SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn: Tốn (Chun) ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày: 03/06/2021 (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian: 150 phút (Không kể giao đề) ĐỀ BÀI: Câu (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a a) Cho biểu thức A với a 0; a 1; a Tìm tất giá trị : a a a a a nguyên dương a đề P nhận giá trị nguyên b) Cho x 2021 Tính giá trị biểu thức: x5 x 2021x3 x 2018 x 2021 Câu (2,5 điểm) 1) Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 40km thời gian định Sau 20km người dừng lại nghỉ 20 phút Do để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm 3km/h Tính vận tốc dự định người 2) Cho phương trình x m 1 x 2m (trong m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x ; x với m b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x ; x thỏa mãn điều kiện: x 2mx1 2m x22 2mx2 2m Câu (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân (AB < AC) có đường trịn ngoại tiếp (O; R) đường trịn nội tiếp (I; r) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB D, E, F Kéo dài AI cắt BC M cắt đường tròn (O;R) điểm thứ N (N khác A) Gọi Q giao điểm AI FE Nối AD cắt đường tròn (I; r) điểm thứ P (P khác D) Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) điểm thứ T (T khác D) Chứng minh rằng: a) AF AP AD b) Tứ giác PQID nội tiếp NB NM NA c) QA phân giác ·PQT d) ·ADF ·QDE Câu (2,0 điểm) 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x y Tìm giá trị nhỏ A 53 x 53 y x y b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x y z Chứng minh rằng: x y z x3 y z x y z Câu (1,0 điểm) 2 a) Tìm tất số nguyên x ; y thỏa mãn phương trình: x x y xy 1 b) Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 y p xy Tìm giá trị lớn p -Hết - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2021-2022) Câu (2,0 điểm) a a 1 a a 1 a a) Cho biểu thức A với a 0; a 1; a Tìm tất giá trị : a a a a a nguyên dương a đề P nhận giá trị nguyên b) Cho x 2021 Tính giá trị biểu thức: x5 x 2021x3 x 2018 x 2021 Lời giải: a a) Với: a 1, 2 a a 1 a a 1 a A Ta có: : a a a a a a a 1 a 1 a a 1 a : a a a 1 a 1 a a a a 1 a a 1 a a 2a A : 2 a2 a a a2 a2 a2 Để A ¢ ¢ a 2U 1; 2; 4; 8 a2 a ¢ a a a TM Do: a 1; 2 Vậy a A ¢ b) Đặt: 5 3 2 M x x 2021x 3x 2018x 2021 x x 2020 x x x 2020 x x x 2020 M x3 x x 2020 x x x 2020 x x 2020 x x 2020 x3 x Mà: x 2021 x 2021 x 1 2021 x x 2020 M 1 Câu (2,5 điểm) 1) Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 40km thời gian định Sau 20km người dừng lại nghỉ 20 phút Do để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm 3km/h Tính vận tốc dự định người 2) Cho phương trình x m 1 x 2m (trong m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x ; x với m b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x ; x thỏa mãn điều kiện: x 2mx1 2m x22 2mx2 2m Lời giải: 1) Gọi vận tốc dự định xe đạp là: x km / h ; x Vận tốc sau tăng tốc là: x km / h Thời gian dự định là: 40 h x Quãng đường từ lúc tăng tốc là: 40 20 20 km Thời gian lúc chưa tăng tốc là: 20 h x3 Thời gian từ lúc tăng tốc là: Theo đề ta có: 20 h x x 12 