060 đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh tuyên quang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TUYÊN QUANG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) b) Rút gọn biểu thức Cho a, b, c A= 9−4 − 9+4 số thực dương thỏa mãn 1 + + = 12 a b c Chứng minh : 1 + + ≤3 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Câu (3,0 điểm) 1) 2) Cho phương trình x − x + m = x ( *) a) Giải phương trình (*) b) Tìm giá trị Giải hệ phương trình: m m=2 để phương trình (*) có nghiệm phân biệt ( ) ( Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn kính AP Các đường cao điểm a) b) AH EF BE ) 2 x + y − x + xy =   x + xy − y + = ABC ( AB > AC ) CF cắt H nội tiếp đường tròn tâm O, đường ( E ∈ AC , F ∈ AB ) Gọi I, K trung Tiếp tuyến (O) A cắt BE T Chứng minh : ∠AEF = ∠ABC Hai đường thẳng Các đường thẳng Câu (1,0 điểm) IK , AT vng góc BC , HP, IK c) a) Tìm tất cặp số nguyên a, b đồng quy ( x; y ) thỏa mãn b) Cho số nguyên dương thỏa mãn số phương Câu (1,0 điểm) 3xy + x − y = a + 2b = 22023 Chứng minh P = a + 2b7 + Đầu tiên, thầy giáo viết lên bảng 23 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3…,22,23 thành hàng ngang Thầy cho học sinh thực trò chơi đổi số sau: Mỗi lần đổi số , người chơi xóa hai số a, b a −b thay số p Sau 22 lần đổi số trên, bạn Phong thu số nguyên tố p a) Xác định b) Em quy trình biến đổi 23 số để số p ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Rút gọn biểu thức A= 9−4 − 9+4 A = 9−4 − 9+4 = d) Cho a, b, c ( −2 ) − ( 5+2 số thực dương thỏa mãn ) = − − − = −4 1 + + = 12 a b c Chứng minh : 1 + + ≤3 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Áp dụng bất đẳng thức : Ta có : 1 11 1 + ≥ ⇒ ≤  + ÷ x y x+ y x+ y 4 x y Dấu bẳng xảy 1 1 1   1 1    1  = ≤  + ÷≤  + + + ÷ =  + + ÷ 2a + b + c a + b + a + c  a + b a + c   a b a c   16  a b c  x= y>0 (1) Chứng minh tương tự : 1 1 1 1 1 2 ≤  + + ÷( ) ; ≤  + + ÷( ) 2b + a + c 16  a b c  2c + a + b 16  a b c  Cộng (1), (2), (3) theo vế ta : P≤  4 4 11 1  + + ÷ =  + + ÷ = 12 = 3( dfcm) 16  a b c   a b c  a=b=c= Dấu xảy Câu (3,0 điểm) 3) Cho phương trình Giải phương trình (*) c) Thay Ta có x − x + m = x ( *) m=2 m=2 vào (*) ta phương trình x − 3x + = x x ≥ x = x − 3x + = x ⇔  ⇔ x = 2  2 x − 3x + = x Vậy m=2 phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = m Tìm giá trị d) để phương trình (*) có nghiệm phân biệt  x ≥ x ≥ x − 3x + m = x ⇔  ⇔ 2   x − 3x + m = x  x − 3x + m = ( 1) Ta có Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khơng âm Khi đó, ta có : ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ > 9 − 4m >   ⇔ 0≤m<  S > ⇔ 3 > P ≥ m ≥   0≤m< Vậy 4) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ( Giải