Đang tải... (xem toàn văn)
‘Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Trường PTDL Hermann Gmeiner là tài liệu tham khảo được TaiLieu.VN sưu tầm để gửi tới các em học sinh đang trong quá trình ôn thi, giúp học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học và nâng cao kĩ năng giải đề thi. Chúc các em học tập và ôn thi hiệu quả!
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA 2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Mơn: TỐN TRƯỜNG PTDL HERMANN GMEINER Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có trang) Họ tên thí sinh:…………………………………………… MÃ ĐỀ: 001 Số báo danh:………………………………………………… Mỗi câu trả lời 0,2 điểm ĐỀ BÀI Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y − z + = Vectơ sau vectơ pháp tuyến ( P) ? A n= B n= C n3 = ( −2;1;3) D.= n4 ( 3;1; − ) (1; − 2;1) ( 3; − 2;1) Câu Số cách xếp người thành hàng ngang Câu A A42 B 44 C C44 Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị đường cong hình bên D 4! y x O 2 Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm sau đây? A (2;0) Câu Tập xác định hàm số y = x A ( 0; + ∞ ) Câu B (0; 2) D (0; −2) C ( −∞ ;0 ) D ( −∞ ; + ∞ ) B [ 0; + ∞ ) a ∫ f ( x ) dx = B −a Câu C (−2;0) Cho hàm số f ( x ) liên tục a số thực dương Khẳng định đúng? A Câu ∫ f ( x ) dx = −a C a ∫ f ( x ) dx = D a ∫ f ( x ) dx = a Thể tích khối cầu có bán kính R A π R B π R 3 Môđun số phức z= − 3i C 4π R D A C 25 D B π R2 Câu Giá trị ∫ x dx B ln C ln D 3ln Câu Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua điểm M ( 3; − 1; ) có vectơ phương = u ( 4;5; − ) có phương trình A ln x + y −1 z + A = = −7 x −4 y −5 z +7 C = = −1 x+4 B = x −3 D = Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a = ( 2;3; ) và= b A ( −1; − 2;3) y+5 z −7 = −1 y +1 z − = −7 (1;1; − 1) Véctơ a − b có toạ độ C ( 3; 4;1) D (1; 2;3) B ( 3;5;1) Câu 11 Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h Thể tích V khối lăng trụ cho tính theo cơng thức đây? 1 A V = Bh B V = Bh C V = 3Bh D V = Bh Câu 12 Điểm M hình bên biểu diễn số phức sau đây? y M O A z3 =−2 + 3i B z2= − 3i x C z1= + 2i D z4 = − 2i Câu 13 Thể tích khối trụ có chiều cao h = bán kính đáy r = B 9π C 15π A 6π Câu 14 Hàm số sau có đồ thị đường cong hình bên dưới? D 18π y x O A y =x − x + B y = − x4 + x2 + C y = − x3 + 3x + Câu 15 Trong không gian Oxyz , điểm thuộc đường thẳng d : A N ( −1;0;1) B Q ( −2; −1; −2 ) C M ( 2;1; ) D y =x − x + x −1 y z +1 = = ? 2 D P (1;0; −1) Câu 16 Nghiệm phương trình 3x = D x = log Câu 17 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục k số thực khác Khẳng định A x = 37 B x = log C x = đúng? A ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx B ∫ kf ( x ) dx= k + ∫ f ( x ) dx f ( x ) dx k∫ Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình bên C ∫ kf ( x ) dx = ∫ k dx.