Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 6 Lý thuyết phi mô men

Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 6 Lý thuyết phi mô men

Chương 6

LÝ THUYẾT PHI MÔ MEN

6.1 KHÁI NIỆM CHUNG

Trong thực tế kỹ thuật thường gặp các trường hợp trong vỏ, nhóm lực mômen uốn, mô men xoắn và lực cắt nhỏ đến mức có thể bỏ qua so với nhóm lựcmàng Khi đó, có thể xem trong vỏ chỉ tồn tại nhóm lực màng và trạng thái ứngsuất, biến dạng là trạng thái phi mô men Trong trạng thái này, ứng suất phân bốđều theo chiều dày vỏ

6.1.1 Trạng thái nội lực, biến dạng

Trong trạng thái phi mô men, nội lực trong vỏ chỉ tồn tại nhóm lực màng

1

N , N2và S 0 còn M1M2 H Q 1 Q2 0 (6.1)Biến dạng trong vỏ chỉ tồn tại trong mặt cong:

1

 , 2và  0 còn    1 2 0 (6.2)

6.1.2 Điều kiện tồn tại trạng thái phi mô men

Trong kết cấu vỏ, trạng thái cân bằng phi mô men tồn tại phụ thuộc vào tảitrọng tác dụng lên vỏ, vào cấu tạo liên kết giữa vỏ và liên kết tựa Dưới đây nêu

ra một số nguyên tắc để đảm bảo dưới tác dụng của tải trọng, trong vỏ chỉ xuấthiện nhóm lực màng, hình 6-1:

1 Hình học của vỏ trơn, không gãy góc, độ cong cũng như chiều dày vỏthay đổi liên tục và đều đặn;

2 Tải trọng tác dụng lên vỏ là tải trọng phân bố liên tục và đều đặn, khôngchịu lực và mô men tập trung;

3 Tại vị trí gãy khúc, khi liên kết các vỏ cần gia cường bằng vành tăngcứng để ngăn cản biến dạng lớn hoặc ngăn cản sự tập trung ứng suất, hình 6-1a;

4 Liên kết nối đất phải đảm bảo phản lực theo phương tiếp tuyến với mặt

N N

V

V

91

k , k2- độ cong của đường cong tọa độ  và .

Hệ phương trình cân bằng theo lý thuyết vỏ phi mô men có 03 phương trình,trong đó có 02 phương trình đạo hàm riêng và 01 phương trình đại số

6.2.2 Phương trình hình học và vật lý

Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị và quan hệ biến dạng - nội lực của vỏ,92

chú ý đến (6.1) và (6.2), phương trình hình học và phương trình vật lý được suy

Khảo sát vỏ xoay trong hệ tọa độ cầu, hình 4-6 Chọn tọa độ cong  ,

  (góc theo đường cong kinh tuyến và đường cong vĩ tuyến)

6.3.1 Phương trình cân bằng

Đối với vỏ xoay, ký hiệu các thành phần nội lực, tải trọng trên hình 6-2:

N1 N N2 N S S  S r1r r2 r p1 p p2 p p3 p r

Thay các tham số Lame A, B vào hệ phương trình cân bằng của lý thuyết vỏ phi

mô men (6.3), nhận được hệ phương trình cân bằng đối với vỏ xoay:

Hình 6-2 Nội lực của phân tố vỏ.

Các dạng tải trọng đối xứng trục thường gặp trong thực tế tính toán thiết kế:

1 Áp lực pháp tuyến tác dụng lên vỏ bình chứa khí

Tải trọng p S được phân tích thành 2 thành phần theo phương pháp tuyến vàtiếp tuyến với đường cong kinh tuyến:

không phụ thuộc biến tọa độ cong 

6.4.2 Xác định nội lực của vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục

Trong trường hợp vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, rút ra các nhận xét:

Từ các nhận xét trên, hệ 02 phương trình cân bằng của vỏ xoay chịu tảitrọng đối xứng trục có dạng (6.12) và (6.13):

