Dạy học toán trung học phổ thông theo hướng khai thác vẻ đẹp toán học góp phần tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC GIÁO DC VIT NAM NGUYN VN TH DạY HọC TOáN TRUNG HọC PHổ THÔNG THEO HƯớNG KHAI THáC Vẻ ĐẹP TOáN HọC GóP PHầN TíCH CựC HóA HOạT ĐộNG HọC TậP CñA HäC SINH LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC HÀ NỘI, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM NGUYỄN VĂN THÀ DạY HọC TOáN TRUNG HọC PHổ THÔNG THEO HƯớNG KHAI THáC Vẻ ĐẹP TOáN HọC GóP PHầN TíCH CựC HóA HOạT ĐộNG HọC TậP CủA HọC SINH Chuyờn ngnh: Lớ luận Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 9.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐẶNG THỊ THU THỦY PGS TS NGUYỄN THÀNH QUANG HÀ NỘI, 2019 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án cơng trình nghiên cứu tơi thực dƣới hƣớng dẫn TS Đặng Thị Thu Thủy PGS TS Nguyễn Thành Quang Các kết trình bày luận án trung thực, có nguồn trích dẫn Các kết công bố chung đƣợc đồng nghiệp cho phép sử dụng đƣa vào luận án Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn Thà ii LỜI CẢM ƠN Luận án đƣợc thực hoàn thành dƣới hƣớng dẫn khoa học TS Đặng Thị Thu Thủy PGS.TS Nguyễn Thành Quang, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đặng Thị Thu Thủy đặt đề tài nghiên cứu hƣớng dẫn tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Nguyễn Thành Quang tận tình giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu viết luận án Tác giả trân trọng cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo thuộc Trung tâm Đào tạo Bồi dƣỡng - Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh thực luận án Xin gửi tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp lời cảm ơn sâu sắc quan tâm, chia sẻ, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình thực luận án Hà Nội, ngày … tháng …năm 2019 Tác giả luận án Nguyễn Văn Thà iii MỤC LỤC Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Quy ƣớc chữ viết tắt sử dụng luận án vi Danh mục bảng vii Danh mục biểu đồ vii Danh mục hình viii MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU PHẠM VI NGHIÊN CỨU GIẢ THUYẾT KHOA HỌC NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 6 PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ CẤU TRÚC LUẬN ÁN Chương CƠ SỞ L LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 1.1.1 Tổng quan số nghiên cứu nƣớc 1.1.2 Tổng quan số nghiên cứu nƣớc 15 1.2 QUAN NIỆM VỀ VẺ ĐẸP TOÁN HỌC 17 1.2.1 Vẻ đẹp toán học 17 1.2.2 Những thành tố vẻ đẹp toán học 23 1.2.3 Những đặc điểm vẻ đẹp toán học 25 iv 1.2.4 Vẻ đẹp tốn học đƣợc thể chƣơng trình tốn trung học phổ thông 34 1.3 QUAN NIỆM VỀ DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG THPT THEO HƢỚNG KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC 45 1.3.1 Thế dạy học toán theo hƣớng khai thác vẻ đẹp? 46 1.3.2 Những hội định hƣớng dạy học toán hƣớng khai thác vẻ đẹp 49 1.4 TÌNH HÌNH DẠY HỌC TỐN THEO HƢỚNG KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC