SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 ĐỀ THI MƠN : TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (2 điểm) A= 1) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức 2) Cho phương trình Chứng minh Bài (2 điểm) 1) 2) x + x x − x − x x + x − 16 x > + + x ≠ 4÷ x x−2 x x−x x A chứng minh ax + bx + c = ( a ≠ ) ( a − b ) ( 2a − c ) ≤ ≤2 a ( a − b + c) Giải phương trình K ( K ≠ B) Điểm a) Chứng minh b) Kẻ c) Gọi KM N H BD, CE ABC ( AB = AC > BC ) DC = DI DB D M , N, J, D D I , BI AI ; ( O) cắt đường tròn Đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm đoạn thẳng AC ( M ∈ AC ) giao điểm Chứng minh bốn điểm Bài (1 điểm) FC nội tiếp đường tròn tam giác cắt đối xứng với C qua song song với thỏa mãn ≤ x1 , x2 ≤ 2 x + y − y = 33 2 x + y − xy + x − y + = Bài (3 điểm) Cho tam giác cân F ( F ≠ B) có hai nghiệm x1 , x2 x − 10 x + 14 = 2 x + Giải hệ phương trình đường phân giác A>8 Các ( O) HBC cắt BI IK I Chứng minh M điểm đối xứng với qua AC gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường tròn IBE Xét x, y , z số thực dương thỏa mãn P= y 3x + 20 xy + 12 y 2 + z 3x ≤ ( y + yz + z ) x + 20 xz + 12 z biểu thức Bài (2 điểm) 1) 2) Chứng minh n ≥1 ab 2n = 10a + b với a, b, n + Tìm giá trị nhỏ ( y + z) số tự nhiên thỏa mãn < b < 10 chia hết cho Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3; ; 229 x+ y+ z+t x; y; z; t Từ số viết xóa số viết lên bảng số (các số lại bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực thao tác trên bảng cịn lại số; gọi số a Chứng minh a < 2022 ĐÁP ÁN Bài (2 điểm) x + x x − x − x x + x − 16 x > + + ÷ x x−2 x x−x x x ≠ 4 A= 3) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức x+4 + x A= ( )( x.( A chứng minh ) ( x + 2) ( x − x + 4) x − 2) x.( + x ) ( − x ) x + x − x + ( x + 2) − = x −2 x+2 x +4 ) +( A>8 x −2 x+4 x+2 = + x x x > 0, x ≠ Do 4) nên x ( ) Cho phương trình Chứng minh Có x −2 x >0⇒ x+4> x ⇒ A>8 ax + bx + c = ( a ≠ ) ( a − b ) ( 2a − c ) ≤ ≤2 a ( a − b + c) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn ≤ x1 , x2 ≤ b c x1 + x2 = − ; x1 x2 = a a c b − ÷ − ÷ ( a − b ) ( 2a − c ) = a a = ( + x1 + x2 ) ( − x1x2 ) ⇒M = b c a ( a − b + c) + x1 + x2 + x1 x2 1− + a a M −2 = M− − ( + x1 + x2 ) x1 x2 ≤0⇒ M ≤2 + x1 + x2 + x1 x2 c = 0; ≤ − Đẳng thức xảy b ≤1 a ( + x1 + x2 ) − ( + x1 + x2 ) x1 x2 5 ( + x1 + x2 ) − 15 x1 x2 + ( − x1 − x2 ) x1 x2 = = ≥0 4 ( + x1 + x2 + x1 x2 ) ( + x1 + x2 + x1 x2 ) ⇒M ≥ Đẳng thức xảy Bài (2 điểm) 3) Giải phương trình a = c, b = −2a x − 10 x + 14 = 2 x + x≥− Điều kiện : Đặt x + = a ( a ≥ 0) PT ⇔ x − 10 x + 14 = 2a ⇔ ( x − x + 16 ) − ( a + 2a + 1) = x = − a ⇒ x = − x + ⇔ x = − 2(tm) 2 ⇔ ( x − ) = ( a + 1) ⇔ x − = ± ( a − 1) ⇔ x = a + ⇒ x = + x + ⇔ x = + 3(tm) { S = − 2; + Vậy 4) } Giải hệ phương trình x + y − y = 33 ( 1) 2 x + y − 3xy + x − y + = ( ) Pt ( ) ⇔ ( x − y ) ( x − y ) + ( x − y ) + ( x − y ) + ⇔ ( x − y + 1) ( x − y + 