Tiểu luận Thiết kế lọc số và mã hóa băng con

LỜI MỞ ĐẦU Quá trình lọc tín hiệu (Filtering) nhằm tiến hành việc phân bố lại các thành phần tần số của tín hiệu. Quá trình này được thực hiện thông qua các bộ lọc (Filters). Dựa trên dãy đáp ứng xung của bộ lọc, có hai kiểu bộ lọc được quan tâm trong quá trình thiết kế đó là: Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn, còn gọi là bộ lọc FIR và Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài vô hạn, còn gọi là bộ lọc IIR. Bộ lọc số FIR có ưu điểm nổi bật là pha tuyến tính. Nói một cách khác, bộ lọc FIR pha tuyến tính đảm bảo được cùng một độ trễ với các nhóm tần số, mỗi nhóm là một tập hợp các tần số lân cận nào đó. Thực nghiệm cho thấy tai người về phần nào đó có khảnăng nhận biết được trễ nhóm của tín hiệu âm thanh. Bộ lọc có đáp ứng xung chiều dài vô hạn, hay bộ lọc số IIR, không đảm bảo được tính chất này.Tuy nhiên, trong những trường hợp pha tuyến tính không phải là yêu cầu bắt buộc trong thiết kế thì việc lựa chọn bộ lọc IIR được ưu tiên hơn. Để tìm hiểu kỹ hơn về bộ lọc IIR, nhóm chúng tôi đã thực hiện tiểu luận này gồm phần lý thuyết về bộ lọc IIR và kiểm tra một số ứng dụng của bộ lọc này Nội dung tiểu luận chia làm 2 phần Chương I: Giới thiệu chủ đề nghiên cứu Chương II: Kiểm tra đánh giá các ứng dụng của bộ lọc IIR Xin chân thành cảm ơn Th.s Ngô Văn Sỹ đã hướng dẫn giúp tôi hoàn thành tiểu luận này. Đà Nẵng, 15 tháng 03 năm 2013 Học viên Phạm Hoàng Phương-Mai Thị Kim Liên MỤC LỤC Chương I: GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ NGHIÊN CỨU 1 1.Tổng quan về thiết kế lọc IIR 1 1.1 Cơ sở tổng hợp bộ lọc IIR 2 1.1.1 Thiết kế bộ lọc tương tự 4 1.1.1.1. Bộ lọc Butterworth 4 1.1.1.2. Bộ lọc Chebyshev 5 1.1.1.3. Bộ lọc Eliptic 8 1.1.2. Phương pháp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự. 8 1.1.2.1. Phương pháp bất biến xung (Impulse Invariance Transformation): 8 1.1.2.2. Phương pháp biến đổi song song tuyến (Bilinear Transformation) 9 1.1.2.3 Phương pháp tương đương vi phân 10 1.2. Cấu trúc bộ lọc số IIR 10 1.2.1. Cấu trúc dạng trực tiếp 10 1.2.2. Cấu trúc dạng nối tiếp 12 1.2.3. Cấu trúc dạng song song 13 Chương II: KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CÁC ỨNG DỤNG BỘ LỌC IIR 14 1. Bộ lọc đa pha 14 1.1 Chi phí tính toán hiệu quả (Cost Efficiency) 15 1.2 Thiết kế bộ lọc nửa băng Dyadic (Dyadic Halfband Designs) 17 Thiết kế bộ lọc nửa băng pha tuyến tính Quasi và bộ lọc nửa băng Dyadic 18 1.4 Bộ lọc cố định điểm (Fixed-Point Robustness) 19 2. Octave-Band and Fractional Octave-Band Filters 20 2.2 Phân tích phổ của nhiễu trắng 22 2.3 Phân tích phổ của nhiễu hồng 24 3. Thiết kế bộ chỉnh âm thanh theo thông số 26 3.1 Một vài thiết kế cơ bản 27 3.2 Thiết kế dựa vào tham số chất lượng 29 3.3 Thiết kế dựa vào băng thông 31 3.4 Bộ chỉnh âm theo thông số tại tần số cắt 32 3.5 Thiết kế bậc tối thiểu 34 3.6 Bộ lọc đa tần thông thấp và đa tần thông cao 35 3.7 Specifying Low and High Frequencies 37 3.8 Bộ chỉnh âm theo thông số dạng nối tiếp 38 3.9 Thiết kế bộ lọc truyền thống 40 4. Thiết kế bộ lọc Peak và Notch 41 4.1 Cở sở lý thuyết. 41 4.1.1 Bộ lọc dải khấc (Notch Filter) 41 4.1.2 Bộ lọc đỉnh (Peaking Filters) 43 4.2 Chương trình thiết kế bộ lọc Peak Filter và Notch Filter 43 4.2.1 Bộ lọc dải khấc (Notch Filter) 43 4.3.2 Bộ lọc đỉnh (Peaking Filters) 48 5. Thiết kế bộ lọc IIR với một độ trễ nhóm quy định. 49 5.1 Cơ sở lý thuyết 49 5.1.1 Thời gian trễ 49 5.1.2 Hàm độ trễ nhóm trong matlab 52 5.2 Chương trình thiết kế bộ lọc IIR với một độ trễ nhóm quy định. 52 5.2.1. Thiết kế một bộ lọc định nhóm trễ đường viền 53 5.2.2 Thiết kế một bộ lọc Lowpass Elliptic với trễ nhóm cân bằng 55 5.2.3 Cân bằng dải thông cho bộ lọc thông dải Chebyshev 56 5.2.4 Cân bằng dải thông cho bộ lọc chắn dải Chebyshev. 57 PHÂN CHIA NHIỆM VỤ BÁO CÁO PHẦN CHUNG Chương I: GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ NGHIÊN CỨU PHẦN RIÊNG Chương II: KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CÁC ỨNG DỤNG BỘ LỌC IIR 1. Bộ lọc đa pha Mai Thị Kim Liên 2. Octave-Band and Fractional Octave-Band Filters Mai Thị Kim Liên 2. Thiết kế bộ chỉnh âm thanh theo thông số Mai Thị Kim Liên 4. Thiết kế bộ lọc Peak và Notch Phạm Hoàng Phương 5. Thiết kế bộ lọc IIR với một độ trễ nhóm quy định Phạm Hoàng Phương Chương I: GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Tổng quan về thiết kế lọc IIR Lọc số là một trong những kỹ thuật phổ biến của xử lý tín hiệu số. Cùng với sự phát triển rực rỡ của công nghệ vi mạch điện tử số đã làm tăng hiệu quả của các bộ lọc số, các hệ thống số giúp tối ưu được các tham số của bộ lọc. Một hệ thống dùng làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho được gọi là bộ lọc số. Có 2 bộ lọc số là bộ lọc số có đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn FIR và bộ lọc số có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn IIR. Với bộ lọc FIR thì ưu điểm là có pha tuyến tính và ổn định nhưng nhược điểm là muốn có đáp ứng tần số tốt thì chiều dài bộ lọc phải lớn, chi phí tính toán cao. Đối với bộ lọc IIR thì chi phí tính toán thấp và thực hiện hiệu quả theo kiểu cascade. Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vô hạn, vì vậy chúng có thể khớp với các bộ lọc analog , mà nói chung đều có đáp ứng xung dài vô hạn. Kỹ thuật cơ bản để thiết kế lọc IIR là biến đổi các bộ lọc analog điển hình thành các bộ lọc digital sử dụng các ánh xạ giá trị-phức. Sự thuận tiện của kỹ thuật này là ở chỗ có sẵn các bảng thiết kế lọc analog và các ánh xạ được mở rộng trong thư viện. Có 3 phương pháp chính để chuyển từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số tương đương - Phương pháp bất biến xung - Phương pháp biến đổi song tuyến - Phương pháp tương đương vi phân Với điều kiện đã tổng hợp được Ha(s) Để tìm hàm truyền đạt Ha(s) người ta có 3 phương pháp sau - Butterworth - Chebyshev - Elip 1.1 Cơ sở tổng hợp bộ lọc IIR

