Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 5 Lý thuyết mô ment tổng quát

Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 5 Lý thuyết mô ment tổng quát

Chương 5

LÝ THUYẾT MÔ MEN TỔNG QUÁT

Trong chương này sẽ giới thiệu các phương trình và công thức cơ bản của

lý thuyết mô men tổng quát tính vỏ mỏng đàn hồi được xây dựng trên cơ sở lý thuyết đàn hồi và các giả thiết tính toán của Kirchhoff-Love

Tương tự như giải bài toán cơ học nói chung, bài toán vỏ được giải từ 03 nhóm phương trình: nhóm phương trình hình học, nhóm phương trình vật lý, nhóm phương trình cân bằng kết hợp với điều kiện biên

5.1 PHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC

Nhóm phương trình hình học biểu diễn mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, [16]

5.1.1 Véc tơ chuyển vị tại điểm bất kỳ

Giả sử trên mặt trung bình, sau khi biến dạng, điểm P dịch chuyển đến điểm P’ Véc tơ chuyển vị của điểm P:

với u, v, w là các thành phần chuyển vị theo các phương của véc tơ đơn vị e1, 2

e , e3

Sau biến dạng, điểm P z cách mặt trung bình khoảng cách z theo phương pháp tuyến e3 tại điểm P, dịch chuyển đến điểm P'z Véc tơ chuyển vị của điểm

z

u u e v e w e (5.2)

trong đó, u z, v z, w z là các thành phần chuyển vị theo các phương của véc tơ đơn

vị e1, e2, e3

Biểu diễn véc tơ chuyển vị của điểm P z theo (5.2) qua véc tơ chuyển vị (5.1) tại điểm P trên mặt trung bình, [16]:

 1 1 2 2

z

Khai triển (5.3), nhận được các thành phần chuyển vị tại điểm P z:

1

z

u   u z 2

z

trong đó 1,2 là góc xoay của e3 trong mặt phẳng vuông góc với e2 và e1, hình 5-1, với:

1

1

1 w u



  

1 w v



  

e 

2

e  3

e

1



1

e

3

e

2



2

e Hình 5-1 Góc xoay 1, 2 của véc tơ pháp tuyến e3

5.1.2 Các thành phần biến dạng

Theo lý thuyết mặt cong, nếu biết 06 hệ số E, F , G của dạng bình phương thứ nhất và L, M , Ncủa dạng bình phương thứ hai thì xác định được mặt cong trong không gian trước biến dạng Sau biến dạng, 06 hệ số này đổi thành E', F', '

G và L', M', N' và nếu thỏa mãn điều kiện Codaxi-Gauss thì cũng xác định được mặt cong trong không gian sau biến dạng Song, thay thế cho 06 hệ số này

sử dụng 06 đại lượng biến dạng, [16]

Sáu thành phần biến dạng của vỏ gồm:

1, 2 - độ dãn dài tương đối theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ

 và ;

 - góc trượt trong mặt cong;

1, 2 và  - độ cong uốn của đường cong tọa độ  và  và độ cong xoắn Trong hệ tọa độ cong chính, các thành phần biến dạng xác định theo công thức, [16]:

1

1

v

u

1

2

2

(5.11) Các thành phần biến dạng của vỏ là hàm của chuyển vị u, v, w và các yếu

tố hình học của mặt cong A, B, r1, r2.

Tương tự như chuyển vị, biến dạng dài tương đối và góc trượt của phân tố mặt cong cách mặt trung bình khoảng cách z được xác định bằng công thức, [16]:

1

1 1

z r

2

1 1

z r

2

2

z

(5.14)

Nếu bỏ qua các thành phần

1

z

r , 2

z

r so với đơn vị thì (5.12)(5.14) có dạng:

1z 1 z 1

2 2 2

2

5.1.3 Phương trình tương thích biến dạng

Tương tự như điều kiện Codaxi-Gauss, phương trình tương thích biến dạng A.L Gonzenvayze biểu thị điều kiện liên tục của mặt trung bình sau biến dạng Trong hệ tọa độ cong chính, 03 phương trình tương thích biến dạng có dạng:

0

2

2 1

1

1 2

1

2

0

B





1

1

1

0

(5.18)

Ba phương trình tương thích biến dạng (5.18) biểu diễn quan hệ giữa các thành phần biến dạng và các yếu tố hình học của mặt cong A, B, r1, r2 Trong lý

thuyết tính toán vỏ, ba phương trình này được sử dụng như ba phương trình cân bằng do sự tương tự tĩnh - động

5.2 PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG

5.2.1 Ứng suất và nội lực của vỏ

Các thành phần ứng suất, nội lực của phân tố vỏ được biểu diễn trên hình 5-2

1

Q

1

N

1

S

2

Q

2

S

2

N





dz

z

1

ds 2

21

 23

 e3 12 1

2

e

1

e

3

p

2

p

1

p

13

 1

 12



13



2

ds

2

 21



23







1

M

2

H

2

M

`

1

H



b)

d)

Hình 5-2 Ứng suất và nội lực của vỏ.

