Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 122 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
122
Dung lượng
3,77 MB
Nội dung
LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến thầy hướng dẫn PGS TSKH Lê Văn Hoàng Trong trình học tập nghiên cứu, thầy tận tình hướng dẫn, bảo, động viên nhắc nhở để tơi hồn thành luận án Tôi xin cảm ơn tất thầy, cô môn Vật lý lý thuyết, trường Đại học Khoa học tự nhiên TP HCM truyền thụ kiến thức khoa học suốt q trình tơi tham gia học tập môn Tôi xin cảm ơn Khoa Khoa học bản, trường Đại học Kiến trúc TP HCM tạo thuận lợi công việc thời gian để tơi có thời gian tập trung nghiên cứu hoàn thành luận án Xin cảm ơn anh chị, bạn nhóm nghiên cứu thầy Lê Văn Hồng, đồng nghiệp - người ln bên tơi, hỗ trợ tơi nhiều suốt khóa học trình làm luận văn Xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo sau đại học – Trường Đại học Khoa học tự nhiên TP HCM tận tình hướng dẫn, hỗ trợ thủ tục suốt thời gian học tập nghiên cứu Cảm ơn gia đình ln bên tơi để động viên giúp vững tin học tập nghiên cứu Nguyễn Thành Sơn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án cơng trình nghiên cứu riêng Các kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình mà không tham gia Tác giả Nguyễn Thành Sơn DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT: CERN: Trung tâm nghiên cứu nguyên tử Châu Âu (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) LHC: Máy gia tốc hạt lớn (Large Hadron Collider) RHIC: Máy gia tốc Ion nặng tương đối tính (Relativistic Heavy Ion Collider) MICZ-Kepler: Bài toán chuyển động electron trường Coulomb trường đơn cực từ ba nhà khoa học McIntosh, Cisneros Zwanziger đưa dạng mở rộng toán Kepler MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan Danh mục chữ viết tắt Mục lục Mở đầu Chương 1: Đơn cực từ phép biến đổi Hurwitz 10 1.1 Đơn cực từ 10 1.1.1 Tổng quan đơn cực từ 10 1.1.2 Đơn cực từ Dirac 16 1.1.3 Đơn cực không gian nhiều chiều 18 1.2 Định lý Hurwitz 20 1.3 Các phép biến đổi Hurwitz mối quan hệ với đơn cực 21 1.3.1 Phép biến đổi Levi-Civita 22 1.3.2 Phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel 24 1.3.3 Phép biến đổi Davtyan 26 1.3.4 Phép biến đổi Hurwitz mở rộng 29 Chương 2: Đơn cực SO(8) khơng gian chín chiều 30 2.1 Biến số phụ phép biến đổi Hurwitz mở rộng 31 2.2 Mối liên hệ dao động tử điều hòa 16 chiều nguyên tử hydro chiều 34 2.3 Thế đơn cực SO(8) không gian chín chiều 36 Chương 3: Lời giải giải tích xác cho tốn MICZ-Kepler chín chiều 46 3.1 Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều 47 3.2 Hàm sóng tốn MICZ-Kepler