ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUN SOUKHALUCK TOÁN TỬ n HYPERCYCLIC YẾU VÀ n SUPERCYCLIC YẾU TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUN SOUKHALUCK TỐN TỬ n-HYPERCYCLIC YẾU VÀ n-SUPERCYCLIC YẾU TRONG KHƠNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THÌN Thái Nguyên - Năm 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BOUN SOUKHALUCK TOÁN TỬ n-HYPERCYCLIC YẾU VÀ n-SUPERCYCLIC YẾU TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TƠPƠ LỒI ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THÌN Thái Nguyên - Năm 2021 Lời cam doan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn Tơi khơng chép từ cơng trình khác Các tài liệu luận văn trung thực, kế thừa phát huy thành khoa học nhà khoa học với biết ơn chân thành Thái Nguyên, tháng năm 2021 Người viết luận văn BOUN SOUKHALUCK i Lời cảm ơn Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Văn Thìn tận tình trực tiếp giúp đỡ, định hướng cách tư cách làm việc khoa học, giải đáp thắc mắc, hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Đó góp ý q báu khơng q trình thực luận văn mà hành trang tiếp bước cho tơi q trình học tập lập nghiệp sau Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy! Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Tốn thầy tổ Bộ mơn Giải tích tạo điều kiện cho tơi làm luận văn, quan tâm đôn đốc trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 202 BOUN SOUKHALUCK ii Mục lục Lời cam doan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Tốn tử n-hypercyclic yếu khơng gian véc tơ tôpô lồi địa phương 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Định lý kiểu Ansari n-yếu 10 1.3 Xây dựng toán tử n-hypercyclic yếu 18 Tốn tử n-supercyclic yếu khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương 28 2.1 Tốn tử n-supercyclic yếu: tính chất 28 2.2 Một số họ phổ quát 37 2.3 Tiêu chuẩn toán tử n-supercyclic yếu 39 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iii Mở đầu Lý chọn luận văn Cho X không gian véc-tơ tôpô f : X −→ X ánh xạ liên tục Với phần tử x ∈ X , kí hiệu Orb(x, f ) = {x, f (x), f (x), , f n (x), } Trong đó, f n hợp thành n lần f Việc nghiên cứu quỹ đạo f dáng điệu f n vấn đề trung tâm lý thuyết hệ động lực Trong lý thuyết hệ động lực hệ động lực tuyến tính đóng vai trị quan trọng, có nhiều ứng dụng phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, Năm 1969, S Rolewicz [19] nghiên cứu quỹ đạo tốn tử tuyến tính liên tục, ơng tồn tốn tử tuyến tính lp c0 có quỹ đạo trù mật Có lẽ lấy cảm hứng từ kết này, năm 1982, C.Kitai nghiên cứu tốn tử tuyến tính khơng gian Banach có quỹ đạo trù mật mà ơng gọi toán tử hypercyclic, năm 2012, N.S Feldman [15] nghiên cứu toan tử n− hypercyclic yếu n−supercyclic yếu Khi xét quỹ đạo trù mật với lớp tơpơ khác thu lớp tốn tử khác Kể từ đó, nhiều tác giả giới tiếp tục hướng nghiên cứu J.H Shapiro, K.G Grosse-Erdmann [16], A.Peris [18], Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, lựa chọn chủ đề “Toán tử n-hypercyclic yếu n-supercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương” làm đề tài luận văn thạc sĩ Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng nghiên cứu bản, sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí tốn học nước quốc tế liên quan đến toán tử n-hypercyclic n-supercyclic không gian véc tơ tôpô lồi địa phương Qua đó, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề luận văn Mục đích luận văn Mục đích luận văn nghiên cứu số lớp toán tử n-hypercyclic yếu n-supercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương Nội dung