Véc tơ ứng suất trong phân tố vỏ, nếu áp dụng qui luật đối ngẫu  12 21,

có dạng:

T

trong đó:

1

 , 2 - ứng suất pháp tại tiết diện trên biên  constvà  const;

12

 , 13 - ứng suất tiếp tại tiết diện trên biên  const;

21

 , 23 - ứng suất tiếp tại tiết diện trên biên  const;

Chiều dương của ứng suất và nội lực như trên hình 5-2

Véc tơ nội lực của vỏ:

T

trong đó:

1

N , N2 là lực dọc tại tiết diện trên biên  constvà  const;

1

S là lực trượt tại tiết diện trên biên  const;

2

S là lực trượt tại tiết diện trên biên  const;

Q là lực cắt tại tiết diện trên biên  const;

2

Q là lực cắt tại tiết diện trên biên  const;

1

M là mô men uốn tại tiết diện trên biên  const;

2

M là mô men uốn tại tiết diện trên biên  const;

1

H là mô men xoắn tại tiết diện trên biên  const;

2

H là mô men xoắn tại tiết diện trên biên  const;

Nếu áp dụng qui luật đối ngẫu: S S1 S2 và H H1 H2, véc tơ nội lực

có dạng:

T

Các lực N1, N2, S gọi là nhóm lực màng

Nội lực của vỏ là nội lực phân bố trên một đơn vị chiều dài

Các thành phần nội lực của vỏ xác định từ các thành phần ứng suất theo công thức:

/ 2

2 / 2

1 z

r



 

    

/ 2

1 / 2

1 z

r



 

    

/ 2

2 / 2

1 z

r



 

/ 2

1 / 2

1 z

r



 

    

/ 2

2 / 2

1 z

r



 

    

/ 2

1 / 2

1 z

r



 

    

/ 2

2 / 2

1 z

r



 

/ 2

1 / 2

1 z

r



 

/ 2

2 / 2

1 z

r



 

/ 2

1 / 2

1 z

r



 

Khi giải bài toán vỏ nhận được ứng suất hoặc nội lực Ứng suất do nội lực gây ra được xác định bằng công thức sau, hình 5-3, với  là chiều dày vỏ:

z 1

N  1 2 N2

2

1

1z



/2



1

S 1 2

12

2

S

2

M

1

M

1



dz

/2



1

r

2

r

1

12

1

2



1 2

Hình 5-3 Nội lực và ứng suất của vỏ.

1 Ứng suất pháp

- Do lực màng: 1

1

N

 

 2

2

N

 

- Do mô men uốn, với 1. 3

12

J   : 1

1

M z J

J

  (5.30)

Ứng suất max tại

2

6M

 



2

6M

 

2 Ứng suất tiếp

- Do lực trượt S1 và S2: 1

12

S

 

 2

21

S

 

- Do mô men xoắn H1và H2 tại

2

z:

1

6H

 



2

6H

 

- Do lực cắt Q1 và Q2, xem ứng suất tiếp phân bố theo chiều dày vỏ có qui

luật parabon.

2 1

3

1 4 2

Q  z 

   

2 2

3

1 4 2

Q  z 

Ứng suất max tại z 0

max 1 13

3 2

Q



max 2 23

3 2

Q

5.2.2 Phương trình cân bằng của vỏ

Xét cân bằng của phân tố vỏ, hình 5-2 Sau khi biến đổi và áp dụng qui luật đối ngẫu, hệ 05 phương trình cân bằng có dạng:

1

1

0

A S



2

1

0

B S



1 2

3

1 2

1

0

p

1

0

B

1

0

A

Phương trình cân bằng thứ sáu 1 2

1 2

1 2

0

z

r r

thức, nên hệ phương trình cân bằng của phân tố vỏ chỉ còn 5 phương trình dạng (5.36)

Hệ phương trình cân bằng biểu thị quan hệ giữa nội lực, ngoại lực và các tham số hình học của mặt cong

Hệ 05 phương trình cân bằng (5.36) có thể dẫn về hệ 03 phương trình bằng cách khử Q1, Q2 từ phương trình (d), (e) và thay vào 03 phương trình đầu của (5.36), nhận được (5.37):

1

0

2

0

   

2 1

1 2

2

1 2

2 2

0

A H BM

M

B H







      

(5.37a,b,c)

