Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi

A PhÇn më ®Çu PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ Xà BUÔN HỒ TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ @&? SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm nâng cao chất lượng học si[.]

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ BN HỒ TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ -@&? - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi” Loại đề tài: Bộ mơn Tốn Họ tên: Vương Văn Lương Phó Hiệu trưởng trường THCS Nguyễn Trường Tộ Tháng năm 2019 ********* I.PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong trình học tốn trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức cơng việc cách sáng tạo Người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì địi hỏi người thầy lao động sáng tạo biết tìm tịi phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư logic giải toán Là giáo viên dạy toán trường THCS trực tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS khơng đơn giản đảm bảo kiến thức SGK, điều kiện cần chưa đủ Muốn giỏi tốn cần phải luyện tập nhiều thơng qua việc giải toán đa dạng, giải toán cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm đáp số Muốn người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác để tạo hứng thú cho học sinh Một tốn có nhiều cách giải, tốn thường nằm dạng tốn khác địi hỏi phải biết vận dụng kiến thức nhiều lĩnh vực nhiều mặt cách sáng tạo học sinh phải biết sử dụng phương pháp cho phù hợp Các dạng tốn số học chương trình THCS thật đa dạng phong phú như: Toán chia hết, phép chia có dư, số ngun tố, số phương, phương trình nghiệm ngun…… Đây dạng tốn có chương trình THCS chưa đưa phương pháp giải chung Hơn phương trình nghiệm ngun có nhiều đề thi học sinh giỏi huyên, học sinh giỏi tỉnh ….Song giải toán khơng khó khăn phức tạp Từ thực tiễn giảng dạy thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng cách xác định dạng tốn chưa có nhiều phương pháp giải hay Từ thuận lợi, khó khăn yêu cầu thực tiễn giảng dạy.Tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi” Trong trình viết đề tài điều kiện kinh nghiệm không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đóng góp, thầy giáo đồng nghiệp Mục tiêu nhiệm vụ đề tài Giúp cho học sinh có kỹ nhận dạng, nhận biết, biến đổi tốn tìm nghiệm ngun toán túy lý thuyết chuyển sang áp dụng giải vấn đề thực tiễn sống liên quan đến số nguyên Hệ thống hóa số dạng tốn phương trình nghiệm ngun, số phương pháp giải giúp học sinh có kỹ biến đổi giải tốn phương trình nghiệm ngun áp dụng thực tiễn Đối tượng nghiên cứu Tập trung vào việc định dạng, phương pháp giải hợp lý tốn số học có liên quan đến tìm nghiệm nguyên phương trình Giới hạn đề tài Chương trình tốn số học THCS đặc biệt chương tình lớp tốn lớp lớp toán nghiệm nguyên Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp thống kê toán học: thu thập thơng tin từ học sinh để hình thành ý tưởng, xây dựng sở lý luận đề tài  hoàn thành đề tài; -Đọc nghiên cứu tài liệu tham khảo - Nghiên cứu sở lý thuyết -Thực nghiệm sư phạm qua giảng dạy - Phương pháp so sánh đối chứng - Phương pháp điều tra phân tích, tổng hợp II PHẦN NỘI DUNG 1.Cơ sở lý luận Tốn học mơn khoa học địi hỏi người học toán, người làm toán, người dạy toán phải có tư cao độ Thơng qua mơn tốn rèn luyện lực phân tích tổng hợp, tư linh hoạt, khả sáng tạo góp phần hình thành kỹ sống Muốn giỏi tốn địi hỏi học sinh khơng có kiến thức tư phân tích tổng hợp