LỜI MỞ ĐẦU

Quá trình lọc tín hiệu (Filtering) nhằm tiến hành việc phân bố lại các thành phầntần số của tín hiệu Quá trình này được thực hiện thông qua các bộ lọc (Filters) Dựatrên dãy đáp ứng xung của bộ lọc, có hai kiểu bộ lọc được quan tâm trong quá trìnhthiết kế đó là: Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn, còn gọi là bộ lọc FIR và

Bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài vô hạn, còn gọi là bộ lọc IIR

Bộ lọc số FIR có ưu điểm nổi bật là pha tuyến tính Nói một cách khác, bộ lọcFIR pha tuyến tính đảm bảo được cùng một độ trễ với các nhóm tần số, mỗi nhóm làmột tập hợp các tần số lân cận nào đó Thực nghiệm cho thấy tai người về phần nào đó

có khảnăng nhận biết được trễ nhóm của tín hiệu âm thanh Bộ lọc có đáp ứng xungchiều dài vô hạn, hay bộ lọc số IIR, không đảm bảo được tính chất này.Tuy nhiên,trong những trường hợp pha tuyến tính không phải là yêu cầu bắt buộc trong thiết kếthì việc lựa chọn bộ lọc IIR được ưu tiên hơn

Để tìm hiểu kỹ hơn về bộ lọc IIR, nhóm chúng tôi đã thực hiện tiểu luận này gồmphần lý thuyết về bộ lọc IIR và kiểm tra một số ứng dụng của bộ lọc này

Nội dung tiểu luận chia làm 2 phần

Chương I: Giới thiệu chủ đề nghiên cứu

Chương II: Kiểm tra đánh giá các ứng dụng của bộ lọc IIR

Xin chân thành cảm ơn Th.s Ngô Văn Sỹ đã hướng dẫn giúp tôi hoàn thành tiểu luậnnày