Ở TRƢỜNG THPT 53 1.4.1 Tình hình dạy học Tốn THPT nói chung từ nghiên cứu có liên quan 53 1.4.2 Tìm hiểu tình hình dạy học mơn Tốn trƣờng THPT 55 KẾT LUẬN CHƢƠNG 64 Chương MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG KHAI THÁC VẺ ĐẸP TỐN HỌC NHẰM TÍCH CỰC HĨA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH 65 2.1 ĐỊNH HƢỚNG XÂY DỰNG CÁC BIỆN PHÁP 65 2.1.1 Định hƣớng Phù hợp với đặc điểm, nguyên tắc dạy học mơn Tốn 65 2.1.2 Định hƣớng Phù hợp với định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học mơn Tốn, đặc biệt u cầu tích cực hóa hoạt động học tập 66 2.1.3 Định hƣớng Phù hợp với tâm sinh lí lứa tuổi học sinh trung học phổ thông 66 2.1.4 Định hƣớng Đảm bảo tính khả thi điều kiện thực tế dạy học toán trƣờng trung học phổ thông 67 2.2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP TRONG DẠY HỌC TOÁN THEO HƢỚNG KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 67 2.2.1 Biện pháp Chú trọng khai thác nhiều cách giải hay sáng tạo cho toán, tổng hợp phát triển thành chùm tập 67 2.2.2 Biện pháp Tăng cƣờng khai thác tính thực tiễn tốn học thơng qua mơ hình hóa tốn học tốn có nội dung thực tế 97 v 2.2.3 Biện pháp Tăng cƣờng cho học sinh tìm hiểu lịch sử kiến thức tốn học SGK 108 2.3 MỘT SỐ GỢI Ý SƢ PHẠM GIÚP GV SỬ DỤNG HỆ THỐNG BIỆN PHÁP 125 KẾT LUẬN CHƢƠNG 126 Chương THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 127 3.1 MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU, NHIỆM VỤ, NGUYÊN TẮC VÀ NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 127 3.1.1 Mục đích thực nghiệm 127 3.1.2 Yêu cầu thực nghiệm 127 3.1.3 Nhiệm vụ thực nghiệm 127 3.1.4 Nguyên tắc tổ chức thực nghiệm 128 3.1.5 Nội dung thực nghiệm 128 3.2 THỜI GIAN, ĐỐI TƢỢNG, QUY TRÌNH, PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 129 3.2.1 Thời gian, đối tƣợng TNSP 129 3.2.2 Quy trình, cách thức triển khai nội dung thực nghiệm 130 3.2.3 Phƣơng pháp ĐG kết thực nghiệm 133 3.3 TIẾN TRÌNH THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 136 3.3.1 Thực nghiệm sƣ phạm lần 136 3.3.2 Thực nghiệm sƣ phạm lần 139 KẾT LUẬN CHƢƠNG 155 KẾT LUẬN 156 MỘT SỐ CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA NGHIÊN CỨU SINH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI ĐƢỢC CÔNG BỐ 157 CÁC HỘI NGHỊ, HỘI THẢO KHOA HỌC TÁC GIẢ ĐÃ THAM GIA BÁO CÁO HOẶC ĐỒNG BÁO CÁO 158 TÀI LIỆU THAM KHẢO 159 PHỤ LỤC vi QUY ƢỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN Viết tắt Viết đầy đủ BPSP : Biện pháp sƣ phạm DH : Dạy học ĐG : Đánh giá ĐC : Đối chứng GD : Giáo dục GD & ĐT : Giáo dục đào tạo GDPT : Giáo dục phổ thông GV : Giáo viên HS : Học sinh KN : Kỹ KT : Kiến thức NL : Năng lực PPDH : Phƣơng pháp dạy học SGK : Sách giáo khoa TTC : Tính tích cực TCH : Tích cực hóa THPT : Trung học phổ thông TN : Thực nghiệm TNSP : Thực nghiệm sƣ phạm vii DANH MỤC BẢNG Trang Bảng 3.1 Thống kê điểm số (Xi) kiểm tra đầu vào .143 Bảng 3.2 Thống kê điểm số (Xi) kiểm tra (lần 2) .148 DANH