sáng tạo mà phải có phương phápluận khoa học, có hỗ trợ cần thiết người thầy Vì để nâng cao chấtlượng dạy học toán người thầy cần truyền cảm hứng cho học sinh để em có niềm đam mê với mơn tốn Đối với việc dạy học chun đề phương trình nghiệm ngun khơng có cụ thể chương trình sách giáo khoa phổ thơng nội dung lại thường có đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi vào trường chuyên 2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu Bài tốn giải phương trình nghiệm ngun áp dụng nhiều việc làm toán giải toán khác, ứng dụng thực tế sống Trong học sinh ngại gặp phải dạng tốn ví dụ tốn giải phương trình nghiệm nguyên: 1) 2xy – 4x + y = 2)5x - 7y = 15 3) 3x2 + 5y2 = 345 1 4) x  y  z  5) xy - 4x = 35 - Đây toán đơn giản học sinh bị bế tắc, lúng túng cách xác định dạng toán, phương hướng giải Lý chủ yếu vấn đề em chưa có hệ thống phương pháp giải dạng tốn Phương trình nghiệm ngun chuyên đề đa dạng phong phú phương trình ẩn, nhiều ẩn, phương trình bậc bậc cao, khơng có cách giải chung cho phương trình, để giải phương trình thường dựa vào cách giải số phương trình số phương pháp giải Tài liệu dạy học nội dung phương trình nghiệm ngun có nhiều mạng, thư viện, tài liệu tham khảo thị trường để hệ thống tổng hợp cho phù hợp với đối tượng học sinh để giúp em có kỹ giải tốn khơng phải đơn giản Nội dung hình thức giải pháp: a Mục tiêu giải pháp -Đưa số phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên; -Hệ thống phương pháp theo yêu cầu toán; -Hình thành kỹ phát dạng tốn dự đoán phương án giải vấn đề cho toán b Nội dung cách thực giải pháp Trên sở thực trạng khó khăn giải phương trình nghiệm ngun tơi đề xuất số phương pháp cụ thể đề tài b.1 Đưa phương trình ước số Ta đưa phương trình dạng có vế tích đa thức có hệ số ngun, ( thường có tích đa thức) vế số nguyên Để tìm nghiệm phương trình ta tìm ước số đó.f (x1, x2,…., xn).h (x1, x2,…., xn) = a Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun phương trình 2xy – 4x + y = Giải 2xy – 4x + y =  (2x + 1)(y – 2) = Ta thấy 2x + y – ước 5, nên ta có 2x + 1 -1 -5 y-2 -5 -1 x -1 -3 y -3 Vậy phương trình có nghiệm ngun (x;y) (0 ; 7), (-1 ; -3), (2 ; 3), (-3 ; 1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1  (x+1)4 – y2 =  [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= Tương tự ta suy  y =  (x+1)2 =  x+1 = 1  x = x = -2 Vậy ( x, y ) = ( 0, ); ( - 2, ) b2 Phương pháp Biểu thị ẩn theo ẩn cịn lại dùng tính chất chia hết Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – xy = 6x – 5y – Giải Biểu thị y theo x (x – 5)y = x2 – 6x + Với x = ta có 0y = 3, vô nghiệm Với x  x2  6x  ta có y = =x–1+ x5 x5 Để y có giá trị ngun  x – hay x –  Ư(3), ta có: x-5 -3 -1 x y 0 8 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x; y) (2 ; 0), (4 ; 0), (6 ; 8), (8 ; 8) Kinh nghiệm giải : Ta thường sử dụng phương pháp biểu thị ẩn theo ẩn cịn lại dùng tính chất chia hết để giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn phương trình có bậc cao bậc Khi ta biểu diễn ẩn theo ẩn giải phương trình Ví dụ 2:Tìm nghiệm ngun phương trình 2x + 3y = 11 Hướng dẫn Dùng tính chất chia hết Ta có 2x + 3y = 11 x= Do x, y nguyên  đặt = 5- ynguyên = k  y = 2k +1  x = 4- 3k (k  Z Vậy nghiệm tổng quát b3 Phương pháp đưa dạng tổng Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 – x – y = Hướng dẫn: Ta có x2 + y2 –x – y = 8 x2 + y2 – x –4y = 32  (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng số phương 32 52 Do ta có Giải ta (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hốn vị Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 169 Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122  hoặc Giải ta (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0) b4 Phương pháp Xét số dư vế Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 9x + = y2 + y (1) Lời giải Ta có: 9x + = y2 + y 9x + = y(y + 1) (*) Ta thấy vế trái (*) số chia cho dư nên y(y + 1) chia cho dư Nếu y chia hết cho y chia cho dư y(y + 1) chia hết cho 3, trái với kết luận Do y chia cho dư Đặt y = 3k + 1(k số nguyên) y +1 = 3k + Khi ta có: 9x + = (3k + 1)(3k + 2) 9x = 9k(k+1) x = k(k+1) Thử lại x = k(k+1) y = 3k + 1(k số nguyên) thoả mãn phương trình cho Vậy nghiệm nguyên phương trình (1) x = k(k+1) y = 3k + 1( với k số nguyên) b5 Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 1: Tìm x, y ngun tố thoả mãn y2 – 2x2 = Hướng dẫn: Ta có y2 – 2x2 =  y2 = 2x2 +1  y số lẻ Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 +  x2 = k2 + 2k  x chẵn , mà x nguyên tố  x = 2, y = Ví dụ Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x2 – y2 = 2006 (2) Lời giải Phương trình (2) viết thành: (x – y)(x + y) = 2010 Vì (x – y) + (x + y) = 2x số nguyên chẵn nên (x – y) (x + y) tính chẵn lẻ Từ (x – y)(x + y) = 2010 suy (x – y) (x + y) chẵn Do đó: (x – y)(x + y) chia hết cho Nhưng 2010 không chia hết cho (1) Giả sử (x – y) (x + y) số lẻ 2010 khơng thể tích số lẻ (2) Từ (1) (2) suy phương trình khơng có nghiệm nguyên b6 Phương pháp Sắp thứ tự ẩn Nếu ẩn x, y, z, có vai trị bình đẳng, ta giả sử x y z để tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện Từ đó, dùng phép hốn vị để => nghiệm phương trình cho Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x + y + z = xyz   (1) Lời giải Do ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn:1 x y z Do xyz = x + y + z 3z chia hai vế bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta xy Do xy 1; 2; 3 Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = (loại) trái với xếp y z Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (1) hốn vị (1 ; ; 3) Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : (2) Lời giải Do vai trị bình đẳng x, y, z phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn x ≤ y ≤ z Ta có : ( x nguyên dương) Thay x = vào (2) ta có : Suy ra : y = = (vơ lí) y = =2 z = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (3) hoán vị (1 ; ; 2) b7 Phương pháp Dùng bất đẳng thức Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 –xy + y2 = Hướng dẫn: Ta có x2 –xy + y2 =  (xTa thấy (x- )2   - )2 =   -2  y   y=  2; 1; thay vào phương trình tìm x Ta nghiệm nguyên phương trình : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình : (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ–si ta có: x2 + 2x, dấu xảy x2 + y2 2xy, dấu xảy x = x = y Vì x, y nguyên dương nên nhân bất đẳng thức vế theo vế ta : (x2 + 1)(x2 + y2) 4x2y, dấu xảy x = y = Vậy phương trình có nghiệm nguyên x = y = Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) Theo bất đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có: Đẳng thức xảy Vậy phương trình có nghiệm ngun x = y = b8 Phương pháp Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Lời giải Ta có phương trình: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + =  y2 +2(2x + 1)y + 3x2 + 4x + = (*) Coi x tham số phương trình bậc (*) với ẩn y, ta có: y = -(2x + 1)  Mà Do y nguyên, x nguyên  nguyên = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 –  x2 – = n2 (n số tự nhiên)  (x- n) (x+ n) =  x =  (do x - n x + n tính chãn lẻ) Vậy phương trình có nghiệm ngun (x; y) {(2; -5); (-2, 3)} Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – (y+5)x + 5y + = Lời giải Ta có: x2 – (y+5)x + 5y + = coi y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Giả sử phương trình bậc có nghiệm x1, x2 Theo định lý Viet, ta có :  x1 + 5x2 – x1x2 = 23  (x1 -5) (x2 -5) = mà = 1.2 = (-1)(-2)  x1 + x2 = 13 x1 + x2 =  y = y = Thay vào phương trình ta tìm cặp số (7; 8); (6; 8); (4; 2); (3; 2) nghiệm ngun phương trình Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + xy = x2 + y2 (1) Lời giải Viết (1) thành phương trình bậc x x2 - (y + 1)x + (y2 - y) = (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm 10 = (y + 1)2 - 4(y2 - y) = y2 + 2y + - 4y2 + 4y = -3y2 + 6y + * Do (y - 1)2 Suy -1 y - 1 y-1 -1 y Với y = 0, thay vào (2) ta x2 - x = Ta có x1 = 0; x2 = Với y = 1, thay vào (2) x2 - 2x = Ta có x3 = 0; x4 = Với y = 2, thay vào (2) ta x2 - 3x + = Ta có x5 = 1; x6 = Thử lại, giá trị nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (0;0), (1;0), (0;1), (2;1), (1;2), (2;2) Một số toán áp dụng thực tế ( sưu tầm) Bài 1: Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ hai đội biết số đấu thủ đội số lẻ hỏi đội có đấu thủ Hướng dẫn: Gọi x, y số đấu thủ đội đội (x, y nguyên dương ) Theo ta có xy = (x + y) Đây phương trình nghiệm ngun ta giải cách sau Cách 1: Có xy = 4(x + y) xy – 4x – 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có đội có số đấu thủ lẻ   Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Khơng tính tổng qt ta giả sử x y Ta có x, y nguyên dương xy = (x + y) lại có   +   + =1  1 x   x= {5, 6, 7, 8} 11 1x>4 Mà Thử trực tiếp ta x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy đội có đấu thủ cịn đội có 20 đấu thủ Bài 2: Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đường cứu nước tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Hướng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) loại Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18 xy (x, y nguyên dương, x, y  9) Theo ta có 1911 - 18 xy = + + x + y = 3 11x + 2y = 99  2y 11 mà (2, 11) =  y 11 mà 0 y  Nên y =  x = Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 Bài 3: Hãy dựng tam giác vng có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đơn vị Hướng dẫn: Giả sử cạnh đo đơn vị cạnh huyền (a = 7)  b2 + c2 = 72  b2 + c2 7b 7; c (vì số phương chia hết cho dư 0, 1, 4, 2) lại có < b, c < loại  Cạnh đo cạnh góc vng giả sử b = Ta có a2 – c2 = 49  (a+c)(a-c) = 49  Vậy tam giác cần dựng có số đo cạnh 7, 25, 24 Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên a) 3x3 - 3y3 = 21 b) 3xy + x - y = c) 2x2 + 3xy - 2y2 = Bài 2: Tìm x,y, z nguyên dương thoả mãn 12 a) 2(x + y + z) + = 3xyz b) xy + yz + zx = xyz + c) Bài 3: Chứng minh rằng: a) Phương trình khơng có nghiệm nguyên dương b) có số hữu hạn nghiệm nguyên dương Bài 4: Giải phương trình tập số nguyên a) b) c) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau a) c) b) d) c Kết khảo nghiệm Trước sau thực đề tài Để đánh giá khả em dạng tốn có phương án tối ưu truyền đạt tới học sinh, đề toán cho 10 em học sinh giỏi khối trường sau: Bài 1: ( điểm ) Tìm số nguyên x, y biết a) x – y + 2xy = b) Bài 2: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 – 5y2 = Kết thu sau: Dưới điểm Điểm – Điểm - 10 SL % SL % SL % 70 30 0 Qua việc kiểm tra đánh giá thấy học sinh