5.3 PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ

Khi áp dụng qui luật đối ngẫu, nội lực của vỏ được xác định qua biến dạng:

1

E

N     

1

E

N     

  S G  

M D    M2 D p  2 1 H D p1   (5.38) Ngược lại, quan hệ biến dạng - nội lực:

1

E

1

E

 2 1  S

E

 

 



12

E

12

E

E

 

 

 (5.39) Tương tự như tấm mỏng, lực cắt Q1, Q2 của vỏ cũng được xác định từ phương trình cân bằng

Bài toán vỏ có 17 ẩn số:

- 03 thành phần chuyển vị: u, v, w;

- 06 thành phần biến dạng: 1,2, , 1, 2, ;

- 08 thành phần nội lực: N1, N2, S, M1, M2, H, Q1, Q2

đã thiết lập được:

- 05 phương trình cân bằng dạng (5.36);

- 06 phương trình hình học (5.6)(5.11)

- 06 phương trình vật lý (5.38) hoặc (5.39)

Như vậy, số lượng ẩn số bằng số lượng phương trình đã thiết lập được nên bài toán vỏ là bài toán tĩnh định

5.4 ĐIỀU KIỆN BIÊN

Đối với bài toán vỏ, phương trình vi phân cân bằng rút gọn nhất là phương trình vi phân cấp 8 Do đó, trên mỗi biên tương ứng với đường cong tọa độ  hoặc đường cong tọa độ  cần 4 điều kiện biên

5.4.1 Biên tự do

Xét điều kiện biên tự do trùng với đường cong tọa độ ,  const, hình 5-4 Điều kiện biên tĩnh học: N1 S1 Q1 H1M10 Song, đối với bài toán vỏ, trên

mỗi biên chỉ cần 4 điều kiện biên Tương tự như bài toán tấm, Kirchhoff đã kết hợp cặp ngẫu lực của mô men xoắn H1 với Q1 và của mô men xoắn H1 với S1

n

t



C 2 H 1

C 3

C 1

O





const

 

Z

/ 2

d

R 2

2d

/ 2

d

1

2

H

s







1

2

H

s







Hình 5-4 Biên tự do.

Trên biên trùng với đường cong tọa độ  lấy 3 điểm C1, C2 và C3 cách nhau dS2 Điểm D1, D2 là điểm giữa của cung C C1 2, C C2 3 Mô men xoắn tại điểm D1 là H1 và tại điểm D2 là 1

2

H

S





 Hợp lực mô men xoắn phân bố trên cung C C1 2 là H dS1 2 được phân thành cặp ngẫu lực tập trung đặt tại điểm C1, 2

C có giá trị T1H1 Tương tự, cặp ngẫu lực tập trung đặt tại điểm C2, C3 có giá

2

H

S



 Chiếu các lực T1, T2 lên phương pháp tuyến (trùng với phương Q1) và phương tiếp tuyến (trùng với phương S1) tại điểm C2, nhận được:

2 2

H d

S





 Lực cắt phân bố tương ứng: 1

1 2

H Q S



 



1 2

d



1

2

H

r

  Lực trượt phân bố tương ứng: 1

1 2

H S r

  Kết hợp Q1 với Q1và S1

với S1: 1

2

H

r

  Như vậy:

1 Biên trùng với đường cong tọa độ ,  const

1 0

N  M 1 0 1

1 1

2 0

H

S S

r

H

B



2 Biên trùng với đường cong tọa độ ,  const

N 2 0 M 2 0 2

2 2

1 0

H

S S

r

H

A



5.4.2 Biên ngàm

Với biên ngàm, hình 5-5a, điều kiện biên là chuyển vị và góc xoay bằng không

1 Biên trùng với đường cong tọa độ :

0

u  v 0 w 0 1

1

1

0

w u



2 Biên trùng với đường cong tọa độ :

0

u  v 0 w 0 2

2

1

0

w v







const

 





const

 





const

 

Hình 5-5 Điều kiện biên

a Biên ngàm, b Biên tựa khớp bất động 2 chiều, c Biên tựa khớp 1 chiều

5.4.3 Biên tựa khớp bất động 3 chiều

Với biên tựa khớp bất động 3 chiều, điều kiện biên là chuyển vị và mô men uốn bằng không

1 Biên trùng với đường cong tọa độ 

0

u  v 0 w 0 M 1 0 (5.42a)

2 Biên trùng với đường cong tọa độ 

0

u  v 0 w 0 M 2 0 (5.42b)

5.4.4 Biên tựa khớp di động 1 chiều

Với biên tựa khớp di động 1 chiều, điều kiện biên là chuyển vị và lực dọc,

mô men uốn bằng không, hình 5-5c

1 Biên trùng với đường cong tọa độ 

0

v  w 0 N 1 0 M 1 0 (5.43a)