TM 20 20 40 x x3 x x 15 KTM Vậy vận tốc dự định xe đạp là: 12 (km/h) 2) a) Ta có: ' m 1 2m m 4m m m 2 => Phương trình ln có nghiệm phân biệt với m x1 x2 m 1 b) Theo Vi-et ta có: x1 x2 2m Do: x1 ; x2 nghiệm phương trình nên ta có: x12 m 1 x1 2m x m 1 x2 2m x12 2mx1 x1 2m x 2mx2 x2 2m x12 2mx1 2m x1 x 2mx2 2m x2 2 Mà: x1 2mx1 2m x2 2mx2 2m x1 x2 16 x1 x2 x1x2 16 8.2 m 1 2m 12 8m m Câu (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC khơng cân (AB < AC) có đường tròn ngoại tiếp (O; R) đường tròn nội tiếp (I; r) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB D, E, F Kéo dài AI cắt BC M cắt đường tròn (O;R) điểm thứ N (N khác A) Gọi Q giao điểm AI FE Nối AD cắt đường tròn (I; r) điểm thứ P (P khác D) Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) điểm thứ T (T khác D) Chứng minh rằng: a) AF AP AD b) Tứ giác PQID nội tiếp NB NM NA c) QA phân giác ·PQT d) ·ADF ·QDE Lời giải: 1» ; ¶A Chung a) Xét AFP ADF có: ·AFP ·ADF FP AFP ∽ ADF g g AF AP AF AP AD (đpcm) AD AF b) Vì: AF AE tiếp tuyến I AI trung trực FE AI FE Q A F AQ AI (hệ thức lượng) AQ.AI AP AD A F AP AI AQ AD Xét APQ AID có: AP AI cmt ; ¶A Chung AQ AD APQ ∽ AID c g c ·AQP ·ADI PQID nội tiếp (vì: ·AQP góc ngồi đỉnh Q) » B NC » ¶B ¶A Ta có: ¶A1 ¶A2 (vì: AI tia phân giác) N Xét ABN BMN có: ¶B1 ¶A2 cmt ; ·N Chung ABN ∽ BMN g g ·IPD ·IDP c) Ta có: · · IPD IQD AN BN NB NA.NM (đpcm) BN MN IP ID r 1º ID ·IDP ·IQD ·IDP ·AQP cmt ·AQP ·AQT đpcm Mà: · · AQT IQD doi dinh » EK » d) Gọi K giao điểm AI với I FK » KT » FP » E » T ·FDP ·EDT đpcm Mà: ·AQP ·AQT cmt KP Câu (2,0 điểm) 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x y Tìm giá trị nhỏ A 53 x 53 y x y b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x y z Chứng minh rằng: x y z x3 y z x y z Lời giải: a) Dự đoán điểm rơi: x y Ta có: A 53 x 53 y A Co Si 1 ax ax 3 ax ax 3 a x x 1 27 x 27 x 27 y 27 y x y x y x y Co Si 3 27 x 27 x 3 27 y 27 y x Dấu “=” xảy x y Vậy Min A ax a 27 x 160 xy 3 y2 x y 27 27 x y 54 160 3 b) Ta có: x x x ; y 1 y y ; z z z x y z x y z VT x y z x3 y z Tương tự: x3 x x3 x x ; y y y y y ; z z z z z x3 y z x y z x y z VT x y z x y z x y z VT x y z x y z x y z x y z x y z 3.3 VT x y z x y z Mà: x x x ; y y y ; z z z x y z x y z VT x y z x y z x y z (đpcm) Câu (1,0 điểm) 2 a) Tìm tất số nguyên x ; y thỏa mãn phương trình: x x y xy 1 b) Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 y p xy Tìm giá trị lớn p Lời giải: 2 2 2 a) Ta có: x x y xy 1 x x y xy x xy y y x x y x y y y x y x y y 1 x y x y y 1 2 x y 1 y 1 02 22 2 2 x y 1 x y 1 y 1 y 1 y 1 y 2 x y 2 x y x x y 1 y 1 y y 1 x x Vậy x ; y ; 3 ; 0; 1 ; ; 1 ; ; 1 b) Ta có: x3 y p xy p x y xy p x y 3xy x y xy 3 p x y 8 3xy x y p x y x y x y 3xy x y p x y x y 3xy Do số nguyên tố nên: x y x y 3xy (Vì: x ; y ¢ x y ) x y x y 3xy x xy y x y 3xy 3 x xy y x y 3 x xy y x y 12 x y y x y 12 y 12 x y y 12 3.12 2 2 x y 2 x y x y 1 x y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 x x x x y y 1 y y 1 x p KTM TH1: y x p TM TH2: y 1 x p TM TH3: y x p KTM TH4: y 1 Vì: p số nguyên tố lớn p Vậy p thỏa mãn yêu cầu toán -Hết -