Đà Nẵng, 15 tháng 03 năm 2013

Học viên Phạm Hoàng Phương-Mai Thị Kim Liên

MỤC LỤC

Chương I: GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ NGHIÊN CỨU 1

1.Tổng quan về thiết kế lọc IIR 1

1.1 Cơ sở tổng hợp bộ lọc IIR 2

1.1.1 Thiết kế bộ lọc tương tự 4

1.1.1.1 Bộ lọc Butterworth 4

1.1.1.2 Bộ lọc Chebyshev 5

1.1.1.3 Bộ lọc Eliptic 8

1.1.2 Phương pháp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự .8

1.1.2.1 Phương pháp bất biến xung (Impulse Invariance Transformation): 8

1.1.2.2 Phương pháp biến đổi song song tuyến (Bilinear Transformation) 9

1.1.2.3 Phương pháp tương đương vi phân 10

1.2 Cấu trúc bộ lọc số IIR 10

1.2.1 Cấu trúc dạng trực tiếp 10

1.2.2 Cấu trúc dạng nối tiếp 12

1.2.3 Cấu trúc dạng song song 13

Chương II: KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CÁC ỨNG DỤNG BỘ LỌC IIR 14

1 Bộ lọc đa pha 14

1.1 Chi phí tính toán hiệu quả (Cost Efficiency) 15

1.2 Thiết kế bộ lọc nửa băng Dyadic (Dyadic Halfband Designs) 17

Thiết kế bộ lọc nửa băng pha tuyến tính Quasi và bộ lọc nửa băng Dyadic 18

1.4 Bộ lọc cố định điểm (Fixed-Point Robustness) 19

2 Octave-Band and Fractional Octave-Band Filters 20

2.2 Phân tích phổ của nhiễu trắng 22

2.3 Phân tích phổ của nhiễu hồng 24

3 Thiết kế bộ chỉnh âm thanh theo thông số 26

3.1 Một vài thiết kế cơ bản 27

3.2 Thiết kế dựa vào tham số chất lượng 29

3.3 Thiết kế dựa vào băng thông 31

3.4 Bộ chỉnh âm theo thông số tại tần số cắt 32

3.5 Thiết kế bậc tối thiểu 34

3.6 Bộ lọc đa tần thông thấp và đa tần thông cao 35

3.7 Specifying Low and High Frequencies 37

3.8 Bộ chỉnh âm theo thông số dạng nối tiếp 38

3.9 Thiết kế bộ lọc truyền thống 40

4 Thiết kế bộ lọc Peak và Notch .41

4.1 Cở sở lý thuyết .41

4.1.1 Bộ lọc dải khấc (Notch Filter) 41

4.1.2 Bộ lọc đỉnh (Peaking Filters) 43

4.2 Chương trình thiết kế bộ lọc Peak Filter và Notch Filter 43

4.2.1 Bộ lọc dải khấc (Notch Filter) 43

4.3.2 Bộ lọc đỉnh (Peaking Filters) 48

5 Thiết kế bộ lọc IIR với một độ trễ nhóm quy định .49

5.1 Cơ sở lý thuyết 49

5.1.1 Thời gian trễ 49

5.1.2 Hàm độ trễ nhóm trong matlab 52

5.2 Chương trình thiết kế bộ lọc IIR với một độ trễ nhóm quy định .52

5.2.1 Thiết kế một bộ lọc định nhóm trễ đường viền 53

5.2.2 Thiết kế một bộ lọc Lowpass Elliptic với trễ nhóm cân bằng 55

5.2.3 Cân bằng dải thông cho bộ lọc thông dải Chebyshev 56

5.2.4 Cân bằng dải thông cho bộ lọc chắn dải Chebyshev .57

PHÂN CHIA NHIỆM VỤ BÁO CÁO

PHẦN CHUNG

Chương I: GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ NGHIÊN CỨU

PHẦN RIÊNG

Chương II: KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CÁC ỨNG DỤNG BỘ LỌC IIR

1 Bộ lọc đa pha Mai Thị Kim Liên

2 Octave-Band and Fractional Octave-Band Filters Mai Thị Kim Liên

2 Thiết kế bộ chỉnh âm thanh theo thông số Mai Thị Kim Liên

4 Thiết kế bộ lọc Peak và Notch Phạm Hoàng Phương

5 Thiết kế bộ lọc IIR với một độ trễ nhóm quy định Phạm Hoàng Phương

Chương I: GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Tổng quan về thiết kế lọc IIR

Lọc số là một trong những kỹ thuật phổ biến của xử lý tín hiệu số Cùng với sựphát triển rực rỡ của công nghệ vi mạch điện tử số đã làm tăng hiệu quả của các bộ lọc

số, các hệ thống số giúp tối ưu được các tham số của bộ lọc Một hệ thống dùng làmbiến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đãcho được gọi là bộ lọc số Có 2 bộ lọc số là bộ lọc số có đáp ứng xung có chiều dàihữu hạn FIR và bộ lọc số có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn IIR Với bộ lọc FIR thì

ưu điểm là có pha tuyến tính và ổn định nhưng nhược điểm là muốn có đáp ứng tần sốtốt thì chiều dài bộ lọc phải lớn, chi phí tính toán cao Đối với bộ lọc IIR thì chi phítính toán thấp và thực hiện hiệu quả theo kiểu cascade Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vôhạn, vì vậy chúng có thể khớp với các bộ lọc analog , mà nói chung đều có đáp ứngxung dài vô hạn