- Vế trái của (6.18): N sin  .2 r là hợp lực của N lên phương thẳng đứngtại tiết diện khảo sát ;

- Vế phải của (6.18) là hình chiếu lên phương thẳng đứng của tải trọng tácdụng trên vỏ, trong đó:

 p cos r   p sin  là thành phần thẳng đứng của tải trọng p, p r;

2 r r d   2 r dS là diện tích vành tròn phân tố tại tiết diện khảo sát 

có chiều cao phân tố dS Do đó, biểu thức tích phân là hợp lực của tải trọng theophương thẳng đứng tác dụng lên vỏ từ   0 ;

Thành phần 2 C là hợp lực lên phương thẳng đứng của tải trọng q tácdụng tại biên o, tương ứng bán kính b



q q

N

N

r p

Hình 6-5 Vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục.

Biểu thức (6.18) đối với biên vỏ hở ( 0 0) dưới dạng rút gọn:

và B r z  , tiến hành tương tự như trên nhận được:

     

1/ 2 2

C- hằng số tích phân xác định tại biên z o

khi có tải trọng tác dụng tại biên, nếu không có

tải trọng tác dụng tại biên thì C 0

6.4.3 Tính vỏ cầu chịu tải trọng đối xứng trục

Để xác định tổng tải trọng Q td lên phương thẳng đứng do tải trọng bản thân

và trọng lượng chất lỏng, trước hết cần xác định diện tích và thể tích của vỏ cầu.Thể tích V và diện tích U của chỏm

cầu, hình 6-6, được xác định theo công thức:

0

1

33

4

3

V  r (6.27)

2 0

4

U  r (6.28)

Dưới đây, xác định lực màng của vỏ cầu trong một số trường hợp:

1 Vỏ cầu chịu tải trọng bản thân

Ký hiệu p V là tải trọng bản thân kết cấu vỏ trên một đơn vị diện tích, N m/ 2thì tổng tải trọng Q td của chỏm cầu, hình 6-7, được xác định bằng công thức:

a Xét vỏ cầu phía trên vành tựa   0

Trước hết cần xác định tổng tải trọng Q td từ     0 theo phương thẳng đứng Tải trọng pháp tuyến do chất lỏng gây ra, hình 6-8:

25

2 0 2 0

2

3

r N

Từ hình 6-10, thành phần phản lực theo phương thẳng đứng V trên một đơn

vị dài theo chu vi:

23

r V

0

2

Kết cấu này không gây mất ổn định cho vành tựa

6.4.4 Tính vỏ nón chịu tải trọng đối xứng trục

Khi tính vỏ chịu trọng lượng bản thân và chất lỏng cần tính thể tích và diệntích của vỏ Thể tích V và diện tích U vỏ nón, hình 6-13, được xác định bằngcông thức:

a r

h

cos

Hình 6-13

U al (6.50)

Đối với vỏ nón  const, bán kính cong r tương ứng với đường sinh bằng

 Từ phương trình thứ 3 của (6.3), lực dọc N theo phương vòng:

Lực dọc N theo phương đường sinh được tính theo (6.22)

Dưới đây xét một số trường hợp:

1 Xét vỏ nón chịu tải trọng bản thân, hình 6-13

Thay p r  p cos V  theo (6.10a) vào (6.51) và chú ý r s cos , nhận được:

b Do trọng lượng bản thân vành tựa

Từ (6.51), tải trọng bản thân vành tựa F không gây lực dọc N, nghĩa là0

s l

os

F

q



or

6.5 TÍNH VỎ XOAY CHỊU TẢI TRỌNG TỔNG QUÁT

Trong trường hợp vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, tải trọng và nội lựcchỉ phụ thuộc biến  (theo đường cong kinh tuyến) mà không phụ thuộc biến theo phương vòng Với trường hợp tải trọng không đối xứng trục, tải trọng và nộilực phụ thuộc cả biến  và 

Dưới đây giới thiệu cách giải bài toán vỏ xoay chịu tải trọng tổng quát vớitải trọng và nội lực được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier

6.5.1 Phương trình cân bằng và nội lực

Hệ phương trình cân bằng của vỏ xoay, chịu tải trọng tổng quát được thiếtlập bằng cách rút N từ phương trình đại số (6.6a), thay vào phương trình (6.6b),(6.6c), nhận được:

trong đó p rn, pn, pn và p rn, pn, pn chỉ là hàm của biến ; tổng thứ nhất biểudiễn tải trọng đối xứng, tổng thứ hai biểu diễn tải trọng phản đối xứng qua mặtphẳng kinh tuyến tại  0, hình 6-16.