chín chiều 50 3.2.1 Thành phần hàm sóng theo nhóm góc ( , ) 50 3.2.2 Thành phần hàm sóng theo góc 55 3.2.3 Thành phần hàm sóng theo bán kính r 57 3.3 Năng lượng tốn MICZ-Kepler chín chiều 59 3.3.1 Biểu thức lượng 59 3.3.2 Bậc suy biến 60 Kết luận 63 Hướng phát triển 64 Danh mục cơng trình cơng bố 65 Tài liệu tham khảo 66 Phụ lục: Các tính tốn tường minh 76 A1 Phép biến đổi ngược 76 A2 Tính đạo hàm góc theo us , vs 78 A3 Tính tốn dẫn đến biểu thức (2.10) 81 A4 Tính tốn dẫn đến biểu thức (2.14) 83 A5 Hệ toán tử Lˆij hệ tọa độ cầu 109 A6 Giải phương trình siêu bội dạng (3.18) 112 A7 Hệ số Clebsch-Gordan 116 Mở đầu Trường điện từ mô tả thông qua hệ phương trình Maxwell Bằng phép biến đổi đối ngẫu, điện trường biến thiên sinh từ trường ngược lại Tuy nhiên, nguồn sinh hai trường không tuân theo quy luật tương tự Điện trường có nguồn điện tích cịn từ trường khơng có nguồn phát tường minh (thơng lượng từ qua mặt kín ln khơng) Điều làm tính đối ngẫu điện-từ Dirac người giải vấn đề mặt lý thuyết Năm 1931, Dirac đưa “từ tích” vào cơng trình kết luận lượng tử hóa từ tích liên quan chặt chẽ với lượng tử điện tích thơng qua phương trình lượng tử hóa Dirac [25] Tương tự trường tĩnh điện, từ trường từ tích gây có tính chất: (i) thơng lượng từ xun qua mặt kín khác khơng (ii) trường có đối xứng cầu O(3) Dựa tính chất đơn cực từ Dirac, năm 1978, Yang mở rộng đơn cực Dirac cho khơng gian chiều qua mơ hình tương tác trường gauge SU(2) với hạt có isospin [95] Tính chất trường đơn cực Yang là: (i) thơng lượng trường qua mặt kín khơng gian chiều chứa đơn cực khác không (ii) trường có đối xứng cầu O(5) Chúng ta gọi đơn cực mở rộng đơn cực Dirac đơn cực Yang có tính chất tương tự Với kết Yang, mở rộng đơn cực từ cho không gian nhiều chiều nhu cầu tự nhiên tiến hành số cơng trình [59, 93] Một điều đặc biệt mà nhiều cơng trình nghiên cứu đơn cực Dirac, Yang mở rộng có liên hệ mật thiết với phân thớ khơng gian Hopf [102-103] lý thuyết Tô-pô tồn số đại số học [101] Năm 1935, Hopf khẳng định tồn trường hợp phân thớ không gian (0th ) : S S , S S S (1st ) : S S , (2nd ) : S S (3rd ) : S 15 S Sau đó, năm 1980, đơn cực Dirac-U(1), Yang-SU(2) xây dựng từ phân thớ Hopf thứ [85, 54] phân thớ Hopf thứ hai [55] Đơn cực không gian chiều đề xuất [28, 11] ứng trường hợp cuối phân thớ Hopf Một hướng tiếp cận khác, đại số học, năm 1898, Hurwitz chứng minh khẳng định tồn bốn số đại số chia chuẩn hóa số thực, số phức, số siêu phức bội (quarternion) số siêu phức bội (octonion) [101] tương ứng với bốn trường hợp định lý Hurwitz Các trường hợp lần cụ thể hóa phép biến đổi thiết