hệ phương trình: Điều kiện : ( x ≥ 0; y ≥ ) ( ) ( ) 2 x + y − x + xy = ( 1)    x + xy − y + = ( 2) Biến đổi phương trình (1) ta có : ) x + y − x + xy = ⇔ x + y − x − xy = ⇔2 x ( ) x −2 − y (  x −2=0 x = x −2 =0⇔  ⇔  y = 4x  x − y = ) x = ⇒ ( ) ⇔ 16 + y − y + = ⇔ y = −9,5(ktm)  x = ⇒ y = 4(tm) y = x, ( ) ⇔ x + x − x + = ⇔   x = ⇒ y = 12 (tm) 5  2  12   ; ÷  5  ( x; y ) ∈ ( 1; ) ,  Vậy hệ cho có hai nghiệm  Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn kính AP Các đường cao trung điểm AH BE EF ABC ( AB > AC ) CF cắt H nội tiếp đường tròn tâm O, đường ( E ∈ AC , F ∈ AB ) Gọi I, K Tiếp tuyến (O) A cắt BE T Chứng minh : d) ∠AEF = ∠ABC Xét tứ giác BCEF ta có : ∠CEB = ∠CFB = 90° ⇒ BCEF suy điểm tứ giác nội tiếp C , B, E , F nằm đường tròn ⇒ ∠FBC + ∠CEF = 180° ∠FBC = ∠AEF hay ∠ABC = ∠AEF e) Xét Xét Hai đường thẳng ∆AEH ( ∠E = 90° ) ∆AFH ( ∠F = 90° ) Từ (1) (2) suy IK , AT mà vng góc có I trung điểm AH suy có I trung điểm AH nên IE = IF ⇒ ∆IEF cân I mà ∠CEF + ∠AEF = 180° : IA = IH = IC ( 1) IA = IH = IF ( ) EK = FK KI đường cao ∆IEF IK ⊥ EF ( 3) Hay Ta có ∠ABC = ∠AEF Từ (3) (4) suy (cmt) , mặt khác IK ⊥ AT Các đường thẳng f) Ta có ∠ABP = 90° BP / / CH ( ) Cmtt ta có BC , HP, IK Gọi HP BPCH ta có Từ (7) (8) suy Câu (1,0 điểm) Vì hình bình hành trung điểm đường (7) IK ⊥ AT (cmt ) ⇒ IK / / AP hay IM / / AP Mà I trung điểm AH nên Ta có BC , HP, IK M la` trung điểm HP (8) đồng quy trung điểm M BC Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) 3xy + x − y = ⇔ ( x − ) ( y + 1) = ( 1) x, y ∈ ¢ nên BP ⊥ AB CP / / BH ( ) IK ∩ HP = M , a) đồng quy (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy Từ (5) (6) suy tứ giác Do BC cắt  »  ∠ABC = ∠TAE  = sd AC ÷⇒ AT / / EF   x − ∈ ¢ ,3 y + 1∈ ¢ mà 3y +1 thỏa mãn chia dư nên :  x − = x = ⇒ (tm)  y + = y =   ( 1) ⇔   x − = −1 x =  ⇔ (tm)  3 y + = −2  y = −1 Vậy cặp số nguyên thỏa mãn xy + x − y = ( 4;0 ) , ( 1; −1) mà (so le trong) (4) CH ⊥ AB a, b b) Cho số nguyên dương thỏa mãn P = a + 2b + Chứng minh P−2 số phương 2023 Ta có: Mà a + 2b = 2023 = ( a − a ) + ( b − b ) + = 7t + 22023 = ( 23 ) 674 − a ) M7, ( b − b ) M7 = 2.8674 ≡ ( mod ) P ≡ ( mod ) Do Vì (a suy P khơng số phương Câu (1,0 điểm) Đầu tiên, thầy giáo viết lên bảng 23 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3…,22,23 thành hàng ngang Thầy cho học sinh thực trò chơi đổi số sau: Mỗi lần đổi số , người chơi xóa hai số a, b a −b thay số trên, bạn Phong thu số nguyên tố a) p p c) Xác định d) Em quy trình biến đổi 23 số để số Xét tổng p A = + + + + 23 = 256 Vì sau lần xóa hai số Sau 22 lần đổi số a, b a −b thay số nên bước tổng A thay đổi B = A − ( a + b) + a − b +) Nếu a≥b a