Tương tự cho nội lực:

được hệ phương trình cân bằng vi phân

thường, ví dụ cho trường hợp tải trọng

6.5.2 Trạng thái màng của vỏ cầu chịu tải trọng tổng quát

Xét trường hợp tải trọng đối xứng, thay r r r0vào (6.63), sau khi biếnđổi nhận được:

N  

2

n n n

Dưới đây sử dụng các công thức trên, xét trường hợp vỏ cầu chịu tải trọnggió Trong trường hợp này, có thể xem tải trọng là đối xứng qua mặt phẳng kinhtuyến tại  0, tính gần đúng với 1 thành phần của chuỗi:

cos cos

3 0

C  C  p r , thay C U theo (9), nhận được: 0

23

6.5.3 Trạng thái màng của vỏ nón chịu tải trọng tổng quát

Xét vỏ nón chịu tải trọng tổng quát, hình 6-17, với thay biến   s và:

r ,   const, r s cos . , r s cotg , r d  ds

Với các tham số hình học của vỏ nón, hệ phương trình cân bằng theo lýthuyết phi mô men (6.6) có dạng, [21]:

Từ (6.71a) rút ra: lực màng N theo

phương vòng có thể tính trực tiếp không phụ

thuộc N s và S

107

r s

r



  

Hình 6-17

Nghiệm của (6.71) tìm dưới dạng chuỗi (6.62) tương ứng với tải trọng khaitriển ra chuỗi Fourie (6.61), khi đó hệ phương trình cân bằng (6.71) chỉ phụthuộc biến s.

Lực màng N theo phương vòng tương ứng với thành phần tải trọng thứ n,

Trình tự tính toán như sau: tính S n theo (6.74), thay vào (6.75) xác định N sn

Các hằng số tích phân A n, B n xác định từ điều kiện biên

Xét vỏ nón chịu tải trọng pháp tuyến (tải trọng gió) p rn  psin cos  (

- Xét vỏ có liên kết như trên hình 6-18 Lực màng N tính theo (1) theophương vòng không đổi và không phụ thuộc liên kết tựa Hằng số tích phân A1

trong (2) nhận được từ điều kiện tại đỉnh nón, s 0 (điểm kỳ dị), lực trượt S n cógiá trị hữu hạn nên A 1 0 Tương tự, từ (3): B 1 0

Từ (6.62) và (2), (3):

1 .3

s sn

p s

- Xét vỏ có liên kết như trên hình 6-19 Lực màng N theo phương vòngkhông đổi và không phụ thuộc liên kết tựa Từ điều kiện biên, tại s l lực trượt0

n

S  nên từ (2) rút ra: 3

1

13

A  pl , thay vào (2) và chú ý (6.62):

2

13

6.6 XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG CỦA VỎ XOAY

6.6.1 Quan hệ biến dạng chuyển vị

Trong tính toán thiết kế, ngoài việc xác định trạng thái ứng suất, nội lực cầnxác định biến dạng và chuyển vị của vỏ

- Chuyển vị w theo phương pháp tuyến được qui ước dương như trênhình 6-20

Để xác định biến dạng và chuyển vị, giả thiết đã biết N, N, S Từ địnhluật Hook theo lý thuyết đàn hồi, các thành phần biến dạng trong trạng thái màngđược xác định qua nội lực bằng công thức:

Nếu điểm A chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường kinh tuyến là u

thì điểm C có chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến:

u

u d  u ud

  (dấu chấm (* ) là đạo hàm theo biến . )

