Đang tải... (xem toàn văn)
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết chung với các đồng tác giả Các kết quả viết chung với các đồng tác giả đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào[.]
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi viết chung với đồng tác giả Các kết viết chung với đồng tác giả trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Hoàng Nhật Quy e Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng thống kê ký hiệu Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 11 0.3 Phương pháp nghiên cứu 11 0.4 Bố cục ý tưởng nghiên cứu luận án 12 0.5 Các kết đạt ý nghĩa đề tài 13 Tính chất địa phương lớp Eχ,loc (Ω) 15 1.1 Giới thiệu 15 1.2 Kiến thức chuẩn bị 18 1.2.1 Lớp N (Ω) 18 1.2.2 Lớp Eχ,loc (Ω) 19 Tính chất địa phương lớp Eχ,loc 20 1.3 Tô pô không gian δEχ 30 e 2.1 Giới thiệu 30 2.2 Kiến thức chuẩn bị 31 2.2.1 Các lớp Cegrell 32 2.2.2 Không gian δEχ 32 2.2.3 Khái niệm dung lượng 33 Các kết không gian δEχ 34 2.3.1 Tô pô không gian δEχ 34 2.3.2 Sự hội tụ không gian δEχ 39 2.3.3 Tốn tử Monge-Ampère khơng gian δEχ 41 2.3.4 Một số ý 46 2.3 Hội tụ theo dung lượng siêu mặt phức trơn đa Kă ahler compact 48 3.1 Gii thiu 48 3.2 Kiến thức chuẩn bị 49 3.3 Sự hội tụ theo dung lượng siêu mặt phức trơn 54 Kết luận 65 Các công trình sử dụng luận án 67 Tài liệu tham khảo 68 Phụ lục 74 e Lời cảm ơn Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Phạm Hoàng Hiệp Nhân dịp này, xin gửi đến Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi thực cảm thấy vô may mắn làm việc Thầy nhận nhiều hướng dẫn trình làm nghiên cứu sinh Nhân tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS TSKH Lê Mậu Hải GS TSKH Nguyễn Quang Diệu trao đổi lời góp ý vơ q báu Thầy Đặc biệt GS TSKH Nguyễn Văn Khuê gợi mở việc so sánh tô pô xây dựng δEχ chương với tô pô cảm sinh từ tô pô xây dựng tác giả khác trước Điều khiến cho việc nhận thức tô pô vừa xây dựng thêm sâu sắc kết đạt chương thêm hồn chỉnh Tơi xin cảm ơn Giảng viên, thành viên nhóm seminar Giải tích phức Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội có tranh luận, trao đổi, góp ý hữu ích q trình làm nghiên cứu sinh Tổ môn Lý thuyết hàm Các kết luận án viết thành ba báo cụ thể sau: • [1] Vũ Việt Hùng, Hoàng Nhật Quy (2012), "Convergence in ca4 e pacity on smooth hypersurfaces of compact Kăahler manifolds", Ann Polon Math 103, 175-187 • [2] Lê Mậu Hải, Phạm Hồng Hiệp, Hoàng Nhật Quy (2013), "Local property of the class Eχ,loc ", J Math Anal Appl., 402, 440–445 • [3] Hoàng Nhật Quy (2013), "The topology on the space δEχ ", Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica, 51, 61 - 73 Nhân muốn gửi lời cảm ơn tới GS S Kolodziej trao đổi, góp ý làm hồn thiện số kết luận án Tôi biết ơn Phòng sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tạo điều kiện để thực đầy đủ thủ tục kịp thời quy chế trình làm nghiên cứu sinh Nghiên cứu sinh Hoàng Nhật Quy e Bảng thống kê ký hiệu Ký hiệu Nội dung PSH− (Ω) Tập hàm đa điều hòa âm Ω PSH(X, ω) Tập hàm tựa đa điều hòa đa tạp X E0 Xem định nghĩa mục 2.2.1 F Xem định nghĩa mục 2.2.1 E Xem định nghĩa mục 2.2.1 χ Xem định nghĩa mục 1.3 Eχ Xem định nghĩa mục 1.1 N (Ω) δH Xem định nghĩa mục 1.2.1 Xem định nghĩa mục 2.1 Eχ,loc (Ω) Xem định nghĩa mục 1.2.2 δEχ Xem định nghĩa mục 2.2.2 hϕD,Ω Xem định nghĩa mục 1.2.2 e Ký hiệu B(Ω) Nội dung Xem định nghĩa mục 3.2.5 DMA(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.6 E(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7 Ep (X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.7 F(X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8 Ka (X, ω) Xem định nghĩa mục 3.2.8 D(S, a) Xem định nghĩa mục 3.2.9 cap(E) Xem định nghĩa mục 2.2.3 capX (E) Xem định nghĩa mục 3.2.2 eχ (u) Xem định nghĩa mục 2.2.2 e Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm nhiều biến phức nói chung lý thuyết