3) = y = −2 ⇒ x = −3 x − y + = ⇒ ( 1) ⇔ ( y − 1) + y − y = 33 ⇔ y = 16 → x = 11 5 y = −1 ⇒ x = −5 x − y + = ⇒ ( 1) ⇔ ( y − ) + y − y = 33 ⇔ y = 3⇒ x = 2 11 16 ; ÷; ( −5; −1) ; ( 3;3 ) 5 5 ( x; y ) ∈ ( −3; −2 ) ; Vậy hệ phương trinh có nghiệm Bài (3 điểm) Cho tam giác cân đường phân giác F ( F ≠ B) K Điểm ( K ≠ B) H BD, CE ABC ( AB = AC > BC ) nội tiếp đường tròn tam giác cắt đối xứng với C qua D I , BI ( O) cắt đường tròn Đường tròn ngoại tiếp tam giác Các ( O) HBC cắt BI a) Chứng minh Có DC = DI DB D trung điểm đoạn thẳng IK ∆DCI ∽ ∆DBC ( g.g ) ⇒ DC = DI DB Tứ giác BCKH KM b) Kẻ nội tiếp nên song song với DK DB = DC.DH = DC = DI DB ⇒ DK = DI AC ( M ∈ AC ) I Chứng minh M điểm đối xứng với qua AC ∠MCA = ∠FCA = ∠FBA = ∠FBC = ∠KBC = ∠KHC ⇒ KHCM tứ giác nội tiếp hình thang cân ⇒ MC = KH = CI ; ∠MCH = ∠ICH = ∠KHC ∆CMI cân C, phân giác c) Gọi N CD ⇒ M , I giao điểm Chứng minh bốn điểm FC M , N, J , D đối xứng qua AI ; AC gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường tròn ∠MIC = 90° − ∠ACI = 90° − ∠ABI = ( 180° − ∠EJI ) ⇒ ∠JBI = ∠JIB = ∠DIM = ∠DMI ⇒ D; M ; B; J M,I, J thẳng hàng thuộc đường tròn IBE ∠MDB = 2∠CDB = ( 180° − ∠DBC − ∠DCB ) = ( 180° − ∠ECA − ∠DCB ) = 2∠BCN = 180° − ∠BNC = 180° − ∠BNM ⇒ B; D; M ; N thuộc đường tròn (đpcm) Bài (1 điểm) Xét x, y , z số thực dương thỏa mãn P= y 3x + 20 xy + 12 y 2 + 3x ≤ ( y + yz + z ) z 3x + 20 xz + 12 z biểu thức + Tìm giá trị nhỏ ( y + z) 2 ( y + yz + z ) ≤ ( y + z ) ⇒ x ≤ ( y + z ) ⇒ x ≤ y + z 2 x + 20 xy + 12 y = ( x + y ) − ( x − y ) ≤ ( x + y ) 2 3x + 20 xz + 12 z = ( x + z ) − ( x − z ) ≤ ( x + z ) Hoàn toàn tương tự : 2 y2 z2 y2 z2 P≥ + + ≥ + + 2 ( x + y ) ( x + 2z ) ( y + z ) ( y + z ) ( 3z + y ) ( y + z ) Suy ( y + z) = y + z ⇒ P ≥ y + z + y2 z2 + ≥ y + z 3z + y y + z ( y + z) Lại có : y+z y+z y+z y+z y+z 3 + = + + ≥ 33 = ⇒P≥ 2 16 16 16 16 ( y + z ) 4 ( y + z) ( y + z) Pmin = ⇔ x = 4; y = z = Vậy Bài (2 điểm) 3) Chứng minh < b < 10 n ≥1 ab 2n = 10a + b chia hết cho = 10a + b M2 ⇒ b M2 n Ta có Đặt với n = 4k + r ( k ∈ ¥ ; r ∈ { 0;1; 2;3} ) a, b, n số tự nhiên thỏa mãn Th1: r = : n − = 16 k − 1M5 ⇒ n − 6M5 ⇒ n n − 6M 10 ⇒ b = ⇒ ab M6 Th : r ∈ { 1; 2;3} ⇒ n − r = 2r ( 16 k − 1) M ⇒ 2n − 2r M 10 Mà 4) 2r ∈ { 2; 4;8} ⇒ b = r ⇒ 10a = n − r = 2r ( 16 k − 1) M ⇒ aM ⇒ ab M6 Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3; ; 229 x+ y + z +t x; y; z; t (vì bM2) Từ số viết xóa số viết lên bảng số (các số lại bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực thao tác trên bảng lại số; gọi số Với tập hợp { x1 ; x2 ; ; xn } a Chứng minh Xét biểu thức a < 2022 P ( x1 ; x2 ; ; xn ) = x12 + x22 + + xn2 Chú ý x+ y + z +t x2 + y + z + t ≥ ÷: x; y; z; t Suy lần xóa số ồi viết lên bảng số P số bảng không tăng lên (1) Biểu thức P ban đầu : Từ (1) (2) suy x+ y+ z+t P ( 1; 2; ; 229 ) = 12 + 22 + + 229 < 20222 ( ) P ( a ) = a ≤ P ( 1; 2; ; 229 ) < 20222 ⇒ a < 2022 giá trị biểu thức