Nếu điểm A chuyển vị theo phương pháp tuyến là w thì điểm C có chuyển

vị theo phương pháp tuyến: ww d  w wd

110

đường cong kinh tuyến qua chuyển vị w và u, cần tìm '

ds (sau biến dạng) biểudiễn qua các thành phần biến dạng này Từ hình 6-20, nếu bỏ qua chuyển vị 3 'C

so với bán kính cong r thì từ 02 tam giác đồng dạng 012 và 0 ' 'A C :

Hình chiếu chuyển vị r của điểm

A (dịch chuyển đến điểm A’) lên phương

111

A A r

* là đạo hàm * theo biến  )

đổi của góc vuông của phân tố trước và sau biến dạng giữa các cạnh AB ds  và

AC ds  của phân tố vỏ, hình 6-22

Khi điểm A chuyển vị đến A’, chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường cong

vĩ tuyến là v (phương vòng), chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường congkinh tuyến là u Điểm

Trong biểu thức này bỏ qua v'

r so với đơn vị Tương tự:

Hình 6-22

N, N, S qua các chuyển vị u, v, w.

6.6.2 Chuyển vị của vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục

Giải hệ phương trình (6.6) xác định được nội lực N, N, S và từ (6.76)xác định được các thành phần biến dạng , ,  sau đó sử dụng (6.77), (6.79)

và (6.85) sẽ xác định được các thành phần chuyển vị

Trong mục này dẫn ra biểu thức xác định chuyển vị của vỏ xoay chịu tảitrọng đối xứng trục

Với vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, rút ra các nhận xét:

- Đường tròn vĩ tuyến sau biến dạng vẫn có dạng hình tròn nên chuyển vịtheo phương tiếp tuyến với đường tròn vĩ tuyến v 0

- Góc trượt   0 S0

- Đạo hàm theo biến  bằng không Chuyển vị u, w và nội lực N, N

không thay đổi theo phương vòng, nghĩa là không phụ thuộc biến tọa độ cong 

Thí dụ xác định chuyển vị của vỏ cầu chịu áp lực khí p Trong trạng thái

phi mô men, lực màng của vỏ cầu 0

2

pr

N N  nên biến dạng  , nên giá

trị biểu thức tích phân trong (6.88) bằng không, do đó: u Csin  Biểu thức

này xác định với mọi giá trị của  Hằng số tích phân C được xác định từ điều

kiện tại  0, chuyển vị u  nên 0 C  và 0 u  Thay u vào (6.89) và chú ý0đến (6.76b), nhận được:

6.6.3 Xác định r và góc xoay  của vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục

Trong tính toán vỏ, ngoài việc xác định nội lực

cần xác định gia số bán kính r và góc xoay  tiếp

tuyến với đường cong kinh tuyến, hình 6-24

Gia số bán kính r đối với vỏ xoay, chịu tải

trọng đối xứng trục được xác định trực tiếp từ biến

dạng: r r







  Gia số r là hình chiếu của r lên

phương vuông góc với trục vỏ, hình 6-24, nên:

Góc xoay  là góc hợp bởi tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến tại điểm

A trước biến dạng và điểm A’ sau biến dạng, hình 6-20 Khi điểm A chuyển vịđến điểm 1 tương ứng với góc xoay r u

Góc  là dương khi pháp tuyến hợp với trục vỏ góc:      Ví dụ góc

 trên hình 6-24 mang giá trị âm Thay chuyển vị u, w từ (6.88), (6.89) vào(6.92), nhận được:

 

2

12

pr r

cos

 

11

pr r

Góc  mang giá trị âm khi ngược chiều với góc  theo chiều dương

Bảng 6-1 Một số kết quả chuyển vị và nội lực của vỏ trong trạng thái màng

(- chiều dày vỏ; E,  - mô đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu vỏ)

1

Bình trụ tròn chịu áp lực pháp tuyến

cường độ p

r r

N p r

1.2

2

12

pr r E



    

  0

12

S

N  p r cos   

116

pr r

E sin

 32

  2 2

12