Kỹ thuật cơ bản để thiết kế lọc IIR là biến đổi các bộ lọc analog điển hình thành các bộlọc digital sử dụng các ánh xạ giá trị-phức Sự thuận tiện của kỹ thuật này là ở chỗ cósẵn các bảng thiết kế lọc analog và các ánh xạ được mở rộng trong thư viện

Có 3 phương pháp chính để chuyển từ bộ lọc tương tự sang bộ lọc số tương đương

- Phương pháp bất biến xung

- Phương pháp biến đổi song tuyến

- Phương pháp tương đương vi phân

Với điều kiện đã tổng hợp được Ha(s)

Để tìm hàm truyền đạt Ha(s) người ta có 3 phương pháp sau

ra đến một điểm bên trong hệ thống để ngõ ra phụ thuộc vào ngõ vào và ngõ ra trước

nó Khi ta nói một lọc IIR hoặc lọc đệ qui thường có nghĩa như nhau

Phương trình tín hiệu của lọc IIR có dạng như sau

Với ak , bk là những hệ số lọc Theo lý thuyết, N, M có thể là vô hạn

Lọc IIR thì hiệu quả hơn lọc FIR trong độ nhạy, vì một bộ lọc IIR có ít hệ số hơn cóthể cho đáp ứng biên độ tần số bằng với một lọc FIR có nhiều hệ số hơn Tuy nhiênlọc IIR có hai mặt nhược điểm

- Chúng có thể không ổn định nếu những hệ số của nó chọn không thích hợp

- Chúng có thể có pha không tuyến tính và vì vậy nó không phù hợp cho một số ứngdụng lọc

Xét pha tuyến tính, ta biết rằng hàm truyền H(z) của lọc pha tuyến tính phải thỏa mãn

sự liên hệ

Với z-N là trễ của N mẫu Sự liên hệ này ngụ ý rằng ở đây có một cực ảo bên ngoàiđường tròn đơn vị với mỗi cực bên trong, ngược lại điều kiện để lọc ổn định và nhânquả là tất cả các cực của nó phải nằm bên trong đường tròn đơn vị Điều này có nghĩarằng lọc ổn định và nhân quả không thể có pha tuyến tính Nếu không yêu cầu nhânquả, lọc IIR có thể có pha tuyến tính nhưng trong trường hợp này lọc FIR thì thuận lợihơn

Trong khi thiết kế lọc FIR không có lợi cho bất kỳ phương pháp thiết kế tương

tự, thì lọc IIR là phù hợp từ mặt phẳng tương tự s đến mặt phẳng số z Vì vậy, phươngpháp thiết kế IIR thì giống như nguyên mẫu tương tự chẳng hạn: Butterworth,Chebyshev, hoặc lọc elliptic Hai phương pháp thiết kế là biến đổi xung bất biến vàbiến đổi song tuyến Bên cạnh đó, IIR có thể được thiết kế bằng phương pháp đặt cựckhông như lọc FIR, hoặc cũng bằng phương pháp bình phương tối thiểu trong miền số.Những thông số được áp dụng vào lọc tương tự và được ký hiệu như Ωp, Ωc, Ωs.p, Ωp, Ωc, Ωs.c, Ωp, Ωc, Ωs.s.Đáp ứng biên độ có thể diễn tả ở dạng tuyến tính hoặc thang dB với

Ví dụ đáp ứng được chuẩn hóa biên độ là 1 tương ứng với 0 dB, (ứng với -3dB) Ta gọi Ωp, Ωc, Ωs.p là tần số cạnh dải thông, Ωp, Ωc, Ωs.s là tần số cạnh dải chắn, Ωp, Ωc, Ωs.c là tần số cắt(hoặc tần số -3 dB ) Độ gợn sóng dải thông δp và độ suy hao dải chắn δs được tính ởthang dB như sau

1.1.1 Thiết kế bộ lọc tương tự

1.1.1.1 Bộ lọc Butterworth

Lọc Butterworth là lọc tương tự phổ biến nhất Nó có độ bằng phẳng lớn nhất tại tần

số (Ωp, Ωc, Ωs = 0) và tăng đều trong dải thông và dải chắn Nó không có độ gợn sóng, băngthông chuyển tiếp (giữa dải thông và dải chắn) thì ngắn và đáp ứng pha không tuyếntính (Chebyshev và elliptic cũng có đáp ứng pha không tuyến tính) Hình 1.1 chỉ đápứng biên độ tần số được chuẩn hóa của lọc Butterworth Bậc bộ lọc cao hơn gần vớiđáp ứng lý tưởng

Hình 1.1 Đáp ứng biên độ được chuẩn hóa của lọc Butterworth thông thấp

Biểu thức tổng quát của hàm truyền với bậc N của lọc lọc Butterworth là

Hàm có N điểm cực và không có điểm không Với một lọc thông thấp có hai đối số lọc

để thiết kế là bậc N và tần số cắt (hoặc -3 dB) Ωp, Ωc, Ωs.c Bình phương biên độ hàm truyền là

Bình phương của đáp ứng biên độ tần số có được bằng cách thay s bằng jΩΩp, Ωc, Ωs

Lọc Butterworth có độ phẳng lớn nhất vì đáp ứng biên độ của nó bằng không tại tần số

