổi phương trình truyền nhiệt theo phương pháp sai phân Sự truyền nhiệt tuân theo phương trình Fourier-Biot, có dạng tổng qt sau + + + = Với T : Nhiệt độ (°C) ġ : Tốc độ truyền nhiệt(heat generation) (W/m3) t : Thời gian (s) Chúng ta xét bài toán chiều, ổn định (steady-state) tức là khơng có nhiệt theo chiều y và z(hàm ẩn), và nhiệt không thay đổi theo thời gian (= ).Ta có + = (3) Ta thay công thức sai phân hướng tâm + =0 (4) Điều kiện biên ( Boundary Condition) Định luật Fourier ta có Qcond = – kA (W) (5) Với Qcond là thông lượng nhiệt dẫn truyền (Rate of heat conduction) A là diện tích bề mặt k là hệ số dẫn nhiệt (W/m.°C) Định luật làm mát Newton ( Newton’s law of cooling) ta có Qconv = hAs(Ts – T∞ ) (W) (6) Với Qconv là độ đối lưu nhiệt (the rate of convection heat transfer) As là diện tích mặt đối lưu nhiệt h là hệ số truyền nhiệt đối lưu (W/m2 ) Ở trạng thái ổn định, lượng điểm không thay đổi Ta bảo toàn lượng -Qconv + Qcond + ġ(A) = = (7) Kết hợp phương trình (4)(5)(6) và thay đạo hàm sai phân ta điều kiện biên đối lưu hAs(T∞ –Ts) – kA + ġ(A) = (8) II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : 1.Phần giải tay Công thức sai phân hữu hạn bài toán truyền nhiệt cho nút giữa: T m −1 −2T m +T m+1 ∆x + g´ =0 k Thay m = vào công thức ta được: T −2T +T ∆x => 0−2 T 1+T 0,042 + g´ L 0,08 = 0, với ∆ x = = = 0,04 m k 2 ´ + 5.10 = => 2T – T = 285,7 (9) 28 Áp dụng công thức điểu kiện biên đối lưu nút 2: h(T ∞ −T ) + k T 1−T ∆x + g´ = ∆x => 50.(30 - T 2) + 28 T 1−T 0,04 + 5.106 = 0,04 => 700T - 750T = -101500 (10) T T Từ (9) và (10) => = 394,72 C, = 503,740C 2.Phần giải bằng phần mềm Mathlab: Cách (FDM) : Tính nhiệt độ gần nút và vẽ biểu đồ gần thuật toán sai phân hữu hạn trình bày Code mathlab : %%% %%% %%% KHAI BAO DU LIEU DE BAI %%% %%% %%% L = input('L='); %nhap day cua tam T_unlimit = input('Tvc='); %nhap nhiet moi truong h= input('h='); %nhap he so truyen nhiet doi luu N=input('so_nut='); %nhap so nut g = 5*10^6; %toc truyen nhiet va he so dan nhiet khong doi k = 28; %he so dan nhiet n=101; dx=L/(n-1); % dai cua phan tu %%% %%% %%% TAO MA TRAN A %%% %%% %%% A=zeros(n-1,n); for i=1:n-2 for j=1:n if j==i A(i,j)=1; elseif j==i+1 A(i,j)=-2; elseif j==i+2 A(i,j)=1; else A(i,j)=0; end end end for j=1:n if j==n-1 A(n-1,j)=1; elseif j==n A(n-1,j)=-(1+h*dx/k); else A(n-1,j)=0; end end %%% %%% %%% TAO MA TRAN B %%% %%% %%% B=zeros(n-1,1); for i=1:n-2 B(i,1)=-g*dx^2/k; end B(n-1,1)=-g*dx*dx/(2*k)-h*T_unlimit*dx/k; A=A(:,2:n); T = linsolve(A,B); T = [0;T]; %%% %%% %%% TAO MA TRAN X %%% %%% %%% x=zeros(n,1); x(1,1)=0; for i=2:n x(i,1)=x(i-1,1)+dx; end disp('T1 = '); disp(T(51,1)); disp('T2 = '); disp(T(101,1)); plot(x,T) title('Bieu phan bo nhiet cua tam bang phuong phap sai phan huu han ') xlabel('x(m)'); ylabel('T(do C)') grid on Ta nhập L=0.08, Tvc = 30, h = 50,N=3 Ta nhiệt độ nút và biểu đồ hình bên Cách (Analys): Tính nhiệt độ gần nút và vẽ biểu đồ cách giải phương trình nhiệt(4) với điều kiện biên đối lưu(8) và T0 = 0.Ta hàm : T(x) = x– Code mathlab: %%% %%% %%% KHAI BAO DU LIEU DE BAI %%% %%% %%% L = input('L='); %nhap day cua tam Tvc = input('Tvc='); %nhap nhiet moi truong h= input('h='); %nhap he so truyen nhiet doi luu N=input('so_nut='); %nhap so nut g = 5*10^6; %toc truyen nhiet va he so dan nhiet khong doi k = 28; %he so dan nhiet dentaX=L/(N-1); % (m) % Ma tran cua he phuong trinh dung de giai nhiet M=[2 -1 ; -(1+(h*dentaX)/k)]; E=[(g*dentaX^2)/k;(-h*dentaX*Tvc)/k-(g*dentaX^2)/(2*k)]; % Giai nhiet tai cac nut : T12=M^(-1)*E; disp('Nhiet tai cac nut lan luot T1, T2 = ') disp(T12); % Ve thi bieu thi nhiet x=linspace(0,L,1000); Y=((0.5*g*h*L.^2)/k+g*L+Tvc*h)*(x)/(h*L+k)-(g*x.^2)/(2*k); 10