SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÀO CAI NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn: Tốn (Chun) ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày: 03/06/2021 (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian: 150 phút (Không kể giao đề) ĐỀ BÀI: Câu (2,0 điểm) a a −1 a a +1 a + − a) Cho biểu thức A = ÷ ÷ với a > 0; a ≠ 1; a ≠ Tìm tất giá trị ÷: a− a a+ a a−2 nguyên dương a đề P nhận giá trị nguyên b) Cho x = + 2021 Tính giá trị biểu thức: x5 − x − 2021x3 + x + 2018 x − 2021 Câu (2,5 điểm) 1) Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 40km thời gian định Sau 20km người dừng lại nghỉ 20 phút Do để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm 3km/h Tính vận tốc dự định người 2) Cho phương trình x − ( m − 1) x + 2m − = (trong m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x ; x với m b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x ; x thỏa mãn điều kiện: (x )( ) − 2mx1 + 2m − x22 − 2mx2 + 2m − < Câu (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ∆ ABC khơng cân (AB < AC) có đường trịn ngoại tiếp (O; R) đường tròn nội tiếp (I; r) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB D, E, F Kéo dài AI cắt BC M cắt đường tròn (O;R) điểm thứ N (N khác A) Gọi Q giao điểm AI FE Nối AD cắt đường tròn (I; r) điểm thứ P (P khác D) Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) điểm thứ T (T khác D) Chứng minh rằng: a) AF = AP AD b) Tứ giác PQID nội tiếp NB = NM NA c) QA phân giác ·PQT d) ·ADF = ·QDE Câu (2,0 điểm) 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ A = 53 x + 53 y + + x y b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x + y + z ≥ Chứng minh rằng: (x ) ( ) + y + z + x3 + y + z ≥ + x + y + z Câu (1,0 điểm) 2 a) Tìm tất số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn phương trình: x − x + y = ( xy + 1) b) Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 + y − p = xy − Tìm giá trị lớn p -Hết - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN – LÀO CAI (2021-2022) Câu (2,0 điểm) a a −1 a a +1 a + − a) Cho biểu thức A = với a > 0; a ≠ 1; a ≠ Tìm tất giá trị ÷ ÷ : a − ÷ a − a a + a nguyên dương a đề P nhận giá trị nguyên b) Cho x = + 2021 Tính giá trị biểu thức: x5 − x − 2021x3 + x + 2018 x − 2021 Lời giải: a > a) Với: a ≠ { 1, 2} a a −1 a a +1 a + − = Ta có: A = ÷ ÷ : a − ÷ a − a a + a ( )( a( ) −( a −1 a + a + ) a −1 )( ( ) a +1 a − a +1 a + ÷: ÷ a − ÷ a a +1 ) a + a +1 a − a +1 a + a − 2a − A = : =2 ữ ữ= ì ữ= ữ a+2 a a a+2 a+2 a−2 Để A ∈ ¢ ⇒ − ∈¢ ⇒ a + 2∈U ( ) = { ± 1; ± 2; ± 4; ± 8} a+2 a ∈ ¢ + ⇒ a + ≥ ⇒ a + ∈ { } ⇒ a = ( TM ) Do: a ≠ { 1; 2} Vậy a = ⇒ A ∈¢ b) Đặt: M = x5 − x − 2021x + x + 2018 x − 2021 = x5 − x − 2020 x3 − x + x + 2020 x + x − x − 2020 − ( ) ( ) ( ) ( )( ) M = x3 x − x − 2020 − x x − x − 2020 + x − x − 2020 − = x − x − 2020 x − x + − Mà: x = + 2021 ⇔ x − = 2021 ⇔ ( x − 1) = 2021 ⇔ x − x − 2020 = ⇒ M = −1 Câu (2,5 điểm) 1) Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 40km thời gian định Sau 20km người dừng lại nghỉ 20 phút Do để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm 3km/h Tính vận tốc dự định người 2) Cho phương trình x − ( m − 1) x + 2m − = (trong m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x ; x với m b) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm x ; x thỏa mãn điều kiện: (x )( ) − 2mx1 + 2m − x22 − 2mx2 + 2m − < Lời giải: 1) Gọi vận tốc dự định xe đạp là: x ( km / h ) ; x > Vận tốc sau tăng tốc là: x + ( km / h ) Thời gian dự định là: 40 ( h) x Quãng đường từ lúc tăng tốc là: 40 − 20 = 20 ( km ) Thời gian lúc chưa tăng tốc là: 20 ( h) x+3 Thời gian từ lúc tăng tốc là: Theo đề ta có: 20 ( h) x x = 12 ( TM ) 20 20 40 + + = ⇔ x x+3 x x = −15 ( KTM ) Vậy vận tốc dự định xe đạp là: 12 (km/h) 2) a) Ta có: ∆ ' = − ( m − 1) − 2m + = m − 4m + = ( m − ) + > ∀ m 2 => Phương trình ln có nghiệm phân biệt với m x1 + x2 = ( m − 1) b) Theo Vi-et ta có: x1 x2 = 2m − Do: x1 ; x2 nghiệm phương trình nên ta có: x12 − ( m − 1) x1 + 2m − = ⇒ x − ( m − 1) x2 + 2m − = ( )( x12 − 2mx1 + x1 + 2m − − = ⇒ x − 2mx2 + x2 + 2m − − = ) x12 − 2mx1 + 2m − = − x1 x − 2mx2 + 2m − = − x2 2 Mà: x1 − 2mx1 + 2m − x2 − 2mx2 + 2m − < ⇔ ( − x1 ) ( − x2 ) < ⇔ 16 − ( x1 + x2 ) + x1 x2 < ⇔ 16 − 8.2 ( m − 1) + ( 2m − ) < ⇔ 12 − 8m < ⇔ m < Câu (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn ∆ ABC khơng cân (AB < AC) có đường trịn ngoại tiếp (O; R) đường tròn nội tiếp (I; r) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB D, E, F Kéo dài AI cắt BC M cắt đường tròn (O;R) điểm thứ N (N khác A) Gọi Q giao điểm AI FE Nối AD cắt đường tròn (I; r) điểm thứ P (P khác D) Kéo dài DQ cắt đường tròn (I; r) điểm thứ T (T khác D) Chứng minh rằng: a) AF = AP AD b) Tứ giác PQID nội tiếp NB = NM NA c) QA phân giác ·PQT d) ·ADF = ·QDE Lời giải: 1» ; ¶A Chung a) Xét ∆ AFP ∆ ADF có: ·AFP = ·ADF = FP ⇒ ∆ AFP ∽ ∆ ADF ( g g ) ⇒ AF AP = ⇒ AF = AP AD (đpcm) AD AF b) Vì: AF AE tiếp tuyến ( I ) ⇒ AI trung trực FE ⇒ AI ⊥ FE Q ⇒ A F = AQ AI (hệ thức lượng) ⇒ AQ AI = AP AD ( = A F ) ⇒ AP AI = AQ AD AP AI = ( cmt ) ; ¶A Chung AQ AD Xét ∆ APQ ∆ AID có: ⇒ ∆ APQ ∽ ∆ AID ( c g c ) ⇒ ·AQP = ·ADI ⇒ PQID nội tiếp (vì: ·AQP góc ngồi đỉnh Q) » B = NC » ⇒ ¶B = ¶A Ta có: ¶A1 = ¶A2 (vì: AI tia phân giác) ⇒ N Xét ∆ ABN ∆ BMN có: ¶B1 = ¶A2 ( cmt ) ; ·N Chung ⇒ ∆ ABN ∽ ∆ BMN ( g g ) ⇒ ·IPD = ·IDP c) Ta có: · · IPD = IQD AN BN = ⇒ NB = NA.NM (đpcm) BN MN ( IP = ID = r ) 1º = ID ÷ ⇒ ·IDP = ·IQD ·IDP = ·AQP ( cmt ) ⇒ ·AQP = ·AQT ⇒ đpcm Mà: · · AQT = IQD ( doi dinh ) » = EK » d) Gọi K