MỤC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 Phân bố điểm kiểm tra đầu vào hai nhóm ĐC TN lần 143 Biểu đồ 3.2 Lũy tích điểm kiểm tra đầu vào hai nhóm ĐC TN lần 144 Biểu đồ 3.3 Phân bố điểm kiểm tra số hai nhóm ĐC TN lần 149 Biểu đồ 3.4 Lũy tích điểm kiểm tra số hai nhóm ĐC TN lần .149 viii DANH MỤC HÌNH Trang Hình 1.1 Sự đối xứng hoa 27 Hình 1.2 Bơng tuyết Von Koch .28 Hình 1.3 Quy luật xếp thú vị số 35 Hình 1.4 Năm khối đa diện không gian 35 Hình 1.5 Chứng minh khơng lời Bất đẳng thức Cô-si 38 Hình 1.6 Chứng minh khơng lời tổng vơ hạn .38 Hình 1.7 Chứng minh không lời công thức lƣợng giác lớp 10 39 Hình 1.8 Chứng minh không lời khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng 39 Hình 1.9 Mối liên hệ vectơ với thực tiễn 42 Hình 1.10 Minh họa đề ví dụ 28 47 Hình 1.11 Chứng minh khơng lời cơng thức lƣợng giác ví dụ 28 48 Hình 2.1 Tính tổng phƣơng pháp vẽ hình 75 Hình 2.2 Minh họa lời giải ví dụ 35 78 Hình 2.3 Chứng minh khơng lời Định lí cơsin 83 Hình 2.4 Minh họa chứng minh tổng vẽ hình 94 Hình 2.5 Minh họa khái niệm tích vơ hƣớng 101 Hình 2.6 Mơ hình địa cầu bóng rổ .102 Hình 2.7 Minh họa phân chia ký sinh trùng Amip 103 Hình 2.8 Bồn nƣớc hình trụ minh họa 105 Hình 2.9 Minh họa đề lời giải 107 Hình 2.10 Minh họa mối liên hệ lƣợng giác thực tế 112 Hình 2.11 Vịng quay mặt trời Sun Wheel thuộc Thành Phố Đà Nẵng 113 Hình 2.12 Năm khối đa diện 115 Hình 2.13 Minh họa trị chơi “Ai nhanh mắt hơn” 124 37PL - Đọc trƣớc nhà - Tìm hiểu học trƣớc có liên quan dãy số III PHƢƠNG PHÁP Nêu vấn đề, gợi ý giải vấn đề, xây dựng khái niệm thông qua hoạt động khai thác lịch sử toán học liên quan IV TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A ĐẶT VẤN ĐỀ - Ôn lại KT cũ, liên quan đến câp số cộng GV nêu câu hỏi cho lớp theo dõi trả lời - Kiểm tra cũ B DẠY BÀI MỚI TG 5’ 25’ Hoạt động GV Hoạt động HS Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức cũ + GV: Yêu cầu HS hoàn thiện (HS lên bảng thực trình bày) nội dung ơn tập cấp số Cấp số Cấp số nhân cộng bảng vào ghi cộng -> Giới thiệu cấp số nhân Định nghĩa (Dự kiến điền nội dung 2.Công thức số hạng vào cột cấp số nhân) tổng quát 3.Tính chất ba số hạng liên tiếp 4.Tổng n số hạng đầu Hoạt động 2: Lồng ghép hoạt động khai thác vẻ đẹp tốn học thơng qua xây dựng định nghĩa tính chất cấp số nhân + GV: Mở video câu chuyện Hƣớng dẫn hoạt động: Lớp chia làm nhóm, bầu ngƣời phát minh bàn cờ nhóm trƣởng vua Bƣớc 1: Hoạt động lớp, HS tự nghiên cứu để trả lời tất câu hỏi từ đến vào nháp (phát huy trí tuệ nội tâm bồi dƣỡng lực thân lực tƣ duy) Đặt vấn đề: Tìm hiểu số quy luật đặc biệt số hạt thóc cờ vua Liệu số thóc cần thiết mà nhà vua phải trả Bƣớc 2: Chuyển giao nhiệm vụ học tập (NL hợp tác NL giao tiếp) - HĐ nhóm: Các nhóm thảo luận, sở cá nhân nghiên cứu phiến học tập bƣớc 1, xây dựng đáp án theo yêu cầu cử đại diện báo cáo - Nhiệm vụ nhóm: Từ nhóm đến nhóm 4: Trả lời câu hỏi từ đến tổng quát hóa thành nội dung mục từ đến (Định nghĩa, công 38PL