∫ f ( x ) dx D ∫ kf ( x ) dx = y O x 2 Hàm số cho đồng biến khoảng sau đây? A ( −∞;0 ) B ( 2; +∞ ) C ( −2; ) D ( 0; ) Câu 19 Với a số thực dương, log a10 A 10a B 10 + log a C 10 log a D log a 10 Câu 20 Cho hai số phức z1= + 3i z2 = − 2i Số phức z1.z2 A 12 + 5i B −5i C − 6i D 5i Câu 21 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đạt cực đại B x = −6 C x = A x = −1 Câu 22 Họ nguyên hàm của hàm số f ( x= ) x − 3x A C ∫ x3 3x f ( x ) dx = − +C B ∫ f ( x ) dx =x3 − x + C D D x = ∫ f ( x ) dx = ∫ 2x − + C f ( x ) dx = x3 − 3x + C 2x − đường thẳng có phương trình x +1 A x = B x = −1 C x = −2 D x = Câu 24 Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho A B 24 C 12 D 72 Câu 23 Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = Câu 25 Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (1;0; − ) bán kính R = có phương trình A ( x − 1) + y + ( z + ) = 2 B ( x − 1) + y + ( z + ) = 16 2 C ( x + 1) + y + ( z − ) = D ( x + 1) + y + ( z − ) = 16 2 Câu 26 Số nghiệm nguyên bất phương trình log ( x − 1) + log (14 − x ) ≥ A B C A B C D Câu 27 Cho log a = , giá trị log a2 ( 5a ) Câu 28 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0; 2] thỏa mãn D 15 ∫ f ( x ) dx = Giá trị tích phân π ∫ f ( 2sin x ) cos xdx A −6 B −3 C D C −4 D Câu 29 Giá trị lớn hàm số f (= x ) x − x đoạn [ 0; 2] A B x − x + x + nghịch biến khoảng đây? A ( −∞;3) B (1; +∞ ) C ( −3;1) Câu 30 Hàm số y = D (1;3) Câu 31 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có tất cạnh Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACC ′A′ ) A B Câu 32 Cho số phức z= (1 + 2i ) C Số phức z i A −3 + 4i B − i C + 3i Câu 33 Cho cấp số cộng ( un ) biết= u1 5,= u2 Giá trị u4 A 17 B 11 = Câu 34 Tập xác định hàm số y log ( x − 1) C 14 A ( −∞; − 1) ∪ (1; + ∞ ) B ( −1;1) C ( −∞; − 1] ∪ [1; + ∞ ) D [ −1;1] D D − 3i D 13 Câu 35 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x ( x − 1)( x + 3) Hàm số đạt cực đại điểm A x = B x = C x = D x = −3 Câu 36 Một hộp chứa cầu gồm màu xanh, màu đỏ màu vàng Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Xác suất để cầu lấy có màu đỏ 19 17 16 A B C D 28 42 21 1 f ′( x) , ∀x ∈ −∞; f (−1) = Biết F ( x) Câu 37 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm= 3 − 3x 1 nguyên hàm f ( x) thỏa mãn F (−1) = Giá trị F 4 14 B C − A 27 27 Câu 38 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = 1, AD = AA =' D 54 Gọi M , N trung điểm A ' B ' BC Góc hai đường thẳng MN AC B 600 C 300 D 900 A 450 Câu 39 Trên tập hợp số phức, biết z0 = − 2i nghiệm phương trình z + az + b = Giá trị a + b A B −19 C −7 D 19 Câu 40 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên y O Số nghiệm phương trình f f ( x ) = A B x C D Câu 41 Có số nguyên x thỏa mãn ( x − 10.3x + + 729 ) ln 30 − ln ( x ) ≥ ? A 97 B 96 C 98 D 99 Câu 42 Cho khối nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O , bán kính R Trên đường tròn ( O ) lấy hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông Biết diện tích tam giác SAB 2R Thể tích khối nón cho 14 14 14 14 π R3 π R3 π R3 π R3 A B C D 12 Câu 43 Trong không gian Oxyz , giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x + y + z − =0 có phương trình (β ) : x − y − z + = x =−1 + t A y = + 2t z = t x =−1 + t B y = − 2t z = 3t x = t C y = −t z= − t x = −t D y = 2t z = − 3t x − y −1 z Câu 44 Trong không gian Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d : = = cắt −1 trục Ox , Oy A B cho đường thẳng AB vng góc với d Phương trình mặt phẳng ( P ) A x + y + z − = B x − y − = C x + y − z − = D x + y + z − = Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữa nhật,= AB 2,= AD , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc đáy, khoảng cách hai đường thẳng AB SC Tính thể tích khối chóp S ABCD A 16 B 16 C 24 D Câu 46 Cho ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + , trục hoành trục tung Đường thẳng d qua A ( 0; ) có hệ số góc k ( k ∈ ) chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích Giá trị k B −2 A −8 C −4 D −6 Câu 47 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′( x)= x − x + f (0) = Có số nguyên 2 m ∈ ( −2021; 2022 ) để hàm số g ( x) = f ( x) + f ( x) + m có điểm cực trị? A 2021 B 2020 C 2022 D 4042 Câu 48 Cho số phức w, z thỏa mãn w + i = 5w = ( + i )( z − ) Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i + z − − 2i A B 53 C 13 D + 13 Câu 49 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + z = hai điểm A(1; 2; 4) , B(0;0;1) Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + = (a, b, c ∈ ) qua A, B cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Giá trị a + b + c 33 27 31 B C D A − 5 Câu 50 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn 2.3x −1 − log ( 3x − + y ) = y − x + 2022−1 ≤ y ≤ 2022 ? A 13 B 15 C D HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên giám thị 1: ….……………………Chữ ký: ………………………… Họ tên giám thị 2: ….……………………Chữ ký: ………………………… BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.B 21.A 31.A 41.D 2.D 12.A 22.A 32.C 42.A 3.A 13.D 23.B 33.C 43.B 4.A 14.B 24.A 34.A 44.A 5.D 15.D 25.B 35.C 45.D 6.A 16.D 26.B 36.D 46.D 7.A 17.A 27.A 37.A 47.A 8.A 18.D 28.C 38.B 48.B 9.D 19.C 29.B 39.A 49.A 10.D 20.A 30.D 40.A 50.C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu [ Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y − z + = Vectơ sau vectơ pháp tuyến ( P) ? A n= B n= C n3 = ( −2;1;3) D.= n4 ( 3;1; − ) (1; − 2;1) ( 3; − 2;1) Vectơ pháp tuyến ( P) là= n4 Câu Lời giải ( 3;1; − ) [ Mức độ 1] Số cách xếp người thành hàng ngang A A42 B 44 C C44 D 4! Lời giải Câu Số cách xếp người thành hàng ngang số hoán vị phần tử: P4 = 4! [ Mức độ 1] Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị đường cong hình bên y x O 2 Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm sau đây? A (2;0) B (0; 2) C (−2;0) D (0; −2) Lời giải Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm (2;0) Câu [ Mức độ 1] Tập xác định hàm số y = x A ( 0; + ∞ ) B [ 0; + ∞ ) C ( −∞ ;0 ) D ( −∞ ; + ∞ ) Lời giải Hàm số y = x hàm số lũy thừa với số mũ = α Vậy tập xác định hàm số cho ( 0; + ∞ ) Câu 5 ∉ nên điều kiện xác định x > [ Mức độ 1] Cho hàm số f ( x ) liên tục a số thực dương Khẳng định đúng? A a ∫ −a f ( x ) dx = B ∫ f ( x ) dx = C a ∫ f ( x ) dx = −a D a ∫ f ( x ) dx = a Lời giải Theo tính chất tích phân ta có a ∫ f ( x ) dx = a Giải thích: Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) Ta có: Câu a ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a a a = F (a) − F (a) = [ Mức độ 1] Thể tích khối cầu có bán kính R A π R B π R C 4π R 3 D π R2 Lời giải Theo lý thuyết cơng thức tính thể tích khối cầu có bán kính R Câu Mơđun số phức z= − 3i A B π R3 C 25 D Lời giải Ta có z= − 3i ⇒ = z Câu Giá trị ∫ x dx 42 + ( −3)= A ln B