lập mối liên hệ tốn dao động tử điều hịa h chiều toán nguyên tử hydro 2h1 chiều h 1, 2,3, tương ứng với phép biến đổi Levi-Civita [104] h 1 , Kustaanheimo-Stiefel [40] h , Davtyan [24] h 3 Hurwitz mở rộng [47] h Một điều thú vị phép đổi Kustaanheimo-Stiefel, Davtyan làm xuất đơn cực Dirac Yang toán nguyên tử hydro chiều Theo logic trên, trường hợp h ứng với phép biến đổi Hurwitz mở rộng, xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối tốn dao động tử điều hịa 16 chiều tốn ngun tử hydro chiều kỳ vọng tìm thấy đơn cực dạng mở rộng đơn cực Dirac Yang không gian chiều Năm 2009, xây dựng phép biến đổi Hurwitz mở rộng với biến số góc đưa Sử dụng phép biến đổi chúng tơi kết nối tốn dao động tử điều hịa 16 chiều tốn ngun tử hydro chiều Chúng tơi hình dung đơn cực ẩn toán Tiếp theo xác định rõ đơn cực tính chất chúng, kỳ vọng đơn cực mở rộng Dirac Yang không gian chiều Như vậy, việc mở rộng đơn cực Dirac có phương pháp tiếp cận chính: thứ mở rộng trực tiếp dựa tính chất đơn cực Dirac, thứ hai sử dụng phân thớ Hopf cuối sử dụng phép biến đổi Hurwitz Nội dung nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng để xây dựng đơn cực từ khơng gian chiều Tính chất nghiên cứu để khẳng định đơn cực mở rộng Dirac Yang không gian chiều Bài toán MICZ-Kepler chiều Zwanziger, McIntosh Cisneros xây dựng từ năm 60 [56, 99] cách mở rộng toán Kepler thêm vào hệ trường đơn cực từ Dirac Đây toán quan trọng khảo sát nhiều phương pháp khác vài thập niên qua đến quan tâm [13-14, 17-18, 38-39, 69, 73] Hàm sóng, lượng tốn giải phương pháp khác [13, 17-18, 39] Sự có mặt đơn cực Dirac tốn MICZ-Kepler khơng ảnh hưởng đến đối xứng khơng gian SO(3) đối xứng động lực SO(4,2) tốn Kepler Bài tốn có đối xứng ẩn SO(4) vector Runge-Lenz giống tốn Kepler chiều thơng thường Cùng với việc mở rộng đơn cực không gian nhiều chiều, toán MICZKepler mở rộng khảo sát không gian nhiều chiều [12, 60, 63, 93] Tuy nhiên, tốn MICZ-Kepler khơng gian khơng gian chiều, chiều có vị trí đặc biệt, tương đương với tốn dao động tử điều hịa chiều [29, 46, 64], chiều [24, 66] Nếu đơn cực không gian chiều xây dựng thành cơng phép biến đổi Hurwitz mở rộng tốn MICZ-Kepler khơng gian chiều tương đương với tốn dao động tử điều hịa 16 chiều Theo định lý Hurwitz phân thớ Hopf, toán MICZ-Kepler chiều trường hợp cuối hệ thống toán MICZ-Kepler Bài toán MICZKepler chiều mô tả chuyển động hạt mang điện trường Coulomb với có mặt trường đơn cực không gian chiều Khảo sát toán khảo sát tác động trường đơn cực lên nguyên tử hydro chiều Việc khảo sát toán MICZ-Kepler chiều làm cho việc nghiên cứu đơn