luận văn Luận văn gồm chương: - Chương Tốn tử n-hypercyclic yếu khơng gian véc tơ tôpô lồi địa phương - Chương Tốn tử n-suppercyclic yếu khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương Chương Toán tử n-hypercyclic yếu không gian véc tơ tôpô lồi địa phương Trong luận văn này, ta kí hiệu X Y không gian véc tơ tôpô lồi địa phương trường số thực R trường số phức C, F tập số thực tập số phức Không gian đối ngẫu X ∗ tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X , B(X) tập tất tốn tử tuyến tính liên tục X , B(X, Y ) tập tấc tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y 1.1 Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.1 Cho T tốn tử tuyến tính liên tục không gian X trường F Với phần tử x ∈ X , quỹ đạo x T Orb(x, T ) = {T n x}∞ n=0 = {x, T x, T x, } T gọi hypercyclic có quỹ đạo trù mật, tức có véc tơ x ∈ X cho Orb(x, T ) trù mật X Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian lồi địa phương x0 ∈ X Cơ sở lân cận tôpô yếu x0 định nghĩa sau: Với F = {f1 , , fn } ⊆ X ∗ ε > 0, đặt N (x0 , F, ε) = N (x0 , f1 , , fn , ε) = {x ∈ X : |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀f ∈ F} Cho F : X → Fn xác định F (x) = (f1 (x), , fn (x)) k·k∞ chuẩn max Fn , N (x0 , f1 , , fn , ε) = N (x0 , F, ε) := {x ∈ X : kF (x) − F (x0 )k∞ < ε} Một tập E ⊆ X cho mở yếu với x0 ∈ E , tồn tập hữu hạn F ⊆ X ∗ ε > cho N (x0 , F, ε) ⊆ E Ta giới thiệu khái niệm n-tập mở yếu, ta giới hạn kích thước F Nếu A tập hợp, ta kí hiệu |A| lực lượng A Định nghĩa 1.1.3 Cho n số nguyên dương, X không gian lồi địa phương E ⊆ X , đó: (a) Tập E n-mở yếu với x0 ∈ E , tồn ε > tập F ⊆ X ∗ với |F| ≤ n cho N (x0 , F, ε) ⊆ E (b) Tập E n-đóng yếu phần bù E n-tập mở yếu (c) Tập E n-trù mật yếu X E ∩ N 6= ∅ với tập N n-mở yếu khác rỗng X (d) Một điểm x0 ∈ X nằm n-bao đóng yếu tập E với tập n-mở yếu N chứa x0 , ta có N ∩ E 6= ∅ Định nghĩa 1.1.4 Nếu n số ngun dương ta nói tốn tử T nhypercyclic yếu tồn véc tơ x ∈ X cho Orb(x, T ) n-trù mật yếu X Chú ý tập dạng N (x0 , F, ε) n-tập mở yếu lực lượng F nhiều n Trong thực tế, ta gọi tập n-tập mở yếu bản, n-tập mở yếu hợp n-tập mở yếu Các n-tập mở yếu khơng tạo thành dạng tơpơ chúng khơng đóng điểm giao hữu hạn n-tập đóng yếu khơng đóng hợp hữu hạn Mệnh đề 1.1.5 (Các tính chất n-tơpơ yếu) Nếu X khơng gian lồi địa phương ta có tính chất sau: (a) Nếu U m-tập mở yếu X , V n-tập mở yếu X k = max{m, n} U ∪ V k -tập mở yếu X (b) Nếu U m-tập mở yếu X V n-tập mở yếu X U ∩ V (m + n)-tập mở yếu X (c) Nếu F1 m-tập đóng yếu X F2 n-tập đóng yếu X F1 ∪ F2 (m + n)-tập đóng yếu X (d) Nếu F1 m-tập đóng yếu X , F2 n-tập đóng yếu X k = max{m, n} F1 ∩ F2 k -tập đóng yếu X Mệnh đề 1.1.6 Nếu C tập lồi khơng gian lồi địa phương X 1-bao đóng yếu C X bao đóng C X Mệnh đề sau cho thấy nhiều cách khác để xét n-tập trù mật Mệnh đề 1.1.7 Nếu X không gian lồi địa phương F = R C, E ⊆ X n số nguyên dương khẳng định sau tương đương (a) E n-trù mật yếu X (b) F (E) trù mật Fn với ánh xạ tuyến tính liên tục F : X → Fn (c) {f1 (x), , fn (x) : x ∈ E} trù mật Fn với tập độc lập tuyến tính phiếm hàm {f1 , , fn } ⊆ X ∗ (d) F (E) trù mật F (X) với ánh xạ tuyến tính liên tục F : X → Y với dim(F (X)) ≤ n (e) π(E) trù mật X/M với khơng gian tuyến tính đóng M X với dim(X/M) ≤ n, π : X → X/M ánh xạ thương (f) Với không gian N ⊆ X có đối chiều n, N có khơng gian bù M để hình chiếu E vào M theo N trù mật M (g) Nếu X khơng gian Hilbert điều kiện tương đương, với không gian M X với dim(M ) = n chiếu trực giao E vào M trù mật M Mệnh đề 1.1.8 Giả sử X không gian lồi địa phương trường vô hướng F