2 Biên trùng với đường cong tọa độ 

0

u  w 0 N 2 0 M 2 0 (5.43b)

5.4.5 Biên tựa khớp di động 2 chiều

Với biên tựa khớp di động 2 chiều, hình 5-5b, điều kiện biên là chuyển vị

và lực dọc, mô men uốn và lực trượt bằng không

1 Biên trùng với đường cong tọa độ 

0

w  N 1 0 S 1 0 M 1 0 (5.44a)

2 Biên trùng với đường cong tọa độ 

0

w  N 2 0 S 2 0 M 2 0 (5.44b)

5.5 SỰ TƯƠNG TỰ TĨNH - ĐỘNG

Sự tương tự tĩnh động là một đặc điểm của lý thuyết tính vỏ mỏng đàn hồi, trong đó các đại lượng lực trong ba phương trình cân bằng (5.37) tương tự như các đại lượng biến dạng trong ba phương trình tương thích biến dạng (5.18) Hai

hệ phương trình này có dạng tương tự như nhau, nếu thay:

1 M2

  ;  2 M1 ; 1 N2; 2 N1;  2H; S

Do tính chất tĩnh - động nên có thể sử dụng ba phương trình tương thích biến dạng như các phương trình cân bằng trong tính toán vỏ

5.6 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG CỦA VỎ

Thế năng biến dạng U được xác định bằng công thức, [16]:

3

24 1

E

U               ABd d  

  

2 2

4

2 1

E

ABd d U U

Trong (5.45) U là năng lượng biến dạng do uốn, xoắn còn U là năng lượng biến dạng trong mặt cong của vỏ

Nếu biểu diễn biến dạng qua các nội lực, thế năng biến dạng của vỏ có dạng:

3

6

2 1

 

 2    2

1

2 1

2E  N N N N S  ABd d U U

5.7 CÁC LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN VỎ

Trạng thái ứng suất, biến dạng của vỏ phụ thuộc vào hình học mặt cong của

vỏ, vào liên kết và tải trọng tác dụng lên vỏ

Nội lực trong vỏ có thể chia thành 2 nhóm:

- Nhóm lực màng: N1, N2, S1, S2 Nếu áp dụng qui luật đối ngẫu, nhóm lực màng gồm: N1, N2, S;

- Nhóm lực uốn, xoắn: M1, Q1, M2, Q2, H1, H2 Nếu áp dụng qui luật đối ngẫu, nhóm lực uốn gồm: M1, Q1, M2, Q2, H

Nếu trong vỏ chỉ xuất hiện nhóm lực màng thì trạng thái ứng suất của vỏ gọi là trạng thái màng (hay trạng thái phi mô men)

Nếu trong vỏ chỉ xuất hiện nhóm lực uốn thì trạng thái ứng suất của vỏ gọi

là trạng thái uốn thuần túy

Nếu trong vỏ xuất hiện cả nhóm lực màng và nhóm lực uốn thì trạng thái ứng suất của vỏ gọi là trạng thái mô men tổng quát

5.7.1 Lý thuyết mô men tổng quát

Lý thuyết mô men tổng quát dùng để tính vỏ khi trong vỏ tồn tại cả nhóm

lực màng, nhóm lực uốn, xoắn và thỏa mãn:

min

1 20

r



 với rmin là bán kính cong nhỏ nhất của mặt trung bình,  là chiều dày vỏ

5.7.2 Các lý thuyết đơn giản hóa

1 Lý thuyết phi mô men: được sử dụng khi trong vỏ chỉ tồn tại nhóm lực màng

và thỏa mãn: 1 1

100 250

r



2 Lý thuyết bán mô men: được sử dụng cho vỏ trụ dài, tiết diện hở L 4

D



  với

L, D là chiều dài và đường kính vỏ Lý thuyết này, xem vỏ chỉ chịu uốn theo phương vòng nên bỏ qua M1, Q1 theo phương dọc trục vỏ và bỏ qua mô men xoắn H

3 Lý thuyết mô men kỹ thuật (V.Z Vlatxop): thừa nhận các giả thiết:

1 Bỏ qua chuyển vị u, v khi tính độ cong uốn 1, 2 và độ cong xoắn ;

2 Bỏ qua Q1, Q2 trong phương trình cân bằng (a), (b) của (5.36);

3 Thừa nhận qui luật đối ngẫu và được áp dụng khi:

min

1 30

r



4 Lý thuyết vỏ thoải: thừa nhận các giả thiết của lý thuyết mô men kỹ thuật và

độ cong Gauss: K k k1 2 0,

min

1 5

f

l  ( f là độ vồng của vỏ)

Chúc các bạn thành công.