cực không gian chiều trọn vẹn Mục tiêu luận án mở rộng đơn cực Dirac Yang không gian chiều thông qua việc xây dựng tường minh phép biến đổi Hurwitz mở rộng kết nối toán dao động tử điều hịa 16 chiều tốn ngun tử hydro không gian chiều làm xuất dạng tường minh đơn cực SO(8) Đồng thời dạng mở rộng đơn cực Dirac Yang Thế đơn cực tìm đưa vào tốn Kepler khơng gian chiều gọi toán MICZ-Kepler chiều Hàm sóng lượng bậc suy biến toán MICZ-Kepler chiều nghiên cứu làm rõ tác động trường đơn cực toán Mục tiêu thực thơng qua nội dung nghiên cứu sau: - Tìm hiểu tổng quan đơn cực từ Dirac mở rộng khơng gian nhiều chiều q trình tìm kiếm đơn cực từ - Tìm hiểu định lý quan trọng đại số học định lý Hurwitz Sử dụng phép biến đổi thuộc định lý kết nối toán dao động tử điều hịa tốn ngun tử hydro làm xuất đơn cực không gian chiều chiều - Xây dựng tường minh phép biến đổi trường hợp cuối định lý Hurwitz gọi phép biến đổi Hurwitz mở rộng Sử dụng phép biến đổi kết nối toán dao động tử điều hịa 16 chiều tốn ngun tử hydro chiều làm xuất đơn cực SO(8) dạng mở rộng đơn cực Dirac Yang - Đưa đơn cực SO(8) vào toán nguyên tử hydro chiều ta có tốn MICZ-Kepler chiều Từ ta tìm hàm sóng lượng toán Kết cho hiểu rõ tác động trường đơn cực lên toán Cấu trúc luận án: Ngoài phần mở đầu kết luận, luận án gồm ba chương: Chương 1: Đơn cực từ phép biến đổi Hurwitz Chương gồm ba phần Phần giới thiệu tổng quan đơn cực từ Dirac mở rộng khơng gian nhiều chiều q trình tìm kiếm đơn cực từ giới khoa học Phần hai giới thiệu định lý Hurwitz, định lý quan trọng đại số học quy định tồn bốn số đại số chia chuẩn hóa: số thực, số phức, số siêu phức bội số siêu phức bội Dựa định lý này, tổng hợp phép biến đổi sử dụng để thiết lập mối liên hệ toán nguyên tử hydro dao động tử điều hòa Xây dựng tranh hoàn chỉnh mối liên hệ tốn dao động tử điều hịa toán hydro nhiều chiều làm xuất đơn cực Dirac đơn cực Yang Từ đường xây dựng tổng quát hóa đơn cực nêu không gian chiều Lý giải không gian chiều, chiều chiều đặc biệt khơng gian có số chiều khác 4( )ts vs ut x7 4v 2 4v sin cos u8 u7 x7 3 3 x8 cot sin x5 cot cos x6 r x9 2 cos 2 / cos 2 / cot sin 1 x1 cot cos 1 x2 sin 3 / sin 3 / cot 1 sin 2 / sin 2 / sin x3 cot cos x4 sin 3 / sin 3 / x7 Nhóm số hạng chứa thành phần đạo hàm theo x8 : 1 4(8 )ts vs ut 1x8 1 1 16 tan u1v8 u2 v7 u3v6 u4 v5 cot u5v4 u6v3 u7 v2 u8v1 r x9 2 1x8 r x9 3 3 2 2 cos sin sin(1 ) sin cos sin( ) x1 2 2 cos sin cos(1 ) sin cos cos( ) x2 2 2 cos cos sin(1 ) sin sin sin( ) x3 2 2 3 3 2 2 cos cos cos(1 ) sin sin cos( ) x4 2 2 1x8 4(8 )ts vs 16 r x9 2 ut 2 x8 cot 2 / tan 2 / 2 u1v8 u2v7 