Ωp, Ωc, Ωs =0 Vì lọc Butterworth không có độ gợn sóng, đối số δp và δs được xem là sự suygiảm Những điểm cực của đáp ứng bình phương hàm truyền được cho bởi

Đáp ứng biên độ của lọc Chebyshev (cũng gọi là lọc Cauer) có một độ chuyển tiếp hẹp

so với Butterworth có cùng bậc lọc, và nó gợn sóng (độ gợn sóng giống nhau từ đỉnhnày sang đỉnh khác) trong cùng dải thông hoặc dải chắn (Chebyshev loại 2) Bìnhphương của hàm truyền và đáp ứng biên độ tần số của Chebyshev-1 bậc N là

Với là đa thức Chebyshev-1 của loại đầu tiên của bậc N, Ωp, Ωc, Ωs.c là tần

số cắt thuộc đối số độ gợn sóng Hàm truyền của lọc Chebyshev bậc N cũng có N cực,nhưng không nằm trên đường tròn mặt phẳng s như trong trường hợp của Butterworthnhưng nằm trên ellipse Biểu thức của đa thức Chebyshev-1 có bậc không và cao hơnlà

Hình1.2 vẽ đáp ứng biên độ bình phương chuẩn hóa của lọc Chebyshev-1 của bậc lẻ.Như ta thấy, nó gợn sóng trong dải thông và đều trong dải chắn Tại tần số bằng 0,biên độ chuẩn hóa là 1.Với lọc Chebyshev-1 có bậc chẵn giá trị này là 1/(1+εε2) Số độgợn sóng bằng nhau với bậc Độ gợn sóng xuất hiện giữa mức cao 1 và mứcthấp1/(1+εε2) Khoảng cách giữa hai mức là bình phương dải thông độ gợn sóng đỉnhđến đỉnh

Từ trên ta có tại cạnh dải thông đáp ứng

Và tại cạnh dải chắn đáp ứng là

Chebyshev loại 1 có bậc lẻ (trong trường hợp này N = 5) Với bậc chẵn, đáp ứng bắtđầu tại mức thấp 1/(1+εε2) nhưng sau một vài dao động, sẽ đạt đến mức cao 1 trước khirơi nhanh

Hình 1.2 : Chebyshev loại 1 có bậc lẻ (N=5)

Hàm truyền của lọc Chebyshev-1 chỉ có cực nằm bên trái của một ellipse có tâm tạigốc, trục chính dọc theo trục ảo jΩω, và trục ảo dọc theo trục thực σ Kích thước củaellipse phụ thuộc đối số độ gợn sóng Độ gợn sóng càng nhỏ độ chuyển tiếp càng rộng.Với độ gợn sóng zero, lọc Chebyshev trở thành lọc Butterworth

Lọc Chebyshev loại 2 (Chebyshev-2) hàm truyền có cả cực và không Đáp ứng biên

độ bắt đầu tại 1 và giảm đều trong dải thông, và gợn sóng trong dải chắn Bình phươngđáp ứng biên độ được cho bởi biểu thức

Hình 1.3 Bình phương đáp ứng biên độ của lọc thông thấp Chebyshev-2

1.1.1.3 Bộ lọc Eliptic

Lọc Chebyshev có một độ chuyển tiếp ngắn hơn lọc Butterworth vì nó cho phép độgợn sóng trong cả dải thông và dải chắn và vì vậy có độ chuyển tiếp nhỏ nhất giữa cáclọai lọc có cùng bậc lọc Biểu thức của hàm truyền và đáp ứng tần số của lọc ellipticthì giống với lọc Chebyshev:

Với những đối số độ gợn sóng ε giống như trong trường hợp Chebyshev, và làhàm Jacobian elliptic function có bậc N

Thiết kế của lọc elliptic thì phức tạp hơn lọc Chebyshev

1.1.2 Phương pháp tổng hợp bộ lọc số IIR từ bộ lọc tương tự.

1.1.2.1 Phương pháp bất biến xung (Impulse Invariance Transformation):

Bản chất phương pháp bất biến xung là phép biến hình sao cho dãy đáp ứng xung của

bộ lọc số chính là hàm đáp ứng xung của bộ lọc tương tự được lấy mẫu ở các điểm rờirạc Phép biến hình cho ta công thức đổi biến:

với: z là biến số độc lập của hàm H(z) trên miền Z

s là biến số độc lập của hàm Ha(s) trên miền S

T là chu kỳ lấy mẫu của hàm đáp ứng xung hệ thống tương tự

Mối quan hệ giữa hàm truyền đạt H(z) ở miền Z và hàm truyền đạt Ha(s) ở miền sđược cho bởi công thức sau:

Hình 1.4: Ánh xạ từ mặt phẳng s lên mặt phẳng z

• Các nửa sọc ngang dài vô hạn có bề rộng và nằm ở nửa bên trái mặt phẳng Sđược ánh xạ vào bên trong đường tròn đơn vị trên mặt phẳng Z theo nguyên tắc nhiều -một

• Bởi phép biến hình ánh xạ toàn bộ nửa mặt phẳng bên trái của mặt phẳng S vào bêntrong đường tròn đơn vị của mặt phẳng Z nên nó bảo toàn tính ổn định của hệ thống(dựa trên phân bố của các điểm cực)

