SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : TỐN CHUN DÀNH CHO CÁC LỚP CHUN TỰ NHIÊN Thời gian làm : 150 phút (không kể giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) 2x −1 3x − + A= 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức 2) Tìm tọa độ điểm y = 2x + M giao điểm đường thẳng với trục Ox 8π cm 3) Biết hình trịn có chu vi Tính diện tích hình trịn 4cm, 4) Cho hình trụ có chiều cao diện tích đáy 36π cm Tính diện tích xung quanh hình trụ Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức 3− x x ≥ 0 x +3 P = − : ÷ ÷ ÷ x + x +1 x − 2x +1 x ≠ 1− x 1) Rút gọn biểu thức x 2) Tìm cho Câu (2,5 điểm) P+6 =0 Cho phương trình a) Tìm b) Gọi m P x − ( m + ) x + m + = ( 1) để phương trình x1 ; x2 Giải hệ phương trình m để tuyến xứng với A x1 ; x2 ABC cắt đường thẳng OM , qua có hai nghiệm phân biệt độ dài hai cạnh tam giác vuông cân 2 x + y + y ( x − 1) = 10 y − y + x − = Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ( O) tham số) hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm tất giá trị thực tham số A ( 1) (với m giao điểm nhọn BC AB ( AB < AC ) M Gọi OM I H nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp BC , D trung điểm điểm đối 1) Chứng minh tứ giác MAOI 2) Giả sử tiếp tuyến B tuyến đường tròn 3) Kẻ đường kính Đường thẳng Câu (1,0 điểm) DK MK nội tiếp OI đường tròn (O) cắt ( O) AN F Chứng minh ba điểm ( O) E tiếp thẳng hàng Gọi N hình chiếu Chứng minh x − 3x − = 3x x Giải phương trình ( E ) 1− x −1 trung điểm thay đổi thỏa mãn điều kiện P = ( x4 + y ) biểu thức A DK AN x, y Xét hai số thực MD A, D, F đường tròn cắt MD = MB.MC x+ y ≥ Tìm giá trị nhỏ + +1 x+ y ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) A= 5) Tìm điều kiện xác định biểu thức x −1 3x − + 3x − ≥ ⇔ x ≥ Biểu thức A xác định 6) Tìm tọa độ điểm M giao điểm đường thẳng Tọa độ điểm M nghiệm hệ 7) Biết hình trịn có chu vi Từ giả thiết ta có y = 2x + y = 2x + x = −2 ⇔ ⇒ M ( −2;0 ) y = y = 8π cm Tính diện tích hình trịn 2π R = 8π ⇔ R = 4(cm) Vậy diện tích hình trịn S = π R = 42 π = 16π ( cm ) 4cm, 8) với trục Ox Cho hình trụ có chiều cao diện tích đáy Tính diện tích xung quanh hình trụ Gọi R bán kính đáy Từ giả thiết có π R = 36π ⇔ R = 6(cm) 36π cm Diện tích xung quanh hình trụ Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức 3) S = 2π Rh = 2π 6.4 = 48π ( cm ) 3− x x ≥ 0 x +3 P = − : ÷ ÷ ÷ x + x +1 x − 2x +1 x ≠ 1− x Rút gọn biểu thức P 3− x x ≥ 0 x +3 P = − : ÷ ÷ x + x +1÷ 1− x x − 2x + x ≠ ( − x ) ( x + 1) − ( x + 3) ( − x ) ( = ( − x ) ( x + 1) )( x −1 = ) x +1 ( ) x 1− x 3+ x − x + x + x −3 1− x = = x −x 4 ( 4) x Tìm cho Với ) P+6 = x ≥ 0, x ≠ ⇒ P = x − x Khi x = −2(ktm) P+6 =0 ⇔ x − x+6 =0 ⇔ x = ⇒ x = 9(tmdk ) x=9 Vậy Câu (2,5 điểm) Cho phương trình c) Tìm m x − ( m + ) x + m + = ( 1) để phương trình Phương trình (1) có a+b+c = ( 1) d) Gọi tham số) có hai nghiệm phân biệt nên pt (1) có hai nghiệm Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 (với m x1 = 1; x2 = m + m +1 ≠ ⇔ m ≠ hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm tất giá trị thực tham số giác vuông cân m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam Với m≠0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = m + x1 ; x2 Vì độ dài hai cạnh