đa vị nói riêng thu hút nhiều quan tâm đầu tư nghiên cứu nhà toán học lớn giới nửa sau kỷ thứ XX Sau nửa kỷ phát triển, đến hiểu biết lớp hàm đa điều hòa - đối tượng nghiên cứu lý thuyết đa vị, cộng cụ thiết lập tương đối sâu sắc phong phú Tại Tổ môn Lý thuyết hàm, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, lý thuyết đa vị bắt đầu giảng viên tập trung nghiên cứu vài thập kỷ trở lại Và đến vấn đề mà giảng viên môn tập trung nghiên cứu riêng vấn đề seminar chung tiếp cận xu hướng nghiên cứu chuyên gia lý thuyết đa vị giới Trong số nhiều kết đạt lý thuyết đa vị, quan tâm tới lớp hàm đa điều hịa có lượng Monge - Ampère hữu hạn Năm 2004, U Cegrell đưa nhiều lớp lượng hữu hạn miền siêu lồi Cn E0 (Ω), E(Ω), F(Ω), E(Ω) lớp hàm đa điều hịa lớn mà e toán tử Monge - Ampère định nghĩa độ Radon không âm bảo tồn tính liên tục theo dãy giảm hàm đa điều hòa Năm 2006, Z Blocki đưa đặc trưng lớp Cegrell E(Ω) tập mở Cn đề cập tới tính chất địa phương lớp E(Ω) Năm 2009, nhóm tác giả S Benelkourchi, V Guedj, A Zeriahi đưa lớp lượng với trọng Eχ (Ω) Quan sát tính chất địa phương lớp nhận thấy rằng, lớp E(Ω) F(Ω) có quan hệ địa phương toàn cục, tức hàm u ∈ E(Ω) tập K b Ω tồn v ∈ F(Ω) cho u = v K, lớp E(Ω) có tính chất địa phương lớp F(Ω) khơng có Đối với lớp Eχ (Ω) khơng có tính chất địa phương Vậy vấn đề quan tâm nghiên cứu xây dựng lớp từ lớp Eχ (Ω), có tính chất địa phương có quan hệ địa phương toàn cục với lớp Eχ (Ω) tương tự cặp E(Ω) F(Ω) Tiếp tục nghiên cứu sâu lớp hàm Eχ (Ω), dẫn đến giới thiệu nghiên cứu luận án lớp hàm δEχ Về lớp hàm δ - đa điều hòa (δ - psh) đề cập nghiên cứu năm 1977 Ta ký hiệu H = H(Ω) lớp hàm thuộc lớp PSH(Ω) δH = H − H tập hàm u ∈ L1loc (Ω) cho u = v − w, với v, w ∈ H Khi H = PSH(Ω) khơng gian δPSH(Ω) với tô pô cảm sinh từ tô pô không gian L1loc (Ω) nghiên cứu C O Kiselman 1977 [36] U Cegrell 1979 [13] Các kết sau lớp δH nghiên cứu với tô pô cảm sinh từ chuẩn Monge - Ampère Với H = F(Ω), lớp hàm δF đưa nghiên cứu bới U Cegrell J Wiklund 2005 [19], tác giả e 10 chứng minh lớp δF không gian Banach không khả ly không gian đối ngẫu tơ pơ (δF)0 phân tích (δF)0 = δF Với H = E(Ω), lớp hàm δE đưa nghiên cứu bới L M Hải P H Hiệp 2006 [27], tác giả δE không gian Fréchet khơng khả ly khơng phản xạ tốn tử Monge - Ampère định nghĩa δE Với H = Ep (Ω), lớp hàm δEp đưa nghiên cứu P ˚ Ahag R Czy˙z 2010 [4] Bắt nguồn từ gợi mở kết đây, luận án đưa nghiên cứu lớp δEχ với tô pô sinh họ tập lồi, cân, hấp thụ Và với tô pô không gian δEχ không gian Fréchet không khả ly không phản xạ Một vấn đề khác lý thuyết đa vị thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu hội tụ theo dung lượng dãy hàm đa điều hòa Khái niệm dung lượng giới thiệu nghiên cứu tác giả E Bedford B A Taylor năm 1982 [6], tiếp tục nghiên cứu Y Xing từ 1996 [43] Và gần hơn, năm 2003, S Kolodziej đưa nghiên cu khỏi nim dung lng trờn a Kăahler compact [41] Tiếp tục nghiên cứu khái niệm này, tác giả P H Hiệp thu số kết công bố vào năm 2008 2010 [32], [31] [34] Đặc biệt [24], tác giả S Dinew P H Hiệp đưa nhiều hệ điều kiện đủ để dãy hàm tựa đa điều hòa hội tụ theo dung lng trờn a Kăahler compact Mt cõu hi t nhiên đặt liệu hệ điều kiện có đảm bảo cho hội tụ theo dung lượng hàm tựa đa điều hòa chúng thu hẹp siêu mặt trơn e ... tưởng nghiên cứu luận án Tổng quan ý tưởng nghiên cứu luận án tập trung vào việc ứng dụng toán tử Monge - Ampère để nghiên cứu hàm đa điều hòa tựa đa điều hòa dưới, cụ thể tập trung vào hai hướng... thấy có số vấn đề sau: + Nghiên cứu toán tử Monge - Ampère + Nghiên cứu lớp hàm đa điều hòa giới thiệu Cegrell + Nghiên cứu lớp hàm đa điều hòa với lượng Monge Ampère với trọng hữu hạn + Nghiên... Kăahler compact Cỏc kt qu trờn trình bày chi tiết thành ba chương luận án e 13 0.5 Các kết đạt ý nghĩa đề tài Luận án nghiên cứu phương trình tốn tử Monge - Ampère hàm đa điều hòa miền siêu lồi Cn