• Nếu như bộ lọc tương tự là thông thấp lý tưởng và chu kỳ lấy mẫu đủ nhỏ để:

thì không có hiện tương chồng phổ (aliasing) Tuy nhiên bộ lọc thông thấp thực tếkhông thể có phổ hữu hạn nên hiện tượng chồng phổ gây ra bởi phép biến hình vẫnxảy ra

1.1.2.2 Phương pháp biến đổi song song tuyến (Bilinear Transformation)

Bản chất của phép biến đổi song tuyến là phép biến hình dựa trên nguyên tắc đưaphương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng đặc trưng cho một hệ thống tương tự về

gần đúng một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, mà phương trình sau cóthể đặc trưng cho một hệ thống số Phép biến hình cho ta công thức đổi biến:

• Phép biến hình này ánh xạ toàn bộ nửa bên trái mặt phẳng S vào bên trong đườngtròn đơn vị trên mặt phẳng Z trên nguyên tắc một - một nên nó bảo toàn tính ổn địnhcủa hệ thống

• Mặt khác nguyên tắc ánh xạ một - một từ mặt phẳng S đến mặt phẳng Z cho phéphoàn toàn không xảy ra hiện tượng chồng phổ

1.1.2.3 Phương pháp tương đương vi phân (Approximation of Derivatives

Transformation)

Phương pháp này dựa trên việc thiết lập một sự tương ứng giữa định nghĩa của vi phân

và định nghĩa của sai phân Phép biến hình cho ta công thức đổi biến:

• Phép biến hình ánh xạ toàn bộ nửa bên trái mặt phẳng S vào bên trong đường tròntâm (½,0) bán kính R = ½

• Phép biến hình ánh xạ toàn bộ nửa bên trái mặt phẳng S vào bên trong đường trònđơn vị trên mặt phẳng Z nên nó bảo toàn tính ổn định của hệ thống

• Tuy nhiên tập hợp các điểm cực của hệ thống bị co lại trong một phạm vi nhỏ nên cóthể dẫn tới hiện tượng cộng hưởng ở phạm vi tần số nào đó

1.2 Cấu trúc bộ lọc số IIR

Để xét cấu trúc của bộ lọc số ta có thể dựa vào phương trình sai phân hoặc hàm truyềnđạt tương đương Cũng như bộ lọc FIR, bộ lọc IIR cũng có các cấu trúc như cấu trúctrực tiếp, cấu trúc nối tiếp, cấu trúc song song, cấu trúc dàn…

1.2.1 Cấu trúc dạng trực tiếp

Hàm truyền đạt hữu tỷ đặc trưng cho bộ lọc IIR

Có thể xem như 2 hệ nối tiếp

Trong đó H1(z) chứa các điểm không, H2(z) chứa các điểm cực

Biểu diễn cấu trúc trực tiếp loại I như hình 1.4

Hình 1.5: Cấu trúc trực tiếp loại I

Cấu trúc này đòi hỏi M+εN+ε1 ô nhớ

Hình 1.5 biểu diễn cấu trúc trực tiếp loại II

Hình 1.6: Cấu trúc trực tiếp loại II (N=M)

Cấu trúc này đòi hỏi M+εN+ε1 phép nhân, M+εN phép cộng và cực đại {M,N} ô nhớ Vìcấu trúc trực tiếp loại II tối thiểu được số ô nhớ nên nó được xem là chính tắc

1.2.2 Cấu trúc dạng nối tiếp

Ta phân tích hệ thành các hệ con bậc 2 nối tiếp Giả thiết N ≥ M thì H(z) sẽ được biểudiễn dưới dạng

Hk(z) có dạng tổng quát

Hình 1.7: Cấu trúc nối tiếp các hệ thống bậc hai

Hình 1.8: Cấu trúc nối tiếp thể hiện mỗi mắt bậc hai

1.2.3 Cấu trúc dạng song song

Cấu trúc song song được hình thành từ biểu diễn phân thức của H(z) Nếu N ≥ M vàcác cực phân biệt nhau

Pk là các cực, Ak là hệ số trong khai triển phân thức, C = bN/aN

Hình 1.8: Cấu trúc song song

Chương II: KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CÁC ỨNG DỤNG BỘ LỌC IIR

1 Bộ lọc đa pha

Bộ lọc đa pha với cấu trúc nhiều pha rất hữu hiệu trong việc thực hiện những thuộctính tăng hay giảm nhịp

Cấu trúc nhiều pha:

Nếu bộ lọc H(z) có L hệ số và N cho sẵn, H(z) có thể phân tích thành N thành phầnhay bộ lọc phụ Gk(zN), k=0,1,2…N-1 Số hệ số tối đa trong mỗi bộ lọc phụ sẽ bằng [L/N], ký hiệu[x] để chỉ số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x Ta viết phép phân tích

với nửa dải, băng tần Hilbert và nửa băng đa tốc độ, và các dạng đáp ứng nửa băng đatốc độ cấp 2