u3v6 u4v5 cos 1 / cos 1 / 2x8 105 2 4(8 )ts vs sin(1 ) x5 cos(1 ) x6 ut 2 x8 r x9 tan sin sin sin(1 ) tan cos cos sin( ) x1 2 2 2 tan sin sin cos(1 ) tan cos cos cos( ) x2 2 2 2 tan sin cos sin(1 ) tan cos sin sin( ) x3 2 2 2 tan sin cos cos(1 ) tan cos sin cos( ) x4 2 2 2 2 x8 4(8 )ts vs 3 ut 3x8 16 r x9 cot 3 / tan 3 / 2 u v u v u v u v sin 1 / sin 1 / 3x8 r x9 sin( ) x5 cos( ) x6 cot cos cos sin(1 ) cot sin sin sin( ) x1 2 2 2 cot cos cos cos(1 ) cot sin sin cos( ) x2 2 2 2 cot cos sin sin(1 ) cot sin cos sin( ) x3 2 2 2 cot cos sin cos(1 ) cot sin cos cos( ) x4 2 2 2 3x8 1 4(8 )ts vs ut 1x8 4v7 2 4v8 2 sin 1 cos 1 u2 u1 1x8 106 1 2 2 4(8 )ts vs x7 tan cos 1 x5 tan sin 1 x6 ut 1x8 r x9 2 sin 3 / sin 3 / tan cos 1 x1 tan sin 1 x2 cos 2 / cos 2 / tan 1 cos 3 / cos 3 / cos 1 x3 tan sin 1 x4 cos 2 / cos 2 / 1x8 4(8 )ts vs ut x8 4v 2 4v sin cos u4 u3 x8 2 2 x7 cot cos 1 x5 cot sin 1 x6 r x9 2 cos 3 / cos 3 / tan cos x1 tan sin x2 sin 2 / sin 2 / tan 4(8 )ts vs 1 sin 3 / sin 3 / cos x3 tan sin x4 sin 2 / sin 2 / x8 ut 3x8 4v 2 4v sin cos u6 u5 3x8 r x9 3 3 x7 tan cos x5 tan sin x6 2 sin 2 / sin 2 / cot cos x1 cot sin x2 cos 3 / cos 3 / cot 1 cos 2 / cos 2 / cos 1 x3 cot sin 1 x4 cos 3 / cos 3 / 3x8 107 4(8 )ts vs ut x8 4v1 2 4v2 sin cos u8 u7 4x8 3 3 x7 cot cos x5 cot sin x6 r x9 2 cos 2 / cos 2 / cot cos 1 x1 cot sin 1 x2 sin 3 / sin 3 / cot 1 sin 2 / sin 2 / cos x3 cot sin x4 sin 3 / sin 3 / x8 m n Tiếp theo, ta tính nhóm số hạng Tiếp tục sử dụng kết tính tốn us us m n tốn tử đạo hàm riêng phần góc theo us mục A2, ta được: 2m 4cot 3 4cot 2 12cot 1 , us us m 1 cos 1 / 2 sin 1 / 3 (A4.4) m n 0, us us m n (A4.5) m n m n 2 m m us us m n us us m m 4 2 2 r x9 11 cos 1 / 22 sin 1 / 33 2 2 cos (1 / 2) cos (2 / 2) 11 cos (1 / 2) sin (2 / 2) 2 2 sin (1 / 2) cos (2 / 2) 3 sin (1 / 2) sin (2 / 2) 108 (A4.6) Sử dụng tất kết tính kết hợp với việc đặt 56 toán tử Qˆ kj trang 37, ta biểu thức: (r x9 ) ˆ 2 2 4 r i Ak (r )Qˆ k ( ) Q Qˆ us us vs vs (r x9 ) x r (r x9 ) Qˆ r i Ak (r )Qˆ k ( ) r x (A4.7) Đưa biểu thức (A4.7) vào phương trình (2.9), ta phương trình (2.14): 1 Ak (r )Qˆ k ( ) i Ak (r )Qˆ k ( ) i x x ˆ2 Q ( ) (r, ) E (r, ) 8r r A5 Hệ toán tử Lˆij hệ tọa độ cầu Sử dụng phép biến đổi tọa độ cầu chiều (3.8), toán tử Lˆij tính tốn tường minh khơng gian cầu chiều sau: Lˆ12 i , 1 Lˆ23 i cos 1 , Lˆ34 i cos , 3 Lˆ45 i cos 3 , Lˆ56 i cos , 5 Lˆ67 i cos 5 , 6 109 Lˆ78 i cos 6 , 7 cos Lˆ13 i , cos 1 sin 3 1 sin cos 3 Lˆ24 i cos 1 , cos sin sin 3 cos Lˆ35 i cos , cos 3 sin 5 3 sin cos 5 Lˆ46 i cos 3 , cos sin 6 sin 5 5 cos 6 Lˆ57 i cos , cos 5 sin 7 5 