tam giác vng cân nên Khi xảy hai trường hợp sau : Th1: Cạnh góc vng có độ dài Do tam giác vuông cân nên ta có Th2: cạnh góc vng có độ dài x1 m + > ⇔ m > −1 độ dài cạnh huyền x2 x2 = x1 ⇔ m + = ⇔ m = − 1(tm) x2 x1 độ dài cạnh huyeenfd x1 = x2 ⇔ ( m + 1) = ⇔ m = −1 + Do tam giác vng cân nên ta có Vậy m ∈ −1 + 2; −1 + Giải hệ phương trình Điều kiện x ≥ y ≥ x + y + y ( x − 1) = 10 y − y + x − = (*) Ta có : ( ) x + y + y (2 x + 1) = 10 2x −1 + y = x − = − y ⇔ ⇔ y − y + x − = y − y + − y = y − y + x − = x − = − y y = x = ⇒ ⇔ ⇔ (tmdk (*)) y − y − = x − = y = ( x; y ) = Vậy hệ phương trình có nghiệm ;9 ÷ 2 (tm) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác O Tiếp tuyến BC , D A ( O) điểm đối xứng với ABC nhọn ( AB < AC ) cắt đường thẳng A qua OM , BC nội tiếp đường tròn tâm I M Gọi trung điểm giao điểm AB OM H 4) Có Chứng minh tứ giác MA MAOI nội tiếp tiếp tuyến đường trịn (O) thuộc đường trịn đường kính Mặt khác I trung điểm OI ⊥ BC ⇒ ∠OIM = 90° OM ( 1) BC A MD = MB.MC nên MA ⊥ AO ⇒ ∠OAM = 90° BC dây cung không qua tâm O nên nên I thuộc đường trịn có đường kính Từ (1) (2) suy điểm nội tiếp nên A M , A, O, I OM ( ) thuộc đường tròn hay tứ giác MAOI ( O) ∠MAB = ∠ACM Trong đường trịn có cung chắn cung AB) Xét ∆MAB ∆ACM (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây ∠MAB = ∠ACM ; ∠AMC có : MA MB = ⇒ MA2 = MB.MC ( 3) MC MA ⇒ ∆MAB ∽ ∆MCA( g.g ) ⇒ Lại có D điểm đối xứng với A qua OM nên Từ (3) (4) ta có : MA = MD ( ) MD = MB.MC B Giả sử tiếp tuyến 5) chung đường tròn (O) cắt tiếp tuyến đường tròn ( O) ba điểm OI F Chứng minh A, D, F MD thẳng hàng OA = OD ⇒ D ∈ ( O ) Vì D điểm đối xứng với A qua OM nên ∆MAO = ∆MDO ⇒ ∠MDO = ∠MAO = 90° ⇒ MD ⊥ OD Có Khi ta có MD tiếp tuyến đường trịn (O) Có AD ⊥ OM Trong Trong ∆OBF ∆OAM H (5) vng có BI đường cao nên vng có AH đường cao nên OI OF = OH OM ⇒ Từ (6) (7) ta có Xét ∆OMI ∆OFH có ∠MOF Từ (5) (8) suy Kẻ đường kính DK Ta có A, D, F DK Đường thẳng AN / / MD OI OH = ⇒ ∆OMI ∽ ∆OFH ( cgc ) OM OF H (8) thẳng hàng đường tròn MK cắt OA2 = OH OM ( ) OI OH = OM OF chung ; ⇒ ∠OHF = ∠OIM = 90° ⇒ FH ⊥ OM 6) OB = OI OF ⇒ OA2 = OI OF ( ) AN (vì vng góc với E ( O) Gọi N hình chiếu Chứng minh E A trung điểm DK ) ⇒ ∠NAD = ∠ADM AN ∆MAD Có Suy Ta có cân M ⇒ ∠AMD = ∠MAD ∠DAN = ∠MAD ⇒ AD DK đường kính, suy ∆AME A tia phân giác A Khi ta có : Sử dụng định lý Ta-let AE EN = AM MD Do mà Câu (1,0 điểm) ∠DAK = 90° ⇒ AK ⊥ AD ⇒ AK nên EN / / MD có AE = EN ⇒ E x − 3x − = x x Giải phương trình ĐKXĐ: ( KE EN = KM MD nên trung điểm ) − x −1 x=0 không nghiệm (1) nên ta chia hai vế (1) cho 1 − = − − ÷ x x x3 x÷ ( 1) ⇔ − có: Đặt ≥1 x phương trình trở thành : − 3t − t = Vì ( t −1 − t ) ⇔ ( t + 3t − 1) ( t + 3t − ≥ t ≥1⇒ ⇒ ( t + 3t − 1) t + t − ≥ ( ) ⇔ t = 1(tmdk ) ⇒ Khi (2) Vậy AN ≤ x ≤ ( *) Nhận thấy t= tia phân giác KE AE = KM AM ∆KMD MA = AD ∆AME x =1 ) t + t −1 = 3( 2) ( ) t + t −1 ≥ = ⇔ x = 1(tmdk ) x x3 ≠ ta Xét hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện P = ( x4 + y4 ) + nhỏ biểu thức P ≥ ( x2 + y ) + +1 x+ y Đặt t = x + y ( t ≥ 2) x+ y≥2 +1 x+ y Suy : t 4 3t P ≥ 2t + + = + + ÷+ +1 t 2 t t 2 Áp dụng BĐT Co si cho số dương ta có : t2 4 t2 4 + + ≥3 =6 t t t t Vậy t ≥2⇒ Mặt khác Min P = 13 ⇔ x = y = 3t ≥6 Do P ≥ + + = 13 Tìm giá trị