1.1 Chi phí tính toán hiệu quả (Cost Efficiency)

Một trong những cách đo chi phí tính toán bộ lọc là xác định có bao nhiêu bộ nhân cầnthiết trên một mẫu đầu vào (MPIS) Khi xem xét MPIS cho trường hợp bộ lọc FIR vàIIR ta thấy:

Fc = 1/16; % Cutoff frequency: 0.0625*pi rad/sample

TW = 0.002; % Transition width: 0.002*pi rad/sample

Ap = 3e-3; % Maximum passband ripple: 0.003 dB

Ast= 80; % Minimum stopband attenuation: 80 dB

Trong hầu hết các trường hợp, nếu ta giảm băng thông tín hiệu, thì cũng nên giảm tốc

độ lấy mẫu để cải thiện chi phí tính toán Một cách đạt được hiệu quả khi thiết kế bộlọc IIR là thông qua việc dùng kỹ thuật đa tốc độ, đa trạng thái Thiết kế này cho kết

quả trong 4 bộ lọc IIR nửa băng dạng nối tiếp Bộ lọc nửa băng cực kì hiệu quả bởi vì

Phương pháp này đạt được chi phí tính toán thấp hơn cấu trúc trực tiếp loại II, bởi vì

nó chỉ yêu cầu có 23.8125 bộ MPIS trong khi thiết kế bộ lọc IIR Eliptic thông thường

là dùng 38 MPIS

Vì thế bộ lọc IIR eliptic đa pha có nhiều ưu điểm hơn

Thực thi bộ lọc đa pha Eliptic là tạo ra 2 bộ lọc con IIR toàn pha Thiết kế này ưu điểmhơn kỹ thuật đa tốc độ

1.2 Thiết kế bộ lọc nửa băng Dyadic (Dyadic Halfband Designs)

Vì tần số cắt của bộ lọc là nghịch đảo của 2 lần công suất, ta có thể dùng kỹ thuật đatốc độ đa trạng thái dựa vào bộ lọc IIR nửa băng như thiết kế với bộ lọc FIR trước đó

Thiết kế đa tốc độ đa trạng thái có thể giảm nhanh 2.5 MPIS Bắt đầu với thiết kếEliptic tối ưu cổ điển mà yêu cầu 38MPIS, chúng ta có thể giảm chi phí tính toánxuống 18MPIS bằng cách dùng một bộ lọc con toàn băng dạng nối tiếp đơn tốc độ vàsau đó chỉ còn 2.5 MPIS bằng cách dùng bộ lọc IIR nửa băng đa tốc độ

Nếu chúng ta dùng đáp ứng biên độ của bộ lọc đa trạng thái đa tốc độ FIR và IIR, thì 2

bộ lọc này trông rất giống nhau và cả hai đều có những đặc điểm thấy rõ

hfvt = fvtool(Hmfirpoly,Hmiirpoly,'Color','white');

legend(hfvt, 'Multirate/Multistage FIR Polyphase',

'Multirate/Multistage IIR Polyphase')

fvtool(Hmfirpoly,Hmiirpoly,'Color','white');

title('Passband Magnitude Response (dB)')

axis([0 0.0677 -0.0016 0.0016])

Kiểm tra kỹ sẽ thấy là độ gợn trong miền thông dải của bộ lọc IIR cao hơn bộ lọc FIR.

Vì vậy tiết kiệm chi phí tính toán

1.3 Thiết kế bộ lọc nửa băng pha tuyến tính Quasi và bộ lọc nửa băng Dyadic

(Quasi-Linear Phase Halfband and Dyadic Halfband Designs)

Bằng cách thay đổi cấu trúc dùng để thực thi mỗi bộ lọc nửa băng IIR, nó có thể đạtđược hầu hết pha tuyến tính dùng lọc IIR Điều này sẽ làm tiêu tốn chi phí tính toángiảm xuống trong pha (giảm trong việc tự thiết kế )

title('Passband Group delay')

legend(hfvt, 'Linear-Phase FIR', 'Quasi-Linear Phase IIR')

Tuy nhiên, những thiết kế này đạt được đặc tính pha rất tốt và hiệu quả cao hơn so vớithiết kế nửa băng pha tuyến tính FIR

1.4 Bộ lọc cố định điểm (Fixed-Point Robustness)

Bộ lọc đa pha IIR có thể được thực thi bằng nhiều cách Chúng ta có bộ lọc toàn dảinối tiếp đa tốc độ và đơn tốc độ Bây giờ ta sử dụng phép biến đổi Hilbert cho một ví

dụ Một bộ lọc IIR Hilbert gần như có pha tuyến tính với độ rộng dải chuyển tiếp là0.02pi (rad/mẫu) và độ gợn sóng dải thông cực đại là 0.1dB có thể được thực thi nhưmột bộ lọc nối tiếp chỉ dùng 10 MPIS so với bộ lọc FIR tương đương dùng 133 MPIS

Bộ lọc số có thể chứng minh sự hiệu quả thậm chí khi điểm cực nằm gần đường trònđơn vị Chúng vốn đã ổn định, lại có đặc tính nhiễu vòng thấp và không giới hạn sốvòng Để chuyển đổi bộ lọc IIR Hilbert thành bộ lọc điểm cố định ta có thể dùng lệnhrealizemdl và công cụ mô phỏng điểm cố định