cho nhà thông thái tấn? + Câu hỏi 1: Hãy cho biết số hạt thóc từ ô thứ đến ô thứ bảy bàn cờ? + Câu hỏi 2: Hãy cho biết số hạt thóc thứ 11 bàn cờ? + Câu hỏi 3: Thử tìm mối liên hệ số hạt thóc liên tiếp: 35, 36, 37? + Câu hỏi 4: Tính tổng số hạt thóc 11 ô bàn cờ? Ta gọi toán “số thóc bàn cờ” tốn u cầu “Hãy tính tổng số hạt thóc bàn cờ mà nhà thông thái yêu cầu làm phần thƣởng” GV: Hỏi câu hỏi phụ dành cho nhóm chỉnh sửa nhấn mạnh đáp án trình bày nhóm ?1 Một cấp số nhân vơ hạn hay hữu hạn xác định ta biết yếu tố gì? ?2 Ý nghĩa cơng thức tính số hạng tổng qt gì? ?3 Phát biểu tính chất số hạng liên tiếp thành lời (biết ab trung bình nhân a b)? ?4 Hãy tính tổng số hạt thóc bàn cờ mà nhà thơng thái yêu cầu làm phần thƣởng? - GV: Nêu số nhận xét cấp số nhân - GV chiếu hai câu hỏi trắc nghiệm: HS thảo luận cặp đôi đƣa câu trả lời thức số hạng tổng quát, tính chất ba số hạng liên tiếp, cách tính tổng n số hạng đầu) theo thứ tự cột cấp số nhân Tìm hiểu, thảo luận thêm câu hỏi nhóm khác Câu hỏi Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? A 1, 4, 9, 6, 25 1 ,  , với un  4n B 2,  1, C  un  D  un  với un  2n  Câu hỏi Cho cấp số nhân có u  3, q  2 Hỏi số 192 số hạng thứ mấy? A Số hạng thứ B Số hạng thứ 39PL C Số hạng thứ D Số hạng thứ 15’ Hoạt động 3: Khai thác vẻ đẹp thông qua trị chơi đóng vai “Nhà vua Ấn độ” Quan sát hƣớng dẫn cho HS Hướng dẫn hoạt động: hoạt động Một HS đóng vai nhà vua Ấn độ nhóm cử nhà thơng thái để tham gia trả lời câu đố nhà vua, bạn nhóm hỗ trợ cho nhà thơng thái, nhà thơng thái trả lời giải thích đƣợc vua trao phần thƣởng đƣợc truyền để đặt tiếp câu hỏi cho nhóm Các nhà vua (đóng vai) lên ngơi lần lƣợt đặt câu hỏi nhƣ sau: Bài toán 1: (Tế bào Ecoli) Một tế bào Ecoli điều kiện nuôi cấy thích hợp 20 phút lại phân đơi lần Giả sử ban đầu ta có tế bào, hỏi thời gian để đƣợc 1024 tế bào? Đáp án: 20 phút Bài toán 2: (Số thóc bàn cờ) Cho biết 1000 hạt thóc nặng khoảng GV chốt lại câu trả lời 20gam Giả sử sản lƣợng lúa toàn giới 700 triệu tấn/ năm (ở lấy sản lƣợng lúa video kết thúc câu chuyện đƣợc dự đoán vào kỷ 21) Các khanh tính Củng cố tồn nội xem năm giới làm đƣợc số dung ghi bảng thóc bàn “Cờ vua”? Đáp án: 500 năm V HƢỚNG DẪN VỀ NHÀ Cần nắm vững - Định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất ba số hạng liên tiếp cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân BTVN: Bài  trang 92 SGK VI RÖT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………………………… …… Phụ lục 40PL Phụ lục 2.6 LUYỆN TẬP - ÔN TẬP CHƢƠNG III (02 tiết) (Đại số Giải tích 11) I KẾ HOẠCH CHUNG Phân phối Tiến trình dạy học thời gian Hoạt động khởi động Tiết Hoạt động hình thành kiến KT1: Phƣơng pháp quy nạp toán học thức KT2: Dãy số Hoạt động luyện tập KT3: Cấp số cộng – Cấp số nhân Hoạt động luyện tập Tiết Hoạt động vận dụng, tìm tịi, mở rộng II KẾ HOẠCH DẠY HỌC Mục tiêu học a Kiến thức - Hệ thống hóa kiến thức mà em đƣợc học chƣơng ba gồm vấn đề: Phƣơng pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân b Về kĩ - Áp dụng công thức để giải tập c Thái độ - Tích cực, chủ động hợp tác hoạt động nhóm - Say mê hứng thú học tập tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn d Các lực hƣớng tới hình thành phát triển học sinh - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm HS hợp tác thực hoạt động - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: HS tự giác tìm tịi, lĩnh hội kiến thức phƣơng pháp giải tập tình - Năng lực giải vấn đề: HS biết cách huy động kiến thức học để giải câu hỏi Biết cách giải tình học - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả báo cáo trƣớc tập thể, khả thuyết trình Nhiệm vụ giáo viên học sinh + GV - Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho HS tƣơng ứng với nhiệm vụ học - Tổ chức, hƣớng dẫn HS thảo luận, kết luận vấn đề + HS - Mỗi HS trả lời ý kiến riêng Mỗi nhóm trả lời kết luận nhóm sau thảo luận thống - Mỗi cá nhân hiểu trình bày đƣợc kết luận nhóm cách tự học nhờ bạn nhóm hƣớng dẫn - Mỗi ngƣời có trách nhiệm hƣớng dẫn lại cho bạn bạn có nhu cầu học tập Phƣơng pháp dạy học - Phƣơng pháp dạy học nêu vấn đề dạy học hợp tác Phƣơng tiện dạy học 41PL - Máy chiếu, sử dụng phần mềm dạy học để tăng tính trực quan sinh động cho giảng Tiến trình dạy học A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG * Mục tiêu: + Tạo ý cho HS để vào + Tạo tình để HS tiếp cận với kỹ giải tập “Phƣơng pháp quy nạp toán học, Dãy số, Cấp số cộng Cấp số nhân” * Nội dung, phƣơng thức tổ chức: + Chuyển giao: L1 Quan sát hình ảnh (máy chiếu) L2 Lớp chia thành nhóm (nhóm có đa dạng đối tƣợng HS, khơng chia theo học lực) Hình Hình Hình Hình 42PL H1 Theo em hình 1, hình có áp dụng đƣợc phƣơng pháp quy nạp tốn học khơng? H2 Theo em hình số hình hình dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân? H3 Em đƣa thêm số ví dụ dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân? + Thực - Các nhóm thảo luận đƣa phƣơng án trả lời cho câu hỏi H1, H2, H3 Viết kết vào bảng phụ - Giáo viên quan sát, theo dõi nhóm Giải thích câu hỏi nhóm khơng hiểu nội dung câu hỏi + Báo cáo, thảo luận - Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho câu hỏi - HS quan sát phƣơng án trả lời nhóm bạn - HS đặt câu hỏi cho nhóm bạn để hiểu câu trả lời - GV quan sát, lắng nghe, ghi chép + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: - GV nhận xét thái độ làm việc, phƣơng án trả lời nhóm, ghi nhận tuyên dƣơng nhóm có câu trả lời tốt Động viên nhóm cịn lại tích cực, cố gắng hoạt động học - Dự kiến câu trả lời: TL1 Hình Hình áp dụng phƣơng pháp quy nạp tốn học TL2 Hình cấp số nhân, Hình cấp số cộng, dãy số * Sản phẩm: + Các phƣơng án giải đƣợc ba câu hỏi đặt ban đầu B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC, LUYỆN TẬP - Mục tiêu: Giúp HS củng cố kiến thức rèn luyện cho HS kỹ giải tập - Nội dung, phƣơng thức tổ chức: + Chuyển giao: L1 HS nhắc lại kiến thức L2 HS hoạt động cá nhân, trả lời câu hỏi giải tập Phƣơng pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với số nguyên dƣơng n(n  N *) , ta làm nhƣ sau: Bƣớc 1: Kiểm tra mệnh đề với n  Bƣớc 2: Giả sử mệnh đề với số tự nhiên n  k (k  1) (gọi giả thiết quy nạp) Bƣớc 3: Chứng minh mệnh đề với n  k  Bài tập Chứng minh 1+3+5+ + (2n  1)  (n  1)2 n  N * hai cách Dãy số 43PL - Định nghĩa: Dãy số hàm số u xác định tập số nguyên dƣơng * đƣợc gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Ký hiệu u : *  n u  n Một hàm số u xác định tập M  {1, 2,3, , m}, m  * đƣợc gọi dãy số hữu hạn Kí hiệu u : M  n u  n - Cách cho dãy số: Dãy số cho công thức số hạng tổng quát; Dãy số cho phƣơng pháp mô tả; Dãy số cho phƣơng pháp truy hồi - Dãy số tăng, dãy số giảm: Định nghĩa: - Dãy số  un  dãy số tăng nn1  un , n  * - Dãy số  un  dãy số giảm nn1  un , n  * Phƣơng pháp khảo sát: có cách Cách Xét hiệu H  un1  un ( H  dãy số tăng, H  dãy số giảm) Cách Xét tỉ số T  un 1 , un u n  n  *  ( T  dãy số tăng, T  dãy số giảm) Cách Dự đoán tính tăng, giảm dãy số chứng minh phƣơng pháp quy nạp Dãy số bị chặn: + Dãy số  un  đƣợc gọi bị chặn tồn số M cho un  M , n  + Dãy số  un  đƣợc gọi bị chặn tồn số m cho un  m , n  * * + Dãy số  un  đƣợc gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dƣới tức tồn số m, M cho: m  un  M , n  * Bài tập Cho dãy số (u n ) xác định công thức u n  a) Chứng minh dãy số bị chặn b) Khảo sát tính tăng, giảm dãy số Cấp số cộng – Cấp số nhân Cấp số cộng Định nghĩa un1  un  d (n  N * ) Số hạng un  u1  (n  1)d (n  2) tổng quát Tính chất u u uk  k 1 k 1 (k  2) số hạng 2n  3n  Cấp số nhân un1  un q(n  N * ) un  u1.q n1 (n  2) uk2  uk 1.uk 1 (k  2) 44PL Tổng N số hạng đầu Sn  n n (u1  un )   2u1  (n  1)d  2  qn Sn  u1 (q  1) 1 q Bài tập Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 15 tổng bình phƣơng chúng 83 Bài tập Gọi (Sn ) tổng n số hạng đầu dãy số (u n ) Biết Sn  n(n  1) , chứng minh (u n ) cấp số cộng  u1  u3  u5  65 Bài tập Cho cấp số nhân (u n ) biết   u1  u7  325 a) Tìm số hạng đầu u1 cộng bội q cấp số nhân b) Tính tổng 10 số hạng đầu cấp số nhân * Thực hiện: - HS làm việc cá nhân lên bảng giải tập - GV theo dõi, đảm bảo tất HS tự giác làm việc * Báo cáo, thảo luận: - GV đƣa đáp án cho tập, nhóm thống kê số HS làm - GV yêu cầu HS trình bày cách làm cụ thể cho - GV nhận xét lựa chọn cách làm nhanh cho tập * Sản phẩm: - Kết cho tập C HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÕI, MỞ RỘNG Câu hỏi trắc nghiêm: Câu hỏi Chọn khẳng định Đúng khẳng định: Nếu a, b, c lập thành CSC (khác khơng) thì: A Nghịch đảo chúng lập thành CSC B Bình Phƣơng chúng lập thành CSC C c, b, a theo thứ tự lập thành CSC D Tất khẳng định sai Câu hỏi Chọn khẳng định Sai khẳng định: Nếu a, b, c lập thành CSN (khác không) thì: A Nghịch đảo chúng lập thành CSN B Bình Phƣơng chúng lập thành CSN C c, b, a theo thứ tự lập thành CSC D Tất khẳng định sai Câu hỏi Trong dãy số sau, dãy số thỏa mãn u0  1, u1  2, un  3un1  2un2 , n  2,3, A 1;2;4;8;16;36 B 1;2;8;16;24;54 45PL C un  2n  D un  2n (n  0;1;2.)  