ln C ln D 3ln Lời giải Ta có ∫ x dx = ln x Câu 5 = ln − ln = ln Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua điểm M ( 3; − 1; ) có vectơ phương = u ( 4;5; − ) có phương trình x + y −1 z + A = = −7 x −4 y −5 z +7 C = = −1 x+4 y+5 z −7 B = = −1 x − y +1 z − D = = −7 Lời giải Đường thẳng qua điểm M ( 3; − 1; ) có vectơ phương = u x − y +1 z − tắc là: = = −7 Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a = ( 2;3; ) và= b A ( −1; − 2;3) B ( 3;5;1) ( 4;5; − ) có phương trình (1;1; − 1) Véctơ a − b có toạ độ C ( 3; 4;1) D (1; 2;3) Lời giải Ta có: a − b = ( − 1;3 − 1; + 1) ⇒ a − b = (1; 2;3) Câu 11 Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h Thể tích V khối lăng trụ cho tính theo cơng thức đây? 1 A V = Bh B V = Bh C V = 3Bh D V = Bh Lời giải Thể tích V khối lăng trụ cho tính theo công thức V = Bh Câu 12 Điểm M hình bên biểu diễn số phức sau đây? y M O A z3 =−2 + 3i B z2= − 3i x C z1= + 2i D z4 = − 2i Lời giải Dựa vào hình vẽ ta có M ( −2;3) , suy điểm M ( −2;3) điểm biểu diễn số phức z3 =−2 + 3i Câu 13 Thể tích khối trụ có chiều cao h = bán kính đáy r = A 6π B 9π C 15π D 18π Lời giải Thể tích khối trụ = = V π= r h π 18π Câu 14 Hàm số sau có đồ thị đường cong hình bên dưới? y x O A y =x − x + B y = − x4 + x2 + C y = − x3 + 3x + D y =x − x + Lời giải Đồ thị đồ thị hàm số trùng phương có hệ số a < nên chọn đáp án B x −1 y z +1 Câu 15 Trong không gian Oxyz , điểm thuộc đường thẳng d : = = ? 2 A N ( −1;0;1) B Q ( −2; −1; −2 ) C M ( 2;1; ) D P (1;0; −1) Lời giải Thế tọa độ điểm P (1;0; −1) vào phương trình đường thẳng d , ta có đề nên điểm P (1;0; −1) thuộc đường thẳng d − −1 + mệnh = = 2 Câu 16 Nghiệm phương trình 3x = A x = 37 B x = log C x = D x = log Lời giải Phương trình 3x = ⇔ x = log Câu 17 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục k số thực khác Khẳng định đúng? 10 Câu 22 [ Mức độ 1] Họ nguyên hàm của hàm số f ( x= ) x − 3x A C ∫ x3 3x f ( x ) dx = − +C B ∫ f ( x ) dx =x3 − x + C D ∫ f ( x ) dx = ∫ 2x − + C f ( x ) dx = x3 − 3x + C Lời giải Họ nguyên hàm của hàm số f ( x= ) x − 3x ∫ x3 3x f ( x ) dx =∫ ( x −3 x ) dx = − + C 2x − đường thẳng có phương trình x +1 C x = −2 D x = Câu 23 [ Mức độ 1] Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = B x = −1 Lời giải 2x − 2x − 2x − có đường = −∞, lim− = +∞ Nên hàm số y = x →−1 x →−1 x +1 x +1 x +1 tiệm cận đứng x = −1 Câu 24 [ Mức độ 1] Cho khối chóp có diện tích đáy B = chiều cao h = Thể tích khối chóp cho A B 24 C 12 D 72 Ta có: lim+ Lời giải 1 Thể tích khối chóp cho là= V = Bh = 6.4 3 Câu 25 Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (1;0; − ) bán kính R = có phương trình A ( x − 1) + y + ( z + ) = B ( x − 1) + y + ( z + ) = 16 C ( x + 1) + y + ( z − ) = D ( x + 1) + y + ( z − ) = 16 2 2 2 2 Lời giải Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm I (1;0; −2 ) bán kính R = có phương trình ( x − 1) + y2 + ( z + 2) = 16 Câu 26 Số nghiệm nguyên bất phương trình log ( x − 1) + log (14 − x ) ≥ A B C D Lời giải x − > ⇔1< x < Điều kiện xác định: 14 − x > Với điều kiện trên, ta có: log ( x − 1) + log (14 − x ) ≥ ⇔ − log ( x − 1) + log (14 − x ) ≥ ⇔ log (14 − x ) ≥ log ( x − 1) ⇔ 14 − x ≥ x − ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện ta thấy có nghiệm ngun bất phương trình cho 2;3; 4;5 12 Câu 27 Cho log a = , giá trị log a2 ( 5a ) A B C D 15 Lời giải log a2 ( 5a )= 1 1 log a ( 5a )= log a + log a a )= ( log a + 3)= ( + 3)= ( 2 2 Câu 28 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0; 2] thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Giá trị tích phân π ∫ f ( 2sin x ) cos xdx A −6 B −3 C D Lời giải Đặt t = 2sin x ⇒ = dt cos xdx ⇔= dt cos xdx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = π ∫ π ⇒ t = 2 f ( 2sin= x ) cos xdx = f ( t ) dt ∫0 Câu 29 Giá trị lớn hàm số f (= x ) x − x đoạn [ 0; 2] A B C −4 D Lời giải Hàm số f (= x ) x − x liên tục đoạn [ 0; 2] x = Ta có f ′ ( x ) = x − 6, f ′ ( x ) = 0⇔ x =−1 ∉ [ 0; 2] f (1) = −4, f ( ) = 0, f ( ) = Suy giá trị lớn hàm số đoạn [ 0; 2] f ( ) = x3 − x + x + nghịch biến khoảng đây? A ( −∞;3) B (1; +∞ ) C ( −3;1) Câu 30 Hàm số y = D (1;3) Lời giải x3 Xét hàm số y = − x + x + Tập xác định: D = x = y′ =x − x + 3, y′ =0 ⇔ x = Bảng biến thiên 13 Dựa vào BBT, suy hàm số nghịch biến khoảng (1;3) Câu 31 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có tất cạnh (tham khảo hình bên dưới) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACC ′A′ ) A B C D Lời giải Trong mặt phẳng ( ABC ) kẻ BH ⊥ AC Vì ABC A′B′C ′ hình lăng trụ tam giác A′A ⊥ ( ABC ) ⇒ A′A ⊥ BH BH ⊥ AC , BH ⊥ A′A Vậy AC , A′A ⊂ ( ACC ′A′ ) ⇒ BH ⊥ ( ACC ′A′ ) ⇒ d ( B, ( ACC ′A′ ) ) = BH AC ∩ A′A = A BH ∆ ABC cạnh nên = = 14 Câu 32 Cho số phức z= (1 + 2i ) A −3 + 4i Số phức B − i z i C + 3i D − 3i Lời giải z −3 + 4i = =4 + 3i i i Câu 33 Cho cấp số cộng ( un ) biết= u1 5,= u2 Giá trị u4 Ta có: z =(1 + 2i ) =−3 + 4i ⇒ A 17 B 11 C 14 D 13 Lời giải Ta có ( un ) cấp số cộng nên u2 =u1 + d ⇔ =5 + d ⇔ d =3 Vậy u4 =u1 + 3d =5 + 3.3 = 14 Câu 34 Tập xác định hàm số y log ( x − 1) = A ( −∞; − 1) ∪ (1; + ∞ ) B ( −1;1) C ( −∞; − 1] ∪ [1; + ∞ ) D [ −1;1] Lời giải ( −∞; − 1) ∪ (1; + ∞ ) f ′ ( x ) = x ( x − 1)( x + 3) Hàm số đạt cực đại TXĐ: x − > ⇔ x < −1 v x > Vậy tập xác định: D = Câu 35 [ Mức độ 2] Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm điểm A x = B x = C x = D x = −3 Lời giải Ta có bảng xét dấu f ′ ( x ) : Từ bảng xét dấu f ′ ( x ) ta thấy hàm số đạt cực đại điểm x = Câu 36 [ Mức độ 3] Một hộp chứa cầu gồm màu xanh, màu đỏ màu vàng Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Xác suất để cầu lấy có màu đỏ 16 19 17 A B C D 21 28 42 Lời giải Không gian mẫu Ω bao gồm cách lấy tùy ý cầu từ cầu hộp nên ta có n ( Ω ) =C93 Gọi A biến cố “trong lấy có màu đỏ ” Khi ta có ( ) A biến cố “ không lấy màu đỏ nào”, n A = C63 ( ) = Từ P A C63 16 = Suy P ( A ) = C9 21 21 15 f ′( x) Câu 37 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm= 1 , ∀x ∈ −∞; f (−1) = Biết F ( x) 3 − 3x 1 nguyên hàm f ( x) thỏa mãn F (−1) = Giá trị F 4 14 A B C − 27 27 D 54 Lời giải Ta có f ( x) = ∫ Mà f (−1)= dx = − − x + C1 − 3x 2 ⇔ − − 3(−1) + C1= ⇔ C1= 3 Khi f ( x) = − − x + 3 Lại có F ( x) =∫ − − x + dx =∫ − (1 − 3x ) + dx = (1 − 3x ) + x + C2 27 Mà F (−1) = ⇔ Vậy F ( x)= 22 (1 + 3) − + C2 = ⇔ C2 = 27 27 4 22 − x ( ) + x + ⇒ F = 27 27 4 Câu 38 