sin 6 6 cos 7 Lˆ68 i cos 5 , cos 6 sin 8 6 sin 7 7 cot 3 cos 3 Lˆ14 i , cos sin cos sin sin sin 2 3 cot cos Lˆ25 i cos 1 , cos sin 5 cos 3 sin 3 sin 5 3 sin cot 5 cos 5 Lˆ36 i cos , cos sin cos sin sin sin 4 5 cot 6 cos 6 Lˆ47 i cos 3 , cos sin 7 cos 5 sin 5 sin 7 5 sin 6 6 cot 7 cos 7 Lˆ58 i cos , cos sin cos sin sin sin 6 7 cot cot cos sin sin cos sin sin 2 Lˆ15 i , cos cos sin sin sin 3 4 cot 5 cot 5 cos sin sin cos sin sin 3 Lˆ26 i cos 1 , cos 5 cos sin sin sin 4 5 110 cot 6 cot 6 cos sin sin cos sin sin 4 , Lˆ37 i cos cos 6 cos sin sin sin 6 5 cot 7 cot 7 cos sin sin cos sin sin 5 ˆ , L48 i cos 3 cos 7 cos sin sin sin 7 6 cot 5 cot 5 cos sin sin sin cos sin sin sin 2 ˆ , L16 i cos 5 cot 5 cos sin sin cos sin sin sin 4 3 cot 6 cot 6 cos sin sin sin cos sin sin sin 3 ˆ , L27 i cos 1 cos 6 cot 6 cos sin sin cos sin sin sin 5 4 cot 7 cot 7 cos sin sin sin cos sin sin sin 4 ˆ , L38 i cos cos 7 cot 7 cos sin sin cos sin sin sin 6 5 cot 6 cot 6 cos 1 sin 3 sin sin 5 sin 7 1 cos sin sin sin 5 sin 7 cot 6 cot 6 Lˆ17 i , sin sin cos sin sin sin cos 4 3 cos 6 cos 5 sin 5 sin 7 5 sin 6 6 cot 7 cot 7 cos sin sin 5 sin 6 sin 8 cos 3 sin 3 sin 5 sin 6 sin 8 3 cot 7 cot 7 Lˆ28 i cos 1 , sin sin cos sin sin sin cos 5 4 cos 7 cos 6 sin 6 sin 8 6 sin 7 7 111 cot 7 cot 7 cos 1 sin 3 sin sin 5 sin 6 sin 8 1 cos 3 sin 3 sin 5 sin 6 sin 8 3 cot 7 cot 7 Lˆ18 i cos sin sin sin 5 sin 6 sin 8 cos sin sin 6 sin 8 cot 7 cos 7 cos 5 sin 5 sin 8 5 cos 6 sin 6 sin 8 6 sin 7 7 A6 Giải phương trình siêu bội dạng (3.18): d 1 a a d b b d d 1 c c 2d 1 sin sin 2 2 cos sin 2 Các phương trình (3.17) (3.31) có dạng (3.18) Đối với phương trình (3.18), tham số phương trình tương ứng với d j 1 / 2, a b l j 1 / 2, c l j Trong trường hợp phương trình (3.31), tham số nhận giá trị d 3, a L, b J , c Để giải (3.18), thực đổi biến số đưa phương trình (3.18) trở thành dạng phương trình siêu bội có lời giải Với hàm sóng thu được, sử dụng tính chất hàm siêu bội để tìm số chuẩn hóa a b Đặt y (1 cos ) / viết dạng y (1 y) W ( y) Khi đó: y y y (1 y ) , y 2 (2d 1) cot y (1 y ) y (1 y ) 1 y y (1 y ) (2d 1) y y y (1 y ) 2 (d 1)(1 y ) y y 112 y (1 y ) y Thế vào phương trình (3.18) ta được: 2 a(a d ) b(b d ) b y (1 y ) (d 1)(1 y ) ( 7) y a 1 y W ( y ) y y 2y 2(1 y ) (A6.1) Tiến hành tác động đạo hàm bậc 1, bậc lên hàm sóng theo biến y: a b b b 1 b W ( y ) y 1 y W ( y ) ay a 1 1 y W ( y ) by a 1 y W ( y ) y a 1 y , y y 2 a b y 1 y W ( y ) y a 1 b b 1 b W ( y ) ay 1 y W ( y ) by a 1 y W ( y ) y a 1 y y y W ( y ) y / b 1 b2 b 1 W ( y ) aby a 1 1 y W ( y ) b(b 1) y a 1 y W ( y ) by L 1 y y a (a 1) y a 1 y W ( y ) aby a 1 1 y W ( y ) ay a 1 1 y b 1 b ay a 1 1 y y 1 y a b b W ( y ) b 1 W ( y ) b W ( y) by a 1 y y a 1 y y y 2 y 2W ( y ) a 1 W ( y ) b 1 y 1 y 2a 2ay 2by y y a (a 1) y a 1 y b(b 1) y a 1 y b b2 b 1 2aby a 1 1 y W ( y ) Thế vào phương trình (A6.1), ta có: y (1 y ) b d 2W dW [2 a d (2 a b d 2) y ] dy dy (c a b)(c a b 2d 1)W 113 Đặt c a b, c a b d 1, 2a d 1, ta phương trình siêu bội (hypergeomertic): d 2W dW y (1 y ) [ ( 1) y] W dy dy (A6.2) Nghiệm phương trình (A6.2) gọi hàm siêu bội dạng W y F1 , , , y Để hàm số hội tụ: c a b n hay c n a b với n 0,1, Nếu viết m 2b d , n 2a d ta có: cos n !(m 1) ( m,n ) W F1 n , n m n 1, m 1, Pn (cos ) (n m 1) Biểu diễn hàm sóng theo a, b, c, d : W (c a b)!(2b d 1) (2b d ,2 a d ) Pc b a (cos ), (c b a d 1) Pc(2bbad ,2ad ) (cos ) đa thức Jacobi : Pn( , ) ( x) n ! n ! s x 1 s ! n s ! s ! n s ! ns x 1 s Như vậy, hàm sóng (3.18) viết sau: ( ) Cabc 1 cos 1 cos a b (c a b)!(2b d 1) (2b d ,2 a d ) Pc b a (cos ) (c b a d 1) với Cabc hệ số chuẩn hóa theo số a, b, c Ta đặt x cos tính tích phân: 114 ( ) ( ) sin * d 1 d Cabc 1 x 2a 1 x 2b Pc(2 abbd ,2 a d ) ( x ) Pc(2 abbd ,2 a d ) ( x )(1 x ) d dx 1 Cabc 1 x 2ad 1 x 2b d Pc(2bbad ,2 a d ) ( x) Pc(2bbad ,2 a d ) ( x )dx 1 Cabc 22 a 2b d 1 (c b a d 1)(c b a d 1) 2c 2d (c b a )!(c b a 2d 1) Ở ta sử dụng tính chất sau đa thức Jacobi: 1 x 1 x m 1 n Pn(m,n ) ( x) Pn(m,n ) ( x)dx (n m 1)(n n 1) 2m n 1 n n 2n m n n !(n m n 1) Áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ( )* ( )sin d 1 d , ta có hệ số chuẩn hóa hàm sóng viết đầy đủ sau: ( ) 2c 2d (c b a)!(c b a 2d 1) 22 a 2b d 1 (c b a d 1)(c b a d 1) 1 cos 1 cos Pc(2bbad ,2 a d ) (cos ) a b Đối với phương trình (3.17), ta có trường hợp đặc biệt với a b l j 1 / d j 1 / 2, a b l j 1 / 2, c l j Trong trường hợp này, đa thức Jacobi biểu diễn lại thành đa thức Gegenbauer hàm Legendre liên kết loại [6, 41]: j j (c d )(c 2a 2d ) sin d / j Pc2da/2 d /2 cos j (c 2a)! Kết hoàn toàn trùng hợp với [32] 115 A7 Hệ số Clebsch-Gordan Hệ số Clebsch-Gordan sử toán xác định trạng thái tổng momen xung lượng góc khơng gian chiều thực ứng với nhóm SO(3) Gần đây, hệ số Clebsch-Gordan mở rộng cho toán ứng với nhóm đối xứng cầu SO(n) [7] Trong phần này, vận dụng kết [7] cho nhóm SO(8) từ tìm điều kiện cho số lượng tử Hàm j j Jm j LQ j3 j4 j5 hàm riêng Lˆ2 , Jˆ ứng với trị riêng ( ) LQ L L , J J Theo [7], hàm Jm j j j j j ( ) khai triển theo j ,ml q Dl1L, , hệ số Clebschl5 , Dq1 , ,q5 dạng (3.26) với C Ll l l l l m ,Qq q q q q m Q ,m Jj5 j4 j3 j2 j1m j 4321 l q Gordan suy rộng đối xứng Lˆ2 , Qˆ phá vỡ theo