u1  Câu hỏi Cho dãy số có  Khi số hạng thứ n  là? * u  u  u n  N   n n  n    A un3  2un2  3un1 B un3  2un2  3un C un3  2un2  3un1 D un3  2un2  3un1 Câu hỏi Dãy số có cơng thức tổng qt un  2n có số hạng thứ n  là? A un3  23 B un3  8.2n C un3  6.2n D un3  6n u1  Câu hỏi Cho dãy số  Số hạng tổng quát dãy số là? un 1  un  n A un   n  1 n B un   C un   D un    n  1 n n  n  1  n  1 n   Câu hỏi Tính tổng S  n   S  n  là? A S  n   n n2 1 1     Khi cơng thức 1.2 2.3 3.4 n  n  1 46PL n n 1 2n C S  n   2n  1 D S  n   n Câu hỏi Trong dãy số sau, dãy số CSN A un  n  B un  n  C un  n  D un  n  Câu hỏi Xác định x để số x  1; x; x  lập thành CSN? B S  n   A x   B x   C x   D Khơng có giá trị x Câu hỏi 10 Cho CSN có u2  ; u5  16 Tìm q số hạng CSN? 1 A q  ; u1  2 1 B q   , u1   2 C q  4, u1  16 D q  4, u1   16 D Hoạt động vận dụng khai thác vẻ đẹp toán học I Bài tốn có nội dung thực tế 47PL Bài tốn Hiệu ứng Domino Khi xếp quân cờ Domino đứng cạnh với khoảng cách hai quân cờ không xa, ta đẩy đổ quân cờ domino đầu tiên, quân cờ đổ vào quân cờ đứng cạnh khiến đổ theo, q trình tiếp diễn đến toàn loạt quân cờ domino đổ Các thay đổi quân cờ giống nhau, chúng tạo chuỗi thay đổi tuyến tính, điều có đƣợc ta coi hệ quân cờ Domino độc lập thay đổi hệ gây tác động tới quân cờ đầu tiên, điều khác với hiệu ứng cánh bƣớm thay đổi hệ phụ thuộc nhiều điều kiện khác chúng phi tuyến tính Bài tốn (Bài tốn thỏ) Một đôi thỏ (gồm thỏ đực thỏ cái) tháng đẻ đƣợc đôi thỏ (cũng gồm thỏ đực thỏ cái); đôi thỏ con, tròn tháng tuổi, sau tháng đẻ đơi thỏ con, q trình sinh nở tiếp diễn Hỏi n tháng đơi thỏ, đầu năm (tháng Giêng) có đơi thỏ sơ sinh? Trong hình vẽ trên, ta quy ƣớc: 48PL - Cặp thỏ nâu cặp thỏ có độ tuổi tháng - Cặp thỏ đƣợc đánh dấu (màu đỏ màu xanh) cặp thỏ có khả sinh sản  Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy: - Tháng Giêng tháng Hai: Chỉ có đôi thỏ - Tháng Ba: đôi thỏ đẻ đơi thỏ con, tháng có đơi thỏ - Tháng Tƣ: có đơi thỏ ban đầu sinh nên đến thời điểm có đơi thỏ - Tháng Năm: có hai đơi thỏ (đôi thỏ đầu đôi thỏ đƣợc sinh tháng Ba) sinh nên tháng có + = đơi thỏ - Tháng Sáu: có ba đơi thỏ (2 đơi thỏ đầu đôi thỏ đƣợc sinh tháng Tƣ) sinh thời điểm nên đến có + = đôi thỏ  Khái quát, n số tự nhiên khác 0, gọi f  n  số đơi thỏ có tháng thứ n , ta có: - Với n  ta đƣợc f 1  - Với n  ta đƣợc f    - Với n  ta đƣợc f  3   Do với n  ta đƣợc: f  n   f  n  1 + Số đôi thỏ tháng thứ n  Điều đƣợc giải thích nhƣ sau: Các đôi thỏ sinh tháng n  sinh tháng thứ n , tháng đôi thỏ tháng thứ n  sinh đôi thỏ nên số đơi thỏ đƣợc sinh tháng thứ n giá trị f (n  2) II Tìm hiểu thêm lịch sử tốn học Những nhà tốn học đặt nên móng cho phát triển Phƣơng pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng cấp số nhân Fermat (1601-1665) Fibonacci (1170-1250) - HẾT - H.von Koch (1879-1924) 49PL PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM LẦN Phụ lục 3.1 Đề kiểm tra đầu vào (trƣớc TN) Mơn Tốn 11, thời gian: 