khơng có phương pháp giải phương trình nghiệm ngun đạt hiệu Lời giải thường dài dịng, khơng xác, đơi cịn ngộ nhận đốn mị 13 Cũng với toán học sinh trang bị phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên tơi thấy học sinh giả vấn đề có hiệu quả, chất lượng học tập học sinh mũi nhọn ngày cao Đặc biệt em hứng thú học toán hơn, vận dụng sử dụng thành thạo phương pháp cho cụ thể Kết cụ thể sau: Dưới điểm Điểm – Điểm - 10 SL % SL % SL % 10 70 20 III- KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Đề tài nhận thử nghiệm qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi thấy học sinh nắm hứng thú học tập Tôi nghĩ cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học hỏi thầy cô bạn đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày phong phú Là giáo viên trực tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm nhận thấy việc giải tốn chương trình THCS khơng đơn giản đảm bảo kiến thức SGK, điều kiện cần chưa đủ Để giỏi toán học sinh cần phải luyện tập nhiều, thông qua việc giải tốn từ dễ đến khó mơt cách đa dạng Muốn người thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức nhiều tình khác để tạo hứng thú cho học sinh Một toán có nhiều cách giải, tốn thường nằm dạng toán khác để giải đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, phải biết sử dụng phương pháp giải phù hợp toán Đề tài thử nghiệm qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi, qua tơi thấy học sinh nắm vững phương pháp hứng thú học tập Tôi nghĩ cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày phong phú KIẾN NGHỊ 14 Đối với nhà trường : Cần tạo điều kiện thuận lợi thời gian tài liệu để giúp giáo viên, giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi giảng dạy tốt Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy, tự học, tự nghiên cứu giáo viên học sinh Đối với ngành : Mở buổi hội thảo chun đề mơn Tốn để nâng cao trình độ chun mơn học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp Tổ chức buổi thảo luận, hướng dẫn viết SKKN giới thiệu sáng kiến kinh nghiêm có chất lượng cao, ứng dụng lớn thực tiễn Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên đa dạng ứng dụng rộng rãi, phổ biến nhiều toán, dạng toán Chắc chắn cịn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm ngun cịn nhiều ví dụ hấp dẫn khác Nhưng lực thân có hạn nên trình bày sáng kiến khơng tránh khỏi điểm thiếu sót khiếm khuyết Người viết Vương Văn Lương Mục lục I.Phần mở đầu Lý chọn đề tài Trang 2 15 Mục tiêu đề tài 3.Đối tượng nghiên cứu Giới hạn đề tài Phương pháp nghiên cứu II Phần nội dung Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề nghiên cứu Nội dung hình thức giải pháp a Mục tiêu giải pháp b Nội dung cách thực giải pháp c Kết khảo nghiệm III Kiến nghị kết luận 3 3 3 4 13 14 Tài liệu tham khảo Hướng dẫn học số học - Tác giả : Hồng Cơng Chức - NXB tổng hợp TPHCM 16 Tốn điển hình phương pháp giải toán THCS - Tác giả : Lê Hải Châu, Nguyễn Xuân Quỳ - NXB Hà Nội 3.Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS - Tác giả :Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục 4.Tốn nâng cao chuyên đề Toán 6, lớp 7-Tác giả: Vũ Dương Thụy - NXB Giáo dục 5.Nâng cao phát triển toán 6, toán 7, toán 8, toán - Tác giả : Vũ Hữu Bình NXB Giáo dục Bài tập nâng cao số chuyên đề toán THCS -Tác giả : Bùi Văn Tuyên - NXB Giáo dục Sách tập toán , toán 7, toán 8, toán ( tái từ 2010 trở sau ) nhóm tác giả: Tơn thân - Vũ Hữu Bình - Phạm Gia Đức -Trần Luận- NXB Giáo dục 17