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = 1, AD = AA =' Gọi M , N trung điểm A ' B ' BC Góc hai đường thẳng MN AC A 450 B 600 C 300 D 900 Lời giải D' C' M A' B' D C N A Xét tam giác ABC vuông B ⇒ AC= P B AB + BC 2= Gọi P trung điểm AB NP //AC Khi NP đường trung bình tam giác ABC ⇒ = NP = AC Do NP //AC nên ( MN = , AC ) ( = MN , NP ) MNP Do M , P trung điểm A′B′ AB ⇒ MP = AA′ = 16 MP = = Xét tam giác MNP vng P có tan MNP =3 ⇒ MNP 600 NP Câu 39 [Mức độ 2] Trên tập hợp số phức, biết z0 = − 2i nghiệm phương trình z + az + b = (với a, b ∈ ) Giá trị a + b A B −19 C −7 D 19 Lời giải Phương trình z + az + b = với hệ số thực a, b có nghiệm z1= z0 = − 2i có nghiệm z2 = z1= + 2i Theo định lí Vi-ét ta có: a − = −a z1 + z2 = a = −6 3 − 2i + + 2i =−a ⇔ ⇔ − + = i i b 3 = b b 13 ( )( ) z z= = b Khi a + b =−6 + 13 =7 Câu 40 [Mức độ 3] Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên y O x Số nghiệm phương trình f f ( x ) = A B C D Lời giải f ( x ) = a < −1 Ta có: f f ( x ) = b ∈ ( 0;1) ⇔ f ( x) = f x = c ∈ 1;3 ( ) ( ) y O y=c y=b x y=a Phương trình f ( x ) = a < −1 có nghiệm Phương trình f ( x )= b ∈ ( 0;1) có nghiệm 17 Phương trình f ( x )= c ∈ (1;3) có nghiệm Tất các nghiệm khác Vậy phương trình f f ( x ) = có nghiệm Cách khác: Hàm số bậc ba f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c có hai điểm cực trị ( ) x = ±1 , suy f ' ( x ) = 3a ( x − 1)( x + 1) = 3a x − = 3ax − 3a ⇒ f ( x ) = ax − 3ax + d Đồ thị hàm số y = f ( x ) qua điểm A ( −1;3) B (1; −1) nên ta có hệ = 2a + d = a f ( −1) = ⇔ ⇔ ⇒ f ( x ) = x3 − 3x + 1 a d d − + = − = 1 f = − ( ) x = a ≈ −1,8794 Khi f ( x ) = ⇔ x − x + = ⇔ x = b ≈ 0,3473 x= c ≈ 1,5321 f ( x) = a Phương trình f f ( x ) = ⇔ f ( x) = b f x =c ( ) y y=c O 1 y=b x y=a Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f ( x ) = a có nghiệm, phương trình f ( x ) = b có ba nghiệm phương trình f ( x ) = c có nghiệm Vậy phương trình f f ( x ) = có tất nghiệm Câu 41 Có số nguyên x thỏa mãn ( x − 10.3x + + 729 ) ln 30 − ln ( x ) ≥ ? A 97 B 96 C 98 D 99 Lời giải x>0 x >0 Điều kiện: ⇔ ⇔ x ∈ ( 0;100] x ≤ 100 2 ln 30 − ln ( x ) ≥ 0 Suy x = 100 thỏa mãn + Với x = 100 , ( x − 10.3x + + 729 ) ln 30 − ln ( x ) = + Với x ∈ ( 0;100 ) , bất phương trình ( x − 10.3x + + 729 ) ln 30 − ln ( x ) ≥ ⇔ ( 3x ) − 90.3x + 729 ≥ 18 3x ≥ 81 x ≥ ⇔ x ⇔ ⇔ x ∈ ( 0; 2] ∪ [ 4;100 ) x ≤ ≤ ( 0; 2] ∪ [ 4;100] Suy có 99 số nguyên Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm = S x thỏa mãn tốn Câu 42 Cho khối nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O , bán kính R Trên đường trịn ( O ) lấy hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông Biết diện tích tam giác SAB 2R Thể tích khối nón cho 14 14 14 14 π R3 π R3 π R3 π R3 A B C D 12 Lời giải S B I O A ∆OAB vuông O ⇒ AB = R2 + R2 = R Gọi I trung điểm AB Ta có ∆SAB cân S ⇒ SI vng góc với AB S ∆SAB= 2.R 2 AB.SI= R 2 ⇒ SI= = 2R R Ta lại có OI trung tuyến tam giác vuông OAB ⇒ OI = AB R = 2 ∆SOI vuông O ⇒ SO = V = 2 SI − OI = 1 14 R R = π OA2 SO π= 3 R 2 ( R ) − = 14 R 14 π R3 Câu 43 Trong không gian Oxyz , giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x + y + z − =0 có phương trình (β ) : x − y − z + = 19 x =−1 + t