45 phút (Hình thức tự luận kết hợp với trắc nghiệm khách quan) Họ tên: Lớp: I TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm) Học sinh khoanh tròn vào câu trả lời Câu Phƣơng trình: sin3x  cos2x  1 2sinx.cos2x tƣơng đƣơng với phƣơng trình A sinx   sinx  B sinx   sinx  C sinx   sinx  1 D sinx   sinx   2 Câu Giải phƣơng trình:  5sinx  2cos x    2 A x    k 2 B x   k 2 , x   k 2 3  5  C x   k 2 , x  D x    k 2  k 2 6 tan x  sin x Câu Giải phƣơng trình:  cos x sin x  k A x   k B x  k2 C Vô nghiệm D x  2 Câu Giải phƣơng trình: sin2 x. cotx  tan2 x   4cos x A x  C x     k , x    k , x      k B x   k 2 D x  Câu Giải phƣơng trình:  4cos x  sinx  2sinx 1 5  k 2 6   5  k 2 B x   k 2 , x    k 2 , x   6   5  k 2 C x    k 2 , x   k 2 , x  6   2  k 2 D x    k 2 , x    k 2 , x   3 A x    k 2 , x    k 2 , x     k , x    k , x      k 2  k 50PL Câu Tập xác định hàm số: y  B x  k 2 A x  k C x   sin x  cos x  k D x   Câu Phƣơng trình: cos x  m  vơ nghiệm m là:  m  1  k A  m  B m  C 1  m  D m  1 Câu Tập xác định hàm số: y  A x   C x    k 2  B x     k D x  k  k 2 Câu Phƣơng trình lƣợng giác: A x   sin x cos x  k 2  C x    k 2 cos x  sin x  có nghiệm : sin x  7 B x   k 2 D Vô nghiệm Câu 10 Điều kiện để phƣơng trình: m.sin x  3cos x  có nghiệm :  m  4 A  m  B 4  m  C m  34 D m  II TỰ LUẬN (5,0 điểm) 1) Giải phƣơng trình sau ba cách cos6x.cos 2x 1  (Tối đa 2,0 điểm: HS giải cách đƣợc 1,0 điểm, giải thêm đƣợc cách khác đƣợc 0,5 điểm) 2) Hãy nêu hai ứng dụng Lƣợng giác thực tế mà em biết (Câu tối đa 1,0 điểm: HS nêu đƣợc ứng dụng đƣợc 0,5 điểm) 3) Chứng minh công thức lƣợng giác sau hai cách sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y (Câu tối đa 2,0 điểm: HS chứng minh cách đƣợc 1,0 điểm) -Hết - 51PL Phụ lục 3.1 Đề kiểm tra sau TN lần Môn Tốn 11, thời gian: 60 phút (Hình thức tự luận) u1  2  Bài (1 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số:  u    n   un  Bài (HS giải cách 1,0 điểm, giải hai cách 1,5 điểm) Tính tổng Sn      n Bằng hai cách Bài (HS giải cách điểm, giải hai cách 1,5 điểm) Tính tổng S  n   12  22   n2 Bằng hai cách Bài (HS giải cách 1,0 điểm, giải hai cách 1,5 điểm) Tính tổng S  n   1 1 Bằng hai cách     1.2 2.3 3.4 n  n  1 Bài (1 điểm) Tìm cơng bội cấp số nhân có u1   , u7  32 Bài (1 điểm) Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân có u1  1, u6  0,00001 Bài (HS giải toán điểm, đề toán cộng thêm 0,5 điểm) Bài tốn (Xây dựng tịa tháp) Thành Phố X dự định xây tòa tháp 11 tầng, theo cấu trúc mặt sàn tầng nửa diện tích mặt sàn tầng dƣới biết diện tích mặt đáy tháp 12,28m2, ngƣời ta dự định lát nhà gạch men có kích thƣớc 30x30 Hãy tính số lƣợng gạch men dùng để lát hết sàn tòa tháp? (1,0 điểm) Em tự đề tốn có nội dung thực tế liên quan đến kiến thức cấp số cộng số nhân (0,5 điểm) Bài (1,0 điểm) a) Em cho biết dãy số un   3 n 1 có phải cấp số nhân khơng? b) Cấp số nhân có ứng dụng thực tế? Bài (0,5 điểm) Em cho biết dãy số Phi-bơ-na-xi gì? Và lịch sử đời dãy số -Hết -