Bộ lọc IIR có tính truyền thống khi xem xét nhiều hiệu quả hơn bộ lọc FIR, đó là nóyêu cầu chi phí hiệu quả nhỏ hơn đối với những tiêu chí kỹ thuật của bộ lọc

Công cụ thiết kế lọc FIR hiện đại tận dụng được kỹ thuật tốc độ/đa pha có tính lấp chỗtrống trong khi cung cấp đáp ứng pha tuyến tính với một mật độ tốt đến hiệu quả

lượng tử hóa và sự vắng mặt của tính ổn định và vấn đề vòng giới hạn khi thực thi bộlọc cố định điểm

Tuy nhiên bộ lọc đa pha IIR có hầu hết những ưu điểm mà bộ lọc FIR có và yêu cầu số

bộ nhân ít để thực thi chúng

2 Octave-Band and Fractional Octave-Band Filters

Bộ lọc băng quãng tám và bộ lọc băng quãng tám phân đoạn thường được dùng trong

âm học ví dụ như trong điều khiển nhiễu để thực thi việc phân tích phổ Nhà âm họcthích làm việc với quãng tám hay phân đoạn (thường 1/3) quãng tám bởi vì nó cho trịtrung bình lớn của công suất nhiễu trong dải băng tần khác nhau

2.1 Design of a Full Octave-Band and a 1/3-Octave-Band Filter Banks

(Thiết kế bộ lọc băng quãng tám đầy đủ và bộ lọc băng quãng tám 1/3)

Một quãng tám là một khoảng thời gian giữa hai tần số có tỉ số 2:1 Một bộ lọc băngquãng tám hay bộ lọc băng quãng tám phân đoạn là một bộ lọc thông dải được xácđịnh bởi tần số trung tần và bậc của nó Giới hạn suy giảm biên độ tín hiệu được xácđịnh dựa vào tiêu chuẩn trong dải thông trong bộ lọc lớp 1 cho phép +ε/-3dB và bộ lọclớp 2 cho phép +ε/-5dB Mức suy hao dải chắn từ 60->75dB phụ thuộc vào lớp của bộlọc

Thiết kế một bộ lọc băng quãng tám đầy đủ

2.2 Phân tích phổ của nhiễu trắng (Spectral Analysis of White Noise)

Tai người cảm nhận được độ lớn của âm thanh theo mức tăng loga hơn là tuyến tínhnhưng việc phân tích DFT trong miền tần số lại thể hiện theo dạng tuyến tính Việctính toán DFT có nghĩa là xác định phổ bình phương trung bình của tín hiệu nhiễutrắng dùng phương pháp Welch

rand('state',0); Nx = 100000;

xw = randn(Nx,1);

2.3 Phân tích phổ của nhiễu hồng (Spectral Analysis of Pink Noise)

Trong khi nhiễu trắng có phân bố công suất giống nhau tại mọi tần số thì nhiễu hồng

có sự phân bố công suất tại mỗi octave, vì vậy công suất giữa 0.5Hz và 1Hz là như

nhau so với giữa 5000Hz và 10000Hz Để tính phổ bình phương trung bình của nhiễuhồng ta dùng phương pháp Welch

3 Thiết kế bộ chỉnh âm thanh theo thông số (Parametric Equalizer Design)

Equaliser (EQ) là một thiết bị được thiết kế nhằm làm thay đổi tính chất âm thanh khi

âm thanh đi qua nó Nó còn được hiểu là bộ cân bằng âm thanh EQ sử dụng nhiều bộlọc điện tử mà mỗi cái làm việc theo nguyên lý tăng giảm tín hiệu của từng dải tần Cónhiều loại EQ khác nhau và mỗi loại lại có những nút điều khiển khác nhau làm chúng

ta khó phân biệt

Bộ chỉnh âm thanh theo thông số(Parametric Equalizer) là bộ lọc số dùng trong việcđiều chỉnh tần số của tín hiệu âm thanh Bộ chỉnh âm này cung cấp tính năng đặc biệthơn các bộ chỉnh âm đồ họa như điều chỉnh hệ số khuếch đại (độ lợi), tần số trung tâm

và băng thông của mỗi bộ lọc Trong khi đó bộ chỉnh âm đồ họa chỉ cho phép điềuchỉnh hệ số khuếch đại (độ lợi) của mỗi bộ lọc

Thông thường các bộ chỉnh âm được thiết kế là những bộ lọc IIR bậc 2 Những bộ lọcnày có mặt không thuận lợi bởi vì nó có bậc thấp, nó cho độ gợn lớn hay vùng chuyểntiếp và có thể chồng lấp nhau khi nhiều bộ lọc được kết nối ở dạng song song

3.1 Một vài thiết kế cơ bản (Some Basic Designs)

Quan sát 2 dạng thiết kế của bộ chỉnh âm Thiết kế chung là giống nhau ngoại trừ bậc

bộ lọc Thiết kế 1 là dạng chỉnh thông số bậc 2 mà tăng tín hiệu trong khoảng từ 0.5pirad/mẫu bởi 6dB Thiết kế 2 không giống với một trong 4 kiểu bộ lọc cơ bản