giao điểm AI với ( I ) ⇒ FK Mà: ·AQP = ·AQT ( cmt ) » = KT » ⇒ FP » =E » T ⇒ ·FDP = ·EDT ⇒ đpcm ⇒ KP Câu (2,0 điểm) 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ A = 53 x + 53 y + + x y b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x + y + z ≥ Chứng minh rằng: (x ) ( ) + y + z + x3 + y + z ≥ + x + y + z Lời giải: a) Dự đoán điểm rơi: x = y = Ta có: A = 53 x + 53 y + ⇒A Co − Si 1 + = 27 x + 27 x + ÷+ 27 y + 27 y + ÷− ( x + y ) x y x y ≥ 3 27 x ×27 x × 1 160 + 3.3 27 y ×27 y × − ( x + y ) = 27 + 27 − ( x + y ) ≥ 54 − = 3 x y Dấu “=” xảy x = y = Vậy ⇒ Min A = Co − Si 1 1 ⇒ + ax + ax ≥ 3 ×ax ×ax = 3 a ⇒ = ax ⇒ a = 27 x x x 160 ⇔ x= y= 3 b) Ta có: x + ≥ x = x ; y + ≥ y = y ; z + ≥ z = z ( ) ( ) ⇒ x + y + z ≥ x + y + z − ⇒ VT ≥ x + y + z − + x + y + z Tương tự: x3 + x ≥ x3 x = x ; y + y ≥ y y = y ; z + z ≥ z z = z ( ) ( ) ( ) ⇒ x + y + z ≥ x + y + z − ( x + y + z ) ⇒ VT ≥ x + y + z − ( x + y + z ) + x + y + z − ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ VT ≥ x + y + z − ( x + y + z ) + x + y + z − ≥ x + y + z − ( x + y + z ) + 3.3 − ⇒ VT ≥ x + y + z − ( x + y + z ) + Mà: x + ≥ x = x ; y + ≥ y = y ; z + ≥ z = z ⇒ x + y + z ≥ ( x + y + z ) − ⇒ VT ≥ ( x + y + z ) − − ( x + y + z ) + = ( x + y + z ) + (đpcm) Câu (1,0 điểm) 2 a) Tìm tất số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn phương trình: x − x + y = ( xy + 1) b) Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x ; y thỏa mãn x3 + y − p = xy − Tìm giá trị lớn p Lời giải: 2 2 2 a) Ta có: x − x + y = ( xy + 1) ⇔ x − x + y = xy + ⇔ x − xy + y + y − x = ⇔ ( x − y ) − x + y − y + + y = ⇔ ( x − y ) − ( x − y ) + ( y − 1) = ⇔ ( x − y ) − ( x − y ) + + ( y − 1) = 2 ( ⇔ ( x − y − 1) + ( y − 1) = = + 22 2 2 ) x − y −1 = x − y −1 = y −1 = y −1 = ⇔ ∨ ∨ ∨ y −1 = y − = −2 x − y − = −2 x − y − = x = x = y =1 y =1 ⇔ ∨ ∨ ∨ y = y = −1 x = x = Vậy ( x ; y ) = ( ; 3) ; ( 0; −1) ; ( ; 1) ; ( ; 1) b) Ta có: x3 + y − p = xy − ⇔ p = x3 + y − xy + ⇔ p = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) − xy + 3 ⇔ p = ( x + y ) + 8 − 3xy ( x + y + ) ⇔ p = ( x + y + ) ( x + y ) − ( x + y ) + − 3xy ( x + y + ) = p ⇒ ( x + y ) − ( x + y ) + − xy = Do số nguyên tố nên: ( x + y ) − ( x + y ) + − 3xy = (Vì: x ; y ∈ ¢ + ⇒ x + y + ≥ ) ⇒ ( x + y ) − ( x + y ) + − 3xy = ⇔ x + xy + y − x − y − xy = −3 ⇔ x − xy + y − x − y = −3 ⇔ x − xy + y − x − y = −12 ⇔ ( x − y ) + y − ( x − y ) + − 12 y + 12 = ( ⇔ ( x − y − ) + ( y − ) = = 12 + 3.12 2 ) 2 x − y − = 2 x − y − = 2 x − y − = −1 2 x − y − = −1 ⇔ ∨ ∨ ∨ y − =1 y − = −1 y − =1 y − = −1 x = x = x = x = ⇔ ∨ ∨ ∨ y = y =1 y = y =1 x = ⇒ p = ( KTM ) TH1: y = x = ⇒ p = ( TM ) TH2: y =1 x = ⇒ p = ( TM ) TH3: y = x = ⇒ p = ( KTM ) TH4: y =1 Vì: p số nguyên tố lớn ⇒ p = Vậy p = thỏa mãn yêu cầu toán -Hết -