chuỗi SO 8 SO 3 SO nên đối xứng Jˆ phá vỡ theo chuỗi phá vỡ Điều làm xuất số lượng tử Do J j6 j5 j4 j3 j2 j1 j0 m j Theo chuỗi phá vỡ đối xứng SO 8 SO SO 3 SO hệ số Jj j j j j m Clebsch-Gordan CLl55l44l3l32l12m1l ,Qqj 5q4q3q2q1mq có dạng: Jj j m CLl55 l11ml j,Qq5 q1mq L l5 , l4 , l3 , l2 , l1 , ml L Q l5 q5 J l j5 8:7 l4 l l1 l1 j2 j1 4:3 ml q2 q1 J j5 , j4 , j3 , j2 , j1 , mq Q q5 , q4 , q3 , q2 , q1 , mq j5 l j4 7:6 l3 q5 q4 q1 mq q4 q3 j1 ml m j 3:2 116 j4 l j3 6:5 l2 mq 8 q3 q2 mj , j3 j2 5:4 (A7.1) ml mq ml mq m j ml mq m j mj max m2 , m , m 1 l q j (A7.2) ln l n 1 qn qn 1 1 jn jn 1 jn jn 1 n 2:n 1 2 ln 1 qn 1 jn 1 n ln 0 qn 1 jn ln 1 n qn 1 jn 1 n 1 n 1 n n n ln 1 qn 1 jn 1 2 2 2 n jn n jn n 1! jn1 ! n 1! 2ln1 n 2qn1 n jn1 n jn1 n 1 jn1 n ! jn !n! 2ln n 1 2qn n 1 jn n 1 ln ln1 ! qn qn1 ! jn jn1 ! 2ln n 1 2qn n 1 jn n 1 ln ln1 n 1! qn qn1 n 1! jn jn1 n 1! ln1 n ! qn1 n ! jn1 n ! ln n 1! qn n 1! jn n 1! sin n 1 l qn 1 jn 1 n ln !qn ! jn ! n ! ln 1 !qn 1 ! jn 1 ! n 1! Cllnn1lnn1 21 cos Cqqnn1qnn1 21 cos C jjnn1jn n1 21 cos d , (A7.3) với ln 1 qn 1 0 ln 1 qn 1 jn 1 jn 1 n 1 n 1 ln 1 !qn 1 ! jn 1 ! n 1! l n 1 qn1 jn1 n ! ln1 n ! qn1 n ! jn1 n ! n ! ln1 qn1 jn1 n 1 l n 1 n 1 qn 1 n 1 jn 1 n 1 ln 1 qn 1 jn 1 n 1 2ln1 n 1 2qn1 n 1 jn1 n 1 l n 1 qn 1 jn 1 ! jn 1 ln 1 qn 1 n 1 qn 1 jn 1 ln 1 n 1 j n 1 ln 1 qn 1 ! q n 1 jn 1 ln 1 ! (A7.4) 117 sin ln 1 qn 1 jn 1 n Cllnn1lnn1 21 cos Cqqnn1qnn1 21 cos C jjnn1jn n1 21 cos d ln ln 1 qn qn 1 jn jn 1 z1 z2 z3 1 z1 2ln ln 1 2 z1 ln n z1 z1 ! ln ln1 z1 ! ln 1 n 1 1 2q q 2 z qn n z2 z2 ! qn qn1 z2 ! qn1 n 1 z 1 j j 2 z jn n z3 z3 ! jn jn 1 z3 ! jn 1 n 1 z2 n n 1 n n 1 l q j n 1 n1 n1 n1 n ln z1 qn z2 jn z3 ln ln1 z1 qn qn1 z2 jn jn 1 z3 ml Từ (A7.2), ta có điều kiện mq ml mq m j mj max m2 , m , m l q j ml mq m j Như max m ,m l q , mj 1 Suy max ml , mq , m j ml mq m j hay m j ml mq Để phù hợp với hệ toán tử mà ta xét, ta chọn m j ml mq Jj j m Ngoài ra, từ (A7.4) hệ số C Ll55 l11ml j,Qq5 q1mq xác định khi: ln1 qn1 jn1 jn1 ln1 qn1 qn1 jn1 ln1 ! ! ! xác định với n 2 118 (A7.5) Suyra: ln 1 qn 1 jn 1 jn 1 ln 1 qn 1 qn 1 jn 1 ln 1 , , số nguyên không âm 2 Điều dẫn đến: ln1 qn1 jn1 jn1 ln1 qn1 ln1 qn1 jn1 ln1 qn1 q j l n1 n1 n1 với n jn1 ln1 qn1 2m, m số ngun khơng âm Jj j j j j m Như vậy, để hệ số Clebsch-Gordan CLl55l44l3l32l12m1l ,Qqj 5q4q3q2q1mq xác định khác khơng thì: m j ml mq j1 l1 q1 , l1 q1 1, l1 q1 2, , l1 q1 j2 l2 q2 , l2 q2 2, l2 q2 4, , l2 q2 j3 l3 q3 , l3 q3 2, l3 q3 4, , l3 q3 j4 l4 q4 , l4 q4 2, l4 q4 4, , l4 q4 j l q , l q 2, l q 4, , l q 5 5 5 5 J L Q , L Q 2, L Q 4, , L Q 119 (A7.8)