A y = + 2t z = t x =−1 + t B y = − 2t z = 3t x = t C y = −t z= − t x = −t D y = 2t z = − 3t Lời giải Gọi= d (α ) ∩ ( β ) Mặt phẳng (α ) ( β ) có VTPT nα = (1; 2;1) nβ = (1; −2;3) n nβ , nα = Suy d có VTPT = (1; −1; −1) Lấy M ∈ (α ) ∩ ( β ) ⇒ M ( −1;1;0 ) ∈ d x =−1 + t Vậy d có phương trình y = − 2t z = 3t x − y −1 z Câu 44 Trong không gian Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d : = = cắt −1 trục Ox , Oy A B cho đường thẳng AB vuông góc với d Phương trình mặt phẳng ( P ) A x + y + z − = B x − y − = C x + y − z − = D x + y + z − = Lời giải M ( 2;1;0 ) ∈ d Ta có d : = − u 1; 2; ( ) d Do A ∈ Ox, B ∈ Oy ⇒ AB ⊂ ( Oxy ) ⇒ u AB ⊥ k = ( 0;0;1) Đường thẳng AB ⊥ d ⇒ u AB ⊥ ud Suy u AB = k , ud = ( −2;1;0 ) d ⊂ ( P ) Do ⇒ nP = u AB , ud = ( −1; − 2; − ) AB ⊂ ( P ) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua M ( 2;1;0 ) nhận véctơ nP = ( −1; − 2; − ) làm véctơ pháp tuyến ( P ) : −1( x − ) − ( y − 1) − ( z − ) = ⇔ x + y + z − = Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữa nhật,= AB 2,= AD , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc đáy, khoảng cách hai đường thẳng AB SC Tính thể tích khối chóp S ABCD A 16 B 16 C 24 D Lời giải 20 S K A D M H B C Gọi H trung điểm AB ta có: ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) AB ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ; SH ⊂ ( SAB ) SH ⊥ AB Gọi M trung điểm CD , ta có: CD ⊥ HM ⇒ CD ⊥ ( SHM ) ; CD ⊂ ( SCD ) ⇒ ( SHM ) ⊥ ( SCD ) theo giao tuyến SM ; CD ⊥ SH Ta có AB //CD ⊂ ( SCD ) ⇒ AB // ( SCD ) ; ⇒ d( AB , SC )= d AB ,( SCD )= d H ,( SCD ) ; HK ; Kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ ( SCD ) ⇒ d H ,( SCD ) = Ta có ∆SHM vuông H , HK đường cao nên 1 1 1 = 2+ ⇒ = − = ⇒ SH =6 ; 2 HK SH HM SH 12 36 Vậy = VS ABCD 1 S= 2.2 3.6 = ABCD SH 3 Câu 46 Cho ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + , trục hoành trục tung Đường thẳng d qua A ( 0; ) có hệ số góc k ( k ∈ ) chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích Giá trị k A −8 B −2 C −4 D −6 Lời giải 21 y P A S1 S2 O B x d Phương trình đường thẳng d : = y kx + Từ hình vẽ, đường thẳng d chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích nên d cắt trục Ox điểm B − ;0 với điều kiện < − < ⇔ k < −2 k k Với x ∈ [ 0; 2] x − x + ≥ S = S1 + S = ∫ | x − x + | dx = Do S1 = S nên S1 = 1 4 = = ⇔k= −6 Ta có: S1 = OA.OB = 2 −k −k 3 Câu 47 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm f ′( x)= x − x + f (0) = Có số nguyên 2 m ∈ ( −2021; 2022 ) để hàm số g ( x) = f ( x) + f ( x) + m có điểm cực trị? A 2021 B 2020 C 2022 D 4042 Lời giải Ta có: f ( x)= 3 x − x2 + x + C Mà f (0) = ⇔ C = Do đó, f ( x)= 3 x − x2 + x Đặt h ( x ) = f ( x) + f ( x) + m h′ = ( x) f ′( x) ( f ( x) + 1) ( x ) f ′( x) f ( x) + f ′= f ′( x) = x = ∨ x =1 h′ ( x ) = ⇔ 0⇔ f ( x) = −1 x = a ≈ −0, 4920 Bảng biến thiên h ( x ) 22 Từ bảng biến thiên, g ( = x) f ( x) + f ( x) + m = h( x) có điểm cực trị m ∈ nên có 2021 giá trị m thỏa yêu cầu ⇔ ≤ −1 + m ⇔ m ≥ Mà m ∈ ( −2021; 2022 ) 5w = Câu 48 Cho số phức w, z thỏa mãn w + i = ( + i )( z − ) Giá trị lớn biểu thức P = z − − 2i + z − − 2i A B 53 C 13 D + 13 Lời giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ) M ( x; y ) biểu diễn cho số phức z Theo đề bài: 5w = ( + i )( z − ) ⇔ ( w + i ) = ( + i ) z − (8 − i ) ⇔ ( w + i ) = ( + i ) z − (8 − i ) ⇔ ( − i )( w + i ) = z − ( − 2i ) ⇔ z − ( − 2i ) = Suy M ( x; y ) thuộc đường tròn tâm I ( 3; − ) bán kính R = Ta có P = z − − 2i + z − − 2i = z − (1 + 2i ) + z − ( + 2i ) = MA + MB với A (1; ) B ( 5; ) Gọi E trung điểm đoạn thẳng AB suy E ( 3; ) IE = ( E nằm ( I ) ) 23 P = MA + MB ≤ (1 + 12 )( MA2 + MB ) = ( MA2 + MB ) = ME + AB = ME + 16 Biểu thức P đạt giá trị lớn độ dài ME lớn hay M , I , E thẳng hàng Khi MEmax =IE + IM =7 IM = EI ⇒ M ( 3; −5 ) 11 − i 5 Câu 49 [Mức độ 4] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + z = hai điểm Vậy biểu thức Pmax= 4.7 + 16 = 53 z= − 5i w= A(1; 2; 4) , B (0;0;1) Mặt phẳng ( P) : ax + by + cz + = (a, b, c ∈ ) qua A, B cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Giá trị a + b + c 33 27 31 A − B C D 5 Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I (−1;1;0) bán kính R = Ta có IA = 21 , IB = nên A nằm ( S ) , B nằm ( S ) Do mặt phẳng ( P) cắt ( S ) theo đường trịn (C ) tâm K bán kính r Gọi M hình chiếu vng góc I đường thẳng AB Ta có IK = d( I , ( P)) r= R − IK Ta có IK ⊥ ( P) ⇒ IK ≤ IM ⇒ r ≥ R − IM Đẳng thức xảy IM ⊥ ( P) Khi n( P ) = ( AB ∧ IA) ∧ AB = (12; −18;8) Vì R; IM khơng đổi nên r có giá trị nhỏ R − IM Khi phương trình mặt phẳng ( P) 12( x − 0) − 18( y − 0) + 8( z − 1) = ⇔ 12 x − 18 y + z − = 27 ⇔ − x + y − z + =0 24 27 Vậy a + b + c =− + − =− 4 Cách 2: Tâm I ( −1;1;0 ) Mặt cầu ( S ) : R = Do IB= 12 + ( −1) + 12= < R= nên mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn giao tuyến ( C ) Gọi H , K hình chiếu vng góc tâm I lên ( P ) đường thẳng AB r bán kính đường trịn giao tuyến ( C ) Ta có r = R − IH = R − d ( I , ( P ) ) Vì d ( I , ( P ) )= IH ≤ IK ⇒ r ≥ R − IK ⇒ rmin = R − IK Dấu “=” xảy H ≡ K hay ( P ) ⊥ IK x = t = : y 2t , ( t ∈ ) Ta có BA = (1; 2;3) , suy AB z = + 3t Do K ∈ AB ⇒ K ( t ; 2t ;1 + 3t ) ⇒ IK =( t + 1; 2t − 1;3t + 1) = ;− ; IK ⊥ AB ⇔ IK BA = ⇔ 1( t + 1) + ( 2t − 1) + ( 3t + 1) = ⇔ t = − Suy IK 7 7 Phương trình mặt phẳng ( P ) qua B nhận nP =( 6; − 9; ) =7.IK làm véctơ pháp tuyến 27 có phương trình ( x − ) − ( y − ) + ( z − 1) =0 ⇔ − x + y − z + =0 25 a = − 27 Khi b = Vậy a + b + c =− 4 c = −3 Câu 50 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn 2.3x −1 − log ( 3x − + y ) = y − x + 2022−1 ≤ y ≤ 2022 ? A 13 B 15 C D Lời giải + Điều kiện 3x − + y > + Phương trình tương đương: 2.3x −1 − log ( 3x −1 + y ) =6 y − x (*) + Đặt: = u log ( 3x −1 + y ) ⇒ 3x −1 += y 3u ⇒ y =3u − 3x −1 Ta có: (*) ⇔ 2.3x −1 − u = 3u − 3x −1 − x ⇔ 3.3x −1 + x = 3u + u ⇔ 3x + x = 3u + u + Hàm f ( t = ) 3t + t đồng biến nên 3x + x = 3u + u ⇔ x = u ⇔ x = log ( 3x −1 + y ) ⇔ 3x −1 + y = 3x ⇔ y = 3x − (thỏa đk 3x − + y > ) + Do 2022−1 ≤ y ≤ 2022 nên 2022−1 ≤ 3x − ≤ 2022 ⇔ log 2022−1 ≤ x − ≤ log 2022 ⇔ log 2022−1 + ≤ x ≤ log 2022 + ⇒ −5 < x < + Do x nguyên, suy x ∈ {−4; −3; ;8} x ∈ {−4; −3; −2; −1;0;1} suy y không nguyên < y= 3x − < x ∈ {2;3; 4;5;6;7;8} suy y nguyên y ∈ {30 ;31 ;32 ;33 ;34 ;35 ;36 } + Vậy có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa YCBT -HẾT - 26